Ebook Bài tập Vật lý đại cương (tập ba): Phần 2

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN.. Nguyên tử hiđrô chuyển động phát xạ phôtôn.. Tính bước sóng Đơbrơi có xác suất ỉớn nhất của phân tử.. 5.9. Thiết lập b[r]

THUYẾT NGUYỄN ĩử CỦA BO (BOHR) (Ngun tử hiđrơ)

TĨM TẮT Lí THUYẾT

1 Bấn kính quỹ đạo Bo thứ n

rn = n2r:, * 2

với ĨỊ = (4t is0) ——y = 0,53.10'^m ,

2 Mômen động lượng electron quỹ đạo Bo thứ n

3 Năng lượng electron quỹ đạo Bo thứ n

C h n g m đ ầ u

và

Ln = n h.

Rh n “ 2

n R số Rytbe

1 mee4

(4tcs0)2 4nh3 = 3,29.10lV ỉ

lượng Em nguyên tử phát phôtôn ; tần số xạ tương ứna ìà :

4 Khi electron chuyển từ mức lượng En xuống mức

E n - E m R R

h m2 „2

Ưng với m định, ta có dãy vạch quang phổ, chẳng hạn với :

.m = 1 (n = 2, 3, 4 , ) : dãy Layman, m = (n = 3, 4, 5,

m = (n = 4, 5y.6, m = (n “ 5, 6, ,

m = (n = 6, 7, 8,

.): dãy Banme, ): dãy Pasen, ) : dãy Bracket, ) : dẫy Pfun

Bài tập thí dụ 1

Giả t h iế t e le c t r o n t r o n g n g u y ê n tử h iđ r ô c h u y ể n đ ộ n g t r ê n q u ỹ đạo

Bo thứ n

1 Hãy tính vận tốc gia tốc cửa êlectrơn

2 Hãy tính mơmen từ êlectrơn tỉ số mơmen từ với

mômen động lượng

Bài giải

i Gọi V là vận tốc êlecưồn quỹ đạo thứ n, mômen động lượng electron (đối với tâm quỹ đạo) theo định nghĩa :

Theo thuyết Bo

Ỉ-TI m ev nr i r

rn = n2ĩỊ Ln = Tíh.

Vậy mevn(n ĨỊ) = nK vận tốc êlectrôn : =

m e rl n

V2 t?

r ■ „ 2 2

rn mjrj R X n ĨỊ

Gia tốc electron gia tốc hướng tâm, cho cơng thức :

hay

Yn 2 3 4 " meĩỊ n

Gia tốc tỉ ỉệ nghịch với luỹ thừa số nguyên.

2 Electron (điện tích -e ) chuyển động quỹ đạo Bo thứ n tương đương với dòng điện (chiều ngược với chiều chuyển động

V V

của êiectrơn) có cường ỉà i = e -~n— (trong —— tần số

27trn 2ĩĩrn

êlectrôn quỹ đạo)

Khi đó, mơmèn từ dịng điện tích cường độ với diện tích quỹ đạo

M n = iS = e 7ZTỈ - ^ •

n 27TT, 2

'T'U _ 2 _ ft

Thay rn - n Tị ; =

m e rl n

, , , ^

ta : M n - e — - n ĩ] = n —— 2 m e r ịĩi 2 m e

hay Mn = nụQ ,

với P-B = = 10_2 2Am2 môt số gọi manhêtơn Bo 2 m e

Cuối tính tỉ số

th

n

-M n _ 2me _ e L n ĩứi 2mẾ

Bài tập thí dụ 2

Bước sóng vạch dãy Layman vạch giới hạn dãy Banme quang phổ nguyên tử hiđrô ỉà A,ị = 12Ỉ5Â = 3650Â Biết ưị số e h, tính nãĩig lượng

iơn hố ngun tử hiđrơ

Nàng lư ợ n g iơn hố có trị số | Eị ị, Eị mức lượng electron quỹ đạo Bo thứ 1

Bài giải

il 2

Vỉ n J Vạch ứng với n =

(a) Tần số vạch dãy Banme

Vạch giới hạn ứng với n = 0 0 R

(b)

