1. Trang chủ
  2. » Công Nghệ Thông Tin

Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 12: Xử lý dữ liệu lấy mẫu

24 4 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 24
Dung lượng 324,43 KB

Nội dung

Trong các chương trước, chúng ta đã đề cập đến xử lý ảnh số mà không đặc biệt chú ý đến các ảnh hưởng của việc lấy mẫu. Chúng ta đã giả thiết rằng, được thực hiện một cách hoàn chỉnh, việc lấy mẫu sẽ không làm mất hiệu lực các kết quả thu được từ việc phân tích các hàm liên tục. Nhưng lấy mẫu vốn thuộc xử lý số. Cho nên, chúng ta sẽ sử dụng các công cụ mà chúng ta đã phát triển trong các chương trước để tiếp cận việc lấy mẫu một cách súc tích và hiệu quả trong chương này

Ch­¬ng 12 XỬ LÝ DỮ LIỆU LẤY MẪU 12.1 GIỚI THIỆU Trong chương trước, đề cập đến xử lý ảnh số mà không đặc boiệt ý đến ảnh hưởng việc lấy mẫu Chúng ta giả thiết rằng, thực cách hồn chỉnh, việc lấy mẫu khơng làm hiệu lực kết thu từ việc phân tích hàm liên tục Nhưng lấy mẫu vốn thuộc xử lý số Cho nên, sử dụng công cụ mà phát triển chương trước để tiếp cận việc lấy mẫu cách súc tích hiệu chương Trước hết, điều tra nghiên cứu nhánh (ramification) lấy mẫu ảnh liên tục xử lý liệu lấy mẫu Đặc biệt, trả lời câu hỏi sau đây: (1) Trong phạm vi việc lấy mẫu làm mát thông tin? (2) Khi lấy mẫu hàm liên tục khơi phục lại cách đầy đủ không có thig nào? (3) Chúng ta phải lấy mẫu hàm chi tiết đến mức để bảo tồn nó? (4) Việc lấy mẫu có ảnh hưởng lên phổ hàm? (5) Nếu coi hàm lấy mẫu thể hàm liên tục phải gồm giả thiết, giá trị xấp xỉ, lỗi gì? 12.2 LẤY MẪU VÀ PHÉP NỘI SUY Trước miêu tả kết lấy mẫu cách định lượng, phải thiết lập thủ tục tốn học để mơ hình hố q trình Để thực điều này, sử dụng hàm đặc biệt gọi hàm Shah 12.2.1 Hàm Shah Một công cụ quan trọng cho việc mơ q trình lấy mẫu dãy (train) xung vô hạn, III(x), đọc “Shah x” định nghĩa  III ( x)    ( x  n) (1) n   III(x) chuỗi xung đơn vị biên độ nằm cách trục x Thật may mắn cho chúng ta, hàm Shah biến đổi Fourier nó; tức là, {III ( x)}  III (s ) (2) Chúng ta sử dụng hàm để mơ q trình lấy mẫu tín hiệu liên tục 12.2.1.1 Tính đồng dạng Nếu thay lý thuyết đồng dạng { f (ax )}  s F  a a (3) 203 Vào biểu thức (2),   x   III    III (s )     (4) Trong phổ dãy xung nằm cách khoảng 1/ trục s (Hình 12-1) Nên nhớ tính đồng dạng, xung có tính chất kỳ lạ  (ax)   ( x) a (5) Bởi III(x) dãy vơ hạn xung có khoảng cách [biểu thức(1)] nên biểu tính chất giãn nén lại Đặc biệt,  III (ax)     (ax  n)  n     n    a x  a  n    (6)  Nghĩa III ax   a   n    x  a  (7) n   HÌNH 12-1 Hình 12-1 Hàm Shah phổ Nếu ta đặt a = 1/ ta có   x III        x  n    n   (8) Hay xung nằm cách khoảng  Chú ý khoảng cách  xung đơn vị khoảng