Chúng ta đã giả thiết rằng, được thực hiện một cách hoàn chỉnh, việc lấy mẫu sẽ không làm mất hiệu lực các kết quả thu được từ việc phân tích các hàm liên tục.. Nhưng lấy mẫu vố[r]
(1)Chương 12
XỬ LÝ DỮ LIỆU LẤY MẪU 12.1 GIỚI THIỆU
Trong chương trước, đề cập đến xử lý ảnh số mà không đặc boiệt ý đến ảnh hưởng việc lấy mẫu Chúng ta giả thiết rằng, thực cách hoàn chỉnh, việc lấy mẫu không làm hiệu lực kết thu từ việc phân tích hàm liên tục Nhưng lấy mẫu vốn thuộc xử lý số Cho nên, sử dụng công cụ mà phát triển chương trước để tiếp cận việc lấy mẫu cách súc tích hiệu chương
Trước hết, điều tra nghiên cứu nhánh (ramification) lấy mẫu ảnh liên tục xử lý liệu lấy mẫu Đặc biệt, trả lời câu hỏi sau đây: (1) Trong phạm vi việc lấy mẫu làm mát thông tin? (2) Khi lấy mẫu hàm liên tục khơi phục lại cách đầy đủ khơng có thig nào? (3) Chúng ta phải lấy mẫu hàm chi tiết đến mức để bảo tồn nó? (4) Việc lấy mẫu có ảnh hưởng lên phổ hàm? (5) Nếu coi hàm lấy mẫu thể hàm liên tục phải gồm giả thiết, giá trị xấp xỉ, lỗi gì?
12.2 LẤY MẪU VÀ PHÉP NỘI SUY
Trước miêu tả kết lấy mẫu cách định lượng, phải thiết lập thủ tục tốn học để mơ hình hố q trình Để thực điều này, sử dụng hàm đặc biệt gọi hàm Shah
12.2.1 Hàm Shah
Một công cụ quan trọng cho việc mô q trình lấy mẫu dãy (train) xung vơ hạn, III(x), đọc “Shah x” định nghĩa
n
n x x
III( ) ( ) (1)
III(x) chuỗi xung đơn vị biên độ nằm cách trục x Thật may mắn cho chúng ta, hàm Shah biến đổi Fourier nó; tức là,
) ( )} (
{III x III s
(2)
Chúng ta sử dụng hàm để mô q trình lấy mẫu tín hiệu liên tục
12.2.1.1 Tính đồng dạng
Nếu thay lý thuyết đồng dạng
a s F a ax f( )}
(2)Vào biểu thức (2), ) ( s III x
III
(4)
Trong phổ dãy xung nằm cách khoảng 1/ trục s (Hình 12-1)
Nên nhớ tính đồng dạng, xung có tính chất kỳ lạ ) ( ) ( x a ax
(5)
Bởi III(x) dãy vơ hạn xung có khoảng cách [biểu thức(1)] nên biểu tính chất giãn nén lại Đặc biệt,
n n a n x a n ax ax
III( ) ( ) (6)
Nghĩa n a n x a ax
III (7)
HÌNH 12-1
Hình 12-1 Hàm Shah phổ Nếu ta đặt a = 1/ ta có
n n x x
III
(8)
Hay xung nằm cách khoảng Chú ý khoảng cách xung đơn vị khoảng cách nhân với hệ số cường độ xung Biến đổi biểu thức (8) ta
(3)Hai biểu thức sau rõ dãy xung cường độ đặt cách khoảng miền thời gian tạo dãy xung đơn vị đặt cách khoảng 1/ miền tần số Dĩ nhiên, chia biểu thức (8) cho để xung đơn vị cường độ miền thời gian xung cường độ 1/tương ứng miền tần số
12.2.2 Lấy mẫu hàm Shah
Giả sử hàm Shah bị giới hạn dải tần tần số s0; tức là,
0
0 )
(s s s
F (10) Điều cho thấy hình 12-2 Nếu lấy mẫu f(x) khoảng cách nhau, triệt tiêu toàn hàm f(x) ngoại từ điểm x = n Chúng ta mơ q trình lấy mẫu phép nhân đơn giản hàm f(x) với III(x/) để tạo thành hàm lấy mẫu g(x) Quá trình triệt tiêu hàm điểm lấy mẫu cách chia cho bảo toàn giá trị hàm điểm lấy mẫu cường độ xung kết Hình 121-3 minh hoạ cho hàm lấy mẫu Sự thuận tiện toán học khiến cho mơ hình lựa chọn làm phương pháp lẫy mẫu
HÌNH 12-2
Hình 12-2 Hàm giới hạn dải
(4)12.2.3 Lấy mẫu phổ
Bây xem xét việc lấy mẫu phổ f(x) cho ta Lý thuyết phép nhân chập cho nhân f(x) với III(x/), nhân chập F(s) với III(s) Nhắc lại III(s) chuỗi xung đơn vị cường độ nằm cách khoảng 1/ trục s Cũng cần nhắc lại phép nhân chập hàm với xung đơn tạo hàm Vì thế, phép nhân chập miền tần số tái tạo F(s) khoảng 1/trên trục s
