Taám laøm vieäc trong ñieàu kieän keå sau thöôøng gaëp ôû taám saøn, taám ñaùy ngoaøi, taám ñaùy trong taøu, saøn, boong chöùa haøng, thaønh caùc keùt nöôùc, keùt daàu vv.... treân [r]
(1)CHƯƠNG TẤM MỎNG 1 Tấm
Vỏ tàu thủy, máy bay, thân tô, phương tiện giao thông khác thông thường thuộc kết cấu vỏ, gia cường nẹp dọc, nẹp ngang Vì độ cứng nẹp gia cường lớn độ cứng tấm, thực tế thường thấy tựa lên nẹp gia cường lúc làm việc Trong số trường hợp mép bị ngàm kết cấu kiên cố
Tấm thành phần vỏ tàu thủy, máy bay, ô tô chịu tải trọng mặt phẳng tấm, trạng thái biến dạng phẳng ứng suất phẳng Đó trường hợp sàn, boong không chứa hàng tàu bay, ô tô, tàu thủy, vách, sườn khỏe tàu dầu vv Trong trường hợp khác chịu tác động tải trọng theo phương pháp tuyến gây uốn Tấm làm việc điều kiện kể sau thường gặp sàn, đáy ngoài, đáy tàu, sàn, boong chứa hàng, thành két nước, két dầu vv phương tiện vận tải
t
t/
2
t/
2
θ θ
Tấm mỏng
Chuyển vị
x x
z z
y y
u v
w x v
p O
Hình 1.1
Tấm mỏng xét hệ tọa độ 0xyz, trục 0z vng góc với mặt trung hòa tấm, mặt 0xy song song với mặt phẳng Những giả thiết dùng cho mỏng gọi giả thiết Kirchhoff1 áp dụng cho mỏng2:
1 Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)
(2)1 Độ võng bị uốn w theo hướng trục 0z phân bố theo chiều dầy đại lượng nhỏ
2 Chuyển vị u,v mặt x0y nhỏ so với w
3 Pháp tuyến mặt trung hòa trước bị biến dạng giữ ngun tư vng góc với mặt trung hịa sau biến dạng Chiều dài đoạn thẳng vng góc với mặt trung hịa, qua tấm, khơng thay đổi kích thước kể sau chịu tải trọng
Từ lý thuyết đàn hồi, nhận quan hệ biến dạng – chuyển vị toán phẳng dạng sau, dùng cho tấm:
⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫
∂ ∂ + ∂ ∂ =
∂ ∂ =
∂ ∂ =
x y u
y x u
xy y x
v v
γ ε ε
(1)
Các giả thiết Kirchhoff nêu cho phép diễn đạt phương trình chuyển vị u, v theo chuyển vị w góc xoay
y w x
w
y x
∂ ∂ − = ∂
∂ −
= θ
θ ; mặt trung
hòa theo cách sau:
w
z
u=
z
x x
z y
A
A
A
t
θ
zθ
Hình 1.2
⎭ ⎬ ⎫ × =
× =
y x z z u
θ θ
v (2)
Thay biểu thức tính u, v từ (2) vào (1) nhận biểu thức tính biến dạng Từ giả thiết đảm bảo độ vuông góc pháp tuyến sau biến dạng, biểu thức γxz = γyz = 0, biến dạng εz = 0 biến dạng
(3)⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ × = ∂ ∂ × = ∂ ∂ × = x y z y z x z y x xy y y x x θ θ γ θ ε θ ε (3)
Nếu ký hiệu
x y y x y x xy y y x x ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = θ κ θ κ θ θ
κ ; ; , phương trình (3)
trở thành: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ × = × = × = xy xy y y x x z z z κ γ κ ε κ ε (3a)
Thay theá w
y w x y x ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = θ
θ ; vaøo (3) thấy:
⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ ∂ × − = ∂ ∂ × − = ∂ ∂ × − = y x w z y w z x w z xy y x 2 2 2 γ ε ε (4)
Quan hệ biến dạng – ứng suất thể định luật Hooke, trường hợp xem xét có dạng:
( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x xy y x E τ σ σ υ υ υ γ ε ε 0 1
1 (5)
Từ tính vec tơ ứng suất trạng thái ứng suất phẳng:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − xy y x xy y x E γ ε ε υ υ υ τ σ σ υ 2 0 1
1 (6)
Trong nghiên cứu mỏng, thay xem xét ứng suất σx, σy, τxy người ta
(4)∫ ∫
∫
− −
−
= =
=
2 /
2 /
/
2 /
/
2 /
; ;
;
t t
xy xy
t t
y y
t t
x
x dz N dz N dz
N σ σ τ
Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng quan hệ hợp lực biến dạng tương tự phương trình định luật Hooke:
vaø
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
−
xy y x xy
y x
Et N
N N
γ ε ε υ
