Vì vậy ở đây tác giả đã kết hợp việc sử dụng phương trình giải tích của trục cong để tính ma trận độ cứng cho vòm, từ đó dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính nội lực ch[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG
TÍNH TỐN NỘI LỰC HỆ KHUNG VỊM CYCLOID PHẲNG
ThS LÂM THANH QUANG KHẢI Trường Đại học Cửu Long
Tóm tắt: Việc sử dụng mơ hình phần tử hữu hạn
trong tính tốn hệ kết cấu khung (cột dầm ngang) đã trở nên đơn giản việc tính toán nội lực và chuyển vị hệ Tuy nhiên hệ khung vòm (cột vòm) trở nên phức tạp việc phải xây dựng ma trận độ cứng cho vòm Tuỳ thuộc vào vòm xét vòm tròn, vòm parabol, vòm cycloid, mà ta có ma trận độ cứng khác Trong báo tác giả xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vịm cycloid từ phương trình trạng thái đầu cong sở để xây dựng ma trận độ cứng cho loại vòm cong khác Dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính nội lực cho hệ khung vịm cycloid phẳng chịu tải trọng tĩnh
Từ khố: Vịm cycloid, kết cấu khung, ma trận độ cứng, cong
Abstract: Using the finite element modelling in the frame analysis (column and beam) is much easy normally But use the “exact” finite element method in the curve system (column and arch) possibly be more complicated due to establishment of the stiffness matrix for the curve (arches) elements Depending on the arch is considering: the circular arch, parabolic arch, cycloid arch but have different stiffness matrix In this paper the authors have built stiffness matrix for cycloid arch element Using finite element method for calculating flat cycloid arch by static loads
Key words: cycloid arch, frame structure, stiffness matrix, curved bar
1 Đặt vấn đề
Kết cấu cong ngày sử dụng rộng rãi nhiều ngành: từ ngành xây dựng dân dụng như: mái vòm cổng chào, vịm cơng trình văn hóa nghệ thuật, cung điện, nhà thờ,… đến ngành giao thơng như: loại cầu vịm, cầu dẫn cảng hàng không, bến tàu cầu vượt cạn,…
Trong tính tốn cong phương pháp phần tử hữu hạn, ta thường chia cong thành đoạn thẳng gãy khúc Tất nhiên chia cong thành đoạn thẳng gãy khúc dẫn đến độ xác hạn chế phụ thuộc vào số đoạn chia Mặt khác sử dụng phương trình giải tích trục cong để tính cong khắc phục nhược điểm Phương pháp cố GS.TSKH Nguyễn Trâm đề xuất luận án tiến sĩ khoa học Liên Xô (cũ) [5] tác giả nghiên cứu tiếp tục phát triển phương pháp để tính tốn nội lực chuyển vị cho hệ khung vòm phẳng khác Mặc dù độ xác mặt lý thuyết phương pháp cao chưa quan tâm mức phức tạp tính tốn Ngồi ra, sử dụng phần tử cong số phần tử so với phần tử “thanh-dầm” thơng thường, với tốc độ phát triển mạnh phần cứng máy tính ngày vấn đề chia nhiều phần tử sử dụng phần tử thông thường dễ dàng giải mở rộng vượt bậc nhớ nhớ so với thập niên 80-90 kỷ trước Vì phần tử cong khơng sử dụng chương trình phần tử hữu hạn thương mại Mặc dù vậy, mặt lý thuyết việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử cong xa lạ kỹ sư, chuyên gia lĩnh vực phần tử hữu hạn phương pháp số Do đó, vấn đề nghiên cứu có ý nghĩa khoa học thực tiễn định
Vì tác giả kết hợp việc sử dụng phương trình giải tích trục cong để tính ma trận độ cứng cho vịm, từ dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính nội lực cho hệ khung vịm cycloid
2 Nội dung nghiên cứu
