Råi sö dông tÝnh chÊt chia hÕt.[r]
(1)Phơng trình bậc ẩn I Khái niệm phơng trình Phơng trình bậc Èn.
1 VÝ dơ
VÝ dơ 1: Gi¶i phơng trình: a2x + b = a(x + b)
Gi¶i:
a2x + b = a(x + b) a2x + b = ax + ab a2x – ax = ab -b
ax(a – 1) = b(a -1) (1)
NÕu a 0, a 1 phơng trình có nghiệm nhÊt
Nếu a = (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm với x
Nếu a = (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm với x b = 0, phơng trình vơ nghiệm b ≠0
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
Giải:
Phơng trình có hệ số chữ mẫu thức Điều kiện để phơng trình có nghĩa a ≠ ±1 Với điều kiện này, phơng trình cho tơng với
(a+x)(a+1) – (a-x)(a – 1) = 3a Sau biến đổi ta đợc: 2ax = a (1)
NÕu a 0, ph¬ng trr×nh cã nghiƯm nhÊt
Nếu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm với x Kết luận: Nếu a ≠0, a ≠±1 , phơng trình có nghiệm
Nếu a = 0, phơng trình nghiệm với x Nếu a = ±1 , phơng trình vơ nghim
Bài tập vân dụng Bài 1: Tìm giá trị m cho phơng trình:
a) 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80 cã nghiÖm x = b) 3(2x + m)(3x + 2) – 2(3x + 1)2 = 43 cã nghiÖm x = 1.
Bài 2: Giải phơng trình sau: a) 315− x
101 +
313− x
103 +
311− x
105 +
309− x
107 +4=0
b) x − a a−4+
x+a −1 a+4 +
x − a
16−a2=0 c) x −b − c
a +
x − c − a b +
x − a −b c =3 d) x −1
a −1+ 1− x
1+a −
2x −1 1−a4=
2a2(x 1) a41
II Phơng trình chứa ẩn mÉu thøc. 1 VÝ dơ
VÝ dơ 3: Gi¶i phơng trình:
3 14x=
2 4x+1
8+6x
16x2−1
x=b a
a+x a−1−
a − x a+1=
3a a2−1
x=1
2
x=1
(2)Giải: Nghiệm phơng trình có, phải thoả mÃn điều kiện x ±
4
Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với: 3(4x + 1) = 2(1 - 4x) + (8 + 6x)
14x = x =
2
Gi¸ trị thoả mÃn điều kiện Vậy phơng trình cã nghiÖm nhÊt x =
2 VÝ dụ 4: Giải phơng trình:
3 5x 1+
2 35x=
4
(15x)(5x 3)
Giải: Điều kiƯn cđa nghiƯm sè, nÕu cã, lµ x ≠1
5; x ≠
Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với: 3(3 – 5x) + 2(5x – 1) =
Giải phơng trình này, ta đợc x =
5 Giái trị khơng thảo mãn điều kiện Vậy phơng trình cho vơ
nghiƯm
Bµi tËp vËn dơng Bµi 3: Giải phơng trình sau:
a) x+1 x2
+x+1−
x −1
x2− x
+1=
3
x(x4+x2+1) b) 5− x
4x2−8x+ 8x=
x −1 2x(x −2)+
1 8x −16
c) a
2a+2b+ a −b
2 bx =
a+b
4b − b
ax+bx d) x+xa+1
+a − x+11 x+10=
10
(x+a)(x+10) e) x+a
x −3−
x+3 x −4=2
Bài 4: Với giá trị a phơng tr×nh sau cã mét nghiƯm nhÊt? x − a2x −
1− x2+a= x2 x2−1 III Phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối
Khi giải phơng trình mà ẩn nằm dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét khoảng giá trị biến Cần nhớ năm vững lý thuyết sau:
1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối: |A|={− AA
2 Định lý dấu nhị thức bËc nhÊt ax + b (a ≠0) : NhÞ thøc cïng dÊu víi a x > − b
a , nhị thức trá dấu với a x < − b
a
Chøng minh:
XÐt ax+b
a = x + b a NÕu x > − b
a th× x + b
a > 0,
ax+b
a > 0, tøc lµ ax + b cïng dÊu víi a NÕu x < − b
a th× x + b
a < 0,
ax+b
a < 0, tøc lµ ax + b trái dấu với a => ĐPCM
Với A
(3)Chó ý r»ng − b
a nghiệm nhị thức Do định lý đợc phát biểu nh sau:
“ NhÞ thøc ax + b (a ≠0) cïng dÊu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái
dấu với a với trí trị x nhỏ nghiệm nhÞ thøc ”
3 VÝ dơ
VÝ dơ 5: Giải phơng trình: |x 3|+|x+2|=7
Gii: Lp bảng xét dấu ta đợc
x − ∞ -2 +∞
x – - ¿ - + x + - + + Nhìn bảng xét dấu ta có:
+ Nếu x < -2, x – < => |x −3| = – x x + < => |x+2| = -(x + 2), phơng trình có dạng – x – x – =7 <=> x = -3, thuộc khoảng xét
+ Nếu −2≤ x ≤3 , x – < => |x −3| = – x x + > => |x+2| = x + 2, phơng trình có dạng – x + x + = <=> 0x = 2, phơng trình vơ nghiệm
+ Nếu x > 3, x – > => |x −3| = x – x + > => |x+2| = x + 2, phơng trình có dạng x – + x + = <=> x = 4, thuộc khoảng ang xột
Vậy phơng trình có nghiệm x1 = -3; x2 =
Ví dụ 6: Giải phơng trình: |x 4|+|x 9|=5
Giải:
Cách 1: LËp b¶ng xÐt dÊu
x − ∞ +∞
x – - + ¿ + x – - ¿ -
+
Nhì bang xét dấu ta có:
+ Nếu x < 4, x – < => |x −4| = – x x - < => |x −9| = – x, phơng trình có dạng – x + – x = <=> x = 4, không thuộc khoảng xét
+ Nếu 4≤ x ≤9 , x – > => |x −4| = x – x - < => |x −9| = - x, phơng trình có dạng x – + - x = <=> 0x = 0, nghiệm với x thuộc khoảng xét, tức
4≤ x ≤9
+ Nếu x > 9, x – > => |x −4| = x – x - > => |x −9| = x - 9, phơng trình có dạng x – + x - = <=> x = 9, không thuộc khoảng xét
Vậy phơng trình có nghiệm 4 x 9
Cách 2: Viết phơng trình có dạng |x −4|+|9− x|=5
Chu ý tổng x – – x Nh tổng giá trị tuyệt đối hai biểu thức giá trị tuyệt đối tổng hai biểu thức ấy, điều xẩy (x – 4)(9 – x)
Giải bất phơng trình ta đợc 4≤ x ≤9
Bµi tËp vËn dụng Bài 5: Giải phơng trình sau:
a) |x −3|x=7
b) |x+3|=|5− x| c) |x|−|2x+3|=x −1
d) x −|x+1|+2|x −1|=0 e) |x|+|1− x|=x+|x −3| f) |x −1|−2|x −2|+3|x −3|=4
(4)Để giải phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử để đa giải phơng trình bậc ẩn
1 Ví dụ
Ví dụ 7: Giải phơng trình:
(x – 1)3 + x3 + (x + 1)3 = (x + 2)3
Gi¶i:
Sau biến đổi phơng trình ta đợc x3 – 3x2 – 3x – = 0
<=> x3 – – 3x2 -3x – = 0
<=> (x – 1)(x2 + x + 1) -3(x2 + x + 1) = 0 <=> (x2 + x + 1)(x – 4) = 0
V× x2 + x + 0, nên phơng trình có nghiệm x = 4.