cách nhân với hệ số cường độ xung  Biến đổi biểu thức (8) ta    x  n   III    III s      s    n        (9) 204 Hai biểu thức sau rõ dãy xung cường độ  đặt cách khoảng miền thời gian tạo dãy xung đơn vị đặt cách khoảng 1/ miền tần số Dĩ nhiên, chia biểu thức (8) cho  để xung đơn vị cường độ miền thời gian xung cường độ 1/ tương ứng miền tần số 12.2.2 Lấy mẫu hàm Shah Giả sử hàm Shah bị giới hạn dải tần tần số s0; tức là, F ( s)  s  s0 (10) Điều cho thấy hình 12-2 Nếu lấy mẫu f(x) khoảng cách  nhau, triệt tiêu toàn hàm f(x) ngoại từ điểm x = n Chúng ta mơ q trình lấy mẫu phép nhân đơn giản hàm f(x) với III(x/) để tạo thành hàm lấy mẫu g(x) Quá trình triệt tiêu hàm điểm lấy mẫu cách chia cho bảo toàn giá trị hàm điểm lấy mẫu cường độ xung kết Hình 121-3 minh hoạ cho hàm lấy mẫu Sự thuận tiện tốn học khiến cho mơ hình lựa chọn làm phương pháp lẫy mẫu HÌNH 12-2 Hình 12-2 Hàm giới hạn dải HÌNH 12-3 Hình 12-3 Hàm lấy mẫu 205 12.2.3 Lấy mẫu phổ Bây xem xét việc lấy mẫu phổ f(x) cho ta Lý thuyết phép nhân chập cho nhân f(x) với III(x/), nhân chập F(s) với III(s) Nhắc lại III(s) chuỗi xung đơn vị cường độ nằm cách khoảng 1/ trục s Cũng cần nhắc lại phép nhân chập hàm với xung đơn tạo hàm Vì thế, phép nhân chập miền tần số tái tạo F(s) khoảng 1/ trục s Như hình 12-3, G(s) bao gồm vơ vàn phổ F(x) đặt trục s từ - đến  Lưu ý phổ hàm lấy mẫu tuần hoàn với tần số  Cho nên, hàm lấy mẫu khoảng cách  có phổ tuần hồn với tần số 12.2.4 Lý thuyết lấy mẫu Bây hàm f(x) lấy mẫu, thông tin điểm lấy mẫu bị mất.nhưng khôi phục lại hàm ban đầu nguyên vnj từ điểm lấy mẫu khơng? Rõ ràng, phục hồi (reclaim) f(x) từ g(x) phục hồi F(s) từ G(s) Chúng ta thực phần sau đơn thần cách loại trừ tất mơ hình F(s), ngoại trừ hàm F(s) đặt gữa gốc Có cách để thực điều nhân G(s) với (s/2s1), s  s1   s0  (11) Khi  s    F s  G s    s1  (12) Và lấy lại phổ f(x) từ phổ tín hiệu lấy mẫu g(x) hàm ban đầu cho   s    f  x    1 F s    1 G s    2s1    (13) Áp dụng lý thuyết nhân chập vào vế phải biểu thức (13) ta f  x   g  x   2s1 sin 2s1 x  2s1 x (14) Biểu thức cho biết cách thức khôi phục f(x) từ g(x): Chúng ta cần nhân chập hàm lấy mẫu với hàm nội suy dạng hàm sinc(x) = sin(x)/x Quả thực biểu thức (14) cho thấy khơi phục f(x) từ g(x) cho ta biết cách thực điều Đầu tiên, f(x) phải giới hạn dải tần s0 [xem biểu thức (11)] vf thứ hai, mối quan hệ khoảng cách lấy mẫu  dải giới hạn s0 phải thoả mãn biểu thức (11) Điều mà thực chứng minh lý thuyết lấy mẫu biểu diễn hàm lấy mẫu với khoảng cách  giống khơi phục hoàn toàn từ giá trị lẫy mẫu, với điều kiện  2s0 (15) 206 Trong hàm giới hạn dải tần s0 12.2.5 Phép nội suy Kết nhân chập g(x) với hàm nội suy cho biểu thức (14) tạo mô hình hàm sin(x)/x điểm lấy mẫu, giống hình 12-4 Biểu thức (14) bảo đảm tổng hàm sin(x)/x chờm lên tái tạo lại hàm ban đầu cách xác Hình 12-4 minh hoạ cho trường hợp s1 = 1/2, biểu thức (11) cho phép chọn tần số hàm sin(x)/x tuỳ ý hàm nghịch đảo khoảng cách lấy mẫu lớn nhiều so với giới hạn dải tần s0 Biểu thức cho phép đặt s1 vị trí s0 1/ - s0 Để cho thuận tiện, đặt s1 trung điểm: s1  2 (16) Sau hàm nội suy trở thành  x sin      x    (17) HÌNH 12-4 Hình 12-4 Nội suy hàm sin(x)/x 12.2.6 Dưới lấy mẫu trùm phổ (Undersampling and Aliasing) Biểu thức (15) xác định rõ cách mà người ta lấy mẫy hàm có khả khơi phục hồn tồn từ giá trị lấy mẫu Bây xem xét điều xảy điều kiện khơng thoả mãn Giả sử  >1/2s0 Tiếp theo F(s) tái tạo thành dạng G(s), mơ hình riêng lẻ chờm lên cộng lại với (Hình 12-5) Sau nội suy, dùng hàm biểu thức (17), ta khơng khơi phục f(s) cách xác,  s    F s  G s   s  1 (18) 207 HÌNH 12-5 Hình 12-5 Chờm phổ Kết chờm mơ hình phổ quan sát sau Năng lượng cao tần số s1 hạ thấp xuống s1 thêm vào phổ Việc hạ thấp lượng gọi trùm phổ, hiệu số f(x) hàm nội suy sai số trùm phổ Chú ý f(x) chẵn F(s) chẵn trùm phổ có hiệu tăng lượng phổ Nếu f(x) lẻ, xảy điều trái ngược, lượng phổ giảm Nếu f(x) không chẵn khơng lẻ trùm phổ tâưng phần chẵn giảm phần lẻ, tạo thành hàm phổ chẵn trước 12.2.7 Ví dụ lấy mẫu Các ví dụ sau minh hoạ trùm phổ miền tần số kết miền thời gian Giả thiết ta có hàm f t   cos2f t  (19) F s    s  f    s  f  (20) Có phổ Như hình 12-6 Cũng giả thiết lấy mẫu f(t) khoảng cách t Chu kỳ f(t) 1/f0 Trên lấy mẫu (Oversampling) Đối với trường hợp 1, giả sử t  1     f  (21) HÌNH 12-6 Hình 12-6 Hàm cosin phổ Có nghĩa tần số lấy mẫu 208 fN   f0 2t (22) Và có bồn điểm mẫu chu kỳ f(t) Hình 12-7 cho thấy hàm lấy mẫu phổ Hình trình bày hàm nội suy phổ Bởi F(s) khơng chứa lượng lơn fN, nên f(t) hồn tồn khơi phục từ điểm mẫu HÌNH 12-7 Hình 12-7 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp Lấy mẫu tới hạn (Critical Sampling) Trong trường hợp 2, giả thiết t  1     f  (23) Có nghĩa fN  f0 (24) Và có hai điểm mẫu chu kỳ Trường hợp minh hoạ hình 12-8 Ở đây, lấy mẫu hàm cosin đỉnh dương âm hàm khơi phục lại phép nội suy, trường hợp Trong miền tần số, xung từ mơ hình liên tiếp kết hợp s = f0, phổ hàm nội suy nhận giá trị 1/2 điểm đó, hàm khơi phục ngun vẹn Dưới lấy mẫu (Undersampling) Đối với trường hợp 3, ta đặt t  2     f  (25) fn  f0 (26) Nghĩa 209 HÌNH 12-8 Hình 12-8 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp HÌNH 12-9 Hình 12-9 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp Trường hợp minh hoạ hình 12-9 Ở đây, phổ tập trung s = 2fN tạo xung trái nằm fN điểm s = f0/2 Nhờ vào