Khi quay phim, Andrew nói với chúng tôi những cảm xúc sâu kín nhất của ông về những gì ông đã làm mà trước đó ông chưa hề nói với ai; rằng trong suốt ba mươi năm ông đã đeo đẳng giấc [r]
(1)(2)(3)(4)FERMAT’S ENIGMA
Copyright © 1998 by Simon Singh All rights reserved
(5)Tái lần thứ 2
(6)Mục lục
giới thiệu
lời tựa 14
i “Có lẽ xin phép đượC dừng ” 17
ii táC giả Của Câu đố 59
iii Sự tủi hổ Của toán họC 103
iV Vào trừu tượng 163
V Chứng Minh phản Chứng 231
Vi tính tốn bí Mật 269
Vii Một tốn nhỏ 327
Viii toán họC thống 354
(7)5
phần đầu
1 Chiếc Chén Thánh ly Chúa Giêsu dùng bữa tiệc ly - bữa tiệc
cuối với mơn đệ trước Chúa bị hành hình Đây thuật ngữ ví von thường hay dùng văn hóa Tây phương để nhấn mạnh vai trị quan trọng cốt yếu ví Trong trường hợp chứng minh Định lý cuối Fermat (ND)
lời giới thiệu
Cuối chúng tơi có mặt phịng, khơng đơng người, đủ rộng để chứa tồn Khoa Tốn trường Đại học Princeton dịp lễ lạt lớn Vào buổi chiều đặc biệt đó, xung quanh khơng nhiều người lắm, đủ để tơi khó xác định người Andrew Wiles Sau lát, nhận người trơng có vẻ rụt rè, lắng nghe xung quanh chuyện trò, nhấm nháp ly trà, và thả tư tưởng mà nhà toán học khắp giới ý theo dõi diễn vào khoảng bốn chiều Ơng ta dễ dàng đốn tơi ai.
Đó thời điểm kết thúc tuần lễ phi thường Tôi gặp gỡ số nhà tốn học tuyệt vời cịn sống, bắt đầu cố gắng xâm nhập vào bên giới họ Nhưng bất chấp ý đồ tiếp cận với Andrew Wiles, để nói chuyện với ông, để thuyết phục ông tham gia vào phim tài liệu chương trình Horizon đài BBC thành tựu ông, gặp mặt chúng tơi Đó người thông báo ông ta tìm thấy Chiếc Chén Thánh1
(8)mặt với sụp đổ hồi bão đời ơng, Chiếc Cốc Thánh mà ông cầm tay bị phát giác đẹp đẽ, giá trị lắm, mà cốc uống nước thông thường mà thơi Bởi ơng thấy sai lầm chứng minh công bố.
Câu chuyện Định lý cuối Fermat câu chuyện độc nhất vô nhị Cho tới lúc gặp Andrew Wiles, tơi biết thật một trang sử vĩ đại nỗ lực khoa học học thuật Mùa hè năm 1993, tơi nhìn thấy tiêu đề lớn đưa toán học lên trang tờ báo tầm cỡ quốc gia khắp giới, loan báo việc chứng minh định lý Vào thời điểm ấy, tơi có hồi ức lờ mờ Định lý cuối Fermat, thấy đó đặc biệt, hợp với phim chương trình Horizon Tơi dành tuần lễ để nói chuyện với nhiều nhà tốn học: người có liên hệ gần gũi với câu chuyện này, gần gũi Andrew, người đơn giản đã chia sẻ xúc động chứng kiến thời điểm vĩ đại lĩnh vực hoạt động họ Tất rộng lượng chia sẻ hiểu biết sâu sắc họ lịch sử toán học, kiên nhẫn nói chuyện với tơi kiến thức tốn học tơi q cỏi so với khái niệm những vấn đề có liên quan Vấn đề nhanh chóng trở nên rõ ràng đây có lẽ đề tài mà giới có khoảng 5, người hiểu cách thấu đáo đầy đủ Trong thời gian, băn khoăn khơng biết có điên rồ định làm phim đề tài Nhưng từ nhà tốn học mà tơi trị chuyện, tơi hiểu được lịch sử phong phú ý nghĩa sâu sắc định lý Fermat đối với toán học người làm toán, cuối cũng nhận câu chuyện thật nằm đâu.
