Chuyeån vò ñieåm treân maët trung hoøa cuûa phaàn töû voû coù theå phaân thaønh ba thaønh phaàn, nhö chuùng ta vaãn thöïc hieän trong caùc baøi toaùn lyù thuyeát ñaøn hoài: u , v , w[r]
(1)CHƯƠNG VỎ MỎNG 1 Voû moûng
Vỏ tài liệu hiểu vật thể bị hạn chế hai mặt cong, chiều dầy vật thể khoảng cách hai mặt cong nhỏ nhiều so với kích thước cịn lại vật thể (tiếng Anh: shell) Nếu vật thể có giới hạn hai mặt cong vừa nêu, khơng có hạn chế hình học khác nữa, coi là vỏ kín Ngược lại, vỏ cịn bị hạn chế cạnh dạng đường bao vỏ, có vỏ khơng kín Hình ảnh vỏ khơng kín thường gặp cơng trình dân dụng mái vịm nhà, mái nhà thờ, số kết cấu vỏ tàu vv… Vỏ kín đặc trưng ngành tàu vỏ tàu ngầm, máy thăm dò đáy đại dương Vỏ thân máy bay thuộc dạng vỏ kín
Mặt trung hòa vỏ hiểu mặt cong cách hai mặt ngồi vỏ Căn mặt trung hịa người ta phân biệt nhóm vỏ: vỏ cầu bán kính mặt trung hịa khơng thay đổi, mặt trụ trịn bán kính mặt trung hịa, đo mặt cắt ngang vật thể, không đổi, mặt côn vv…
Chiều dầy vỏ điểm khoảng cách hai mặt ngoài, đo theo pháp tuyến với mặt trung hòa, qua điểm Tại cần phân biệt hai khái niệm: vỏ dầy vỏ mỏng Vỏ coi là mỏng tỷ lệ chiều dầy bán kính cung cong khơng vượt q 1/20 Phân loại hồn tồn mang tính qui ước, phục vụ cho việc giản đơn hóa mơ hình tính
Lý thuyết vỏ mỏng nhằm giải toán uốn vỏ tính ổn định vỏ dựa giả thuyết từ thời Kirchhoff :
1 Độ võng vỏ suốt chiều dầy vỏ,
2 Chuyển vị u v theo hướng trục Ox, Oy điểm vỏ đại lượng nhỏ, so với chuyển vị w theo hướng Oz,
3 Pháp tuyến tuyến tính đến mặt trung hịa vỏ trước biến dạng giữ ngun tư vng góc tuyến tính với mặt trung hịa vỏ sau biến dạng vỏ,
4 Mỗi lớp vật chất thuộc vỏ, song song với mặt trung hòa, trạng thái ứng suất phẳng, áp suất tác động lớp với nhỏ, bỏ qua tính,
5 Vật liệu làm vỏ có tính đàn hồi, tn thủ định luật Hooke
Các giả thuyết cho phép áp dụng lý thuyết “strip theory” vào nghiên cứu vỏ Theo cách làm này, tách phần tử nhỏ, song song với mặt trung hịa vỏ để xem xét, thấy phần tử vỏ trạng thái ứng suất phẳng Tại sử dụng sở lý thuyết đàn hồi cho vật thể trạng thái ứng suất phẳng để giải vấn đề
Quay lại với phần tử vỏ, cạnh ds ds hình, tính: 2
2
1 ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =
+
dx dz dx
dz dx
(2)2
2
1 ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =
+
dy dz dy
dz dy
ds = (5.2)
Hình 5.1 cosin hướng phần tử ds ds biểu diễn dạng:
; )
, cos( ;
0 ) , cos( ;
) , cos(
1
1
1
ds dz z ds y
ds ds
dx x
ds = = =
; )
, cos( ;
) , cos( ;