Ví dụ 8: Giải phơng trình:
(x + 2)(x – 2)(x2 – 10) = 72
Gi¶i: (x2 – 4) (x2 – 10) = 72
Đặt x2 = y, phơng trình trở thành (y + 3)(y - 3) = 72
<=> y2 = 81 <=> y = ±9
+ Víi y = ta cã x2 – = <=> x = ±4
+ Víi y = -9 ta cã x2 – = - <=> x2 = -2, vô nghiệm. Vậy phơng trình có nghiệm x = ±4
* Chó ý:
Trong cách giải ta đặt ẩn phụ Khi giải phơng trình bậc bốn dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thờng đặt ẩn phụ y = x + a+b
2 Khi giải phơng trình đối xứng bậc chẵn, chẳng hạn ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = ta thờng đặt ẩn phụ y = x +
x .
Ví dụ 9: Giải phơng trình: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2.
Gi¶i:
Đặt x + = y, phơng trình trở thành: (y - 1)4 + (y + 1)4 = 2. Sau biến đổi ta đợc y2(y2 + 6) = 0, y = Vậy x = -4.
Ví dụ 10: Giải phơng trình sau: a) 2x3 + 7x2 + 7x + = 0
b) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + = 0.
* NhËn xÐt:
Hai phơng trình phơng trình đối xứng(Chú ý hệ số có tính đối xứng) Trong phơng trình đối xứng, a nghiệm
a cịng lµ nghiƯm.
Phơng trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm x = -1 Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa phơng trình bậc n cách đặt ẩn phụ y = x +
x .
Gi¶i:
a) Biến đổi phơng trình thành (x + 1)(x + 2)(2x + 1) =
Phơng trình có ba nghiệm: x1 = -1; x2 = -2; x3 = −1
2
b) C¸ch 1: Đa phơng trinh dạng (x 1)2(x2 x + 1) = Phơng trình có nghiệm x = 1.
Cách2: Chia hai vế phơng trình cho x2 (Vì x 0)ta đợc:
(x2 +
x2 ) – 3(x +
x ) + = Đặt y = x +
x th× x2 +
1
x2 = y
2 – 2, ta đợc: y2 – 3y + = nên y1 = 1; y2 = 2. Với y = 1, ta có x2 – x + = 0, vơ nghim
(5)Vậy phơng trình có nghiệm x =
Ví dụ 11: Giải phơng tr×nh:
x4 + x3 + x2 + x + = 0
Giải: Ta thấy x – x = khơng nghiệm phơng trình
Nhân hai phơng trình với x – ta đợc x5 – = hay x = 1, không thoả mãn điều kiện trờn
Vậy phơng trình vô nghiệm
Bài tập vận dụng Bài 6:Giải phơng trình sau:
a) x3 – 5x2 + 8x – = 0
b) 9ax3 -18x2 – 4ax + = (a lµ tham sè) c) x3 + x2 + = 0
d) (x – 1)3 + (x +2)3 = (2x + 1)3
Bài 7: Giải phơng tr×nh bËc bèn: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 24
c) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72 d) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 e) (6x + 7)2 (3x + 4)(x + 1) = 6
Bài 8: Giải phơng trình sau: a) (x2 4)2 = 8x + 1
b) (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 c) (x – 2)4 + (x – 6)4 = 82
d) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + = 0 e) 2x4 + x3 – 6x2 + x + 2=
Bài 9: Cho phơng tr×nh x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0
a) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình b) Giải phơng trình ứng với giá trị m
PhÇn II
Phơng trình bậc hai phơng trình bậc cao I/ Phơng trình bậc hai ẩn.
phần xin đa số tập đơn giản mà khơng nói sâu, tơi xin tập chung sâu phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng trình bậc cao) với số ph-ơng pháp giải
A/ Lý thut:
1/ C«ng thøc nghiƯm:
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0 ) (1) Ta cã Δ = b2 – 4ac ( Δ' = b’2 – ac)
(1) v« nghiƯm <=> Δ < ( Δ' < 0)
(1) cã nghiÖm kÐp <=> Δ = ( Δ' = 0) x1 = x2 = − b
2a (x1= x2 = − b '
a ) (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt <=> Δ > ( Δ' > 0)
x1 = − b+√Δ
2a ( x1 =
− b+√Δ'
a ) ; x2 =
− b −√Δ
2a ( x2 =
− b −√Δ'
a )
(1) cã nghiÖm <=> Δ ( Δ' 0)
2/ HÖ thøc Vi – Ðt:
Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th×: S = x1 + x2 = − b
a vµ P = x1.x2 = c a
3/ Hệ (nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai):
Phơng trình ax2 + bx + c = (a 0 )
(6)- NÕu a – b + c = th× phơng trình có nghiệm x1 = -1; x2 = c a
4/ Hệ thức Vi – ét đảo:
NÕu hai sè x, y tho¶ m·n x + y = S x.y = P hai số x, y nghiệm phơng trình: X2 SX + P =
( áp dụng: để tìm hai số biết tổng tích chúng dùng để lập phơng trình bậc hai khi
biÕt tríc hai nghiƯm )
5/ Chú ý (Điều kiện cần đủ ):
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu <=> a.c < §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng dÊu <=> {P>0Δ ≥0
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng d¬ng <=>
S>0 ¿Δ≥0
P>0 ¿❑
{¿
Để PT (1) có hai nghiệm âm <=>
S<0 ¿Δ≥0
P>0 ¿❑
{¿
B/ Bài tập
Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + mx – = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm 1.Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm -1.Tìm nghiệm cịn lại
Bài 2: Cho phơng trình: x2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: - x1
x2 +x2
x1
=
- x1 + x2 + 2x1x2
Bài 3: Cho phơng trình: x2 2x + m + 2.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu? Trái dấu? b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn: - x1 + x2 + 2x1x2
- x1 + x2 + 4x1x2 = 10
Bµi 4: Cho phơng trình: x2 8x + m + = 0. a) Giải phơng trình với m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu dơng
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm gấp lần nghiệm Tìm nghiệm trờng hợp
Bµi 5: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m = 0.
a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình lu«n cã nghiƯm víi mäi m
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình CTR: A = x1 + x2 –x1x2 không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x12 + x22 - 3x1x2 = 6
Bài 6: Cho phơng trình: x2 (2m – 1)x + m2 – m – = 0. a) CTR: Phơng trình có hai nghiệm phân biÖt
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2
Bài 7: Cho phơng trình: x2 + 2x + 2m + = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt? b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tính A = x12 + x22 theo m. c) Tìm m A = 10
d) Lập phơng trình bËc hai Èn y cã hai nghiƯm lµ y1 = x1
2
, y2 = x1
(7)a) Giải phơng trình với m =
b) CTR: Phơng trình có nghiệm với m
c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m để x12x2 + x1x22 = 10.
Bài 9: Cho phơng trình: x2 2x + m – = 0.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 x2
+x2 x1
=10
3 Bài 10: Cho phơng trình: 3x2 4x + m = 0.
a) Giải phơng trình với m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu? Trái dấu? c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1 = 3x2 Bài 1 :
Cho phơng trình: x2 – 4x + m = 0. a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
b) Với giá trị m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12. c) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22
Bài 12 : Cho phơng trình: x2 3x - m + = (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x12 + x22 = 8.
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đơi nghiệm phơng trình (1)
Bµi 13 :
Cho phơng trình: x2 2(a 1)x + 2a - = 0. a) CMR: Phơng trình có nghiệm víi mäi a
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < < x1
Bài 4:
Cho phơng trình: x2 + (m +1)x + m - = 0.
a) CMR: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x12x2 + x1x22 – 4x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bµi 5: Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (1) Tìm giá trị lớn biểu thức: A=|x1x22x12x2|
II/ Phơng trình tam thức. 1) Định nghĩa:
Phng trỡnh tam thc phơng trình có dạng: ax2n + bxn + c = (a 0) (1) a, b, c số thực, n nguyên dơng, n
2) Ph ơng pháp giải:
- Nu a, b, c số thực đồng thời khác n = (1) phơng trình trùng phơng ma ta biết cách giải
- Nếu trờng hợp n > Đặt xn = y, phơng trình (1) đa đợc dạng {ay2
+by+c=0x
n
=y
3) VÝ dô
Ví dụ 1: Giải phơng trrình x6 + 9x3 – = 0.