(9)7
phần đầu
Thông qua người thời với Wiles, biết rõ chất cơng việc ơng địi hỏi tư mạnh mẽ kinh khủng đến chừng nào việc tập hợp tất kỹ thuật tân tiến lý thuyết số với nhằm áp dụng cho chứng minh ông Từ người bạn ơng Đại học Princeton, tơi nghe nói tiến triển phức tạp năm nghiên cứu biệt lập Andrew Tôi dựng nên hình ảnh phi thường xung quanh Andrew Wiles toán thách đố ngự trị đời ông, dường chưa có ý định tìm gặp thân ơng.
Mặc dù nội dung toán học liên quan đến chứng minh Wiles nằm trong số vấn đề khó tốn học, tơi nhận thấy vẻ đẹp Định lý cuối Fermat nằm đơn giản dễ hiểu thân tốn Đúng câu đố được phát biểu ngơn từ quen thuộc với học sinh phổ thông Pierre de Fermat người thuộc truyền thống Phục hưng, sống trào lưu tái khám phá kho trí tuệ cổ Hy Lạp, ơng đặt câu hỏi mà người Hy Lạp không nghĩ để hỏi; làm vậy, ơng đặt tốn khó gian những người khác phải giải Và muốn trêu ngươi, ông để lại cho hậu dịng ghi thơng báo ơng tìm lời giải, khơng cho biết lời giải Đó phút khởi đầu cho săn đuổi kéo dài tới ba kỷ.
Độ dài thời gian nói lên ý nghĩa đặc biệt câu đố Thật khó mà hình dung toán nào, lĩnh vực khoa học nào, phát biểu đơn giản rõ ràng đến mà lại có thể chống chọi với cơng phá trí tuệ lâu dài đến Chúng ta nhớ lại bước nhảy vọt nhận thức vật lý, hóa học, sinh học, y học công nghệ xảy từ kỷ 17 Từ “các thể dịch”1
y học, tiến tới ghép nối gene, nhận dạng
1 Xưa người ta quan niệm thể dịch yếu tố định sức
(10)các hạt nguyên tử, đưa người lên Mặt trăng; nhưng lý thuyết số Định lý cuối Fermat nào vượt qua được.
Trong tìm hiểu, đơi tơi muốn biết lý Định lý cuối cùng không gây ý người mà đặc biệt đối với nhà toán học, quan trọng tạo chương trình nghiên cứu Tốn học có hà sa số ứng dụng thực tiễn, trường hợp lý thuyết số, ứng dụng hấp dẫn mà biết khoa học mật mã, việc thiết kế tiêu âm, việc liên lạc từ tàu vũ trụ xa xôi Nhưng chẳng có ứng dụng có hấp dẫn đặc biệt cơng chúng Điều hấp dẫn nhiều là thân nhà toán học, cảm xúc say sưa mà tất bọn họ đều biểu lộ nói tốn Fermat.
(11)9
phần đầu
sẽ khẳng định mãi, khơng có chỗ thay đổi Trong Định lý cuối cùng, nhà toán học phải đối mặt với thách thức lớn chứng minh, người tìm câu trả lời nhận ngưỡng mộ tồn giới tốn học.
Những giải thưởng đặt ra, đua tài bùng phát Định lý cuối có lịch sử phong phú dính dáng tới chết và lường gạt, thúc đẩy phát triển toán học Như nhà toán học Barry Mazur nói, Fermat thổi “hồn” vào lĩnh vực toán học gắn liền với ý đồ chứng minh định lý Do trớ trêu số phận, hóa lĩnh vực toán học lại chiếm vị trí trung tâm chứng minh cuối cùng Wiles.
Nhặt nhạnh hiểu biết lĩnh vực không quen thuộc, tới chỗ đánh giá Định lý cuối Fermat trung tâm, chí có lịch sử song song với lịch sử phát triển chính tốn học Fermat cha đẻ lý thuyết số đại, từ thời ông các nhà toán học phát triển, thúc đẩy đa dạng hóa thành nhiều lĩnh vực chuyên sâu, kỹ thuật lại đẻ lĩnh vực của toán học, trở thành ngành toán học độc lập Nhiều kỷ trôi qua, Định lý cuối dường ngày có liên quan với những nghiên cứu toán học thuộc hệ trước, ngày trở thành thứ lạ Nhưng rõ ràng vai trò trung tâm nó tốn học thực chưa thuyên giảm.
