Ebook Định lý cuối cùng của Fermat

Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat Ebook Định lý cuối cùng của Fermat

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lê Trung Kiên ĐỊNH LÝ CUỐI CÙNG CỦA FERMAT CÂU CHUYỆN HẤP DẪN VỀ BÀI TOÁN FERMAT Amir D Aczel Nguyên tác : FERMAT'S LAST THEOREM Unlocking the Secretof an Ancient Mathematical Problem Nxb : Four Walls Eight Windows New York/London Người dịch : Trần văn Nhung Đỗ trung Hậu Nguyễn kim Chi Nxb Giáo dục 2001 Mục lục Lời giới thiệu Lời người dịch Lời giới thiệu Nhà xuất Lời nói đầu tác giả Cambridge, Anh, tháng 6/1993 Pierre de Fermat Các số nguyên tố Một dòng ghi tiếng lề sách Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lê Trung Kiên Tháng 7,8 /1993 - Phát kẽ hở quan trọng Khoảng sông Tigris sông Euphrates, Circa, 2000 năm trước Công Nguyên Sự giàu có đại lượng bình phương “Plimpton 322” Hội Số học cổ đại - Những người sùng bái thề giữ bí mật “Con số tất cả” Bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh Các số nguyên, phân số ? Di sản Pytagoras Dây thừng, sông Nile đời môn hình học Định lý ? “Eureka ! Eureka !” Alexandria - phần Ai Cập thuộc HyLạp, khoảng năm 250 Truyện “Một nghìn đêm lẻ” Một thương gia thời Trung Cổ “Tỷ số vàng” Các nhà “Cosa” học Công tìm kiếm tri thức cổ thời kỳ Phục Hưng Bình phương, lập phương lũy thừa bậc cao Người nghiên cứu thuật toán Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lê Trung Kiên Bảy cầu thành phố Konigsberg Gauss - Thiên tài vĩ đại người Đức Số ảo Sophie Germain Sao chổi rực sáng năm 1811 Một người học trò Những nhà toán học Napoleon Hàm số tuần hoàn Chứng minh Lamé Những số lý tưởng Một giải thưởng khác Hình học phi Euclid Thành công bi kịch Một nạn nhân khác Các iđêan Dedekind Kết thúc kỷ Các dạng modula Một liên quan bất ngờ với bánh vừng vòng Chứng minh Faltings Vị tướng Hy Lạp huyền bí mang tên khôi hài Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lê Trung Kiên Các đường cong elliptic Một giả thuyết kỳ lạ đưa Tôkyô, Nhật Bản, đầu thập niên 1950 Một khởi đầu đầy hứa hẹn “Anh nói ?” Giả thuyết Shimura Mưu đồ phản bội “Một tập dành cho bạn đọc quan tâm” Sự dối trá Sâu rừng Đen, mùa thu 1984 Định lý Ribet Ước mơ cậu bé Ngọn lửa cũ lại bừng cháy Chia toán lớn thành toán nhỏ Bài báo Flach Một người bạn tốt Khâu cuối toán Công việc Một kẽ hở lớn phát Nỗi đau khổ Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lê Trung Kiên Việc diễn sau Có Fermat chứng minh Chú giải Lời tác giả LỜI GIỚI THIỆU Độc giả có tay sách đặc biệt: vừa sách Toán, lại vừa tiểu thuyết mà nhân vật Bài toán Phécma Ai biết, Bài toán Phécma toán khó tiếng toán học, “nhân vật chính” Toán học suốt ba kỷ Tác giả thông qua đời nhân vật để mô tả cho độc giả tranh toàn cảnh lịch sử phát triển nhiều ngành toán học ba kỷ qua Sự lựa chọn tác giả thật hợp lý, lẽ Bài toán Phécma “con gà đẻ trứng vàng Toán học đại” Những cố gắng nhà toán học nhằm giải Bài toán Phécma làm nẩy sinh nhiều lý thuyết Những lý thuyết với toán học, Bài toán Phécma giải xong Chứng minh “Định lý cuối Phécma” mà Andrew Wiles trình bày chứng minh khó, vận dụng hầu hết kiến thức nhiều ngành toán học đại Nói Ken Ribet, có khoảng phần nghìn nhà toán học hiểu chứng minh Vậy mà sách viết cho đối tượng rộng rãi: cho yêu thích toán học! Công việc khó khăn hoàn thành cách tài tình: tác giả làm cho người đọc hiểu đường dẫn đến chứng minh A Wiles, chí hiểu tư tưởng chứng minh Đây “tiểu thuyết lịch sử” (toán học) mà bạn đọc đọc lại nhiều lần Mỗi trình độ toán học bạn nâng cao bước, bạn lại hiểu sâu điều sách Và điều quan trọng sách làm bạn thêm yêu toán học, ngành khoa học cần thiết cho sống, mà chứa đầy chất thơ, đầy phiêu lưu, chí âm mưu nữa! Mong có nhiều sách này, sách góp phần lôi bạn trẻ vào khoa học Vì thế, trân trọng Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội giúp đỡ Liên minh doanh nghiệp Mỹ giáo dục Việt Nam, Nhà xuất “Bốn tường Tám cửa sổ” tạo điều kiện để bạn trẻ Việt Nam có sách này, khác tương lai Cần nói thêm rằng, việc dịch sách “vừa toán, vừa tiểu thuyết” việc làm khó khăn Nó đòi hỏi người dịch phải “vừa nhà văn, vừa nhà toán học” Bản dịch Giáo sư Trần Văn Nhung cộng xem thành công Xin trân trọng giới thiệu sách bạn đọc GS TSKH HÀ HUY KHOÁI LỜI NGƯỜI DỊCH Trong lịch sử toán học có toán khác so sánh với Bài toán Phécma (Fermat) Nó phát biểu cách đơn giản đến mức học sinh trung học sở hiểu được, việc tìm lời giải thách thức trí tuệ nhân loại biết hệ suốt ba kỷ rưỡi vừa qua người hoàn tất chặng đường cuối vào năm 1993 GS.TS Andrew Wiles Ông sinh Cambridge (Anh), nhận tiến sĩ Trường Đại học Tổng hợp Cambridge sau sang giảng dạy nghiên cứu toán học Trường Đại học Tổng hợp Princeton (Hoa Kỳ) Cũng đây, sau năm lao động liên tục, bền bỉ khốc liệt ông giải xong Bài toán Phécma Ở Việt Nam có nhiều người (làm toán không làm toán), nói riêng em học sinh thầy cô giáo phổ thông hay bạn sinh viên giảng viên đại học, cao đẳng, thích thú tìm hiểu, theo dõi trình giải siêu toán thực tế có số người thử giải nó! Theo biết nước ta, số nhà toán học có uy tín làm việc lĩnh vực gần gũi với Bài toán Phécma, hình học đại số, giải tích Điôphăng nắm lược đồ phương pháp chứng minh Andrew Wiles Chúng bày tỏ cảm ơn tới bà Barbara Stewart, Chủ tịch Liên minh doanh nghiệp Mỹ giáo dục Việt Nam, người tặng sách gốc tiếng Anh tích cực giúp đỡ việc liên hệ với Nhà xuất “Bốn tường Tám cửa sổ” cho phép dịch sách sang tiếng Việt in Việt Nam Đồng thời, xin cảm ơn Nhà xuất Giáo dục, ông Giám đốc Ngô Trần ái, Phó Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Giám đốc PGS.TS Vũ Dương Thụy, Phó Giám đốc TS Nguyễn Đăng Quang, bà Nguyễn Minh Lý (biên tập cho sách) TS Phạm Phu thuộc Nhà xuất Giáo dục tích cực cộng tác, giúp đỡ để dịch sách xuất Việt Nam Tập thể dịch giả đặc biệt cảm ơn GS TSKH Hà Huy Khoái (Viện Toán học, TT KHTN CNQG) đọc, góp ý cho thảo viết lời giới thiệu cho sách Do trình độ chuyên môn toán học tiếng Anh người dịch sách hạn chế, mong bạn đọc cảm thông giáo cho sai sót để lần tái sau hoàn thiện Xin cảm ơn độc giả! TM Tập thể dịch giả Xuân Canh Thìn GS TS KH Trần Văn Nhung 2000 Bộ Giáo dục Đào tạo 49 Đại Cồ Việt, Hà Nội ĐT: 04-8692479 Fax: 04-8693243 E-mail: tvnhung@moel.edu.vu LỜI GIỚI THIỆU CỦA NHÀ XUẤT BẢN Năm 1993, hội nghị khoa học nước Anh, nhà toán học đến từ thành phố Princeton (Hoa Kỳ) làm chấn động dư luận Ông giải vấn đề toán học huyền bí, điều mà hàng ngàn nhà toán học bó tay suốt 350 năm qua : ông chứng minh Định lý cuối Fermat (Phécma) báo dài 200 trang Việc chứng minh định lý ngốn ông năm trời sau phải thêm năm để ông hoàn thiện chứng minh Định lý cuối Fermat câu chuyện người, lịch sử văn hóa nằm ẩn đằng sau thành tựu khoa học vang dội Được viết học giả Pháp kỷ thứ XVII, định lý phát biểu lên nghe đơn giản: bình phương số số nguyên phân tích thành tổng hai bình Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội phương hai số nguyên khác - chẳng hạn, năm bình phương (25) bốn bình phương (16) cộng ba bình phương (9) - điều tương tự không xảy lũy thừa bậc ba hay lũy thừa bậc cao Sau Fermat qua đời, nhiều nhà toán học dành đời để cố chứng minh định lý Định lý có nguồn gốc từ thời xa xưa Khoảng 2000 năm trước Công nguyên, người Babylon tìm cách phân tích số phương thành tổng hai số phương Vào kỷ VI trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Pythagoras khái quát điều thành định lý tiếng ông định lý mở đường cho Fermat Mấy kỷ sau Fermat qua đời, vào năm 1955, với bước tiến xa, hai nhà toán học Nhật Bản đưa đoán tuyệt vời khả có mối liên hệ hai ngành toán học khác hẳn 40 năm sau công trình họ giúp cho Andrew Wiles, nhà toán học thành phố Princeton, chứng minh Định lý cuối Fermat Cuốn sách kết hợp triết học với môn khoa học khó, cộng với văn phong kiểu phóng mang màu sắc khảo cứu nhằm dựng nên câu chuyện thực trí tuệ nhân loại NXB Bốn tường Tám cửa sổ LỜI NÓI ĐẦU CỦA TÁC GIẢ Tháng năm 1993 Tom Schulte, người bạn cũ Califomia đến Boston thăm Chúng ngồi quán cà phê tràn đầy ánh nắng phố Newbury với ly đồ uống lạnh trước mặt Tom ly dị vợ anh mang vẻ mặt trầm ngâm Anh quay phía “Dẫu sao”, anh nói, “Định lý cuối Fermat chứng minh” Lại trò đùa mới, nghĩ Tom lại nhìn vỉa hè 20 năm trước, Tom hai người bạn chung phòng, hai sinh viên toán Trường Đại học Tổng hợp California Berkeley Định lý cuối Fermat đề tài thường bàn luận Chúng thường tranh luận hàm số, tập hợp, trường số, tôpô Ban đêm chẳng sinh viên toán ngủ sớm tập khó Điều làm cho Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội khác biệt với sinh viên lĩnh vực khác Đôi phát điên đầu với toán học cố chứng minh định lý định lý để nộp hạn vào sáng ngày hôm sau Còn Định lý cuối Fermat sao? Chẳng tin chứng minh Một định lý khó suốt 350 năm người cố gắng chứng minh Chúng phát điều lý thú kết nỗ lực nhằm chứng minh định lý làm cho tất môn toán học phát triển Nhưng cố gắng thất bại, hết người đến người khác Định lý cuối Fermat trở thành biểu tượng cho mục tiêu mà người đạt tới Thậm chí có lần dùng tính không chứng minh định lý để tạo lợi cho Chuyện vài năm sau, Berkely, tiếp tục chương trình thạc sĩ sau tốt nghiệp đại học Một gã sinh viên sau