0 ) , cos(
2
2
2
ds dz z ds ds
dy y ds x
ds = = = (5.3)
Từ cơng thức viết tiếp:
2
2
1
1
) , cos(
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = =
dy dz dx
dz dy dz dx dz ds
dz ds
dz ds
ds (5.4)
Những công thức lý thuyết vỏ giản đơn khảo sát vỏ thỏa mãn điều kiện sau:
1
; ;
1
2
<< <<
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ <<
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
dy dz dx dz dy
dz dx
dz (5.5)
Các công thức vừa nêu cho thấy, với vỏ xét, góc ds ds1
coi vng, cịn chiều dài phần tử mặt cong xác định chiều dài phần tử phẳng
2 2 2
(ds) = (ds ) + (ds ) = (dx) + (dy) (5.6)
Vỏ thỏa mãn điều kiện (5.5) tài liệu gọi vỏ thoải
Để xác lập phương trình vi phân, cân phần tử vỏ, cần thiết tiến hành khảo sát hệ thống lực tác động lên phần tử vỏ kích thước cạnh dx, dy, chiều dầy t Hình ảnh lực tác động lên phần tử vỏ giới thiệu hình
Các lực biểu diễn cơng thức dạng sau đây: N = x σxdz ; N = y σydz ;
(3)Qx = τ
− +
∫ t t
/ /
2
xzdz ; Q = τ
− +
∫ t t
/ /
2
dz ;
y yz
Mx = - zσ
− +
∫ t t
/ /
2
xxdz; M = - zσ
− +
∫ t t
/ /
2
y yydz ;
Mxy = Myx = - zτ
− +
∫ t t
/ /
2
xydz (5.7)
Trong t – chiều dầy vỏ, N , N - lực kéo (nén), x y
M , M - momen uoán, x y
Q , Q - lực cắt x y
Hình 5.3
Phương trình cân cho phần tử vỏ xây dựng từ mơ hình hình 5.3 Xét phần tử vỏ thoải trình bày hình, viết phương trình cân lực chiếu trục 0x:
∂ ∂ N
y dy xy
∂ ∂
N x dx
x
dy + (N + )dy - N
-Nx x xydx + ( Nxy + )dx = (5.8)
và công thức tương tự cho lực chiếu trục 0y Sau rút gọn hai phương trình có dạng:
0
= +
y N x
Nx xy
∂ ∂ ∂ ∂
0 = +
y N x
Nxy y
∂ ∂ ∂ ∂
(5.9) Trong công thức cuối bỏ qua Q , Q1 đại lượng mang giá trị nhỏ
nhiều so với N , N N1 xy Nhìn cơng thức (5.9) nhận ra, hệ
phương trình tốn đàn hồi phẳng
Phương trình cân xác lập theo trục Oz có đặc tính sau Độ lồi ban đầu wI(x,y) vỏ, tính từ điểm mặt trung hịa đến mặt chuẩn qua cạnh thành
(4)trung hòa tác động lực Các thành phần tạo thành độ võng tính tốn (w + wI)
trong phương trình cân Tiến hành chiếu lực trục Oz, nhận thấy:
dxdy x w w R N dxdy x w w x
N I I
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ + ∂ + + ∂ + ∂ ∂ ∂ 2 1
1 ( ) ( )
(5.10)
vaø dxdy y w w R N dxdy y w w x
N I I
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ + ∂ + + ∂ + ∂ ∂ ∂ 2 2
2 ( ) ( )
(5.11)
Trong công thức R R bán kính cung ds ds 2
Chiếu lực cắt Nxy Nyx trục Oz, thực phép tính cân thấy:
dx y x w w y w
wI I
∂ ∂ ∂ ∂
∂( ) 2( + )
+ + x w wI ∂ ∂( + ) dx x N ∂ ∂
+( N + )[ ] dy -