(12)là thời điểm kết thúc chặng đường bảy năm làm việc cho tốn, với mức độ tập trung tâm khó tưởng tượng Khi bắt tay vào công việc, nhiều kỹ thuật mà ơng sử dụng sau cịn chưa sáng tạo Ơng kết hợp cơng trình của nhiều nhà tốn học xuất sắc với nhau, kết nối ý tưởng sáng tạo khái niệm mà người khác sợ khơng dám làm Theo nghĩa đó, Barry Mazur nhớ lại, hóa người đều làm việc cho toán Fermat, biệt lập với khơng coi mục tiêu, chứng minh địi hỏi phải huy động tồn sức mạnh tốn học đại tìm ta lời giải cho Cái mà Wiles đã làm lần kết nối lĩnh vực toán học tưởng xa rời lại với Do cơng trình ơng dường biện hộ cho trình đa dạng hóa diễn tốn học kể từ bài toán Fermat nêu ra.
(13)11
phần đầu
các trường đại học khắp giới thời gian để ý tưởng gặp nhau, chia sẻ hiểu biết thấu đáo trước việc công bố trở thành thức Ken Ribet, nhà tốn học mà thân ơng có đóng góp quan trọng chứng minh Định lý Fermat, gợi ý nửa đùa nửa thật với khơng chắn an tồn của nhà tốn học địi hỏi cấu trúc hỗ trợ từ phía đồng nghiệp Tuy nhiên, Andrew Wiles tránh tất đó, giữ kín cơng việc cho riêng thân tồn tiến trình, trừ bước cuối Đó thước đo tầm quan trọng toán Fermat Wiles có niềm đam mê thực mạnh mẽ người giải trọn vẹn toán này, niềm đam mê đủ mạnh để dâng hiến bảy năm trời đời cho để giữ mục tiêu cho Ơng biết dù tốn khơng liên quan đến nghiên cứu đại, chạy đua tốn Fermat khơng lơi lỏng, ơng chẳng bao dám đánh liều để lộ mà làm
Sau nhiều tuần lễ tìm hiểu vấn đề này, liền tới Đại học Princeton Đối với nhà toán học, mức độ hồi hộp lúc lên tới mức căng thẳng Tôi khám phá câu chuyện ganh đua, thành bại, cô lập, tài năng, chiến thắng, ghen tị, áp lực căng thẳng, mát chí bi kịch Ngay lòng giả thuyết Taniyama - Shimura, giả thuyết quan trọng tiến trình chứng minh Wiles, sống hậu chiến bi thảm Nhật Bản Yukita Taniyama, câu chuyện mà đặc ân nghe kể từ Goro Shimura, người bạn thân ông Từ Shimura học khái niệm “cái thiện” toán học, nơi mà thứ cảm thấy đơn giản đúng chúng “thiện” Khơng biết mà cảm giác thiện tỏa khắp bầu khơng khí tốn học vào mùa hè năm Tất say sưa thời khắc vinh quang
(14)đã lộ qua mùa thu năm 1993 Với mắt giới đổ dồn vào ông, việc đồng nghiệp ông kêu gọi công bố chứng minh cách cơng khai, có lẽ có ơng biết khơng bị gục ngã Ông phải chuyển từ việc làm tốn biệt lập, mình theo tốc độ riêng đến chỗ nhiên phải làm việc với cơng chúng Andrew người kín đáo, ông phải đấu tranh một cách khó khăn để giữ cho gia đình tồn vượt qua bão tố nổ ra xung quanh ông Trong suốt tuần lễ Princeton, gọi điện thoại, rồi để lại giấy nhắn tin nơi làm việc ông, bậc cửa vào nhà ông, thơng qua bạn bè ơng; chí tơi cịn gửi quà tặng cho ông, hộp trà Anh nồi gốm để nấu súp Nhưng ông tránh lời mời chào thân tôi, gặp mặt vào hôm phải lên đường Một nói chuyện tĩnh lặng, căng thẳng kéo dài vừa đủ mười lăm phút kết thúc.