R

- y - Vị + v2-

ì 2

Từ tính :

lEl | = ^ - = h(v l + v2

>-í

72

B l Hãy xác định năng, động electron quỹ đạo Bo thứ

B.2 Xác định bước sóng vạch quang phổ' thứ ba dãy Banme

B.3 Xác định bước sóng lớn bước sóng nhỏ dãy hổng ngoại thứ quang phổ hiđrô (dãy Pasen)

B.4 Electron nguyên tử hiđrô chuyển từ mức lưựng thứ ba mức lượng thứ Tính lượng phơtơn phát

B-5 Xác định giá trị lớn giá trị nhỏ lượng

p h ô t ô n p h t r a t r o n g q u a n g p h ổ tử n g o i c ủ a n g ú y ê n tử h i đ r ô ( d ă y

Layman)

BỊ.6 Nguyên tự hiđrồ trạng thái (n = 1) kích thích ánh sáng đơn sắc có bước sống A xác định Kết quả, ngun tử hiđrơ phát ba vạch sáng quang phổ Xác định bước sóng ba vạch sáng nói rõ chúng thuộc dãy vạch quang phổ

B.7 Nguyên từ hiđrô trạng thái kích thích ứng với mức năng lượng thứ n (n > 1) Tính số vạch quang phổ phát ị

B.8 Phơtơn có ỉượng 16,5eV làm bật* êlectrơn khỏi ngun tử hiđrơ trạng thái Tính vận tốc electron bật khỏi nguyên tử

B.9 Nguyên tử hiđrô trạng thái (n = 1) hấp thụ phôi ôn ứng với xạ có bước sóng Ằ = 1215Ả Tính bán kính quỹ đạo êlectrơn ngun tử trạng thái kích thích

B.10 Xác định electron trạng thái kích thích đầu tiên.

B ll Tính độ thay đổi bước sóng phơtơn gây giật lùi nguyên tử hiđrô êỉectrôn chuyển từ mức E2 mức Ej,

ngayén tử ban đầu coi đứng yến

B.1 2 Nguyên tử hiđrô chuyển động phát xạ phôtôn Dùng

định luật bảo toàn động lượng bảo toàn nãng lượng, thiết lập công thức hiệu ứng Doppler ưong trường hợp phi tương đối tính

B.13 Nguyên tử hiđrô chuyển động, phát xạ phôtôn theo hướng hợp với hướng chuyển động nguyên tử góc = 45° Bức xạ tha ứng với chuyển mức lượng từ E2 xuống Ej

electron, có bước sóng 1215, Ỉ8Ả Tính vận tốc chuyển động

nguyên tử

I Hệ thức Đơ Brơi (de Brogỉie)

Hạt vi mơ có năng, lượng xác định E, động lượng xác định p tương ứng với sóng phẳng đơn sắc có tần số dao động V (hay tần số góc co = 2 t z v ) có bước sóng A (hay có vectơ sóng

C h n g 5

c HỌC LƯỢNG TỬ TĨM TẮT LÍ THUYẾT

E = hv = h(ù, (5 - la)

(5 - lb) p = -f ; p = Sk ;

2 Hệ thức b ất định Haizenbec (Heisenberg)

a) Hệ thức độ bất định toạ độ độ bất định động lượng vi hạt

Ax.Apx > ti (5-2)

b) Hệ thức độ bất định ,về lượng thời gian sống vi hạt

A E At > fì (5-3)

3 Hàm sóng y (r , í)

a) Hàm sóng phẳng đơn sắc

Vị/(r, t) = \ụ0 exp{"i(cot) - k.r)} = \ụ0 e x p |- - ^ ( E t — P -r ) ị (5-4) b) Ý nghĩa hàm sóng

Xác suất tìm vi hạt vi phân thể tích dxdydz = dV : ỊvựỊ2 dV - \y*\ịrdV

4 Phương trìn h Srơđinghe (Schrổđinger)

Phương trình Srơdinghe tổng qt (đối với vi hạt)

itt^ L = ( - Ì Ì a + u Ìv |/ ; (5-5)

