[r]
(1)M«n thi : Toán )
Bài ý Nội dung Điểm
I 2,5
1 Tõ gi¶ thiÕt suy ab + bc + ca =1
Do 1+a2= ab+bc+ca+a2 =b(a+c)+a(a+c) = (a+b)(a+c) 0,25
T¬ng tù, ta cã : 1+b2=(a+b)(b+c) ; 1+c2=(a+c)(b+c) 0,25
Suy S = (a+b)(b+c)(b+c)( )
0,25
= a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) =2(ab+bc+ca)=2 0,25 Đặt n2-10n-312 =k2 , k N ⇔ (n-5)2- k2= 287
⇔ (n+k-5)(n- k-5) = 287=1.287=7.41
0,25 TH1: n+k - = 287 n - k -5 = ,khi n = 149 0,25
TH2: n+k - = -1 n - k -5 = - 287 ,khi n = -139 ( loại) 0,25
TH3: n+k - = 41 n - k -5 = ,khi n = 29 0,25
TH4: n+k - = -7 n - k -5 = - 41 ,khi n = -19 (loại) 0,25
VËy n cần tìm n = 149 n=29 0,25
II 2,5
1 Phơng trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m (1)
(1) ⇔ (x2+4x+3)(x2+4x-5) = m (2)
đặt y = x2+4x+4=(x+2)2 0 Khi đó, (2) trở thành :
(y-1)(y-9) = m ⇔ y2-10y+9-m = (3) 0,5
(1) cã nghiƯm ph©n biƯt ⇔ (3) cã nghƯm tho¶ m·n y1> y2>
⇔
¿ Δ'>0
S>0 P>0 ⇔ ¿16+m>0
10>0
9− m>0 ⇔−16<m<9
¿{ { ¿
Gäi x1,x2 hai nghiệm phơng trình : x2+4x+4 - y1=0
x3,x4 hai nghiệm phơng tr×nh : x2+4x+4 - y2=0
Ta cã: x1
+ x2+
1
x3+
1
x4=−1 ⇔
x1+x2
x1x2
+x3+x4
x2x4
=−1
0,5 a
(a+b)(a+c)+
b
(a+b)(b+c)+
(2)⇔
4− y1+
4
4− y2=1⇔
32−4(y1+y2)
16−4(y1+y2)+y1y2=1
⇔ 32+40
16+40+9−m=1 ( theo ViÐt) ⇔
¿
72=55−m m≠55
⇔m=−7 ¿{
¿
kết hợp với điều kiện -16 < m< ta có m =-7 giá trị cần tìm
0,5
2 Vì A(a;b) thuộc đồ thị hàm số y = x+n nên ta có b = a+n
Do m(a2+b2)+a+b = n ∀ n ⇔ m[a2+(a+n)2] +a+a+n = n ∀
n
⇔ 2ma2+2(mn+1)a+mn2 = (*) ∀ n
TH1: m = (*) trë thµnh 2a = ⇔ a = ∀ n
0,5 TH2 : m 0, Δ ’= (mn+1)2-2m2n2
Víi n = −
m Δ ’= - 2< 0.Do phơng trình (*)(ẩn a) vô nghiệm
Nh vËy m = giá trị cần tìm 0,5
III 1,5
TH1: Tất số : a1=a2= = a100=2
Ta cã thÓ chän 50 sè a1,a2, , a50 th× a1+a2+ + a50=2.50 =100 0,25
TH2: Cã Ýt nhÊt hai sè kh¸c Giả sử a1 a2
Đặt b0=a1,b1= a2, b2= a1+a2,b3 =a1+a2+a3,…, b99= a1+a2+…+a99
Ta cã < b0, b1 ,…, b99 < 200
Chia 100 sè nµy cho 100 , có hai khả xảy ra:
Cã Ýt nhÊt mét sè d b»ng
Giả sử :bm = 100qm với m 99 mà 0<bm<200 suy qm=1 vµ
bm=100 Khi ,ta chọn a1,a2, , am a1+a2+…+am= bm =100
0,5
Không có số d
Khi có tất 99 số d từ đến 99 mà có tất 100 số ;
(3)Gi¶ sư : bm = 100qm +r vµ bk = 100qk+r (m < k)
Suy <bk- bm = 100(qk- qm) < 200 ⇒ qk- qm= ⇒ qk=qm+1
VËy bk=100(qm+1)+r = 100 qm+r +100
Do bm > nªn bk >100 bk khác b0 b1(do b0=a1,b1=a2 100)
- NÕu k = ⇒ b2= a1+a2 = b0+b1= bm+100 víi m = hc m=1
⇒ mét hai sè b0 hc b1 b»ng 100 ⇒ a1=100 hc
a2=100
- NÕu k >2 ⇒ bm + am+1 +…+ ak = bm+100 ⇒ am+1 +…+ ak =
100
0,5
IV 2,0
1 Trong tam giác vuông AOM góc OAM = 300 nên AM=2OM.
Lại có : OA2=AM2- OM2 ⇒ 3OM2 = a2 ⇒ OM = a√3
Do AM= 2a√3
3 ⇒ MN=
2a√3
3 0,5
Qua O kẻ đờng thẳng song song với AM cắt tia NM H Ta có diện tích tam giác OMN S =
2 MN.OH
MỈt kh¸c OAM = HMO =300 (cïng phơ víi AMO)
⇒ OM=2OH OH= a√3
6 Do S =
2a√3
a√3 =
a2
6
(4)2
Tứ giác AOMI nội tiếp (vì I +O =1800) Suy AOI = AMI =450
Do OI tia phân giác góc xOy.Kẻ AI’ OI cắt Oy N’ Tam giác AON’ tam giác cân nên ON’=OA=a ⇒ điểm N’ cố định
Ta cã AI
AN= AI'
AN'=
1
2 NN// II mà II AN nên NN AN
tại N
Vậy N chạy tia N’z AN’ t¹i N’
0,5
Các điểm P,M,N’ nhìn AN dới góc vng nên năm điểm A,M,N’,N,P thuộc đờng tròn nên AN’P=AMP=450 Vậy điểm P chạy tia N’t OI N’.
Gọi giao điểm OI với N’P P’ Khi M trùng với O N trùng N’ Khi P trùng P’.Vậy P chạy tia P’t thuộc đờng thẳng
vu«ng gãc víi Oy ë N’ 0,5
V 1,5
Gọi S1,S2,S3,S lần lợt diện tích tam giác BOC,COA,AOB ,
ABC
Đặt S1=x2, S2=y2, S3=z2 suy S = x2+y2+z2
Ta cã AP
OP=
S S1
=x
+y2+z2
x2 ⇔
AO
OP +1=1+
y2+z2 x2 ⇔AO
OP =
y2+z2 x2 ⇔√
AO OP =√
y2+z2
x 0,5
H O
x
y
z t
A
M N’ I’
I
P N’
(5)T¬ng tù, ta cã : √BO
OQ=√
z2+x2
y ; √
CO OR=√
x2+y2 z Do √OA
OP +√ OB OQ+√
OC OR=¿
√y2+z2
x + √
z2+x2
y + √
x2+y2
z 0,5
y+z
√2x+¿
z+x
√2y+¿
x+y
√2z
1 √2(
y x+
z x+
x y+
z y+
x z+
y z)≥
6
√2=3√2
Tãm l¹i √OA
OP +√ OB OQ+√
OC
OR ≥3√2 0,5
Ghi :*Nếu học sinh giải cách khác mà cho điểm tơng ứng * Bài IV học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm điểm
Q
P A
R O
B