Khi chia tay chiều hơm đó, chúng tơi có cảm thơng Nếu Andrew tìm cách sửa chữa chứng minh ơng đến gặp để thảo luận phim; cịn tơi chuẩn bị để chờ đợi Nhưng bay nhà London đêm dường như, tơi, chương trình truyền hình dự định coi chết Trong suốt ba kỷ, chưa có sửa chữa lỗ hổng nhiều chứng minh với ý định giải toán Fermat Lịch sử đầy rẫy chứng minh sai lầm, tôi mong ông ngoại lệ, thật khó mà tưởng tượng rằng Andrew bia khác nghĩa địa toán học ấy.
(15)13
phần đầu
nghiên cứu biệt lập năm đau khổ ơng Khi quay phim, Andrew nói với chúng tơi cảm xúc sâu kín ông về ông làm mà trước ơng chưa nói với ai; suốt ba mươi năm ông đeo đẳng giấc mơ thuở thiếu thời sao; rất nhiều phần tốn học mà ơng phải nghiên cứu, khơng có hiểu biết thấu đáo thời kỳ đó, thực để tập hợp cơng cụ cần thiết nhằm giải thách thức định lý Fermat, thách thức đã thống trị nghiệp đời ông; cảm xúc mát ơng đối với tốn mà khơng cịn người bạn đường ơng nữa; về cảm xúc trào dâng giải thoát mà ông cảm thấy Đối với lĩnh vực mà thực chất nội dung khó mặt kỹ thuật để khán giả khơng chun hiểu ta hình dung, mức độ xúc cảm nói chuyện chúng tơi lớn bất kỳ thứ khác mà tơi trải nghiệm nghề làm phim khoa học Đối với Andrew, kết thúc chương cuộc đời ơng Đối với tơi, đặc ân để gần gũi với Cuốn phim phát Đài truyền hình BBC với tiêu đề
Horizon: Định Lý cuối Fermat Giờ đây, sách này,
Simon Singh phát triển ý tưởng nói chuyện thân mật đó, với chi tiết phong phú câu chuyện về Fermat lịch sử toán học tạo nên bối cảnh câu chuyện Cuốn sách mô tả cách đầy đủ sáng rõ những câu chuyện vĩ đại tư nhân loại.
JoHN LYNCH Giám đốc Chương trình Horizon
(16)Lời tựa
Câu chuyện Định lý cuối Fermat gắn bó cách khăng khít với lịch sử tốn học, đụng chạm đến tất chủ đề chủ yếu lý thuyết số Nó cho ta nhìn thấu đáo vấn đề dẫn dắt tốn học, có lẽ quan trọng hơn, truyền cảm hứng cho nhà toán học Định lý cuối nằm phần cốt lõi huyền thoại đầy hấp dẫn lòng can đảm, lừa bịp, xảo quyệt bi kịch, có dính dáng đến tất nhân vật vĩ đại toán học
Định lý cuối Fermat có nguồn gốc từ toán học cổ Hy Lạp, hai ngàn năm trước Pierre de Fermat dựng nên toán dạng biết hơm Vì thế, kết nối tảng toán học sáng tạo Pythagore với tư tưởng tinh vi của toán học đại Để viết sách này, lựa chọn cấu trúc biên niên sử chủ yếu, bắt đầu việc mô tả đặc tính cách mạng của trường phái Pythagore, kết thúc với câu chuyện cá nhân Andrew Wiles đấu tranh ơng tìm cách chứng minh Định lý cuối Fermat.
(17)15
phần đầu
góp vượt xa ngồi Định lý cuối cùng, tơi dành số trang để mô tả sống ông, số khám phá sáng chói khác ông.
Chương mô tả số ý đồ chứng minh Định lý cuối Fermat kỷ 18, 19 đầu kỷ 20 Mặc dù cố gắng này kết thúc thất bại chúng tạo kho khổng lồ kỹ thuật công cụ toán học mà số chúng sử dụng những ý đồ chứng minh Định lý cuối gần Bên cạnh việc mơ tả tốn học, tơi dành phần lớn chương cho nhà toán học, người bị ám ảnh di sản Fermat Những câu chuyện họ cho thấy nhà toán học chuẩn bị để hy sinh thứ tìm kiếm chân lý, toán học tiến triển như qua kỷ đó.