Gi¶i:
Cách 1: Đặt x3 = y, ta có phơng trình y2 – 9y + = Phơng trình có nghiệm y1 = 1; y2 = 8, từ ta tìm đợc x3 = x3 = 8, suy x = 1; x = 2.
C¸ch 2: Phân tích vế trái phơng trình thành nhân tử, vÕ ph¶i b»ng 0: - x6 + 9x3 – = 0
(8)<=> (x3 - 1) (8 - x3) = 0
Từ ta tìm đợc x = x =
Bài tập vận dụng Bài 16: Giải phơng trình sau:
a) x6 7x3 + = 0 b) x8 + x4 + = 0 c) x8 – 17x4 + 16 = 0 d) x12 – 10x6 + 24 = 0 e) x10 + x5 - = 0 f) x6 + x4 + x2 = 0
III/ Phơng trình đối xứng 1) Định Nghĩa:
Một phơng trình đa thức: a0xn + a1xn – 1+ … + an -1x + an = Gọi đối xứng hệ số
của số hạng cách số hạng đầu cuối nhau, nghĩa là: an = a0; an – = a1,…, an – =
a2… Tuỳ theo n số chẵn hay số lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ.
2)VÝ dơ
VÝ dơ 2: Gi¶i phơng trình: 2x4 + 3x3 16x2 + 3x + = (1)
NhËn xÐt:
Đây phơng trình đối xứng bậc chẵn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a =
Phơng trình khơng có nghiêm x = 0, chia cảc hai phơng trình cho x2 nhóm lại ta đợc: a(x2 +
x2 ) + b(x +
x ) + c = Đặt t = x +
x th× x2 +
1
x2 = t
2 –
Sẽ dẫn đến phơng trình bậc hai at2 + bt + c – 2a = Từ tính đợc t tính đợc x theo phơng trình: x2 – tx + = để tìm đợc giá trị ca x.
Trở lại ví dụ tacó cách giải sau:
Chia hai vế phơng trình cho x2, råi nhãm l¹i ta cã: 2(x2 +
x2 ) + 3(x +
x ) -16 = Đặt t = x +
1
x => x2 +
1
x2 = t2 – 2, ta đợc phơng trình: 2t2 +
3t 20 = Phơng trình có nghiƯm t = -4 vµ t =
2 Để tìm x ta giải hai phơng trình x +
x = -4 vµ x +
x =
5
2 , từ phơng trình có nghiệm x1,2 = -2 ±√3 ; x3 =
2 ; x4 = VÝ dụ 3: Giải phơng trình:
2x5 + 3x4 5x3 – 5x2 + 3x + = (2)
NhËn xÐt:
Đây phơng trình đối xứng bậc lẻ(bậc 5), có dạng: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0.
Ph¬ng trình có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ nên phơng trình có nghiƯm x = -1
Hạ bậc phơng trình theo lợc đồ Hoóc ne
a b c c b a
-1 a b - a a – b –
c b - a a
Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a] = 0 Giải tiếp phơng trình đối xứng bậc chẵn:
ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a = 0, ta tìm đợc nghiệm phơng trỡnh.
Giải:
áp dụng nhận xét vào ví dụ phơng trình (2) viết nh sau: (x + 1)(2x4 + x3 – 6x2 + x + 2) = 0.
(9)Qua hai vÝ dơ trªn ta thÊy r»ng:
- Nếu hạ bậc phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc phơng trình đối xứng
- Các nghiệm phơng trình đối xứng đơi nghịch đảo Nh a nghiệm phơng trình đối xứng
a nghiệm phơng trình Vì lẽ phơng trình đối xứng (bậc chẵn hay bậc lẻ) cịn đợc gọi phơng trình thuận nghịch (bậc chẵn bc l)
Bài tập vận dụng Bài 17: Giải phơng trình sau:
a) x4 + 5x3 12x2 + 5x + = 0. b) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + = 0. c) 6x4 + 7x3 – 36x2 - 7x + = 0.
d) 6x5 - 29x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + = 0. e) x7 – 2x6 + 3x5 - x4 - x3 + 3x2 - 2x + = 0.
VI/ Một số cách giải phơng trình bậc cao
chng trỡnh tốn sau có dịp quen với phép giải tổng quát phơng trình bậc cao nghiên cứu số cách giải khác để giải phơng trình bậc cao
1 Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Thực phơng pháp đợc tơi đề cập đến trình bày phơng trình bậc nhât ẩn Song cha sâu mà đa đề cập đến phơng trình đa phơng trình bậc ẩn xin đa mức độ sâu
VÝ dơ 4: Gi¶i phơng trình:
(x2 + x + 2)2 12(x2 + x + 2) + 35 = (3)
Gi¶i:
Thực chất phơng trình ta rễ tìm cách đặt ẩn phụ Đặt x2 + x + = y, ta đợc phơng trình: y2 – 12y + 35 = 0. Phơng trình cho ta y = y =
- Víi y = 5, ta cã x2 + x + = phơng trình cho ta hai nghiÖm x
1,2=
−1±√13
- Víi y = 7, ta cã x2 + x + = phơng trình cho ta hai nghiệm x
3,4=
−1±√21
VËy ph¬ng tr×nh (3) cã nghiƯm x1,2=−1±√13
2 ; x3,4=
121 Ví dụ 5: Giải phơng trình:
(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x2 (4)
Nh©n xÐt:
Phơng trình có dạng: (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax2, ad = bc. Để giải phơng trình ta đặt ẩn phụ y=x+ad
x
Gi¶i:
Ta biến đổi phơng trình (4) dạng: (x2 + 14x + 24)(x2 + 11x + 24) 4x2.
Phơng trình khơng có nghiệm x = 0; chia hai vế phơng trình cho x2 0, ta đợc: (x + 14 + 24 x ) (x + 11 + 24
x ) = Đặt y = x +
24
x đa phơng trình dạng (y + 14)(y + 11) = hay y2 + 25y + 150 = Suy y1 = -15; y2 = -10 Từ suy x2 + 15x + 24 = x2 + 10x + 24 = Hai phơng trình cho nghiệm: x1=−15−√129
2 ; x2=
−15+√129
2 ; x3 = -6; x4 = -4 Ví dụ 6: Giải phơng trình: (6 – x)4 + (8 – x)4 = 16 (5).
Nhân xét:
Phơng trình có dạng: (x – a)4 + (x – b)4 = A.
Để giải phơng trình ta dùng phép đặt ẩn phụ Đặt y = x −a+x −b
2 = x -
a+b
2
(10)DỈt y = 6− x+8− x
2 = x, đa phơng trình (5) dạng: y4 6y2 = Đây phơng trình
trùng phơng, ta rễ ràng tìm nghiệm y1 = 1; y2 = råi suy x1 = 8; x2 =
Chó ý:
Phơng trình cịn có dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = A, để giải phơng trình dạng ta đặt y = x+a+x+b
2 = x +
a+b
2 giải tơng tự nh 2 Phơng pháp đa phơng trình tích
Ví dụ 7: Giải phơng trình:
x4 + 4x3 + 3x2 + 3x – = (6).
Gi¶i:
Ta nhóm hạng tử thích hợp vế trái tạo thành bình phơng sử dụng công thức A2 – B2 = (A – B)(A + B) để biến vế trái thành tích
x4 + 4x3 + 3x2 + 3x – = 0 <=> (x2 + 2x)2 – (x – 1)2 = 0 <=> (x2 + x + 1)(x2 + 3x – 1) = 0.
Phơng trình x2 + x + = vô nghiệm, phơng trình x2 + 3x – = cho nghiÖm: x
1,2=
313
và nghiệm phơng trình (6)
Ví dụ 8: Giải phơng trình:
x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 = (7).
Gi¶i:
Vế phải đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc thành hai nhân tử bậc hai
x2 + px + q x2 + rx + s, p, q, r, s số nguyên cha xác định, đó: x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 =( x2 + px + q)( x2 + rx + s).