-Ndy dx y x w w x w
wI I
∂ ∂ ∂ ∂
∂( ) 2( + )
+ + Ndx x w wI ∂ ∂( + ) dy y N ∂ ∂
+( N + )[ ] dx =
y x w wI ∂ ∂ ∂2( + )
y w w x N I ∂ ∂ ∂ ∂ ( + ) x w w y N I ∂ ∂ ∂ ∂ ( + )
2N dxdy + [ + ]dxdy (5.12)
Thành phần Q Q chiếu trục Oz có daïng:
∂ ∂ Q y dy y ∂ ∂ Q x dx x
(Q + x )dy - Q dy + ( Q + x y )dx - Q dx + y
2 ) ( x w wI ∂ ∂ + 2 ) ( y w wI ∂ ∂ +
+ N x dxdy + Ny dxdy +
y x w wI ∂ ∂ ∂2( + )
x w wI ∂ ∂( + ) ∂ ∂ ∂ ∂ N x N y x y +
2Nxy dxdy + ( ) dxdy +
∂ ∂ ∂ ∂ N y N x y xy + ( + ) y w wI ∂ ∂( + )
dxdy + q(x,y)dxdy = 0; (5.13)
Hình 5.4 Sau rút gọn phương trình:
y Q x
Qx y
∂ ∂ ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +
+ 2
1 ) ( x w w R I ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +
+ 2
2 ) ( y w w R I ∂ ∂
+ Nx + Ny +
y x w wI ∂ ∂ ∂2( + )
+ 2Nxy + q(x,y) = 0; (5.14)
Phương trình momen với ký hiệu M = Mxy = Myx:
∂ ∂ M y y ∂ ∂ M x
(5)∂ ∂ Q
y
y dy
2
(Q + y dy) dxdy - q(x,y)dxdy = (5.15)
Tương tự cách làm viết phương trình momen trục 0y Kết rút gọn phương trình momen :
∂ ∂
∂ ∂ M
y M
x
y x
+ y
Q = y
∂ ∂
∂ M xy
M y
x xy
+
Q = x (5.16)
Phương trình cuối cho phép thay đổi cách viết biểu thức (5.14) Đưa giá trị Q , Qx y
vào phương trình (5.14) nhận công thức sau:
y x
M y
M x
Mx y xy
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂
2 2
2
2
+
+ ⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎣
⎡ +
+ 2
1
) (
1
x w w R
I
∂ ∂
⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣
⎡ +
+ 2
2
) (
1
y w w R
I
∂ ∂
+ Nx + Ny +
y x
w wI
∂ ∂ ∂2( + )
+ 2Nxy + q(x,y) = 0; (5.17)
Và điều kiện cân phần tử vỏ cho phép viết phương trình (5.9), (5.17) chứa ẩn số ứng lực N , N , Nx y xy (hoặc Nyx), M , M , Mx y xy (hoặc Myx) Bài
tốn tìm nghiệm ứng lực vỏ trở thành bất định Giống toán lý thuyết đàn hồi, tốn tính vỏ bất định, tính phần tử vỏ vơ bé Lối cho vấn đề này, theo thơng lệ tiến hành lý thuyết đàn hồi tìm đến chuyển vị biến dạng vỏ
2 Biến dạng vỏ thoải
Chuyển vị điểm mặt trung hịa phần tử vỏ phân thành ba thành phần, thực toán lý thuyết đàn hồi: u , v , w0 Chuyển
vị điểm vỏ, nằm cách mặt trung hòa khoảng cách z mang ký hiệu u, v, w Như đề cập giả thiết, chuyển vị w không thay đổi theo chiều dầy vỏ, ký hiệu dùng w cho trường hợp điểm vỏ, kể nằm mặt trung hòa
Trường hợp vỏ cong, bán kính cung cong R, biến dạng chiều dài phần tử vỏ bị thay đổi, tùy thuộc độ lớn R
(R - w)d1 α - R d1 α = -wdα (5.18)
’
Hậu là, biến dạng bổ sung theo hướng trục Ox (εx) biến dạng pháp w là:
1
'
R w d
R wd x =− α =−
α
ε (5.19)
2
'
R w d