ỡt V 2m )

n ế u h m t h ế n ã ĩ ig Ư c h ỉ p h ụ th u ộ c r , h m s ó n g VỊ/ c ó d n g h m s ó n g

cùa trạng thái dừng :

v(r, t) = e (5-6)

trong hàm Vịi(r) thoả mãn phương trình Srơđinghe đối VỚI trạng thái dừng :

{ +.2 _ )

Hvị/ = Ị —— A + U(r) U /, (5-7)

V 2m )

hay

Ay + ^ (E - Ư)IỊ/ = (5-7a)

h2

Hàm \Ị/(r) phải hàm đơn trị, ỉiến tục (nhiều đạo hàm cấp 1 liên tục) dần tới 0 r —> 0 0

5 Hạt vi mơ írong giếng thê chiểu bể cao vô hạn

Hạt c h u y ể n đ ộ n g th e o p h n g X t r o n g g iế n g t h ế n ă n g đ ịn h n g h ĩa b i :

tương ứng với lượng

- 2*2

E „ = ^ f ị n 2, (5-9)

2 ma n = 1, 2, 3,

6 Hiệu ứng đường ngầm

Hệ số t r u y ề n q u a h n g r o t h ế n ă n g h ìn h c h ữ n h ậ t bề d y a, c h i ề u

cao Ưc

7 Dao tử điều hoà (một chiều)

Hạt vi mô chuyển động theo phương X tác dụng trưcmg

Hàm sóng có dạng

(5-8)

(5-10)

T T _ 1 J _ * 2

Ư = — k x = m<0 X

2 2

Nãng lượng dao tử điều hoà

(5 -1 ) n = 0, 1,2,

Bài tập thí dụ 1

Hạt electron vận tốc đầu 0, gia tốc qua hiệu điện'* Ư Xác định bước sóng Đơbrơi êlectrơn sau gia tốc

2 trường hợp: !i

a) u = 51V *■

b) Ư = 510kV

Bài giải

C h o : H ỏ i: X ? ■ ■ ; 1

(coi biết e, me)

Ta biết công lực điện trường :

e = động êỉectrôn I

a) Trường hợp Ư = IV

Vì u khơng lớn nên vận tốc electron thu khộng lớn lắm,

t a c ó th ể sử d ụ n g cấc công th ứ c t r o n g c h ọ c p h i't n g đ ố i (c h ọ c

N íutơn):

2 2

e u B ^ - E L ,

2 2 me

Suy : p = *j2mceU Bước sóng Đơbrơi

X = - = , h ■ (5-12)

p ^/2 meeU Tính toán cụ thể :

Ư = 51V => e = 51eV - 0,51.1Cf4MeV

' 2

Chú ý 0,51MeV = Năng lượng nghi electron = mec , 77

vv

vV

.iiw

y-

vy

'tf

ta có ĩhể v iế t:

h ìo h

VỚI — — = A c h (Bước sóng Kơmtơm = 0,0243Â) mec

1 2

Vậy À, - — =■ A c = 1,72Ả

b) Trường hợp Ư - 510kV

e = 510keV = 0,51MeV,

nghĩa : động êlectrôn = lượng nghỉ êlectrôn Vậy, phải áp dụng học tương đối tính, động nãng electron

.2 ỉ _ 1 1'= Í»ĨT

suy r a :

c2 eư + mec2

eư + mec2

Từ tính động lượng êlectrôn : „ _ mev

mecJeƯ(eƯ + 2 mec2) eư - - X —

eU + mec2

+ mec,2 mec2

(5-13) c

X - ~ - hc

p ^eU(eU + 2 mec2) Theo đầu e = 0,51 MeV = mec2

Vậy k = ■ - — ■■ = -J=r A c - ,014Â

^ m ec2 (m ec2 + 2m ec2)

Bài tập thí dụ 2

Động electron ngun tử hiđrơ có giá trị vào cỡ lOeV Dùng hệ thức bất định đánh giá kích thước nhỏ nguyên tử

Bài giải

Theo hệ thức bất định Haizenbec ;