Khai triển, nhóm hạng tử đồng số hạng bậc hai vế đồng thứ ta có hệ sau:
p + r = -4 vµ s + p + qr = -10 vµ ps + qr = 37 vµ qs = -14
Giải hệ phơng trình ta đợc p = -5; q = 2; s = -7; r = phơng trình (7) trở thành: ( x2 - 5x + 2) ( x2 + x - ) = Giải hai phơng trình bậc hai
x2 - 5x + = x2 + x – = 0, ta đợc nghiệm phơng trình (7) là: x
1,2=
5±√17
2 ; x3,4=
−1±√29
2
Bài tập vận dụng Bài 18: Giải phơng trình sau:
a) ( x2 + x + 1)( x2 + x + ) = 12. b) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x + 7) = d) (x2 + 5x)2 - 2(x2 + 5x) - 24 = 0.
Bài 19: Giải phơng trình: a) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 2. b) (x – 2)6 + (x – 4)6 = 64. c) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82. d) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 =
Bài 20: Giải phơng trình:
a) (x2 – 3x + 1)(x2 + 3x + 2)(x2 – 9x + 20) = -30. b) (x2 – x + 1)4 – 6x2(x2 – x + 1)2 + 5x4 =
Bài 21: Giải phơng trình:
(a – x)5 + (x – b)5 = (a – b)5 víi a ≠ b .
V/ Phơng trình phân thức hữu tỉ
Khỏi nim: Phng trình phân thức hữu tỉ phơng trình sau biến đổi có dạng: P(x)
Q(x)=0 , P(x) Q(x) đa thức Q(x)
Ph
ơng pháp: Để giải phơng trình ta đa giải hệ {Q(x)0P(x)=0
(11)4x x2+x+3+
5x
x2−5x+3=−
3
2 (8)
Gi¶i:
Phơng trình không co nghiệm x = 0, chia phân thức vế phơng trình cho x 0, ta đợc:
4
x+3 x+1
+
x+3 x5
=3
2
Đặt y = x+3
x , ta có phơng trình:
4
y+1+
5
y −5=−
2 hay
y2+2y −15
(y+1)(y −5)=0 Giải phơng trình tìm đợc y1 = -5; y2 =
Từ ta có hai phơng trình x+3
x = -5 (1) vµ x+
3
x = (2) Giải phơng trình (1) ta đợc nghiệm x1 = −5+√13
2 ; x2 =
513
2 , giải phơng trình (2) vô nghiệm
Vậy phơng trình (8) có nghiệm là: x1 = −5+√13
2 ; x2 =
−5−√13
2
NhËn xÐt:
Phơng trình cho có dạng: Ax
ax2+b1x+c
+Bx
ax2+b2x+c
=C . Trong ABC ac 0, đặt ẩn phụ y = ax + c
a råi đa phơng trình dạng: A y+b1+
B
y+b2=C
Ví dụ 10: Giải phơng trình: x2 +
(x −x1)
= (9)
Giải:
Điều kiện: x Ta có: x2 +
(x −x1)
= <=> x2 + 2x. x
x −1 + (
x x −1)
2
- 2x x
x −1 =
<=> (x+ x x −1)
2
−2( x
x −2)=8
<=> ( x2
x −1)
2
−2 x
2 x −1=8
Đặt y = x
2
x 1 , ta có phơng trình y
2 2y – = Giải phơng trình có nghiệm y = -2; y = 4; từ suy x1 = 2; x2 = -1 + √3 ; x3 = -1 - 3
Vậy phơng trình (9) cã nghiƯm lµ: x1 = 2; x2 = -1 + √3 ; x3 = -1 - √3
Ví dụ 11: Giải phơng trình: 5(x 2
x+1)
2
−44(x+2
x −1)
+12x
2
−4
x2−1=0 (10)
Gi¶i:
Điều kiện x 1 Đặt x 2
x+1=u ; x+2
x −1=v , ta cã phơng trình 5u2 44v2 +12uv = Phơng trình nµy cã nghiƯm u = v =
0; u = 2v hc u = −22
(12)Xét trờng hợp phơng trình (10) có nghiÖm: x1=−9+√73
2 ;
x2=−9−√73
2
Ví dụ 12: Giải phơng trình: x(5− x
x+1)(x+
5− x
x+1)=6 (11)
Gi¶i:
Điều kiện x ≠ −1 ; đặt u = x.5− x
x+1 vµ v = x+
5− x x+1 , uv = u + v = x.5− x
x+1 + x+
5− x
x+1 = 5, nh u, v nghiệm phơng trình: t
2 – 5t + = 0, suy t1 = 3; t2 = 2, từ ta tìm đợc u1 = v1 = u2 = v2 =
Xét với cặp giá trị u v ta tìm đợc nghiệm phơng trình (11) là: x = 2; x =
Bài tập vận dụng Bài 22: Giải phơng trình sau:
a) (x2+
x2)+5(x+
1
x)−12=0
b) 4x
4x2−8x+7+
5x
4x2−10x+7=1 c) (x −2
x+1)
2
−5(x+2
x −1)
+48(x
2
−4
x2−1)=4
d) x
2
−13x+15 x2−14x
+15−
x2−15x+15 x2−16x
+15=−
1 12 Bài 23: Giải phơng trình sau:
a) x+1 x −1+
x −2
x+2+ x −3
x+3+ x+4 x −4=4
b) x+4 x −1+
x −4
x+1= x+8 x −2+
x −8
x+2 −
8
c)
x+5¿2 ¿ ¿ x2
+25x
2
¿ d) x3
+
x3=6(x+
x) e) x4
=11x −6
6x −11
f) x5=133x 78
13378x
Phần III
Phơng trình vô tỉ
Cỏc phng trỡnh i s cha ẩn dấu gọi phơng trình vơ tỉ
Để giải phơng trình này, phải khử dấu Sau số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vơ tỉ:
(13)Ví dụ 1: Giải phơng trình:
3+2x −3=x (1)
Gi¶i:
Điều kiện xác định phơng trình là: 2x – <=> x
2 (2)
Tách riêng thức vế ta đợc: √2x −3=x −3 (3)
Ta phải có thêm điều kiện: x <=> x (4) Với điều kiện (4)
PT(3) <=> 2x – = (x – 3)2 (5) <=> 2x – = x2 – 6x + 9
<=> x2 – 8x + 12 = 0 <=> (x – 2)(x – 6) = <=> x1 = 2; x2 =
Giái trị x1 = không thoả mÃn ĐK (4) loại
x2 = thoả mÃn ĐK (2) (4), nghiệm phơng trình Vậy phơng trình (1) có nghiệm x =
NhËn xÐt
a) Nếu không đặt điều kiện x – (3), ta sai lầm nhận x = nghiệm (1) Chú ý từ (3) suy đợc (5) nhng từ (5) suy đợc (3) với điều kiện x –
b) Có thể bình phơng hai vế (1) với điều kiện x (điều kiện có
2x – 0), nhng lời giải không ngắn cách tách riêng thức vế
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
x 15x 1=3x 2
Gi¶i:
Điều kiện xác định phơng trình x (1) Chuyển vế ta có √x −1=√5x −1+√3x −2 (2)
Bình phơng hai vế ta đợc:
x −1=5x −1+3x −2+2√15x2−13x+2 <=> 2−7x=2√15x2
−13x+2 (3) §Õn có hai cách giải
Cách 1: Với điều kiÖn – 7x <=> x