(2) E U PT U M PT uxuyuz x z M x M z Px PzT
Trong đó: ux,uy,uz: thành phần vecto chuyển vị thẳng; x,y,z: thành phần vecto chuyển vị xoay; Mx,My,Mz: thành phần vecto mô men; Px,Py,Pz: thành phần vecto lực;
U: vecto chuyển vị tổng quát; P: vecto lực tổng qt tải trọng ngồi
Hình Phần tử vòm tổng quát
Dưới dạng ma trận, ta có thành phần trạng thái đầu so với đầu cong:
2
2
2
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
x x
y y
z z
x x
y y
z z
M z z y y M
M z z x x M
M y y x x M
P P
P P
P P
(1)
Để đơn giản (1), ta dùng dạng ma trận chia khối:
1
P 12
1 3
12
2
1
P A
P
P M A P
M
Trong đó:
0
0
1
2
1
2
1
2 12
x x y
y
x x z
z
y y z
z
A
13, 03: ma trận đơn vị ma trận khơng có kích thước 3x3
Tương tự ta có: bd
bd bd
T U
U A U
U U A
U
U 1
12
1 3
21 2
1
Cuối ta phương trình trạng thái đầu cong bất kỳ:
1
12 1
* 12
2
0
P U
A A B A
A P
U
P T U
ds
Hay: Ej Tij Ei
ij i
i pp pu
up uu j
j T
T T
T T
E P
U P
U
E
(2)
Với: U ij uu
T A * 1 1
i
T j
up ds
T A B A Tpu 0
p ij pp
T A
(3)Sau biến đổi (2) ta được:
j i up pp uu up pp pu
up uu
up j
i
T T T T T T
T T
T
U U P
P
1
1
Tóm lại ta có ma trận độ cứng K phần tử vòm sau biến đổi:
22 21
12 11
k k
k k
Kij (3) Trong đó:
T i i
U ij T j i
uu
up T ds ds
T
k11 A B A* A A B A*
T j j
T j i
p ij up
pp T ds ds
T
k 1 * *
22 A A B A A B A
T j i
up ds
T
k12 A B A*
T i j
uu uu
up pp
pu T T T k T ds
T
k 22 *
1
21 A B A
2.1 Phần tử vòm phẳng
Cơng thức (3) cơng thức tính ma trận độ cứng phần tử vịm khơng gian Cịn vịm phẳng có trục nằm mặt phẳng toạ độ 0xy nên toán phẳng số thành phần vecto trạng thái khơng, ma trận giảm kích thước từ 12x12 xuống 6x6
Các vecto P U vecto thành phần:
T
y x z P P
M
P U ux uy zT
Trong đó: thành phần Pz, Mx, My, uz, x, y khơng có, hàng cột tương ứng ma trận đặc trưng loại bỏ
Ma trận dạng
2
1 1 0
0 1
i i
i i
A x
y
A với Ai yi xi i12
2 12 1 2 12
1 1
0
0
0
A x
x y y
P
A với
T
x x
y y A
2
1 12
y y y x
x y x x HP
' cos ' cos
' cos ' cos
HM cosz'z
Do đó:
z z y y y x
x y x x H
H
M P
' cos
0
0 ' cos ' cos
0 ' cos ' cos
0
*
H
Mặt khác ta có:
1 cos
cos cos
cos cos
z'z ds
dy x'y y'x
ds dx y'y x'x
Ma trận *
H biểu diễn thơng qua đạo hàm
ds dx x'S
ds dy y'S
1 0
0 ' '
0 ' '
S S
S S
x y
y x
*
H
Do ma trận *
H ma trận vng phản xứng nên có tính chất sau:
T P
P H
H 1 HM1HMT
1 0
0 ' '
0 ' '
1
S S
S S T
x y
y x
* *
(4)
0
0
12
0
2 EA
EI ds EA M
z
P Do
0 12
2
z
EI ds
z M
EI
M
EA y EA
y x
EA y x EA x H
M H
S S S
S S S T P P P
P
2
' ' '
' ' ' M
z T M M M M
EI H
M
H
M
z z M
EI x EI
y A
M
Các ma trận B có dạng:
z z M
T
EI x EI
y
A M
z z
z z
M T
EI x EI
xy EI
xy EI
y A
A 2
2
M
z S
z S S
z S S z S
M T P
EI x EA y EI
xy EA
y x
EI xy EA
y x EI
y EA x A
A 2 2
2
' '
'
' ' '
M M
Ghép vào, ta ma trận B :
z z
z
z S
z S S z
z S S z S
z
EI x EI
y EI
EI x EA y EI
xy EA
y x EI
x
EI xy EA
y x EI
y EA x EI
y
1
' '
'
' ' '
2 2
2
B (4)
2.2 Phần tử dầm chịu uốn
Để kiểm tra độ xác việc xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vòm phẳng, ta sử dụng ma trận độ phần tử vịm phẳng để tính ma trận độ cứng cho phần tử thẳng mà ta biết ma trận độ cứng Xét phần tử thẳng (hình 2), phần tử có bậc tự đầu
Hình Phần tử thẳng
Ta có :
1 a
Tuu
2
6
2
a a a EI
a
Tup
a a EI
a Tpp
0
Vậy ma trận độ cứng K phần tử thẳng:
2
2
12 12 6
2
a EI a
EI a
EI a
EI T
k up
2
11 12 6
4
a EI a
EI a
EI a