đại học ngành toán trình độ toán học tỏ ý muốn giúp làm toán gặp Ký túc xá Quốc tế - nơi hai “Tôi làm toán học lý thuyết.”, - nói, “nếu gặp vấn đề toán học mà anh giải được, hỏi tôi, đừng ngại.” Lúc chuẩn bị nói “Hm, Có vấn đề mà anh giúp ” Anh ta quay lại hỏi: “Gì vậy? Chắc chắn giúp Hãy cho biết việc nào.” Tôi với lấy tờ giấy ăn mở - lúc phòng ăn Tôi chậm rãi viết lên tờ giấy: X n  Y n  Zn nghiệm nguyên n lớn “Tôi cố gắng chứng minh điều từ tối hôm qua”, nói đưa cho tờ giấy ăn Mặt tái cắt không giọt máu “Định lý cuối Fermat”, lầm bầm “Đúng vậy” - nói, “anh làm toán học lý thuyết mà Anh giúp ?” Sau lần chẳng nhìn thấy đến gần “Tôi nói chuyện nghiêm túc đây”, Tom nói uống cạn ly “Andrew Wiles người vừa tháng trước chứng minh Định lý cuối Fermat Cambridge Hãy nhớ lấy tên Anh nghe thấy nhiều lần” Tối hôm Tom bay trở California Mấy tháng sau rõ Tom không đùa, dõi theo chuỗi kiện Trước tiên Wiles ca ngợi Thế kẽ hở chứng minh ông bị phát Sau Wiles thêm năm trời để cuối trình làng chứng minh hoàn hảo Nhưng qua tìm hiểu câu chuyện thành công thấy Tom sai chỗ Andrew Wiles tên mà cần phải lưu tâm tới Tôi giới cần thấy rõ Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội chứng minh Định lý cuối Fermat công lao nhà toán học Wiles đương nhiên người đáng ca ngợi nhất, vinh quang thuộc Ken Ribet, Barry Mazur, Goro Shimura, Yutaka Taniyama, Gerhard Frey, nhiều người khác Cuốn sách kể lại toàn câu chuyện, kể điều thực xảy đằng sau thành công này, chưa lọt vào tầm ống kính phương tiện thông tin đại chúng ánh sáng đèn chiếu Đây câu chuyện đề cập đến dối trá, mưu đồ phản bội Amir D.Aczel “Có lẽ tốt trình bày kinh nghiệm làm toán giống việc vào lâu đài tối om Bạn bước vào phòng thứ tối đen mực Bạn bước loạng choạng, va đập vào đồ đạc phòng Dần dần, bạn biết vị trí thứ Và cuối cùng, sau khoảng sáu tháng bạn lần công tắc đèn bật lên Ngay thứ soi tỏ bạn thấy rõ đâu Thế bạn bước vào phòng lại bóng tối ” Đó cách mà Giáo sư Andrew Wiles miêu tả trình năm trời ông miệt mài làm việc để khám phá điều huyền bí vĩ đại toán học * ** Sáng sớm tinh mơ ngày 23/6/1993, Giáo sư John Conway tới tòa nhà xỉn màu Khoa Toán Trường Đại học Tổng hợp Princeton Ông mở cửa lớn bước vội vào phòng làm việc Suốt tuần nay, trước đến thăm nước Anh Andrew Wiles - người bạn đồng nghiệp ông, liên tiếp tin tức bán tín bán nghi lan truyền cộng đồng toán học giới Conway cảm thấy có điều quan trọng xảy Nhưng ông không đoán điều Ông bật máy vi tính, ngồi xuống nhìn chằm chằm vào hình 53 phút sáng, thư điện tử ngắn gọn từ bờ bên Đại Tây Dương lên: “Wiles chứng minh Định lý cuối Fermat” Cambridge, Anh, tháng 6/1993 Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội hai tập hợp vô hạn Thực tế, anh không tiến gần tới lời giải chút so với André Weil đa nghi ông ta nói: “Tôi không thấy lý phản bác lại giả thuyết hai tập hợp đếm (vô hạn có bậc vô hạn số nguyên số hữu tỷ, bậc vô hạn cao số vô tỷ continuum), không thấy lý để ủng hộ cho giả thuyết ” Sau hai năm chẳng đến đâu, Wiles lại thử cách tiếp cận Anh nghĩ biến đổi đường cong elliptic thành biểu diễn Galois, sau đếm biểu diễn Galois để đối chiếu với dạng modula Ý tưởng thật tuyệt vời hoàn toàn mẻ Nguyên lý đằng sau ý tưởng lý thú Các nhà lý thuyết số quan tâm tới việc tìm nghiệm phương trình, phương trình Fermat chẳng hạn Lý thuyết toán học trường số đặt toán trường hợp trường mở rộng Các trường tập hợp vô hạn rộng lớn, khó phân tích Do đó, nhà lý thuyết số thường sử dụng lý thuyết Galois để chuyển toán từ trường phức tạp sang gọi nhóm Thông thường nhóm sinh tập hợp hữu hạn (hơn vô hạn) phần tử Vì vậy, việc sử dụng lý thuyết Galois cho phép nhà lý thuyết số chuyển từ tập hợp vô hạn sang tập hợp biểu diễn tập hữu hạn Phép biến đổi toán tạo bước tiến quan trọng thao tác tập hợp hữu hạn phần tử dễ nhiều so với tập hợp vô hạn Việc đếm có ý nghĩa số lượng hữu hạn phần tử Cách tiếp cận thực vài tập hợp đường cong elliptic Đây bước đột phá thành công, năm sau Wiles lại mắc kẹt lần Bài báo Flach Giờ đây, Andrew Wiles cố gắng để đếm tập hợp biểu diễn Galois tương ứng với đường cong elliptic (bán ổn định) để so sánh với dạng modula chúng Trong làm việc này, anh sử dụng lĩnh vực chuyên sâu mà anh viết luận án tiến sĩ mình, lý thuyết Iwasawa hoành Wiles cố gắng dùng lý thuyết để tìm Công thức số lớp, kết mà anh cần cho việc “đếm” Nhưng đây, anh phải đối mặt với tường Anh không làm để đến gần câu trả lời Mùa hè năm 1991, Wiles dự hội nghị Boston anh gặp lại John Coates, thầy hướng dẫn luận văn tiến sĩ trước anh Cambridge Giáo