AxApx > Ỹì,

Giả sử kích thước ngun tử /, vị trí êlectrơn theo phương X xác định b i:

0 < X < /

/

n g h ĩ a l : À x « — *

Từ hệ thức bất định suy : — ApY > h

2 *

/ > — ■ (*)

APx

Rõ ràng độ bất định Apx vượt giá trị đông ỉượng p Apx < p,

trong động lượng p liên hệ với động T hệ thức : p = J 2 meĩ ,

vậy : Apx < y/2meT

Trong (*) ta thay Apx giá trị lớn nó, giá trị nhỏ / cho :

2 h

min

Tính /min = 1,24.10 1 0m

Bài tập thí dụ 3

Dịng hạt electron có lượng xác định (năng lượng hạt

b ằ n g E) c h u y ể n đ ộ n g th e o p h n g X từ t r i s a n g p h ả i đ ế n g ặ p m ộ t

hàng rào nàng xác định b i:

Ư = 0

ư 0 ( ư0 < E)

X <

X > 0

Hãy xác định hệ số phản xạ hệ số truyền qua hàng rào dịng electron

Bài giải

Trước hết ta giải phương trình Srơđinghe để xác định hàm sóng êlectrơn

Vì hàm u có hai giá trị khác nên ta tìm hàm sóng \ị/(x) electron hai miền khác

-I

k E

n

»-Uo

o

Hình ỉ

m iề n I : X < ; Ư = ,

miền II : X > ; u =

Trong miền I, hàm sóng vị/ị(x) thoả mãn phương trình :

2 mf

X

dx2 80

phương trình có nghiệm tổng qt : ¥ [ (x) = Aelkx + Be-ikx

SỐ hạng Aelkx mơ tả sóng phẳng truyền từ trái sang phải (sóng tới) o cịn số hạng B'e lkx mơ tả sóng truyền từ phải sang trái (sóng phản xạ miền I)

Trong miền ĨI hàm sóng Iị/Ịi(x) thóả mãn phương trình :

VI E > u nên đặt.:

Ỉ ^ - ( E - U0 ) - (kị : số thực dương)

n :

Phương trình có nghiệm tổng q u t: = CeiklX + D e 'iki Y

vì miền II có sóng ưuyền từ trái sang phải (sóng truyền qua) nên ta phải cho D = nghĩa :

VlI(x) = Ceik"x

Để tìm liên hệ hệ số A, B, c ta viết điều kiện liên

tụ c c ủ a h m s ó n g v c ủ a đ o h m c ấ p c ủ a h ậ m s ó n g t i X = :

VĩCO) = \Ị/n (0), -d\ị/x(0> _ d\Ị/n (0 )

dx2 n2

dx dx

Ta hệ thức : A + B = c , k ( A - B ) = k Ị C

S-VLĐC.T3-C0-ÍU.T 81

và

Từ suy :

A + B k A - B ” q ’ B k - k} A k + k | ,

Tính hệ số phản xạ R : theo định nghía

Mật độ dịng.hạt p h ản xạ

nghĩa l :

Suy :

Cuối

R

R

R =:

Mật độ dòng hạt tới IbP

Ia I2 ’

f k - k , f = 1 _ Ỉ Lk

\2

R V E

1 +

1 2

Hệ số truyền qua D tính cơng thức

Ị r - k - , ' 2 D = 1 - R = - k - k Ị

k + ki

hay 4kki

( k + k i ỹ

(5-14)

(5-15)

BÀÍ T Ậ P

5.1 Tính bước sóng Đơbrơi electron prôtôn chuyển động với vạn tốc 1 0ốm/s

5.2 Hạt electron tương đối tính chuyển động với vận tốc 2.108m/s Tính bước sóng Đơbrơi

5.3 Hạt electron khơng vận tốc đầu gia tốc qua hiệu điện thC.Ư Tính u biết sau gia tốc, hạt electron chuyển động ứng với bước sóng Đơbrơi 1Ả

5.4 Xác định bước sóng Đơbrơi hạt êlectrơn có động 1 keV

5.5 Xác định bước sóng Đơbrơi hạt prôtõn gia tốc (không vận tốc đầu) qua hiệu điện lkV 1MV

5.6 Hỏi phải cung cấp cho hạt electron thêm lượng

- 1?

bao nhiêu đế cho bước sóng Đơbrơi giảm từ 100.ỈO m đến (f 12m ?