Như hình 12-3, G(s) bao gồm phổ F(x) đặt trục s từ - đến Lưu ý phổ hàm lấy mẫu tuần hoàn với tần số Cho nên, hàm lấy mẫu khoảng cách bằng có phổ tuần hồn với tần số
12.2.4 Lý thuyết lấy mẫu
Bây hàm f(x) lấy mẫu, thông tin điểm lấy mẫu bị mất.nhưng khơi phục lại hàm ban đầu nguyên vnj từ điểm lấy mẫu khơng? Rõ ràng, phục hồi (reclaim) f(x) từ g(x) phục hồi F(s) từ G(s) Chúng ta thực phần sau đơn thần cách loại trừ tất mơ hình F(s), ngoại trừ hàm F(s) đặt gữa gốc Có cách để thực điều nhân G(s) với (s/2s1),
0 1 s s
s
(11)
Khi
F s
s s s
G (12)
Và lấy lại phổ f(x) từ phổ tín hiệu lấy mẫu g(x) hàm ban đầu cho
1 2s s s G s F x f (13)
Áp dụng lý thuyết nhân chập vào vế phải biểu thức (13) ta
x s x s s x g x f 1 2 sin (14)
Biểu thức cho biết cách thức khôi phục f(x) từ g(x): Chúng ta cần nhân chập hàm lấy mẫu với hàm nội suy dạng hàm sinc(x) = sin(x)/x
Quả thực biểu thức (14) cho thấy khơi phục f(x) từ g(x) cho ta biết cách thực điều Đầu tiên, f(x) phải giới hạn dải tần s0
[xem biểu thức (11)] vf thứ hai, mối quan hệ khoảng cách lấy mẫu dải giới hạn s0 phải thoả mãn biểu thức (11) Điều mà thực chứng minh lý
thuyết lấy mẫu biểu diễn hàm lấy mẫu với khoảng cách giống khơi phục hồn tồn từ giá trị lẫy mẫu, với điều kiện
(5)Trong hàm giới hạn dải tần s0
12.2.5 Phép nội suy
Kết nhân chập g(x) với hàm nội suy cho biểu thức (14) tạo mơ hình hàm sin(x)/x điểm lấy mẫu, giống hình 12-4 Biểu thức (14) bảo đảm tổng hàm sin(x)/x chờm lên tái tạo lại hàm ban đầu cách xác
Hình 12-4 minh hoạ cho trường hợp s1 = 1/2, biểu thức (11) cho phép
chọn tần số hàm sin(x)/x tuỳ ý hàm nghịch đảo khoảng cách lấy mẫu lớn nhiều so với giới hạn dải tần s0 Biểu thức cho phép đặt s1 vị trí
nào s0 1/ - s0 Để cho thuận tiện, đặt s1 trung điểm:
1
1
s (16)
Sau hàm nội suy trở thành
x
x sin
(17)
HÌNH 12-4
Hình 12-4 Nội suy hàm sin(x)/x
12.2.6 Dưới lấy mẫu trùm phổ (Undersampling and Aliasing)
Biểu thức (15) xác định rõ cách mà người ta lấy mẫy hàm có khả khơi phục hoàn toàn từ giá trị lấy mẫu Bây xem xét điều xảy điều kiện khơng thoả mãn
Giả sử >1/2s0 Tiếp theo F(s) tái tạo thành dạng G(s), mơ hình
riêng lẻ chờm lên cộng lại với (Hình 12-5) Sau nội suy, dùng hàm biểu thức (17), ta không khôi phục f(s) cách xác,
F s
s s s
G
(6)HÌNH 12-5
Hình 12-5 Chờm phổ
Kết chờm mơ hình phổ quan sát sau Năng lượng cao tần số s1 hạ thấp xuống s1 thêm vào phổ Việc hạ thấp lượng gọi
là trùm phổ, hiệu số f(x) hàm nội suy sai số trùm phổ
Chú ý f(x) chẵn F(s) chẵn trùm phổ có hiệu tăng lượng phổ Nếu f(x) lẻ, xảy điều trái ngược, lượng phổ giảm Nếu f(x) không chẵn khơng lẻ trùm phổ tâưng phần chẵn giảm phần lẻ, tạo thành hàm phổ chẵn trước
12.2.7 Ví dụ lấy mẫu
Các ví dụ sau minh hoạ trùm phổ miền tần số kết miền thời gian Giả thiết ta có hàm
t f t
f 2cos 2 (19)
Có phổ
s s f0 s f0
F (20)
Như hình 12-6 Cũng giả thiết lấy mẫu f(t) khoảng cách t Chu kỳ f(t) 1/f0
Trên lấy mẫu (Oversampling). Đối với trường hợp 1, giả sử
0
1
f
t (21)
HÌNH 12-6
(7)0
2
1
f t fN
(22)
Và có bồn điểm mẫu chu kỳ f(t)
Hình 12-7 cho thấy hàm lấy mẫu phổ Hình trình bày hàm nội suy phổ Bởi F(s) không chứa lượng lơn fN, nên f(t)
có thể hồn tồn khơi phục từ điểm mẫu
HÌNH 12-7