7 (4)
th× PT(3) <=> – 28x +49x2 = 4(15x2 – 13x +2) (5) <=> 11x2 – 24x + = 0
<=> (11x – 2)(x – 2) = <=> x1 =
11 ; x2 =
Gi¸i trị x1 =
11 không thoả mÃn điều kiện (1), loại
Giái trị x2 = không thoả mÃn (5), loại Vậy phơng trình vô nghiệm
Cách 2: Ta phải có 7x <=> x
7 , điều trái với điều kiện (1) x Vậy phơng
trình vô nghiệm
Ví dụ 3: giải phơng trình:
√2x+1+√3 x=1 (1)
Gi¶i:
Lập phơng hai vế, áp dụng đẳng thức (a +b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
ta đợc 2x+1+x+3√3x(2x+1)(√32x+1+√3x)=1 (2) Thay
√2x+1+√3 x=1 vµo (2) ta cã
3x+1+3√3 x(2x+1)=1 (3) <=> 3√3x(2x+1)=− x (4)
(14)Thư l¹i: - víi x1 = th¶o m·n (1)
- víi x2 = -1 không thoả mÃn (1), loại Vậy phơng tr×nh (1) cã mét nghiƯm nhÊt x =
NhËn xÐt:
Các phơng trình (1) (2) hai tơng đơng, nhng phơng trình (2) (3) không tơng đơng Từ (2) ruy đợc (3), nhng từ (3) khơng suy đợc (2) Do sau tìm đợc nghiệm (3) -1, phải thử giái trị vào (1) để chọn nghiệm (1)
II/ Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối. 1 Lý thuyết
Định nghĩa giá trị tuyệt đối: |A|={− AA
2 Ví dụ
Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh:
√x+2√x −1+√x −2√x −1=2 (1)
Giải:
Điều kiện x
PT (1) <=> √x −1+2√x −1+1+√x −1−2√x −1+1=2
<=>
√x −1+1¿2 ¿ √x −1−1¿2
¿ ¿ ¿
√¿
<=> |√x −1+1|+|√x −1−1|=2 <=> √x −1+1+|√x −1−1|=2
<=> √x −1+|√x −1−1|=1 (2) - NÕu x>2 , th× PT (2) <=> √x −1+√x −1−1=1
<=> √x −1=1 <=> x −1=1
<=> x=2 không thuộc khoảng xét loại
- Nếu 1≤ x ≤2 , PT (2) <=> √x −1+1−√x −1=1 ln đúng, phơng trình vơ số nghiệm vi
1 x 2
Vậy phơng trình (1) cã nghiƯm 1≤ x ≤2
VÝ dơ 5: Giải phơng trình:
x+34x 1+x+86x 1=1 (3)
Giải:
Điều kiện x
PT (3) <=> √x −1−4√x −1+4+√x −1−6√x −1+9=1
<=>
√x −1−2¿2 ¿ √x −1−3¿2
¿ ¿ ¿
√¿
<=> |√x −1−2|+|√x −1−3|=1 (4) - NÕu 1≤ x<5 th× PT (4) <=> 2−√x −1+3−√x −1=1
<=> √x 1=2
<=> x=5 không thuộc khoảng xét loại
- Nếu 5 x 10 PT (4) <=> √x −1−2−√x −1+3=1 <=> 0x = 0, ph¬ng trình vô số nghiệm - Nếu x > 10 PT (4) <=> √x −1−2+√x −1−3=1
<=> √x −1=3
<=> x = 10 kh«ng thuộc khoảng xét loại Vậy phơng trình (3) có nghiƯm 5≤ x ≤10
Víi A
(15)III/ Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Giải phơng trình: 2x2
+3x+√2x2+3x+9=33 (5)
Gi¶i:
2x2
+3x+√2x2+3x+9=33 <=> 2x2
+3x+9+√2x2+3x+9−42=0 (6) V× 2x2
+3x+9=2(x2+3
2x+
2)=¿ 2[(x
+2.x.3
4+ 16)+
63 16 ]
x+3
4¿
+63
16
¿ ¿2¿
> với x Đặt y = 2x2
+3x+9 (y > 0), PT (6) có dạng: y2 + y – 42 = => y = (thoả mÃn) y = -7 (loại)
- Với y = 6, ta cã √2x2
+3x+9 = <=> 2x2 + 3x – 27 = <=> x1 = 3; x2 = 29 Vậy phơng trình (5) cã nghiÖm x1 = 3; x2 = −9
2 Ví dụ 7: Giải phơng trình:
3x2
+21x+18+2√x2+7x+7=2 (7)
Gi¶i:
3x2
+21x+18+2√x2+7x+7=2 <=> 3x2
+21x+21−3+2√x2+7x+7=2
<=> 3(x2+7x+7)3+2x2+7x+7=2 (8) Đặt x2
+7x+7 = y (y 0) th× x2+7x+7 = y2
PT (8) cã d¹ng: 3y2 + 2y – = <=> y = 5
3 (loại); y = (thoả m·n)
- Víi y = th× x2
+7x+7 = <=> x2+7x+6=0 <=> x1 = -1; x2 = -6 Vậy phơng trình (7) có nghiệm: x1 = -1; x2 = -6
Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ nh hai phơng trình làm cho phơng trình đợc chuyển dạng hữu tỉ
VÝ dơ 8: Giải phơng trình:
2x+1+3 x=1 (9)
Giải:
Đặt
2x+1=a v 3 x=b 2x + = a3 x = b3, nên ta có 2b3 + = a3 hay a3 – 2b3 = 1(*) Mà PT (9) có dạng: a + b = => b = – a thay vào (*) ta đợc a3 – 2(1 – a)3 = 1
<=> a3 – + 2(a – 1)3 = <=> (a – 1)(a2 + a + 1) + 2(a – 1)3 = <=> (a – 1)[a2 + a + +2(a – 1)2] = 0
Do a2 + a + +2(a – 1)2 > nªn a = Suy b = 0. Víi a = vµ b = x =
Vậy phơng trình (9) cã nghiÖm x =
IV/ phơng pháp bất đẳng thức
Phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vơ tỉ đợc thể dới nhiều dạng:
1 Chứng tỏ phơng trình vô nghiệm có vế nhỏ vế kia. Ví dụ 9: Giải phơng trình:
x 15x 1=3x −2 (10)
Bằng cách chứng tỏ với điều kiện xác định phơng trình, có vế phơng trình ln nhỏ vế
Gi¶i:
Điều kiện để xác định (10) x Với điều kiện x < 5x, √x −1<√5x −1 suy vế trái (10) số âm, cịn vế phải khơng âm Phơng trình vơ nghiệm
2 Sử dụng tính đối nghịch hai vế. Ví dụ 10: Giải phơng trình: √3x2
+6x+7+√5x2+10x+14=4−2x − x2 (11)
Gi¶i:
(16)VÕ tr¸i (VT): √3x2
+6x+7+√5x2+10x+14
=
x+1¿2+4 ¿ x+1¿2+9
5¿
3¿
√¿
√4+√9 =
VÕ ph¶i (VP): 4−2x − x2 = – (x + 1)2 5.
Vậy để VT = VP hai vế (11) 5, x = -1 Vậy phơng trình (11) có nghiệm x = -1
3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số. Ví dụ 11: Giải phơng trình:
√2x+1+√3 x=1 (12) B»ng c¸ch chøng tá r»ng x = nghiệm phơng trình
Gi¶i:
Ta thấy x = nghiệm phơng trình (12) +) Với x >
2x+1>1 x>0 nên vế trái (12) lớn +) Với x <
2x+1<1 3 x<0 nên vế trái (12) nhỏ Vậy x = nghiệm phơng trình (12)
