Ôn tập Chương II. Đa giác. Diện tích đa giác

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản [r]

(1)

(2)

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn

2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký

3. Điền thơng tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc

4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hịm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hồn tất

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm để tiện truy cập

(3)

ĐA GIÁC

BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng hai đường chéo cùng xuất phát từ một đỉnh của ngũ giác đều chia góc đó thành ba góc bằng nhau. Từ đó suy ra mỗi đường chéo của ngũ giác đều ln song song với một cạnh

Xem lời giải tại:

http://tilado.edu.vn/520/84111

2. Muốn phủ kín mặt phẳng bởi những đa giác đều bằng nhau sao cho hai đa giác kề nhau thì có chung một cạnh. Hỏi các đa giác đều trên có thể có bao nhiêu cạnh?

3. Cho hình lục giác ABCDEF. Kẻ các đường chéo AC, AD, AE. Kể tên các đa giác có trong hình vẽ

4. Tính tổng số đo các góc của đa giác 12 cạnh

5. Tính số cạnh của đa giác có tổng số đo các góc bằng 21600

(4)

hai đa giác đều là 8

9. Tính số cạnh của mỗi đa giác

7. Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, EA và I, J lần lượt là trung điểm của MP, NQ. Chứng minh rằng IJ song song với ED và IJ = 1

4ED

8. Tính số cạnh của đa giác có 14 đường chéo?

9. Cho lục giác ABCDEF có các cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và FA song song và bằng nhau. Chứng minh rằng các đường chéo AD, BE, CF của lục giác cắt nhau tại một điểm O và O chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau

10. Tìm số n sao cho đa giác n cạnh, tồn tại một đa giác mà a. Tất cả các góc đều là góc vng

b. Tất cả các góc đều là góc nhọn

(5)

DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

DIỆN TÍCH TAM GIÁC

11. Tính diện tích tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Từ đó hãy tính diện tích tam giác đều cạnh a.

12. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Tìm vị trí của điểm M để hai tam giác AMB và AMC có diện tích bằng nhau

13. Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết

AB = AD = 15 cm, BC = 20 cm, CD = 40 cm.

14. Cho tam giác ABC, hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng:

a. SAMC

SABC = AM

AB

b. SAMN

SABC =

AM AN AB AC Xem lời giải tại:

15. Một hình thang cân có đường chéo vng góc với cạnh bên. Tính diện tích hình thang biết đáy nhỏ dài 14cm, đáy lớn dài 50cm

(6)

16. Tính diện tích một tam giác vng có chu vi bằng 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm

17. Cho tam giác ABC, O là điểm trong của tam giác, các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng: OA

AD + OB BE +

OC CF =

18. Cho tứ giác có độ dài các cạnh là a, b, c, d, diện tích là S. Chứng minh rằng:

S ≤

2(ab + cd).

19. Chia đoạn thẳng dài 15cm thành ba đoạn và dựng ba hình vng có cạnh là 3 đoạn ấy. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích ba hình vng đó

20. Cho tam giác nhọn ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng trong ba tam giác ADF, BDE, CEF tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1

4 diện tích tam giác ABC

(7)

DIỆN TÍCH HÌNH VNG, HÌNH CHỮ NHẬT

21. Diện tích một hình vng tăng thêm bao nhiêu phần trăm nếu mỗi cạnh của nó tăng thêm 20%

22. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S

a. Nếu tăng chiều dài lên 2 lần, chiều rộng lên 3 lần thì diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào?

b. Nếu tăng chiều rộng lên 2 lần thì phải thay đổi chiều dài như thế nào để có được hình chữ nhật mới có cùng diện tích?

23. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết rằng đường vng góc kẻ từ A đến BD, chia BD thành hai đoạn thẳng có độ dài 9 cm và 16 cm

24. Hình chữ nhật ABCD được chia thành bốn hình chữ nhật như ở hình bên Biết diện tích ba hình chữ nhật bằng 12 cm2, 16 cm2, 20 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD ?

(8)

25. Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng 100 m2, hình nào có chu vi nhỏ nhất?

26. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b(a ≥ b). Các tia phân giác của các góc A và B, B và C, C và D, D và A cắt nhau theo thứ tự E, F, G, H

a. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

b. Tính diện tích các tam giác CDG, ADH, BCF c. Tính diện tích tứ giác EFGH

27. Cho tam giác ABC vng cân tại A, AB = AC = 4cm. Xét hình chữ nhật ADEF có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính độ dài BD để hình chữ nhật ADEF có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó

28. Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm bất kì thuộc cạnh BC a. Chứng minh SAMD =

2SABCD

b. Giả sử AB = 3cm; AC = 5cm. Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC sao cho

SABM =

3SDCM

29. Hình vng ABCD có đường chéo bằng 4 cm. Trên đường chéo AC lấy điểm M sao cho AM = 1cm. Qua M, kẻ các đường thẳng vng góc với các cạnh của hình vng, chúng cắt AB và CD lần lượt ở E và F, cắt AD và BC lần lượt ở G và H Tính diện tích các tứ giác AEMG; MHCF

(9)

30. Hình chữ nhật ABCD có AB = 48cm, E là trung điểm của CD. Điểm F thuộc cạnh AB. Tính độ dài BF biết rằng diện tích hình thang BFEC bằng 1

3 diện tích hình chữ nhật.

DIỆN TÍCH HÌNH THOI, HÌNH THANG

31. Cho hình thoi có hai đường chéo bằng a và b. Tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thoi theo a và b

32. Tính diện tích hình thang vng ABCD ˆA = ˆD = 900 có AB = 3cm,

AD = 4cm và ^

ABC = 1350

33. Tính diện tích hình thang ABCD biết:

ˆA = ˆD = 900; ˆC = 450; AB = 1cm; CD = 3cm

34. Tính diện tích hình thang ABCD biết:

ˆA = ˆD = 900, AB = 3cm, BC = 5cm, CD = 6cm.

(10)

35. Cho hình thang cân ABCD (AB/ /CD, AB < CD). Kẻ đường cao AH. Biết

AH = 8cm, HC = 12cm. Tính diện tích hình thang ABCD

36. Một hình bình hành có hai cạnh bằng 12cm và 18cm, một đường cao bằng 10cm. Tính đường cao thứ hai theo đơn vị cm

37. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có A và B là các góc tù. Vẽ hình bình hành DABE. Gọi I là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng SIDE = SIBC

38. Hình thang ABCD có AD = 4cm, BC = 6cm, đường trung bình bằng 5 cm. Tính diện tích lớn nhất của hình thang

39. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo a. Chứng minh rằng SAOD = SBOC

b. Đặt SAOD = SBOC = n. Chứng minh rằng: SAOB + SCOD ≥ 2n

(11)

41. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Đường thẳng song song với hai đáy cắt AD, MN và BC lần lượt tại E, I và F. Chứng minh rằng I là trung điểm của EF

42. Cho hình bình hành ABCD có diện tích 720 cm2, O là giao điểm của hai đường chéo. Khoảng cách từ O đến CD bằng 9 cm, khoảng cách từ O đến AD bằng 18 cm. Tính các độ dài AD và CD

43. Cho tam giác ABC có AH là đường cao (H ∈ BC). Biết BC = 20cm, diện tích tam giác ABC bằng 120 cm2

a. Tính AH

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính diện tích tứ giác BMNC

44. Hình thoi ABCD có AC = 10cm; AB = 13cm. Tính diện tích hình thoi.

45. Hình thang ABCD (AB/ /CD) có: AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm, AC = 12cm

a. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt DC ở E. Tính ^

DBE

(12)

46. Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H là hình chiếu của O lên CD. Biết OH = 5cm; BC = 10cm. Tính diện tích hình thoi ABCD

47. Hình thang cân ABCD có AB/ /CD, AC⊥BD, đường trung bình bằng d. Tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó theo d

48. Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh AB, BC lần lượt lấy các điểm N và M sao cho nếu vẽ DE⊥AM tại E; DF⊥CN tại F thì DE = DF. Chứng minh rằng AM = CN.