phép nội suy, lượng s = f0 hạ xuống đến tần số f0/2 Hình 12-9 cho thấy phép nội suy làm khít hàm cosin có tần số f0/2 qua điểm mẫu Điều mô tả sinh động thông tin tần số cao làm để xuất thơng tin tần số thấp Dưới lấy mẫu chặt (Severe Undersampling) Trong trường hợp 4, ta đặt   t     f0  (27) để fn  f0 (28) Trường hợp minh hoạ hình 12-10 Năng lượng f0 hạ xuống tần số Hàm cosin lấy mẫu đỉnh dương điểm mẫu nội suy biên độ hàm kết khơng đổi 210 HÌNH 12-10 Hình 12-10 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp Trường hợp tương tự trường hợp 3, khác hàm f t   sin( 2f t ) (29) Như trình bày hình 12-11 Ở đây, s = fN, mơ hình phổ liêp tiếp chờm cặp xung lẻ bị loại bỏ Hình vẽ cho thấy mà hàm nội suy lại Trường hợp tương ứng với việc lấy mẫu hàm sin giao điểm HÌNH 12-11 Hình 12-11 Lấy mẫu hàm sin, trường hợp 12.2.7.1 Trùm phổ số hố ảnh Hình 12-12 trình bày ví dụ trùm phổ rõ rệt ảnh số hoá Ảnh thu từ camera CCD với độ rộng điểm ảnh nhỏ khoảng cách điểm ảnh cách đáng kể Chiếc áo sơ mi có mẫu dệt đẹp mà, (a), bị biến thành trùm phổ tần số thấp hơn, tạo hiệu ứng Moiré Trong (b), camera đặt cách gần tiêu điểm để làm mờ mẫu dệt, theo cách trùm phổ loại bỏ 12.3 TÍNH TỐN PHỔ Một ứng dụng quan trọng xử lý ảnh số tính tốn phổ tín hiệu hay ảnh Trong phần này, miêu tả cách tính phổ tín hiệu so sánh phổ tính tốn với phổ thực tế tín hiệu 12.3.1 Cắt miền thời gian Giả sử tín hiệu f(t) biểu diễn N điểm mẫu tách biệt khoảng t không đổi, trình bày hình 12-13 Khoảng cách tổng cộng mà tín hiệu lấy mẫu 211 (30) T  Nt Trong T độ rộng cửa sổ cắt Bởi tín hiệu lấy mẫu với số hữu hạn điểm, q trình lấy mẫu cắt tín hiệu cách bỏ qua phần bên cửa sổ cắt việc để đặt tín hiệu hướng đến ngồi cửa sổ HÌNH 12-13 Hình 12-13 Tính tốn phổ Chúng ta muốn sử dụng giá trị mẫu f(t) để tính điểm phổ F(s) Chúng ta thực việc cách lập trình biến đổi Fourier phép tích phân số học Tuy nhiên, phải lựa chọn số điểm mà tính tốn phổ, khoảng cách điểm mẫu, phạm vi tần số mà tính phổ Bởi tín hiệu lấy mẫu bao gồm N phép đo độc lập nên việc tính tổng N điểm phổ hợp lý Việc tính tốn thêm điểm dẫn đến dư thừa, việc tính tốn it điểm khơng mang lại thuận lợi cho tất cảt thơng tin f(t) mà ta có Vì thế, chương trình máy tính đa cho việc tính biến đổi Fourier phải làm N điểm mẫu thành N điểm phổ Để thuận tiện, điểm tính tốn thường đặt cách theo trục s 12.3.2 Cắt miền tần số Vì f(t) hàm lấy mẫu với khoảng cách lấy mẫu t, nên phổ F(s) tuần hồn với chu kỳ 1/t Rõ ràng, nên hạn chế tính tốn chu kỳ F(s) Thực tế thường chọn N điểm mẫu chu kỳ F(s) Nghĩa là, tính điểm khoảng  1 s t 2t (31) Nếu trải N điểm mẫu cách chu kỳ F(s), Ns  t (32) Trong s  1  Nt T (33) 212 Là khoảng cách