sư Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Coates nói với Wiles nhờ sử dụng công trình trước nhà toán học Nga tên Kolyvagin, học trò ông Matthias Flach tìm Hệ thống Euler (mang tên Leonhard Euler) cố gắng chứng minh Công thức số lớp Đây điều mà Wiles cần để chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama, anh mở rộng kết riêng biệt Flach thành Công thức số lớp hoàn chỉnh Wiles phấn khởi nghe Coates nói công trình Flach “Kết đặt làm sẵn” cho vấn đề anh, Wiles nói, Matthias Flach làm tất việc anh Wiles tức gác lại toàn công việc liên quan đến Lý thuyết Iwasawa hoành suốt ngày đêm đắm công trình Kolyvagin Flach Nếu “Hệ thống Euler” họ thực áp dụng Wiles hy vọng đạt kết số lớp giả thuyết Shimura-Taniyama chứng minh đường cong elliptic bán ổn định, đủ để chứng minh Định lý cuối Fermat Tuy nhiên, công việc khó khăn nằm lĩnh vực Iwasawa mà Wiles am hiểu tường tận Càng ngày Wiles cảm thấy cần phải tìm để trao đổi Anh cần người kiểm tra tiến triển công việc anh lĩnh vực chưa khám phá này, người lại không tiết lộ điều cho khác Một người bạn tốt Cuối Wiles phải định để chọn hai cách: Hoặc anh tiếp tục giữ bí mật điều anh làm suốt thời gian dài vừa qua, không làm trao đổi với chuyên gia giỏi lý thuyết số Và anh chọn cách thứ hai giữ bí mật công việc anh không nhích lên Như anh nói, người ta dành đời để giải vấn đề mà không đạt kết Sự cần thiết phải trao đổi ý kiến với người khác cuối thắng yêu cầu gay gắt phải giữ kín điều để riêng biết Nhưng câu hỏi đặt là: Ai? Anh tin cậy để giữ bí mật mình? Vào tháng giêng năm 1993, sau sáu năm làm việc mình, Wiles bắt đầu liên hệ với bên Anh tìm đến giáo sư Nick Katz, đồng nghiệp anh Khoa Toán Trường Đại học Tổng hợp Princeton Katz chuyên gia nhiều lý thuyết mà lý thuyết cần thiết cho việc chứng minh Công thức số lớp Nhưng điều quan trọng Katz hoàn toàn đáng tin cậy Anh chẳng Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội tiết lộ điều mà Wiles không muốn Đánh giá Wiles hoàn toàn xác Nick Katz giữ mồm giữ miệng suốt nhiều tháng trời làm việc với Wiles Các bạn đồng nghiệp họ cộng đồng toán học đông đảo Princeton không thấy có khác thường, nhiều tuần họ trông thấy hai người nói chuyện riêng với hàng bên ly cà phê tận cuối phòng công cộng Nhưng Andrew Wiles lo ngại tò mò công việc anh làm Để tránh điều đó, anh có kế hoạch để giấu thật anh nghiên cứu “vấn đề đó” tâm đắc với Nick Katz Wiles tổ chức chuyên đề toán học sau đại học vào dịp mùa xuân năm 1993 Nick Katz tham dự chuyên đề sinh viên Nhờ hai người nghiên cứu mà không tò mò điều họ làm Chí điều mà Wiles nói Các sinh viên đoán đằng sau giảng đường dẫn đến Định lý cuối Fermat Wiles, với giúp đỡ người bạn tuyệt vời Katz, tranh thủ trí tuệ họ để lấp đầy kẽ hở lại lý thuyết anh Chuyên đề thông báo với tên “Các phép tính với đường cong elliptic”, tên chung chung đủ để không nghi ngờ điều Mở đầu giảng, giáo sư Wiles nói mục đích chuyên đề nhằm nghiên cứu số công trình gần Matthias Flach Công thức số lớp Không đề cập tới Fermat, không đề cập tới Shimura hay Taniyama không nghi ngờ Công thức số lớp mà họ sửa nghiên cứu yếu tố để chứng minh Định lý cuối Fermat Cũng chẳng nghĩ mục đích thực giảng dạy toán cho sinh viên sau đại học, mà để Wiles Katz nghiên cứu toán không bị đồng nghiệp họ ngờ vực, đồng thời lại có thêm nghiên cứu sinh kiểm tra công trình giúp họ mà không nghi ngờ Nhưng sau vài tuần, tất sinh viên biến đâu hết Họ tiếp tục khóa học thực chẳng đến đâu “Sinh viên” thính giả lại Nick Katz, người có lẽ nắm tất chuyện Rồi Wiles tiếp tục dùng bảng “lớp học” để ghi chứng minh dài dằng dặc anh cho Công thức số lớp với Nick Katz kiểm tra bước Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Các giảng không mắc phải sai sót Gần chứng minh Công thức số lớp hoàn tất Wiles đường dẫn tới lời giải toán Fermat Vì vậy, vào cuối mùa xuân năm 1993, chuyên đề chuẩn bị kết thúc, Andrew Wiles gần hoàn tất việc Anh phải vật lộn với trở ngại cuối Wiles chứng minh hầu hết đường cong elliptic modula số lại chưa thể chứng minh Anh nghĩ vượt qua khó khăn lạc quan Wiles cảm thấy đến lúc cần phải nói chuyện thêm với người khác để tìm hiểu sâu khó khăn cuối mà anh phải đối mặt Vì thế, anh trao đổi với đồng nghiệp khác Khoa Toán Trường Đại học Tổng hợp Princeton, giáo sư Peter Sarnak, yêu cầu ông ta phải giữ kín “Tôi nghĩ chứng minh Định lý cuối Fermat”, anh nói khiến cho Sarnak sửng sốt “Đó điều tin được”, sau Sarnak nhắc lại “Tôi kinh ngạc, phấn khởi, bối rối Tôi muốn nói nhớ, đêm hôm khó ngủ” Vậy có hai bạn đồng nghiệp cố gắng giúp Wiles hoàn tất chứng minh anh Mặc dù chẳng biết cụ thể