EI T
(5)
2
2
22 12 6
4
a EI a
EI a EI a
EI T
T k pp up
2
2 22
21 12 6
2
a EI a
EI a EI a
EI T
k
k uu
a a a a
a a
a a a a
a a
a EI K
3 6
2 3
3 6
1 3
2
2
2
(5)
=> Hoàn toàn giống tài liệu xuất Do ma trận độ cứng phần tử thẳng suy từ ma trận độ cứng phần tử vòm phẳng lập Mà ma trận độ cứng phần tử thẳng đứng, ma trận độ cứng phần tử vòm phẳng phải
2.3 Hệ khung vòm cycloid [3]
Sau ta xây dựng ma trận B ma trận độ cứng cho phần tử vòm phẳng Ta xây dựng ma trận độ cứng cho vịm cycloid
Xét hệ khung phẳng có dạng vịm cycloid, vịm có trục nằm mặt phẳng toạ độ oxy, chân cột đứng khung bị ngàm chặt, chịu tải trọng tác dụng hình vẽ (hình 3)
Hình Hệ khung vịm cycloid
Phương trình tắc vịm cycloid:
cos
sin a y
a x
0
Ta có:
2 sin
2
d a
dy d
dx d
ds
2 sin sin
cos ' '
'
a a s x
xS
2 cos sin
sin '
'
'
a a s y yS Ma trận dạng B:
EI a EI
a EI
a
EI a EA
a EI
a EI
a
EI a EI
a EA
a EI
a
ds B
2
2 3
2
3
2
2
0
8
32
45 128 16
3
32
3 32 15
256
16
32
B
Vậy ma trận độ cứng k phần tử vòm cycloid, với k ma trận 6x6:
22 21
12 11
k k
k k
(6) 1 * 1 1 11 0 0 1 0 1
x B
y B x y ds k I I I I T I
I B A
A
k22 AII B1dsA*IIT
0 0 1 0 1 a B a 0 0 1 0 0 1 0 1 1 *
12 x B a
y B x y ds k II II I I T II
I B A
A
1 * 1 1
21 0 1 0 0 1 0 1
B
a x y B x y ds k I I II II T I II A B A
Ví dụ: Giả sử cho hệ khung vịm cycloid (hình 3) Cho a=1m, Px Py 10kN,
6
10 210x
E (kN/m2),
02
A (m2),
10
5
I (m4) Vẽ biểu đồ lực dọc, lực cắt, mô men uốn phần tử
Giải:
Ta có phương trình phần tử hữu hạn hệ: K U F
4 3 2 1 4 3 2 1 M F F M F F M F F M F F U U U U U U U U K y x y x y x y x y x y x y x y x 4 1 3 2 0 0 10 10 0 0 0 M F F M F F U U U U K y x y x y x y x 0 0 10 10 6 10 3 2 y x y x U U U U x
Các điều kiện biên: U1x U1y 1U4xU4y 40 M2F3x F3y M30 F2yF2y 10 Vậy phản lực gối tựa nút 1, (ngàm):
3.8941 3.5973 1.6831 -4.3330 13.5973 -1.0593 -4 4 1 M F F M F F y x y x m kN kN kN m kN kN kN . .
Biểu đồ lực dọc, lực cắt mô men uốn hệ (hình 4):
(sang trái) (hướng xuống)
(ngược chiều kim đồng hồ) (sang trái)
(hướng lên)
(7)Hình Biểu đồ nội lực hệ khung vòm cycloid
3 Kết luận
Trên sở ma trận B , xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vòm khác như: vòm tròn, vòm parabol
Với cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử vịm từ phương trình giải tích trục cong khắc phục sai số chia đoạn cong thành đoạn thẳng gãy khúc
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lâm Thanh Quang Khải, Nguyễn Trâm (2011), “Ma trận kết cấu dầm cong chịu lực phức tạp không gian chiều”, Tạp chí xây dựng (ISSN 0866-0762) - Bộ xây dựng, số tháng 10/2011
[2] Lâm Thanh Quang Khải (2013), “Xây dựng toán dầm cong phẳng dạng vòm parabol chịu tải trọng
phân bố đều”, Tạp chí xây dựng (ISSN 0866-0762) - Bộ xây dựng, số tháng 1/2013
[3] Lâm Thanh Quang Khải (2013), “Xác định nội lực chuyển vị đứng vịm cycloid chịu nhiều tải trọng tập trung”,Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng (ISSN 1859-1566) –Viện KHCN Xây dựng, số 1/2013
[4] Nguyễn Trâm (1995), “Kết cấu dầm cong phẳng chịu lực phức tạp không gian chiều”, Tuyển tập cơng trình khoa học Trường Đại Học Xây Dựng, số 3/1995, Tr 11-17
[5] Nguyễn Trâm, “Lý thuyết tính tốn khơng gian kết cấu nhịp cầu hệ tổng thể phức tạp”, Luận án tiến sỹ khoa học (bản dịch từ tiếng Nga)
Ngày nhận bài:04/6/2016