de thi kiem tra toan 8

[r]

Sở Giáo dục - đào tạo Thái Bỡnh

****

Đề thức

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp Môn thi: Toán

(thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1 ( 5®iĨm)

Cho biĨu thøc A = a4 + b4 + c4 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)

Phân tích A thành tích c¸c thõa sè

XÐt dÊu cđa A a,b , c số đo cạnh tam giác

Bài 2 ( 4điểm)

Chứng minh khơng thể tìm đợc số ngun x , y , z thoả mãn: x y 3 y z z x 2003

Bài 3 (3điểm)

Cho x + y =

Chøng minh r»ng x2003 + y2003  x2004 + y2004.

Bài 4 ( 5điểm)

Đờng thẳng d qua trọng tâm G VAbc lần lợt cắt cạnh AB, AC tia CB M, N, P Chứng minh:

1)

AB AC

3

AMAN 

2)

2 2

AB AC BC

9

AM.BMAN.CN BP.CP

Bài 5: (3điểm)

Cho hai điểm A B cố định Điểm M di động cho VMAB có góc nhọn Gọi H trực tâm VMAB, K chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB VMAB Tìm vị trí M để giá trị KM.KH ln nht

Hớng dẫn giải biểu điểm

Bài ý Nội dung Điểm

Bài

1 A = a

4 + b4 + c4 + 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 – 4a2b2

= (a2 + b2 - c2)2 – (2a2b2)2

= (a2 + b2 - c2 - 2a2b2) (a2 + b2 - c2 + 2a2b2)

= [(a- b)2 – c2)] [(a + b)2 – c2)]

= (a - b – c)(a – b + c)(a + b- c)(a + b + c) Do a – b – c <

a – b + c > ; a + b – c > 0; a + b + c > => A >

1.5 Bµi

2

+.Ta cã

2x x y

x y x y

0 x y

 

    

 

Vậy x y x y chẵn

+ T¬ng tù y z  y z; z x z x chẵn

+ x y 3 y z 5 z x  x y  y z  z x (x y y z z x) y z       z x chẵn, 2003 số lẻ (đpcm)

1

Bài

3 XÐt ( x

2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = x2003(x – 1) + y2003 ( y – 1)

= x2003(1 – y) + y2003 ( y – 1)

(do x – = – y)

VËy ( x2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = (1 – y) ( x2003 – y2003)

+.Gi¶ sư x y => x2003  y2003 vµ x 1  y

(1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)

+ T¬ng tù nÕu y x => y2003  x2003 vµ y 1x

(1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)

(dÊu b»ng x¶y x = y = 1)

0,5 1 0,5 Bµi

+.Vẽ thêm CC2, AA1; BB1 nh hình vÏ

+.Chøng minh VBB1D = VCC1D

=>

1

AB AC

AB AC 2AD 2.3AG

3

AMAN AG  AG  AG  2AG 

2

2

+ Chứng minh tơng tự đợc :

CA CB

3

CN CP 

+.Ta tÝnh :

 2  2 2

1 2 A A BA A C BA

BA BC BA BC 2BA

BA BC

3

BM BP BG BG BG BG BG

  



      

=>

AB AC CA CB BA BC

9

AMANCN CP BM BP 

     

AB AM BM AC AN CN BC BP CP

9

AM.BM AN.CN CP.BP

  

  

2 2

AB AC BC

9

AM.BMAN.CN CP.BP

Bµi

5 +)+) KM.KH = KB.KAVAKH ~ VMKB

+)

2 2

KA KB AB

KA.KB

2



 

  

 

+) VËy KM.KH lín nhÊt b»ng

2

AB

4 khi

K lµ trung ®iĨm cđa BC

+.M nằm đờng trung trực AB cách K ( K TĐ AB) khoảng lớn

AB

2 để VMAB nhọn.

H

A B

M