nhà toán học làm người ta linh cảm thấy điều Mặc dù Sarnak khẳng định không người biết điều thông qua cả, sau anh thừa nhận vô tình “có lẽ chút bóng gió ” Khâu cuối toán Vào ngày tháng năm 1993, Andrew Wiles ngồi phòng làm việc với tâm trạng khó chịu Hình số đường cong elliptic vốn lánh xa anh chẳng lại gần chút Anh chưa thể chứng minh chúng modula Wiles cần chúng phải modula anh chứng minh tất đường cong elliptic (bán ổn định) modula Định lý cuối Fermat suy từ Làm điều hầu hết đường cong elliptic bán ổn định kết toán học lớn lao lý thuyết này, chưa đủ để anh đạt mục đích Tạm ngừng công việc nghiên cứu căng thẳng mà chưa đến đâu để nghỉ ngơi chút ít, Wiles xem lại báo cũ người thầy đáng kính Barry Mazur, Trường Đại học Harvard Mazur có khám phá đặt móng cho lý thuyết số Những kết ông truyền cảm hứng cho nhiều chuyên gia lĩnh vực này, kể Ribet Frey, người mà công trình họ mở đường cho cố gắng Wiles Bài Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội báo Mazur mà Wiles đọc lại mở rộng lý thuyết iđêan khởi đầu Kummer Dedekind, tiếp tục nhà toán học thứ ba kỷ XIX - Feldinand Gotthold Eisenstein (1823- 1852) Mặc dù sớm, Eisenstein có cống hiến quan trọng cho phát triển lý thuyết số Thậm chí, Gauss nói, người ta trích dẫn: “Chỉ có ba nhà toán học thời đại: Archimedes, Newton Eisenstein” Bài báo Mazur iđêan Eisenstein có dòng làm cho Wiles ý Mazur nói chuyển từ tập đường cong elliptic đến tập khác Phép chuyển phải thực gắn liền với số nguyên tố Điều Mazur nói có nghĩa ta làm việc với đường cong elliptic dựa số nguyên tố biến đổi chúng cho ta nghiên cứu chúng cách thay số số nguyên tố Phép chuyển thành điều mà Wiles cần Anh bị bế tắc chứng minh lớp định đường cong elliptic dựa số nguyên tố modula Và đến đây, Mazur nói ông chuyển chúng thành đường cong dựa số nguyên tố 5, mà đường cong dựa số Wiles chứng minh modula Như vậy, phép chuyển thành thủ thuật cuối Điều cho phép biến đổi đường cong elliptic dựa số khó nghiên cứu thành đường cong dựa số biết modula Một lần nữa, ý tưởng tuyệt diệu nhà toán học khác lại giúp Wiles chiến thắng trở ngại tưởng vượt qua Andrew Wiles cuối hoàn tất việc Wiles thu xếp thời gian thật tuyệt vời Vào tháng sau, tức tháng Sáu, thầy hướng dẫn cũ anh John Coates chủ trì hội nghị lý thuyết số Cambridge Tất nhà toán học có tên tuổi lĩnh vực lý thuyết số có mặt Cambridge vốn thành phố quê hương anh nơi anh học chương trình sau đại học Phải nơi lý tưởng để anh trình bày chứng minh Định lý cuối Fermat? Lúc Wiles phải chạy đua với thời gian Anh cần xếp lại tất việc làm để chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama đường cong elliptic bán ổn định Điều có nghĩa đường cong Frey không tồn Và đường cong Frey không tồn có nghĩa không tồn nghiệm phương trình Fermat với n >2 Định lý cuối Fermat chứng minh Bài viết đầy đủ Andrew Wiles dài 200 trang Anh hoàn tất lúc để kịp bay sang nước Anh Khi thuyết trình cuối anh kết thúc, anh trở nên bật kỳ tích trước Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội tràng pháo tay vang dội, ống kính camera bừng sáng đông đảo phóng viên Công việc Bây lúc tổng duyệt lại toàn chứng minh Thông thường, kết toán học hay phát minh khoa học muốn công nhận phải gửi đăng tạp chí có uy tín Các nhà khoa học thường công bố công trình tạp chí chuẩn mực Các tạp chí có trách nhiệm gửi báo đến chuyên gia thuộc lĩnh vực phù hợp để họ xem xét nội dung báo, xác định xem kết nghiên cứu có không báo có đáng công bố hay không Những công trình khoa học đăng tạp chí có uy tín ví bánh mì bơ giới khoa học Quyền lợi thăng tiến, hay thông thường, bậc lương việc tăng lương nhà khoa học hoàn toàn phụ thuộc vào báo công bố tạp chí danh tiếng Nhưng Andrew chọn phương pháp khác Thay cho việc gửi chứng minh đến tạp chí toán học chuyên ngành hầu hết nhà khoa học thường làm, anh trình bày hội nghị Có thể có hai lý Suốt năm dài tìm chứng minh, Wiles luôn phải giữ bí mật Nếu anh gửi đăng chứng minh tạp chí trước tiên viết anh gửi tới phản biện tạp chí lựa chọn số người biên tập viên tiết lộ bí mật giới Cũng Wiles lo ngại biết chứng minh anh họ đánh cắp cách hay cách khác gửi đăng thành công trình họ Thật đáng tiếc điều xảy khoa học Lý thứ hai Wiles muốn làm cho thính giả thêm hồi hộp theo dõi anh trình bày chứng minh Cambridge Mặc dù kết trình bày hội nghị, công trình phải gửi xin ý kiến phản biện Những bước chứng minh phải xem xét lại thật kỹ lưỡng, tức là, chuyên gia lý thuyết số phải kiểm tra lại chứng minh Wiles, dòng một, để khẳng định anh thực đạt điều mà anh muốn chứng minh Một kẽ hở lớn