5.7 Hạt nơtrôn động 25eV bay đến va chạm vào hạt đơtêri (hạt nhân cùa đồng vị nặng hiđrơ) Tính bước sóng Đơbrơi cùa hai hạt hệ quy chiếu khối tâm chúng

5.8 Xét phân tử khí hiđrơ cân nhiệt động nhiệt độ phịng Tính bước sóng Đơbrơi có xác suất ỉớn phân tử

5.9 Thiết lập biểu thức bước sống Đơbrơi X hạt tương đối tính chuyển động vởi động T Với giá trị T, sai khác giữa X tương đối tính X phí tương đối tính khơng q ỉ % hạt êlectrơn hạt prơtơn

5.10 Tính độ bất định toạ độ Ax hạt electron nguyên tử hiđrô biết vận tốc electron V = 1,5.106m/s độ bất định vận tốc Av = 10% V So sánh kết tìm với đường kính

d quỹ đạo Bo thứ xét xem áp dụng khái niệm quỹ đạo cho trường hợp kể khơng

5.11 Hạt electron có động T = 15eV chuyển động ĩrong giọt kim loại kích thước d = 10 6m Tính độ bất định vận tốc (ra %) cùa hạt đó.

5.12 Hạt vi mơ có độ bất định động lượng 1% động lượng Tính tỉ số bước sóng Đơbrơi A độ bất định toạ độ Ax hạt dó

5.13 Cho biết độ bất định toạ độ hạt vi mô bước sóng À n

Đơbrơi nó, tính — động lượng p vi hạt p

5.ỉ Dùng hệ thức bất định, đánh giá Iiăng lượng nhỏ Emin electron

1) Chuyển động giếng chiều bề rộng / 2) Chuyển động ngun tử hiđrơ có kích thước / = 1Â

5.15 Hạt vi mơ có độ bất định vị trí cho Ax = XỊ2% với X ỉà bước sóng Đơbrơi hạt Chứng minh độ bất định vận tốc hạt Av « V.

5.16 Hạt vi mơ khối lượng m chuyển động trường 1

chiều Ư = — kx (dao tử điều hoà) Dùng hệ thức bất định, xác định 2

giá trị nhỏ nhấĩ ỉượng

5.17 Dùng hệ thức bất định, xác định giá trị nhỏ lượng electron ngun tử hiđrơ-và tính khoảng cách hiệu dụng từ electron đến hạt nhân

5.18 Hạt chuyển động giếng chiều hình chữ nhật, chiều cao vơ cùng, có lượng xác định Kết quả, động lượng hạt có bình phương mơđun xác định p = 2mE Mặt khác hạt chuyển động miền hữu hạn có kích thước a bề rộng giếng Nói cách khác : Ax < 00 Hỏi có mâu thuẫn với hệ thức

bất định ?

5.19 Dùng hệ thức bất định AE.At h xác định độ rộng mức

nâng lượng êlectrôn nguyên từ hiđrô trạng th i : a) Cơ (n = 1)

b) Kích thích ứng với thời gian sống T » 10 8S. 84

sống nguyên tử trạng thái kích thích T ~ ỉ ( r 8s bước sóng

phơtơn phát Ằ = 0,6ịxm '

5.21 Viết phương trình Srơđinghe đối vớì hạt vi mộ :

7 X ỉ 2

a) Chuyển động chiều trường Ư = — kx ;

b) Chuyển động trường tĩnh điện Culống

Ư = - k Ze

2 í

=

4t ĩ£,'0 /

c) Chuyển động không gian hai chiều tác dụng

1 2

trường u = —kr .