R wd y =− α =−
α
ε (5.20)
Tương tự vậy, biến dạng bổ sung theo hướng Oy là:
(6)a – khoảng sườn
Bỏ qua thành phần vơ bé, phương trình ổn định vỏ tựa tự có dạng:
( )([ )
( )] ( ) ( )
⎭ ⎬ ⎫ − +
+ +
− +
+ − + ⎩
⎨ ⎧
− −
+ =
2 2
2
4
2 2 2
2
2
1
1
12
,
1 *
n E taR
EI n
m m m
n m
R t n
m R Eh q
α α ν
α
α ν
α
(5.108)
Các công thức (5.103), (5.104), (5.108) xác định tải trọng giới hạn mặt lý thuyết Kết tính theo công thức lớn giá trị thu từ thí nghiệm ổn định Những người làm cơng tác nghiên cứu ổn định vỏ ngành tàu thường sử dụng thêm hệ số hiệu chỉnh tính giá trị tải trọng giới hạn cho kết cấu thực Các hệ số bao gồm thành phần tính đến ảnh hưởng sai lệch mặt cắt kết cấu so với vòng tròn η1, ảnh hưởng vật liệu η2, dùng cho vật liệu khơng hồn tồn tn thủ định luật Hooke Như thực tế tính tốn, áp lực giới hạn cần tính theo cơng thức sau hiệu chỉnh:
qcr = η1q* (5.109)
Hệ số η1 thu từ thí nghiệm: 0,6 < η1 <
7 Ổn định vỏ cầu
Vỏ cầu kín có ứng dụng rộng rãi cơng trình dân dụng Chúng ta khảo sát vỏ cầu bán kính R đủ lớn, chịu áp lực q, tác động từ phía lồi Khi ổn định mặt vỏ xuất hàng loạt chỗ lồi, kích thước điểm lồi nhỏ so với R Những điều kiện cho phép áp dụng công thức (5.93) khảo sát tính ổn định
Trước tiên ần xác định ứng suất chuỗi cho trạng thái khơng momen Vì vỏ cầu chịu áp lực đều, đối xứng qua tâm cầu, ứng suất chuỗi tính biểu thức:
0
σ1 = σ2 = τxy0 = 0 (5.110)
Mặt khác viết:
0
σ1 = σ2 = 0σ = qR/2t (5.111)
Đưa biểu thức cuối vào đạo hàm phương trình (5.93) đưa lại phương trình sau:
4 4
D∇ ∇ ϕ + t.σ ∇ ∇ ϕ + (Et/R2)∇ ϕ4 = (5.112)
Với vật liệu đẳng hướng, w = ∇ ϕ, phương trình mang dạng:
4
D∇ w + t.σ ∇ w + (Et/R2)w = 0 (5.113)
Để xác định tải trọng gây ổn định vỏ cầu, cần phải giải phương trình (5.113), tìm nghiệm khác Cách làm thể ví dụ cụ thể sau
2
Giả sử ∇ w = λw, (5.114)
trong λ ẩn số toán
Thay biểu thức (5.114) vào phương trình (5.113) rút gọn nhận được:
0 + +σ λ =
λ Et t
(7)Từ đó:
λ λ
σ0 2
R Et D
t =− + (5.115)
Bây cần xác định λ , hàm
t qR
2 =
σ đạt cực trị
0 2
= +
− =
λ λ
σ
R Et D d
t d
Ứng suất σ giá trị nhỏ (5.116)
2
DR Et
± =
λ
Do đó:
3 2
0
2
λ λ
σ
R Et d
t d
−
= nên ứng suất σ0 đạt minimum tại: Vì
D Et R
1
− =
λ (5.117)
Thay biểu thức tính λ vào (5.114) nhận quan hệ:
DEt R
t
0 =
σ
Từ áp lực giới hạn phải là:
2
) (
2
* ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −
=
R t E q
ν (5.118)
Với vật liệu có ν = 0,30 viết:
2 21 ,
* ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
R t E
q (5.119)