phát Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Bài báo 200 trang Wiles gửi cho nhiều chuyên gia hàng đầu lý thuyết số Ngay lập tức, số chuyên gia quan tâm nhìn chung nhà toán học cho phép chứng minh Tuy nhiên, họ phải chờ lời phán nhà chuyên môn “Ồ, tin chứ!”, Ken Ribet trả lời hỏi xem anh có tin chứng minh Wiles không “Tôi chuyên gia nói sau họ đọc xong chứng minh không thấy sử dụng Hệ thống Euler” Một số chuyên gia chọn để làm phản biện cho chứng minh Wiles Nick Katz, người bạn anh Princeton Giáo sư Nick Katz giành trọn hai tháng, tháng tháng năm 1993, không làm hết việc nghiên cứu toàn chứng minh Hàng ngày, Katz dính vào bàn làm việc cẩn trọng đọc dòng, ký hiệu toán học, phép suy diễn logic để bảo đảm chứng minh hoàn hảo chấp nhận nhà toán học họ đọc chứng minh Hàng ngày, Katz gửi thư điện tử hai lần cho Andrew Wiles (vì anh xa Princeton vào mùa hè đó) hỏi: “Anh muốn nói dòng trang này?” “Tôi không hiểu cách phép suy diễn lại suy từ phép suy diễn nêu phần trên”, v.v Wiles trả lời lại thư điện tử vấn đề đòi hỏi phải giải thích chi tiết anh gửi fax câu trả lời cho Katz Một hôm, duyệt xong khoảng hai phần ba thảo dài lê thê Wiles, Katz thấy có vấn đề Những câu trả lời trước Wiles làm cho Katz hoàn toàn thỏa mãn lần không Để trả lời câu hỏi Katz, Wiles gửi thư điện tử Katz phản hồi ngay: “Tôi không hiểu, Andrew ạ” Vì vậy, lần Wiles phải gửi fax để làm rõ mối liên hệ logic Katz không thỏa mãn Đơn giản có điều không ổn Đây chi tiết mà Wiles Katz xem xét kỹ lưỡng hồi mùa xuân Wiles giảng “chuyên đề” Họ cố gắng khắc phục khó khăn kẽ hở chứng minh Wiles qua mặt hai người Nếu nghiên cứu sinh khác mà tiếp tục khóa học nghiên cứu sinh góp phần giúp hai người phát kẽ hở Khi mà Katz phát nhầm lẫn nhà toán học khác giới nhận vấn đề không ổn chứng minh Wiles Đơn giản khâu không thấy sử dụng Hệ thống Euler không làm Không có Hệ thống Euler, xem tổng quát hóa công trình Flach KolyvaĐịnh lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội gin, Công thức số lớp Không có Công thức số lớp “đếm” biểu diễn Galois đường cong elliptic để so sánh với dạng modula giả thuyết Shimura-Taniyama không chứng minh Một giả thuyết Shimura-Taniyama mà chưa chứng minh chưa có chứng minh cho Định lý cuối Fermat Nói cách ngắn gọn, thiếu vắng Hệ thống Euler làm cho điều sụp đổ giống nhà giấy Nổi đau khổ Andrew Wiles trở lại Princeton vào mùa thu năm 1993 Anh bối rối, bực mình, cáu giận, thất vọng buồn bã Wiles hứa hẹn với giới chứng minh Định lý cuối Fermat anh chưa hoàn tất Trong toán học hầu hết lĩnh vực khác, thực chất có giải thưởng “loại hai” “khuyến khích” Wiles chán nản quay gác xép cố gắng hoàn tất chứng minh “Lúc này, anh giấu giới điều bí mật”, Nick Katz nhớ lại, “và nghĩ anh cảm thấy bực bội điều đó” Các đồng nghiệp cố giúp Wiles, kể người sinh viên cũ anh Richard Taylor giảng dạy Cambridge đến Princeton để cố giúp anh hoàn tất chứng minh “Bảy năm đầu làm việc mình, hào hứng với phút một”, Wiles nhớ lại, “tôi đối mặt mà không ngần ngại chút với vấn đề khó khăn đến mức tưởng vô vọng Nhưng làm toán theo cách phô bày hết chắn phong cách Tôi không tình lặp lại lần nữa” Và kinh nghiệm cay đắng dằng dai bám lấy anh Hết kỳ nghỉ phép, Richard Taylor quay Cambridge mà Wiles chưa nhìn thấy đoạn kết đâu Đồng nghiệp nhìn anh với ánh mắt động viên, hy vọng, xen lẫn thông cảm người xung quanh thấu hiểu nỗi đau khổ anh Họ muốn biết Họ muốn nghe tin tức tốt lành không đồng nghiệp dám hỏi anh hoàn tất chứng minh đến đâu Ngoài Khoa Toán anh, giới hồi hộp đợi chờ Vào buổi tối ngày tháng 12 năm 1993, Andrew Wiles gởi thư điện tử đến nhóm tin tức máy tính Sci.math, tổ chức mà nhiều nhà lý thuyết số nhà toán học khác tham gia Nội dung thư sau: Xét trạng việc nghiên cứu giả thuyết “Shimura-Taniyama” Định lý cuối Fermat, muốn thông báo tóm tắt tình hình Trong trình Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội duyệt lại chứng minh, có nhiều vần đề nảy sinh hầu hết giải quyết, song trường hợp riêng chưa giải Tôi tin hoàn tất việc ngày gần cách sử dụng ý tưởng giải thích thuyết trình Cambridge Vì nhiều việc phải làm thảo nên chưa thể đưa công bố Trong chuyên đề Princeton bắt đầu vào tháng trình bày đầy đủ công trình Andrew Wiles Việc diễn sau Nhưng Andrew Wiles lạc quan sớm Cuối chuyên đề mà anh dự kiến trình bày Princeton chưa đưa giải pháp Sau năm trôi qua kể từ thắng lợi ngắn ngủi Cambridge, Andrew Wiles gần từ bỏ hy vọng muốn quên chứng minh khiếm khuyết Buổi sáng thứ Hai, ngày 19 tháng năm 1994, Wiles ngồi bàn làm việc Trường Đại học Tổng hợp Princeton với chồng tài liệu bày la liệt