lấy mẫu miền tần số Vì thế, mục đích chúng ta, cách lựa chọn tốt để tính phổ f(t) tính điểm có khoảng cách nhau, cho biểu thức (33), phạm vi tần số từ -sm đến sm, sm  2t (34) Lưu ý tần số tối đa mà tính có quan hệ ngược lại với khoảng cách lấy mẫu miền thời gian [biểu thức (34)] Khoảng cách lấy mẫu miền thời gian, xác định mức độ tính phổ, có quan hệ nghịch đảo với độ rộng cửa sổ cắt miền thời gian [biểu thức (33)] 12.3.3 Tính phổ Tóm lại, khoảng cách lấy mẫu miền chế (hay bị chế bởi) cắt bớt độ rộng miền khác Nếu muốn tính thành phần tần số cao phổ, phải lấy mẫu miền thời gian Hơn nữa, cần nhấn mạnh độ phân giải cao phổ (s nhỏ), ta phải dùng cửa sổ cắt rộng rong miền thời gian, hàm hẹp Quan hệ việc lấy mẫu miền thời gian miền tần số tham số cắt tổng kết bảng 12-1 Nếu f(t) phức tính phổ nó, N giá trị thực N giá trị ảo biến đổi để tạo N giá trị thực N giá trị ảo phổ Nếu f(t) thực, N giá trị thực N giá trị (phần ảo) gây N/2 giá trị thực N/2 giá trị ảo nửa bên phải phổ Vì F(s) Hermite, nên nửa trái phổ hình phản chiếu nửa phải Vì thế, N/2 giá trị thực N/2 giá trị ảo nửa phổ bên phải, xét khía cạnh nội dung thông tin, dư thừa Chú ý rằng, hai trường hợp, số điểm lấy mẫu không bị giới hạn hai miền BẢNG 12-1 LẤY MẪU VÀ CÁC THAM SỐ CẮT Bảng 12-1 12.4 TRÙM PHỔ Bây xem xét kỹ lưỡng tượng trùm phổ để xác định phạm vi ảnh hưởng điều khiển cách thức 12.4.1 Tính tất yếu tượng trùm phổ Lý thuyết lấy mẫu lựa chọn khoảng cách lấy mẫu đắn tránh trùm phổ ta lấy mẫu hàm giới hạn dải Vì thế, lựa chọn sáng suốt cho phép ta làm việc với hàm giới hạn dải, ta tránh tượng trùm phổ Nói cách khác, bị bắt buộc phải làm việc với hàm vốn khơng có giới hạn dải, ta buộc phải làm việc tượng trùm phổ tránh Thật không may, thực tế làm việc bất lợi: kế hoạch bị thất bại trình cắt Để hiểu rõ hơn, giả sử hàm giới hạn dải cắt theo khoảng T hữu hạn Quá trình mơ việc nhân hàm với xung chữ nhật chiều rộng T Nhắc lại rằng, diều có tác dụng đến việc nhân chập phổ với hàm sin(x)/x không giới hạn miền tần số Bởi tích chập hai hàm không hẹp hai, kết luận phổ hàm bị cắt phạm vi vơ hạn miền tần số Vì thế, cắt cụt phá hỏng tính giới hạn dải khiến cho trình xử lý số tạo tượng trùm phổ 213 trường hợp Thật may mắn, trùm phổ nói chung khơng thể tránh, sai số cuối giới hạn giảm xuống giá trị xấp xỉ chấp nhận 12.4.2 Giới hạn sai số trùm phổ Ví dụ minh hoạ cách mà người ta đặt giới hạn sai số trùm phổ tham số số hố để có độ xác cần thiết bất chấp trùm phổ tránh Giả sử muốn nhận biết hệ thống tuyến tính cho hình 12-14 cách tính phổ tương ứng với xung chữ nhật Nếu f(t) xung đầu vào g(t) đầu hệ thống, hàm truyền đạt H s   G s  F s  (35) Giả sử rằng, trường hợp này, biết