4 S dng iu kiện xẩy dấu = bất đẳng thức không cht.
Ví dụ 12: Giải phơng trình: x
√3x −2+
√3x −2
x =2 (13)
Giải:
Điều kiện x >
3 (*)
Ta có bất đẳng thức a b+
b
a≥2 với a > 0, b > 0, xẩy đẳng thức (dấu “=”) a = b Với x >
3 th× PT (13) <=> x=√3x −2 <=> x2 – 3x + =
<=> (x – 1)(x – 2) = <=> x1 = 1; x2 = (thoả mÃn *) Vậy phơng trình (13) cã nghiƯm x1 = 1; x2 =
Bµi tập vận dụng Giải phơng trình sau: Bài 1:
a) √x+3−√x −4=1 d) √4x+1−√3x+4=1 b) √15− x+√3− x=6 e) √x −1−√x+1=2 c) √x+3+√10− x=5 f) √2x+5−√3x −5=2
Bµi 2:
a) √x −2√x −1−√x −1=1 b) √x+√2x −1−√x −√2x −1=√2
c) √x+√6x −9+√x −√6x −9=√6 Bµi 3:
a) √x2
−4x+4−√x2−6x+9=1 b) √x+4−4√x+√x+9−6√x=1
c) √x+6−4√x+2+√x+11−6√x+2=1 d) √x+2−4√x −2+√x+7−6√x −2=1
Bµi 4:
a) √x+√x+√1− x=1 f) √1+x√x2+4=x+1
b) √1−√x2
− x=√x −1 g) 3+x
3x =√
1 9+
1
x√
4 9+
2
(17)c) √x2
+6=x −2√x2−1 h) √2x+2 x+2 −√
x+2
2x+2=
7 12
d) √2x2
+8x+6+√x2−1=2x+2 e) √x −7+√9− x=x2−16x+66
Bµi 5:
a) √2x −1+√x −2=√x+1 b) √3x+15−√4x+17=√x+2
c) √x −1+√x+3+2√(x −1)(x2−3x+5)=4−2x
d) √x+1+√x+10=√x+2+√x+5
Bµi 6:
a) √2x+3+√x+2+√2x+2−√x+2=1+2√x+2 b) √x2
−9x+4+3√2x −1=√2x2+21x −11
Bµi 7:
a) √1− x+√x2−3x+2+(x −2)√x −1 x −2=3
b) (x −2)(x+2)+4(x −2)√ x+2 x −2=−3
c) 2+√x √2+√2+√x+
2−√x
√2−√2−√x=√2
Bµi 8:
a)
√x+1+√37− x=2 c) √3 x+3−√36− x=1 b)
√25+x+√33− x=4 d) 1+√3x −16=√3 x+3
Bµi 9:
a)
√1− x2+√41+x+4√1− x=3 b)
√3−2x=√41− x+√42− x
Híng dÉn bµi 9:
a) §Ỉt + x = a 0, – x = b Ta cã a + b = vµ
√ab+√4a+4√b=3 Theo bất đẳng thức cơ-si √mn≤m+n
2 , ta cã
3 = √√a.√b+√1 √a+√1 √b ≤√a+√b
2 + 1+√a
2 + 1+√b
2 =¿ √a+√b+1≤1+a
2 + 1+b
2 +1=¿
a+b
2 +2=3
Đẳng thức xảy a = b = Do x = b) Đặt
√1− x=a ≥0 , √42− x=b ≥0 DiỊu kiƯn x (*) Ta cã: a + b =
√a4+b4 <=> (a + b)4 = a4 + b4 <=> 2ab(2a2 + 3ab + 2b2) = Nếu a > 0, b > 2a2 + 3ab + 2b2 > Do a = b =
Suy x = hc x = Loại x = trái với điều kiện (*)
Phần IV
Phơng trình nghiệm nguyên I/ Phơng pháp Đa dạng tích.
Bin đổi để đa dạng f(x,y).g(x,y) = a (a Z ) Với f(x,y) g(x,y) đa thức với hệ số nguyên
Từ ta giải h
*) Chú ý: Ta phải xét hết trêng hỵp xÈy
{g(x , y)=a m
f(x , y)=m
(18)VÝ dô 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau: 2x3 + xy – = 0
Gi¶i:
2x3 + xy – = 0
<=> x(2x2 + y) = = 7.1 = 1.7 = -7.(-1) = -1.(-7)
Vì x, y Z => 2x2 + y Z, có trờng hợp xẩy Giải trờng hợp ta đợc nghiệm phơng trình là: (1;5); (-1;-9); (7;-97); (-7;-99)
Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau: xy = x + y
Gi¶i:
xy = x + y
<=> xy – x – y = <=> xy – x – y + =
<=> (x – 1)(y – 1) = = 1.1 = -1.(-1) V× x, y Z => x – y Z Nên có khả xẩy ra:
+) {y 1=1x1=1 +) {y 1=1x −1=−1
Giải hai trờng hợp ta đợc nghiệm phơng trình là: (2;2); (0;0)
VÝ dơ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: 3xy = 5x + 2y (1)
Gi¶i: 3xy – = 5x + 2y <=> 3xy – 5x – 2y – =
<=> 9xy 15x 6y = (nhân hai vế phơng trình với 3) <=> 3x(3y 5) – 2(3y – 5) = 19
<=> (3y – 5)(3x – 2) = 19 = 1.19 =19.1 =-19.(-1) = -1.(-19)
Có khả xẩy nhng giải trờng hợp xẩy ta đợc nghiệm là: (1;8) (7;2)
*) NhËn xÐt:
Nếu phơng trình có dạng axy + bx + cy + d = với a, b, c, d Z, a Thì để đa phơng trình dạng tích thờng ta nhân hai vế phơng trỡnh vi a
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: x2(x + 2y) y2(y + 2x) = 1991
Gi¶i: x2(x + 2y) – y2(y + 2x) = 1991 <=> (x3 – y3) + (2x2y – 2xy2) = 1991 <=> (x – y)(x2 + 3xy + y2) = 1991 (1)
V× x, y Z+ => x2 + 3xy + y2 > vµ x2 + 3xy + y2 > x – y Tõ (1) => x – y > 0 Mµ 1991 = 1.1991 = 11.181 nên có hai trờng hợp xẩy
+) {x2+3 xy+y2=1991x − y=1 +) {x2+3 xy+y2=181x − y=11
Giải trờng hợp với nghiệm nguyên dơng ta đợc (x = 12; y = 1) Vậy (x = 12; y = 1) nghiệm ngun dơng phơng trình
VÝ dơ 5: T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình: x2 + x + = xy – y
Gi¶i: x2 + x + = xy – y
<=> (x2 – x) + (2x – 2) + = y(x – 1) <=> (x – 1)(x – y + 2) = -3
<=> (x – 1)(y – x – 2) = = 1.3 = 3.1
+) {y − x −2=1x−1=3 +) {y − x −2=3x −1=1
Giải hệ phơng trình ta đợc: (x = 4; y = 7) (x = 2; y = 7)
* Chó ý: Cã thĨ giải cách sau y=x
2
+x+1
x −1 =x+2+
x −1 Råi sö dơng tÝnh chÊt chia hÕt Bµi tËp vËn dơng
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: a) xy – 2x + 3y = 27
(19)c) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 d) x3 – y3 = 91
Bµi 2:
Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên dơng số đo diện tích b»ng sè ®o chu vi
Híng dÉn: Gäi hai cạnh góc vuông x, y cạnh huyền z Theo bµi ta cã: xy = 2x + 2y + 2z
<=> 2z = xy – 2x – 2y
<=> 4z2 = x2y2 + 4x2 + 4y2 – 4x2y – 4xy2 + 8xy (*) Theo Pitago ta cã: z2 = x2 + y2 <=> 4z2 = 4x2 + 4y2 (**) Tõ (*) vµ (**) => x2y2 – 4x2y – 4xy2 + 8xy = 0
=> xy(xy – 4x – 4y + 8) =0
=> xy -4x – 4y + = (V× xy > 0) => (x – 4)(y – 4) = = 1.8 = 2.4 Vì x, y có vai trò nh nên:
+) {y 4=8x 4=1{y=12x=5=>z=13 (Thoả mÃn) +) {y −4=4x −4=2⇔{y=8x=6=>z=10 (Tho¶ m·n)
VËy cã hai tam giác vuông có cạnh số nguyên dơng sè ®o diƯn tÝch b»ng sè ®o chu vi
II/ Phơng pháp thứ tự ẩn (các ẩn có vai trị bình đẳng).