5.22 Dựa vào phương trình Srơđinghe vi hạt chuyển động dỸ

môt chiều, kết luân W phải liên tuc dx

5.23 Hạt giếng nãng chiều, chiều cao vô cùng 0 < X < a,

co X < ; X > a Ư(x) =

a) Hạt trạng thái ứng vớí n = Xác định vị trí ứng với cực đại cực tiểu mật độ xác suất tìm h t;

b) Hạt trạng thái n = Tính xác suất để tìm hạt có vị trí

khoảng - < X < — ;

c ) Tìm vị t r í X t ì đ ó x c s u ấ t t ì m hạt ỏ c c trạng t h i n = v

n = 2 nhưnhau ;

d) Chứng minh : '

= s mn

0 m ^ n (kí hiệu Kronecker) 1 m = n

với 5 m n =

85

tO Chứng minh trạng thái n, số điểm nút mật độ xác suất tìm hạt (tức điểm 'mật độ xác suất = 0) n + 1

5.24 Dòng hạt chuyển động từ ưái sang phải qua hàng rào bậc thang

Giả sử lượng hạt E > Ư0, biết hàm sóng hạt tới cho b i:

a) Viết biểu thức hàm sóng phản xạ hàm sóng truyền qua ;

b) Tính bước sóng Đơbrơi hạt b miền I (x < 0) II (x > 0) Tính tỉ số n = Xị/XịỊ (chiết suất sóng Đ ơbrơi);

c) Tìm liên hệ hệ số phản xạ R chiết suất n

5.25 Khảo sát truyền dòng hạt từ trái sang phải qua hàng rào bậc thang

với giả thiết lượng hạt E < Ư0

a) Tìm hàm sóng hạt miền I (x < 0) miền II (x > 0) b) Tính hệ số phản xạ hệ số truyền qua

Giải thích kết tìm

5.26 Khảo sár truyền cùa dòng hạt từ trái sang phải qua hàng rào bậc thang bề cao vô

u = X < U0 X >

í V2 mE

k = — ——

Ư = X < 0 X >

a) Tim hàm sóng h t ;

b) Tính'hệ số phản xạ hệ số truyền qua : giả sử hạt có nãng lượng xác định E

5.27 Khảo sát hạt vi mô giếng chiều đối xứng có bề cao hữu hạn

u =

Ư X < 0 0 < X < a X > a

Giả sử lượng hạt E < Ư0

5.28 Hàm sóng dao tử điều hồ chiều khối lượng m trạng thái có dạng :

¥ (x ) = Ae-01*2,

trong A hệ số chuẩn hố, a số dương Dùng phương trình Srơđinghe tính a tìm lượng tương ứng với trạng thái của dao tử điều hồ.

5.29 Hạt vi mơ giếng chiều có bề cao vơ (bài tập 5.23) Tính giá trị trung bình

1

a) X ; b) x~.

5.30 Xét phương trình Srơđingơ trạng thái dừng khơng gian

m ộ t c h iề u :

Ư = ư(x) không phụ thuộc t

Chứng minh có nghiệm (p(x) cho X ± 00 : <p(x) —» 0 nghiệm phải'khơng suy biến (khơng suy biến nghĩa hàm sóng ứng với giá trị lượng sai khác hệ số nhân)

5.31 Giải phương trình Srơđingơ chiều cho vi hạt chuyển động giếng

Ư - co X < ( I )

ư = 0 < X < a (II)

[ u = X > a (III)

Chương 6

NGUN TỬ-PHÂN TỬ

TĨM TẮT Lí THUYẾT

1 Nguyên tử hiđrô

a) Phương trình Srơđinghe electron ngun tử hỉđro

trong tọa độ cẩu (giả thiết hạt nhân đứng yên). > A r2 ^ U _ i - _

r2 dĩ t, dr J J sinO ae

8 í sin

0

.-—-ae J

+

+ 1

v i: k0 =

rsin 0 ỡ(p 1

Ở2Ỹ 2me e2 - T,

+ ~ (E + k ~ ) ¥ = 0 ,

4718,

b) Hàm sóng electron :

* í W r <p) =.Rn/(r)Y /m (0 ,ọ ) , với n số lượng tử

n = 1, 2, 3, ;

(6-1)

(6-2)

88