[r]
(1)Sở Giáo dục - đào tạo Thái Bỡnh
****
Đề thức
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp Môn thi: Toán
(thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1 ( 5®iĨm)
Cho biĨu thøc A = a4 + b4 + c4 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
Phân tích A thành tích c¸c thõa sè
XÐt dÊu cđa A a,b , c số đo cạnh tam giác
Bài 2 ( 4điểm)
Chứng minh khơng thể tìm đợc số ngun x , y , z thoả mãn: x y 3 y z z x 2003
Bài 3 (3điểm)
Cho x + y =
Chøng minh r»ng x2003 + y2003 x2004 + y2004.
Bài 4 ( 5điểm)
Đờng thẳng d qua trọng tâm G VAbc lần lợt cắt cạnh AB, AC tia CB M, N, P Chứng minh:
1)
AB AC
3
AMAN
2)
2 2
AB AC BC
9
AM.BMAN.CN BP.CP
Bài 5: (3điểm)
Cho hai điểm A B cố định Điểm M di động cho VMAB có góc nhọn Gọi H trực tâm VMAB, K chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB VMAB Tìm vị trí M để giá trị KM.KH ln nht
Hớng dẫn giải biểu điểm
Bài ý Nội dung Điểm
Bài
1 A = a
4 + b4 + c4 + 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 – 4a2b2
= (a2 + b2 - c2)2 – (2a2b2)2
= (a2 + b2 - c2 - 2a2b2) (a2 + b2 - c2 + 2a2b2)
= [(a- b)2 – c2)] [(a + b)2 – c2)]
(2)= (a - b – c)(a – b + c)(a + b- c)(a + b + c) Do a – b – c <
a – b + c > ; a + b – c > 0; a + b + c > => A >
1.5 Bµi
2
+.Ta cã
2x x y
x y x y
0 x y
Vậy x y x y chẵn
+ T¬ng tù y z y z; z x z x chẵn
+ x y 3 y z 5 z x x y y z z x (x y y z z x) y z z x chẵn, 2003 số lẻ (đpcm)
1
Bài
3 XÐt ( x
2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = x2003(x – 1) + y2003 ( y – 1)
= x2003(1 – y) + y2003 ( y – 1)
(do x – = – y)
VËy ( x2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = (1 – y) ( x2003 – y2003)
+.Gi¶ sư x y => x2003 y2003 vµ x 1 y
(1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)
+ T¬ng tù nÕu y x => y2003 x2003 vµ y 1x
(1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)
(dÊu b»ng x¶y x = y = 1)
0,5 1 0,5 Bµi
+.Vẽ thêm CC2, AA1; BB1 nh hình vÏ
+.Chøng minh VBB1D = VCC1D
=>
1
AB AC
AB AC 2AD 2.3AG
3
AMAN AG AG AG 2AG
2
2
+ Chứng minh tơng tự đợc :
CA CB
3
CN CP
+.Ta tÝnh :
2
2 2
1 2 A A BA A C BA
BA BC BA BC 2BA
BA BC
3
BM BP BG BG BG BG BG
=>
AB AC CA CB BA BC
9
AMANCN CP BM BP
AB AM BM AC AN CN BC BP CP
9
AM.BM AN.CN CP.BP
2 2
AB AC BC
9
AM.BMAN.CN CP.BP
(3)Bµi
5 +)+) KM.KH = KB.KAVAKH ~ VMKB
+)
2 2
KA KB AB
KA.KB
2
+) VËy KM.KH lín nhÊt b»ng
2
AB
4 khi
K lµ trung ®iĨm cđa BC
+.M nằm đờng trung trực AB cách K ( K TĐ AB) khoảng lớn
AB
2 để VMAB nhọn.
H
A B
M