Nếu ẩn x, y, z,… có vai trị bình đẳng, ta giả sử x y z…, để tìm nghiệm thoả mãn điều kiện Từ dùng phép hốn vị để suy nghiệm phơng trình ó cho
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x + y + z = xyz (1)
Gi¶i:
Do vai trị bình đẳng x, y, z phơng trình Giải sử x y z Vì x, y, z Z+ => xyz x y z
=> xyz = x + y + z 3z => xy => xy {1,2,3}
* NÕu xy = => x = y = thay vµo (1) ta cã + z = z vô lý (loại)
* Nu xy = 2, x y => x = y = thay vào (1) ta đợc z = (thoả mãn) * Nếu xy = 3, x y => x = y = thay vào (1) ta đợc z = (thoả mãn) Vậy nghiệm nguyên dơng (1) hoán vị (1;2;3) gồm: (1;2;3); (1;3;2); (2;1;3); (2;3;1); (3;1;2); (3;2;1)
VÝ dơ 2: T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình:
x+
1
y+
1
z=2 (2)
Gi¶i:
Do vai trị bình đẳng x, y, z trớc hết ta xét x y z, ta có:
2=1 x+
1
y+
1
z≤3
1
x=>x ≤
3
2=>x=1
Thay x = vào (2) ta đợc y+
1
z+1=2=> 1=
1
y+
1
z≤
2
y=>y ≤2 =>y∈{1;2} - NÕu y = =>
z=0 => z = (lo¹i) - NÕu y = =>
z=
1
2=>z=2 (tho¶ mÃn)
Vậy nghiệm nguyên dơng (2) hoán vị (1;2;2) gồm: (1;2;2); (2;1;2) (2;2;1)
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x + y + = xyz (3)
Gi¶i:
Do vai trị bình đẳng x, y phơng trình, ta xét x y xyz = x + y + 2y +
=> xz 2y+1
y = +
1
(20)=> xz {1,2,3}
* Nếu xz = => x = z = thay vào (3) ta đợc y + = vô lý (loại) * Nếu xz =
- Với x = 1; z = thay vào (3) ta đợc y = (thoả mãn) - Với x = 2; z = thay vào (3) ta đợc y = (thoả mãn) * Nếu xz =
- Với x = 1; z = thay vào (3) ta đợc y = (thoả mãn)
- Với x = 3; z = thay vào (3) ta đợc y = (khơng thoả mãn x y)
Vậy nghiệm nguyên dơng (3) (1;2;2); (2;3;1); (1;1;3); (3;2;1) hoán vị x, y gồm: (1;2;2); (2;1;2); (2;3;1); (3;2;1); (1;1;3)
VÝ dơ 4: T×m nghƯm nguyên dơng phơng trình: y3 + 7x = x3 +7y (4)
Gi¶i:
* Víi x = y Ta thấy (4) thoả mÃn với x = y * Víi x y => x – y
x3 – y3 = 7(x – y) => x2 +xy + y2 = (4’)
Giải tơng tự nh ta đợc x = Thay x = vào (4’) ta đợc: y(y + 1) = => y =
Vậy nghiệm nguyên dơng cđa (4) lµ: (1;2); (2;1) vµ +¿¿ ¿
Bµi tập vận dụng Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau:
a) xy + yz + xz = xyz + b)
x+
1
y+
1
z=
1
c) 2x + 2y + 2z = 2336
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dơng hệ phơng trình sau: {x3+y3+z3=3x+y+z=3
Bài 5: Chứng minh phơng trình sau nghiệm nguyên dơng:
x2+
1 xy +
1
y2=1
Híng dÉn:
Bµi 3:
a) xy + yz + xz = xyz + => x+
1
y+
1
z=
2 xyz+1
Do vai trị x, y, z bình đẳng phơng trình Trớc hết ta xét x y z =>
x≥
2
xyz+1 =>x+
yz ≤3=>x<3 (V× yz >0 )
=> x∈{1,2} Sau ta xét tơng tự
c) Vì x, y, z có vai trị bình đẳng nên ta giả sử x y z Từ 2x + 2y + 2z = 2336 <=> 2z(2x – z + 2y – z +1) = 25.73
Vì 2x z + 2y z +1 số lẻ. Nên 2z = 25 => z =
Vµ 2x – z + 2y – z =73 – = 72 <=> 2y – z (2x – y + 1) = 23.9 V× 2x – y + số lẻ
Nên y z = 23 => y – z = => y = z + = + = 8
Vµ 2x – y = – =8=23 => x – y = = > x = y + = + = 11. Vậy nghiệm nguyên dơng phơng trình hoán vị (11,8,5)
Bài 4:
Ta xÐt A = (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3) = (x + y + z)3 – x3 – ( y3 + z3)
= (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
(21)Mµ x + y + z = x3 + y3 + z3 = 3 => A = 24
Hay 3(y + z)(x + y)(x + z) = 24
<=> (y + z)(x + y)(x + z) = (1)
V× x + y + z = => (x + y) + (y + z) + (x + z) = (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra:
* NÕu x + y = th× y + z = x + z = -1 <=> x = y = & z = -5 * NÕu x + y = th× y + z = x + z = <=> x = 1, y = 1, z = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là:
(x = y = z = 1) vµ hoán vị (x = y = 4; z = -5) = (4;4;-5)
Bài 5: Chứng minh phản chøng
Giả sử phơng trình có nghiệm ngun dơng Giải phơng trình ta khơng tìm đợc nghiệm
III/ Phơng pháp s dụng dấu hiệu chia hết chia d.
Phng phỏp ny sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vơ nghiệm tìm nghiệm phơng trình
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: xy + x – 2y =
Gi¶i: xy + x – 2y = <=> y(x – 2) = -x + (1)
V× x = nghiệm phơng trình Nên PT (1) <=> y=− x+3
x −2 =−1+
x −2
y Z => x – ¦(1), mà Ư(1) = {1}
Xột cỏc trng hp ta đợc nghiệm PT (1) (1; -2) (3; 0)
Chó ý:
Bµi nµy cã thĨ ®a vỊ d¹ng tÝch (x – 2)(y + 1) =
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:
xy2 + 2xy 243y + x = (2)
Gi¶i:
Tõ (2) ta cã
y+1¿2 ¿ x=243y
¿
V× x, y R+ => 243y ⋮ (y + 1)2
Mµ (y; y + 1) = 1, nên => 243 (y + 1)2
Mà 243 = 35 => 243 chia hÕt cho 32 vµ 92 12 (Vì (y + 1)2 > 12) => (y + 1)2 = 32 => y = => x = 54.
Hc (y + 1)2 = 92 => y = => x = 24.
VËy nghiÖm nguyên phơng trình (2) (54;2); (24;8)
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: x2 – 3y2 = 17
Gi¶i: x2 – 3y2 = 17 <=> x2 = 17 + 3y2
Vì x2 số phơng nên => x2 chia d (1) Còn17 + 3y2 chia d (2) Từ (1) (2) => phơng trình cho khơng có nghiệm ngun
VÝ dụ 4: Chứng minh phơng trình sau nghiệm tự nhiên lớn 5: x! + y! = 10z + (4)
Giải:
Giải sử phơng trình (4) có nghiệm x, y (x, y N) => x! ⋮ 10 vµ y! ⋮ 10 => x! + y! ⋮ 10 (1) Vì 10z 10 (z N) 10 => 10z + ⋮ 10 (2) Tõ (1) (2) ta có điều giả sử sai
Vậy phơng trình nghiệm tự nhiên lớn hc b»ng
(22)a) yx + 3x – y = 38 b) 3x2 + 5y2 = 12 c) 19x2 + 28y2 = 729.
IV/ Ph¬ng pháp sử dụng tính chẵn lẻ.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên tố phơng trình: y2 2x2 = 1
Gi¶i: y2 – 2x2 = 1 <=> y2 = 2x2 + (1)
Tõ (1) ta thấy y số lẻ nên y có dạng: y = 2k + (k Z*) => (2k + 1)2 = 2x2 + => x2 = 2(k2 + k)
=> x số chẵn mà x số nguyên tố => x = Thay x = vào (1) ta đợc y =
VËy x = & y = nghiệm nguyên tố phơng trình
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên tố phơng trình: xy + = z (2)
Giải:
Vì nghiệm nguyªn tè nªn x, y => xy 4.