υ
υ υ
2
0
0
0
1 (7)
hoặc tính ngược lại:
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
+ −
− =
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
xy y x xy
y x
N N N Et
) ( 0
0
0
1
υ υ
υ γ
ε ε
(8) Ứng suất hợp lực phần tử diễn tả hình
t/
2
t/
2
Momen lực
σ τ σ
τ τ
τ τ
σ τ ττ
σ
z y
x
x y
x O
q y
q M
M M
M yx
y
x
xy
xy xy
xy xy y
yx yx
xz xz
x x
y
Hình 1.3 Momen uốn, momen xoắn lực cắt liên quan ứng suất vừa trình bày biết dạng:
Momen uốn, momen xoắn ∫
− ⎪
⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
2
2
t
t
zdz M
M M
xy y x xy
y x
τ σ σ
(9)
q ⎫ t ⎧ ⎫
(5)Thay biểu thức tính ứng suất từ (6) vào biểu thức (9) thấy rằng: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − xy y x xy y x Et M M M κ κ κ υ υ υ υ 2 0 1 ) (
12 (11)
Đại lượng ) ( 12 υ − = Et
D công thức cuối có tên gọi độ cứng tấm Trường hợp biểu diễn hệ số κx, κy, κxy quan hệ với w:
y x w y y w y x w x x xy y y x
x ∂ ∂
∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ ∂
= θ 22 ; κ θ 22 ; κ θ 2
κ quan hệ (11)
hiểu theo cách khác sau:
( ) ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ y x w x w y w y w x w Et M M M xy y x 2 2 2 2 2 ) ( 12 υ υ υ
υ (11a)
Từ phương trình (11) viết: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x xy y x M M M Et ) ( 0 1 12 υ υ υ κ κ κ (12)
Thay hệ số từ (12) vào phương trình (3a) tiếp thay kết vừa nhận vào (6) nhận biểu thức tính ứng suất trạng thái ứng suất phẳng:
(6)( ) ( ) ( )
∑∞
=
Φ = ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ − +
1
2
2 ''
2 )
4
( ,
sin ) (
) (
) (
m
m m
m m f m f m
f
α η ξ πξ η
π α η π
α β
η (q)
Hàm Airy xác lập dạng chuỗi lượng giác: ∑∞
=
Φ = Φ
1
sin ) ( )
, (
m
m η mπξ
η
ξ (r )
trong (η) ( )ξ,η sinmπξdξ (s)
1
0
∫Φ
= Φ
Thay (r ) vào (q) cân hệ số phương trình lượng giác, nhận phương trình vi phân tiếp theo, cần thiết cho xác định fm(η)
( ) ( )4 ( )2
'' )
4
( ,
) (
) (
) (
α η ξ η
π α η π
α β
η − m + m = Φ
m m f m f
f (t)
Phương trình chung chứa bốn số tích phân Các số xác định theo điều kiện biên, ví dụ η = const Điều kiện biên dạng không hạn chế
Một cách giải sau Viết hàm (t) dạng:
( ) ∑
=
+
=
1 ) (
s k s r
m m
s e C f
f η η (a*)
trong (r) - nghiệm riêng phương trình vi phân, m
f
Cs - số tích phân, ks - nghiệm phương trình đặc trưng
Phương trình đặc trưng có dạng:
( ) ( )
2 2 2
4 − + π =
α π
α β
m k
m
k (b*)
Nghiệm phương trình đặc trưng laø:
2
1 1
β α
β
π ± −
± = m
ks (c *)
Hàm fm(η) phụ thuộc vào dấu biểu thức bậc hai biểu thức cuối
Neáu 12 >1
β , điều cho vật liệu đẳng hướng, dấu biểu thức dấu
sẽ âm, nghiệm thu nghiệm phức Trong trường hợp này, tích phân tổng qt mang dạng:
( )η mcosh πδηcos πϖη msinh πδηsin πϖη
m A m m B m m
f = + +
(7)trong đó: 1 ;
1 ;
1
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
− =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛
+ =
β α
β ϖ β
α β
δ (e*)
Với 12 =1
β , nghiệm phương trình số thực cịn α π
m
ks =± hàm fm(η)
sẽ bằng:
) ( sinh
sinh
cosh cosh
) (
)
( η
η α
π η
α π η
α π
η α
π η
α π η
α π η
r m m
m
m m
m
f m
m D m
C
m m
B m
A f
+ +
+ +
=
(f*)
Với vật liệu đẳng hướng viết: β = 1; α = γ2, hàm fm(η) tìm dạng:
) ( sinh
sinh
cosh cosh
) (
)
( η
η γ
π η
γ π η
γ π
η γ
π η
γ π η
γ π η
r m m
m
m m
m
f m
m D m
C
m m
B m
A f
+ +
+ +
=
(g*)
Trường hợp lại 12 <1
β , nghiệm số thực hàm fm(η) mang dạng:
) ( sinh
cosh
sinh cosh
) (
) ( 2
1
η η
πδ η
πδ
η πδ η
πδ η
r m m
m
m m
m
f m
D m
C
m B
m A
f
+ +
+ +
=
(h*)
trong đó:
2
2
1 1 ;
1 1
β α
β δ
β α
β
δ = + − = − − (i*)