49. Cho hình thoi ABCD có diện tích S = 96 cm2, đường chéo AC = 16cm. Tính khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh

50. Tính cạnh của hình thoi có diện tích bằng 24 cm2, tổng hai đường chéo bằng 14 cm

(13)

MỘT SỐ BÀI TỐN NÂNG CAO VÀ MỞ

RỘNG

BÀI TẬP

51. Cho tam giác ABC có diện tích S. Trên cạnh AB lấy điểm M và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = 2AM và AC = 3AN. Gọi O là giao điểm của BN và CM

a. So sánh diện tích tam giác AOB và BOC

b. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên OA. Chứng minh rằng

BD = CE

c. Tính diện tích tứ giác AMON theo S

52. Cho hình vng ABCD có cạnh 12 cm, O là giao điểm của AC và BD. Gọi G, H, I, K lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC và OD

a. Tứ giác GHIK là hình gì ? Tại sao ?

b. Tính diện tích phần hình vng ABCD nằm ngồi tứ giác GHIK

53. Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm của AB. Qua A kẻ đường thẳng song song với ID cắt CD tại E, qua B kẻ đường thẳng song song với IC cắt CD tại F. Biết diện tích tứ giác ABCD là 60 cm2

a. Chứng minh rằng SIED = SIAD b. Tính diện tích ΔIEF

c. Gọi M là trung điểm của EF. Tính diện tích tứ giác AIMD

54. Cho hình vng ABCD cạnh AB = 4cm. Trên cạnh BC và CD lấy lần lượt các điểm M và N sao cho BM = CN = 1cm. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AD, DN, NM và AM. Tính diện tích các tứ giác AMND và EFGH

(14)

55. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho

AE = 2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE. Chứng minh rằng: a. SBOC = SAOC

b. OB = 3OE

56. Cho ΔABC có diện tích là S. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho AM = 2BM, BN = 2NC, CP = 2PA. Tính diện tích ΔMNP theo S.

57. Cho ΔABC. Lấy điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh AC, AB, BC sao cho

CM AC =

BP BC =

AN AB =

1

3. Gọi I là giao điểm của BM và CN. Gọi E là giao điểm của CN và AP. Gọi F là giao điểm của AP và BM. Chứng minh:

SΔEIF = SΔIMC + SΔFBP + SΔNEA

58. Cho ΔABC, ˆA = 900, AB = AC, BC = 36 cm. Vẽ hình chữ nhật MNPQ sao cho M ∈ AB, Q ∈ AC, N ∈ BC, P ∈ BC. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ?

59. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ BC. Gọi I là trung điểm của CD. Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB. Kẻ AH, BE vng góc với d (H, E ∈ d). So sánh SABCD và SABEH

(15)

60. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC = cm, ^

BDC = 450. Tính

SABCD = ?

61. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có độ dài hai đường chéo là BD = 3 cm và AC = 5 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD, biết MN = 2 cm Tính diện tích hình thang ABCD

62. Chứng minh rằng hai hình chữ nhật bằng nhau kích thước a b được xếp sao cho chúng cắt nhau tại 8 điểm thì diện tích phần chung lớn hơn nửa diện tích một hình chữ nhật

63. Cho các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, AC của ΔABC sao cho

AM AB =

BN BC =

CP

AC = m. Xác định m để ΔMNPcó diện tích nhỏ nhất.

64. Cho hình bình hành ABCD. Lấy M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh CD. Gọi P là giao điểm của AN và DM, Q là giao điểm của BN và CM. Chứng minh:

(16)

65. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Chứng minh rằng:

a. SABCD ≤

4(a + c)(b + d) b. SABCD ≤

4(a

2 + b2 + c2 + d2) Xem lời giải tại:

66. Cho ΔABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác sao cho AM BC + BM CA + CM AB đạt giá trị nhỏ nhất.

67. Cho ΔABC có BC = 8 cm. Lấy điểm M trên cạnh AC sao cho AM =

3AC. Gọi N là điểm thuộc cạnh BC, biết MN chia ΔABCthành hai phần thỏa mãn

SAMNB = 3SΔCMN. Tính BN, NC?

68. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao cho EG = 5AB (E nằm giữa B và G). Trên cạnh CD lấy hai điểm F, H sao cho FH =

3CD (F nằm giữa H và C). Gọi P là giao điểm của EH và FG. Biết SΔPHF − SΔPEG = cm2. Tính

SABCD = ?

(17)

69. Cho ΔABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD. So sánh độ dài hai đoạn thẳng FD và FC

70. Cho ΔABC có AB = AC = BC = a, điểm O tùy ý nằm trong tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ O tới các cạnh của tam giác khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O. Tính tổng khoảng cách đó theo a

71. Cho ΔABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và độ dài ba đường cao tương ứng là

ha, hb, hc. Điểm O bất kì trong ΔABC. Gọi khoảng cách từ O đến các cạnh có độ dài a, b, c lần lượt là x, y, z.

Chứng minh: x

ha + y hb +

z

hc =