xung quanh Anh định xem lại phép chứng minh lần cuối trước xếp lại từ bỏ hy vọng chứng minh Định lý cuối Fermat Wiles cần phải tìm cho điều ngăn cản anh xây dựng Hệ thống Euler Anh muốn biết, dù để thỏa mãn tò mò cá nhân mình, anh thất bại Tại lại Hệ thống Euler đó? Anh muốn xác định xác chi tiết kỹ thuật làm cho toàn vấn đề đổ bể Anh thấy dù phải từ bỏ chứng minh chí anh phải có câu trả lời sai Wiles nghiên cứu báo nằm trước mặt mình, tập trung cố gắng cao độ khoảng chừng hai mươi phút Và lúc anh thấy xác lại hoàn tất công việc Cuối anh hiểu sai khâu “Đó thời điểm quan trọng toàn đời nghiên cứu tôi”, sau anh kể lại cảm giác “Đột nhiên, hoàn toàn bất ngờ đến mức khó tin, có khám phá tuyệt vời Không có điều mà làm ” Chính lúc giọt nước mắt trào Wiles nghẹt thở xúc động Điều Wiles phát vào thời điểm định mệnh “tuyệt diệu không tả nổi, thật đơn giản tao bắt đầu chuyển sang không tin” Wiles phát điều làm cho Hệ thống Euler không dùng chứng minh lại điều làm cho phương pháp Lý thuyết Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội hoành Iwasawa mà anh bỏ bẵng năm trước lại áp dụng Wiles nhìn chằm chằm vào báo lúc lâu Chắc chắn mơ, anh nghĩ Điều tuyệt diệu đến mức khó tin Sau anh nói điều tuyệt vời cách giản đơn sai Nhưng phát quan trọng tuyệt vời đến cần phải Wiles đi lại lại phòng suốt Anh không rõ tỉnh hay mơ Chốc chốc anh trở lại bàn làm việc để xem xem điều phát kỳ diệu anh có không - Anh nhà ngủ tâm trạng đầy suy tư điều vừa khám phá Biết đâu sáng mai anh lại phát lỗi bước lập luận Một năm chịu sức ép từ giới, năm mà hết cố gắng đến cố gắng khác thất bại làm lung lay niềm tin Wiles Anh trở lại bàn làm việc trường vào buổi sáng hôm sau viên ngọc kỳ lạ mà anh vừa tìm thấy hôm qua nằm đó, đợi chờ anh Wiles viết cách chi tiết chứng minh có sử dụng phương pháp Lý thuyết hoành Iwasawa Cuối cùng, thứ đặt vào chỗ Cách tiếp cận mà anh sử dụng năm trước Anh nhận điều thấy đường Flach Kolyvagin mà anh chọn không phù hợp Bản thảo sẵn sàng để gửi Trong tâm trạng phấn chấn, Andrew Wiles ngồi vào bàn máy tính gửi thông điệp điện tử qua mạng internet đến nhiều nhà toán học khắp giới: “Hãy đợi bưu phẩm phát chuyển nhanh vài ngày tới” Như hứa với bạn Richard Taylor, người từ Anh sang để giúp anh sửa chữa chứng minh, báo với phần hiệu đính Lý thuyết Iwasawa mang tên hai người, Wiles đạt kết thực sau Taylor nước Trong tuần sau đó, nhà toán học nhận hiệu đính Wiles cho báo cáo mà anh trình bày Cambridge họ duyệt kỹ tất chi tiết Không tìm thấy lỗi lầm Lần này, theo cách thông lệ, Wiles gửi công trình hoàn tất công bố Thay làm Cambridge năm rưỡi trước, anh gửi báo đến tạp chí toán học chuyên ngành, Annals of Mathematics, nơi mà báo nhiều nhà toán học xem xét kỹ Quá trình đánh giá kéo dài vài tháng lần người ta không tìm thấy sai sót Số tạp chí Tháng năm 1995 đăng nguyên văn báo cáo Wiles trình bày Cambridge với hiệu đính Taylor Wiles Đến đây, Định lý cuối Fermat hoàn toàn chứng minh Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Lê Trung Kiên Có Fermat chứng minh được? Andrew Wiles mô tả chứng minh “phép chứng minh kỷ XX” Quả vậy, Wiles sử dụng công trình nhiều nhà toán học kỷ XX Anh sử dụng kết nhà toán học tiền bối Tất yếu tố công trình Wiles bắt nguồn từ kết người khác, nhiều người khác Vì vậy, chứng minh Định lý cuối Fermat thực thành tựu đông đảo nhà toán học kỷ XX nhà toán học trước thời đại Fermat Theo Wiles, Fermat có chứng minh đầu ông viết lời ghi tiếng bên lề trang sách Nhận định Wiles giả thuyết Shimura-Taniyama không tồn tận kỷ XX Nhưng liệu Fermat có cách chứng minh khác không? Câu trả lời có lẽ không Nhưng điều không hoàn toàn chắn Chẳng biết Mặt khác, Fermat sống 28 năm kể từ ông viết định lý lên lề trang sách, song không ông nói thêm điều định lý Có thể ông biết chứng minh định lý này; ông lầm cho phương pháp giảm vô hạn mà sử dụng chứng minh cho trường hợp đơn giản với n=3 áp dụng cho trường hợp tổng quát; đơn giản ông quên định lý chuyển sang làm việc khác Từ trái sang phải : Các nhà toán học John Coates, Andrew Wiles, Ken Ribet, Karl Rubin chúc mừng chứng minh Wiles Cambridge sau thuyết trình lịch sử Cuối cùng, việc chứng minh định lý hoàn tất vào thập niên 1990 đòi hỏi nhiều kiến thức toán học hẳn điều mà Fermat biết Bản Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội chất sâu xa định lý không chỗ có trình lịch sử xuyên suốt chiều dài văn minh nhân loại, mà lời giải cuối toán có nhờ áp dụng hợp tất lĩnh vực toán học Chính hợp lĩnh vực toán học tách rời cuối chinh phục định lý Và Andrew Wiles người thực công đoạn quan trọng