Hình 12-7 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp
Lấy mẫu tới hạn (Critical Sampling). Trong trường hợp 2, giả thiết
0
1
f
t (23)
Có nghĩa
0 f
fN (24)
Và có hai điểm mẫu chu kỳ Trường hợp minh hoạ hình 12-8 Ở đây, lấy mẫu hàm cosin đỉnh dương âm hàm khơi phục lại phép nội suy, trường hợp Trong miền tần số, xung từ mơ hình liên tiếp kết hợp s = f0, phổ
của hàm nội suy nhận giá trị 1/2 điểm đó, hàm khơi phục ngun vẹn
Dưới lấy mẫu (Undersampling). Đối với trường hợp 3, ta đặt
0
1
f
t (25)
Nghĩa
0
4
f
(8)HÌNH 12-8
Hình 12-8 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp
HÌNH 12-9
Hình 12-9 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp
Trường hợp minh hoạ hình 12-9 Ở đây, phổ tập trung s = 2fN
tạo xung trái nằm fN điểm s = f0/2 Nhờ vào phép nội suy, lượng
tại s = f0 hạ xuống đến tần số f0/2 Hình 12-9 cho thấy phép nội suy làm khít
một hàm cosin có tần số f0/2 qua điểm mẫu Điều mô tả sinh động thông tin
tần số cao làm để xuất thông tin tần số thấp
Dưới lấy mẫu chặt (Severe Undersampling). Trong trường hợp 4, ta đặt
0
1
f
t (27)
để
0
2
f
fn (28)
Trường hợp minh hoạ hình 12-10 Năng lượng f0 hạ xuống tần
(9)HÌNH 12-10
Hình 12-10 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp Trường hợp tương tự trường hợp 3, khác hàm
t 2sin(2 f0t)
f (29)
Như trình bày hình 12-11 Ở đây, s = fN, mơ hình phổ liêp tiếp chờm
nhau cặp xung lẻ bị loại bỏ Hình vẽ cho thấy mà hàm nội suy lại Trường hợp tương ứng với việc lấy mẫu hàm sin giao điểm
HÌNH 12-11
Hình 12-11 Lấy mẫu hàm sin, trường hợp
12.2.7.1 Trùm phổ số hố ảnh
Hình 12-12 trình bày ví dụ trùm phổ rõ rệt ảnh số hoá Ảnh thu từ camera CCD với độ rộng điểm ảnh nhỏ khoảng cách điểm ảnh cách đáng kể Chiếc áo sơ mi có mẫu dệt đẹp mà, (a), bị biến thành trùm phổ tần số thấp hơn, tạo hiệu ứng Moiré Trong (b), camera đặt cách gần tiêu điểm để làm mờ mẫu dệt, theo cách trùm phổ loại bỏ 12.3 TÍNH TỐN PHỔ
Một ứng dụng quan trọng xử lý ảnh số tính tốn phổ tín hiệu hay ảnh Trong phần này, miêu tả cách tính phổ tín hiệu so sánh phổ tính tốn với phổ thực tế tín hiệu
12.3.1 Cắt miền thời gian
(10)t N
T (30)
Trong T độ rộng cửa sổ cắt Bởi tín hiệu lấy mẫu với số hữu hạn điểm, trình lấy mẫu cắt tín hiệu cách bỏ qua phần bên cửa sổ cắt việc để đặt tín hiệu hướng đến ngồi cửa sổ
HÌNH 12-13
Hình 12-13 Tính tốn phổ
Chúng ta muốn sử dụng giá trị mẫu f(t) để tính điểm phổ F(s) Chúng ta thực việc cách lập trình biến đổi Fourier phép tích phân số học Tuy nhiên, phải lựa chọn số điểm mà tính tốn phổ, khoảng cách điểm mẫu, phạm vi tần số mà tính phổ
Bởi tín hiệu lấy mẫu bao gồm N phép đo độc lập nên việc tính tổng N điểm phổ hợp lý Việc tính tốn thêm điểm dẫn đến dư thừa, việc tính tốn it điểm khơng mang lại thuận lợi cho tất cảt thông tin f(t) mà ta có Vì thế, chương trình máy tính đa cho việc tính biến đổi Fourier phải làm N điểm mẫu thành N điểm phổ Để thuận tiện, điểm tính tốn thường đặt cách theo trục s
12.3.2 Cắt miền tần số
Vì f(t) hàm lấy mẫu với khoảng cách lấy mẫu t, nên phổ F(s) tuần hồn với chu kỳ 1/t Rõ ràng, nên hạn chế tính tốn chu kỳ F(s) Thực tế thường chọn N điểm mẫu chu kỳ F(s) Nghĩa là, tính điểm khoảng
t s t
2
1
(31) Nếu trải N điểm mẫu cách chu kỳ F(s),
t s N
(32)
Trong
T t N s