Do z 5, mà z số nguyên tố nên z lẻ => xy + lẻ => xy chẵn => x chẵn, mà x số nguyên tố nên ta có x =
Thay x = vào (2) ta đợc 2y + = z (2’) Ta xét hai trờng hợp chẵn, lẻ ca y
* Nếu y lẻ y có d¹ng 2k + 1(víi k Z+) => (22k + 1 +1) ⋮ (2+ 1) hay (22k + 1 +1) ⋮ => z ⋮ điều vô lý z số nguyên tố lớn hợn
Vậy y lỴ
* Nếu y chẵn mà y số nguyên tố => y = 2, thay vào (2’) ta đợc z = Vậy nghiệm phơng trình (x, y, z) = (2, 2, 5)
VÝ dô 3:Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: 3.2x + = y2 (3)
Gi¶i:
Ta thÊy VT số lẻ => y2 lẻ => y lẻ VËy y = 2k + (víi k Z+)
Tõ (3) ta cã: 3.2x + = (2k + 1)2 <=> 3.2x = 4k(k + 1) <=> 3.2x – 2 = k(k + 1) (3’) V× k, k + không tính chẵn lẻ, nên tõ (3’) => 2x – 2 =2 <=> x = => y = 5. Hc 2x – 2 = <=> x = => y = 7.
Vậy nghiệm phơng trình là: (3;5); (4;7)
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 – 2y2 = (4) Gi¶i:
Tõ (4) => x số lẻ
Thay x = 2k + (k Z) vào (4) ta đợc: 4k2 + 4k + – 2y2 = 5 <=> y2 = 2(k2 + k – 1) (4’) => y2 số chẵn => y số chẵn.
Đặt y = 2t (t Z) thay vào (4) ta cã: 2(k2 + k – 1) = 4t2 <=> k(k + 1) = 2t2 + (*) Ta thÊy k(k + 1) số chẵn, 2t2 + số lẻ => PT (*) vô nghiệm.
Vậy phơng trình (4) nghiệm nguyên
V/ Phơng pháp loại trừ hay chặn dần nghiệm. Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 6x2 + 5y2 = 74 (1)
Giải:
Vì 5y2 víi mäi y Tõ (1) => 6x2 74 => x2 12,3 Mà x2 N, nên x2 {0,1,4,9} .
- Với x2 = => x = thay vào (1) khơng tìm đợc giá trị y. - Với x2 = => x = ± 1 thay vào (1) khơng tìm đợc giá trị y. - Với x2 = => x = ± 2 thay vào (1) tìm đợc y2 = 10 (loại).
- Với x2 = => x = ± 3 thay vào (1) tìm đợc y2 = => y = ± 2. Vậy nghiệm phơng trình (1) là: (3;2); (3;-2); (-3;2); (-3;-2)
(23)Gi¶i: y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8)
<=> y2 = (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) (1)
Đặt x2 + 8x = t (t Z), thay vào (1) ta đợc: y2 = t2 + 7t.
* Víi t > ta thÊy t2 + 6t + < t2 + 7t < t2 + 8t + 16 Hay (t + 3)2 < y2 < (t + 4)2 điều vô lý Vậy t > phơng trình nghiệm nguyên
* Víi t => x2 + 8x <=> x2 + 8x – <=> -9 x ( xÐt dÊu tam thøc bËc hai) Mµ x Z => x {−9,−8,−7, ,0,1}
Thay 11 giá trị x vào (1) ta đợc 11 giá trị tơng ứng y, từ suy nghiệm phơng trình
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh: x2 + x + = y2 (3)
Gi¶i:
Ta thÊy x2 + x + > x2 víi x N*
x2 + 2x + > x2 + x + víi x N*
Suy x2 < x2 + x + < x2 + 2x + hay x2 < x2 + x + < (x + 1)2 hay x2 < y2 < (x + 1)2 (vơ lý), nên khơng tìm đợc giá trị x. Vậy phơng trình (3) khơng có nghiệm ngun dơng
Chó ý:
Ta cã thĨ thay đầu chứng minh x2 + x + số phơng.
VI/ Phơng pháp đa phơng trình dạng A2 + B2 + C2 +… … + = 0.
VÝ dô 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
(x – 1)(y + 1) = (x + y)2 (1)
Gi¶i: (x – 1)(y + 1) = (x + y)2
<=> (x – 1)(y + 1) = [(x – 1) + (y + 1)]2 <=> (x – 1)2 + (x – 1)(y + 1) + (y + 1)2 = 0 <=> [(x −1)+ y+1
2 ]
+
4 (y + 1)2 = (1’)
V× (y + 1)2 víi mäi y vµ
[(x −1)+ y+1
2 ]
víi mäi xy Nªn PT (1’) <=> {x −1+y+1
2 =0
y+1=0
<=> {x=1y=1 Vậy phơng trình (1) coa nghiệm là: (1;-1)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
x2 + y2 + xy – 3x – 3y + = (2)
Giải:
* Cách 1: x2 + y2 + xy – 3x – 3y + = 0
<=> (x – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + (y – 1)2 = 0 <=> [(x −1)+y −1
2 ]
+
4 (y – 1)2 =
Lập luận nh ví dụ ta đợc nghiệm phơng trình là: (1;1)
* C¸ch 2: x2 + y2 + xy – 3x – 3y + = 0
<=> (x2+ y
2 +
9
4+xy−3x+ 3y
2 )+ 3y2
4 − 3y
2 + 4=0
<=>
y −1¿2=0
(x+y
2 − 2)
2
+3
4¿
Lập luận tơng tự nh ta tìm đợc nghiệm phơng trình là: (1;1)
VÝ dơ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = (3)
Gi¶i: x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = 0 <=> (x2 – xy + y
2
4 ) + (z
2 – 2z + 1) + (
4 y2 – 3y + 3) =
<=> (x - y
2 )2 + (z – 1)2 +
(24)Lập luận nh ta đợc phơng trình (3) có nghiệm là: (1;2;1)
Bài tập vận dụng Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau:
a) 2x2 + y2 – 2xy + 2y – 6x + = 0. b) x2 – 4xy + 5y2 = 16.
c) x2 + y2 + xy – 5x – 4y + = 0.
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: a) x2y2 + 2x2 2x2y – 2x + = 0.
b) x2 + y2 – 4x – 4y + = 0. c) √x+√y −1+√z −2=1
2(x+y+z) VII/ Phơng pháp dùng bất đẳng thức
1 Lý thuyÕt
* Dùng bất đẳng thức A2 0. * Dùng bất đẳng thức Cơsi: Với a, b R+ ta có: a + b 2
√ab , dấu xẩy (<=>) a = b * Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(a1b1 + a2b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22), dÊu b»ng xÈy <=> a1
b1 =a2
b2
Tỉng qu¸t:
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 (a12 + a22 + … +a
n2)(b12 + b22 + … + bn2), dÊu b»ng xÈy <=> a1
b1
=a2 b2
= =an bn
2 Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: (x2 + 1)(y2 + 1) = 4xy (1)
Giải:
Theo Côsi ta có: x2 + 2x, dÊu b»ng xÈy <=> x = 1 y2 + 2y, dÊu b»ng xÈy <=> y = 1 => (x2 + 1)(y2 + 1) 4xy, dÊu b»ng xÈy <=> x = y = 1 VËy nghiƯm cđa phơng trình (1) là: (x;y) = (1;1)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 xy + y2 = (2)
Gi¶i: x2 – xy + y2 = 3 <=> (x − y
2)
=3−3y
2
V× (x − y
2)
≥0 => 3−3y
2
4 ≥0 => −2≤ y ≤2
=> y∈{−2;−1;0;1;2} Lần lợt thay y vao (2) để tính x ta đợc nghiệm phơng trình là: (-2;2); (1;2); (-2;1); (2;1); (-1;1); (1;-1)
VÝ dô 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
(x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) (3)
Gi¶i:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(1.x + 1.y + 1.1)2 (12 + 12 + 12)( x2 + y2 + 12).
<=> (x + y + 1)2 3(x2 + y2 + 1) DÊu b»ng xÈy vµ chØ x
1=
y
1= 1=1
Vậy nghiệm phơng trình (3) lµ: (1;1)
Bµi tËp vËn dơng
Bµi 9: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: 2x2 + 4x = 19 – 3y2.
(25)(26)