cuối định lý việc chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama, yếu tố cần thiết để chứng minh Định lý cuối Fermat, toàn chứng minh có công lao nhiều người Và tất đóng góp cộng lại dẫn đến lời giải cuối Không có công trình Ernst Kummer lý thuyết iđêan, iđêan có công trình Barry Mazur Không có Mazur giả thuyết Frey giả thuyết quan trọng với đóng góp Serre chứng minh Ribet từ giả thuyết Shimura-Taniyama suy Định lý cuối Fermat Và có lẽ có chứng minh Định lý cuối Fermat giả thuyết Yutaka Taniyama đề xướng vào năm 1955 Hội nghị Tôkyô-Nikko, mà sau Goro Shimura chi tiết hóa hoàn thiện Hay chứng minh không theo quy trình trên? Tất nhiên, Fermat nêu lên giả thuyết uyên bác đến mức hợp hai ngành toán học khác Hay ông làm điều đó? Chẳng có chắn Chúng ta biết cuối định lý chứng minh chứng minh kiểm tra kiểm tra lại đến chi tiết nhỏ nhiều nhà toán học khắp giới Nhưng chứng minh phức tạp đại nên nghĩa tồn chứng minh đơn giản Trên thực tế, báo mình, Ribet hướng chứng minh Định lý cuối Fermat mà không cần chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama Và Fermat biết nhiều toán học “hiện đại”, công cụ đầy hiệu lực, mà kết nghiên cứu ông bị thất lạc (thực tế người ta chưa tìm thấy Diophantus Bachet mà lề trang sách Fermat viết khẳng định toán học tiếng mình) Vì vậy, liệu Fermat có “chứng minh tuyệt diệu” cho định lý hay không, chứng minh mà ghi hết lề trang sách, điều mãi bí mật ông Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Gerd Faltings, người có cách tiếp cận hoàn toàn khác với Định lý cuối Fermat Vào năm 1993, Andrew Wiles thất bại chưa tìm lời giải hoàn chỉnh cho toán, nhiều người ngại lúc Faltings tìm lời giải để vượt lên Ardrew Wiles Andrew Wiles vào thời điểm quan trọng buổi thuyết trình thứ ba Cambridge (tháng 6/1993), mà tất người nhận thấy rõ lời giải toán Fermat tầm tay Ken Ribet quán cà phê tiếng, nơi ông hoàn thành chứng minh từ giả thuyết Shimura-Taniyama suy Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Định lý cuối Fermat cần phải Trích dẫn Barry Mazur Bài báo quan trọng số báo Andrew Wiles, “Các đường cong elliptic modula Định lý cuối Fermat”, Annals of Mathematics, số 142, 1995, trang 443-551 , bắt đầu với khẳng định ghi lề sách tiếng La tinh Fermat định lý mình: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi Hanc marginis exiguitas non caperet Pierre de Fermat Tạp chí chí bán hết trước ngày xuất lần định giá 14 đôla Mỹ/cuốn LỜI TÁC GIẢ Trong chuẩn bị sách này, trích dẫn nhiều tư liệu lịch sử từ nguồn khác Tài liệu gốc hoàn chỉnh mà thích thú sách E.T Bell “Những người đàn ông làm toán” (dù không thích nhan đề có phân biệt giới tính thế, thiếu xác có hai nhà toán học nhắc đến sách phụ nữ; sách viết năm 1937) Rõ ràng nhà viết lịch sử toán học khác trích dẫn thông tin từ sách Bell, không nêu tên họ Tất nguồn tư liệu quan trọng mà sử dụng đề cập phần giải Ngoài ra, tham khảo báo có giá trị Jacquelyn Savani, Trường Đại học Tổng hợp Princeton (Tuần san Princeton, 6/9/1993) Tôi cám ơn bà gửi cho băng ghi chương trình phát đài BBC nói Định lý cuối Fermat Tôi xin cảm ơn C.J Mozzochi cung cấp số ảnh nhà toán học tham gia vào trình chứng minh Định lý cuối Fermat Tôi chân thành cảm ơn giáo sư Kenneth A Ribet, Trường Đại học Tổng hợp California Berkeley, dành cho vấn bổ ích để thu thông tin quan trọng công trình nghiên cứu ông dẫn đến chứng minh Định lý cuối Fermat Tôi biết ơn sâu sắc giáo sư Goro Shimura Trường Đại học Tổng hợp Princeton, người dành nhiều thời gian để giúp có tư liệu quan trọng công trình nghiên cứu ông giả thuyết thiếu ông chứng minh Định lý cuối Fermat Tôi vô cảm ơn giáo sư Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Gerd Faltings Viện Max Planck Bonn giáo sư Gerhard Frey Trường Đại học Tổng hợp Essen, Đức, dành cho vấn đầy ấn tượng lời góp ý sâu sắc Tôi cảm ơn giáo sư Barry Mazur Trường Đại học Tổng hợp Harvard giải thích cho khái niệm quan trọng Hình học số học Nếu sai sót sách hoàn toàn lỗi Tôi cảm ơn John Oakes, người xuất sách này, khích lệ ủng hộ Tôi cảm ơn Jill Ellyn Riley Kathryn Belden Nhà xuất “Bốn tường Tám cửa sổ” Và cuối cùng, biết ơn vợ tôi, Debra Amir D Aczel Tiến sĩ Amir D Aczel tốt nghiệp đại học ngành Toán sau nhận thạc sĩ khoa học Trường Đại học Tổng hợp California Berkeley Hiện ông phó giáo sư Thống kê học Trường Đại học Bentley thành phố Waltham thuộc bang Masachusetts Ông viết cho nhiều tạp chí có Tạp chí Nhà Kinh tế Mỹ, Tạp chí Tính toán Thống kê Tạp chí Dự báo Ông tác giả nhiều sách HẾT Định lý cuối Fermat https://sites.google.com/site/letrungkienmath