Những chương cịn lại sách ghi chép kiện phi thường bốn mươi năm gần tạo nên thay đổi cách mạng việc nghiên cứu Định lý cuối Fermat Đặc biệt chương chương tập trung vào cơng trình Andrew Wiles, mà những đột phá thập kỷ vừa qua làm cộng đồng toán học phải kinh ngạc Những chương sau dựa vấn mở rộng Wiles Đây hội tôi, trước hết để nghe hành trình trí tuệ phi thường kỷ 20 tơi hy vọng tơi truyền đạt tính sáng tạo chủ nghĩa anh hùng cần phải có suốt mười năm thử thách Wiles đến độc giả.
(18)nghĩa chúng Đối với độc giả có kiến thức chủ đề sâu hơn chút, cung cấp loạt Phụ lục nhằm mở rộng ý tưởng toán học trình bày vấn đề
Cuốn sách khơng thể mắt khơng có giúp đỡ tham gia nhiều người Đặc biệt tơi muốn cảm ơn Andrew Wiles phải từ bỏ nếp sống bình thường để trả lời vấn dài dòng chi tiết thời gian phải chịu áp lực căng thẳng Trong suốt bảy năm trời làm nhà báo khoa học, chưa gặp người nào có nỗi say đắm tinh thần dâng hiến cho mục tiêu lớn thế, tơi mãi biết ơn giáo sư Wiles sẵn sàng chia sẻ câu chuyện ông với tơi.
Tơi muốn cảm ơn nhà tốn học khác giúp đỡ viết cuốn sách cho phép vấn thời gian dài Một số trong nhà toán học dính dáng sâu sắc đến việc giải Định lý cuối Fermat, số khác nhân chứng đối với kiện lịch sử bốn chục năm vừa qua Thì tơi dành để lục vấn tán chuyện với họ thật vô thú vị đánh giá cao kiên trì nhiệt tình họ việc giải thích nhiều khái niệm tốn học đẹp đẽ cho tơi
SiMoN SiNGH Thakari, Phagwara
(19)17
có lẽ xin phép dừng
i
“có lẽ tơi xin phép được dừng ”
Người ta nhớ tới Archimede lãng quên Eschyle, ngơn ngữ chết, tư tưởng tốn học cịn “Bất tử” từ trống rỗng, nhà tốn học có nhiều khả hưởng hương vị khác
G H HarD
Cambridge, ngày 23 tháng năm 1993
Đó hội nghị toán học quan trọng kỷ Có tới hai trăm nhà tốn học tham dự Có lẽ phần tư số họ hiểu cách đầy đủ bảng dày đặc tính tốn đại số ký hiệu Hy Lạp Số cịn lại ngồi cốt chứng kiến điều mà họ hy vọng kiện lịch sử thực
Những lời đồn đại loan truyền từ hôm trước Qua thư từ điện tử trao đổi Internet, người ta phong đoán hội nghị đạt tới điểm kết thúc việc chứng minh Định
lý cuối Fermat, toán tiếng giới Nhưng
(20)trong phòng họp cổ kính này, trao đổi nghề nghiệp kín đáo lại biến thành lời đồn đại đột phá đó, cuối chẳng đến đâu
Nhưng lần này, tin đồn khác hẳn Một nhà nghiên cứu trẻ Cambridge tin đến mức sẵn sàng đặt 10 bảng Anh cho người ghi sổ đánh cược lời giải toán đưa tuần Tuy nhiên, người ghi đánh đánh thấy nguy hiểm nên từ chối khơng nhận số tiền đặt cược Đây nghiên cứu sinh thứ năm đặt cược số tiền ngày Mặc dù thực tế óc vĩ đại hành tinh phải nhức đầu tốn Fermat suốt ba kỷ nay, người ghi đánh bắt đầu ngờ lần
Ba bảng đen viết kín đặc tính tốn người trình bày dừng lại để bảng thứ lau đi, lại tiếp tục Mỗi dòng tính tốn dường lại thêm bước nhỏ tiến gần tới lời giải, sau ba mươi phút mà diễn giả chưa tuyên bố định lý chứng minh Các giáo sư chen chúc ngồi hàng ghế đầu nơn nóng chờ lời kết luận Số đông nghiên cứu sinh sinh viên đứng phía sau nhìn bậc đàn anh cách dò xét với hy vọng từ nét mặt thái độ họ đốn điều mà diễn giả kết luận Liệu phiên họp diễn có tới chứng minh hồn chỉnh Định lý cuối không diễn giả phác sơ đồ chứng minh chưa hoàn chỉnh?