hệ thống lọc thơng thấp, đầu hệ thống xung chữ nhật với góc trịn HÌNH 12-12 Hình 12-14 Nhận biết hệ thống tuyến tính Nếu ước lượng biểu thức (35) tính tốn số, phải số hố f(t) g(t), sau tính phổ chúng Chúng ta phải chọn khoảng cách lấy mẫu t chu kỳ lấy mẫu T cho độ phân giải phổ tốt với sai số trùm phổ nhỏ cách đáng kể Để thực điều này, phải xác định phạm vi độ phân giải phổ sai số trùm phổ quan hệ hai số với tham số lấy mẫu Sau đó, thực lựa chọn thông minh với N, T t Tín hiệu đầu phổ cho hình 12-15 Vì F(s) trải dài từ - đến +, nên chọn t để tránh trùm phổ hoàn toàn Tuy nhiên, F(s) nằm gọn đường bao có dạng 1/s điều đảm bảo biên độ đỉnh hàm giảm dần tần số tăng Nếu bỏ qua biến đổi sin xem xét đường bao, nên nhớ biên độ phổ có khả lớn xảy tượng trùm phổ tần số sm Chúng ta cho trường hợp trùm phổ xấu định nghĩa, giống lượng sai số trùm phổ, tỷ số F(sm) với F(0) Vì F(0) đường bao 1/2as, viết phần nằm bên giới hạn trùm phổ sau 214 A 2t t   2as0 2a a (36) Lưu ý giới hạn sai số trùm phổ này, ta định nghĩa, xấp xỉ với t, độc lập với T Vì thế, làm cho sai số trùm phổ nhỏ mong muốn cách làm cho t nhỏ so với xung có độ rộng 2a 12.4.3 Độ phân giải phổ F(s) có biến thiên sin tần số a Ta ký hiệu M số điểm lấy mẫu F(s) chu kỳ để tính phổ sử dụng đơn vị độ phân giải phổ Tham số M cho biết cách tính phổ lấy mẫu F(s) Chu kỳ biến thiên sin F(s) 1/a MS  a (37) Hay M  T  as a (38) Nghĩa có nhiều điểm lấy mẫu chu kỳ F(s) mong muốn làm cho chu kỳ lấy mẫu T lớn so với nửa độ rộng xung Chú ý quan tâm đến sai số trùm phổ lẫn độ phân giải phổ tần số cao, t nhỏ, T lớn số lượng điểm mẫu đòi hỏi lớn 12.5 SỰ CẮT BỚT Giống việc lấy mẫu, cắt bớt làm cho phổ tính khác hẳn phổ thực tế hàm Giống khoảng cách lấy mẫu, cửa sổ cắt phải chọn khôn khéo để tạo kết xác thích hợp Ví dụ minh hoạ cho tác dụng 12.5.1 Tính phổ biên Giả sử muốn tính phổ biên (xấp xỉ hàm bậc thang) Kỹ thuật thường sử dụng để xác định hàm truyền đạt lọc tác động lên ảnh có chứa đường biên (Xem phần 16.6) Vì việc cắt bớt biên biến đổi đầy ý nghĩa, ví dụ minh hoạ cho kết việc cắt bớt Trong ví dụ, sử dụng hàm sign(x) cho hình 12-16 Để tính phổ, phải cắt f(t) theo khoảng T hữu hạn Vì hàm sign(x) tiến đến vô với biên độ không đổi, thừa nhận ví dụ nhậy cảm với cắt bớt HÌNH 12-16 215 Hình 12-16 Hàm nhảy bậc phổ Nếu cắt hàm cửa sổ cắt có độ rộng T, hàm kết 1 1  x  x  x g  x   f  x            T  T / 2 T /2 2 (39) Như minh hoạ hình 12-17 Vì hàm cắt cặp xung chữ nhật lẻ nên viết lại sau T T   x     g  x        x      x   4  T / 2    (40) Biến đổi biểu thức (40) thành phổ hàm biên bị cắt:  T  sin(sT / 2) G s   2 j sin  s  s  2 (41) Và xếp lại để G s   2j  sT  1  sin    F s   cos(sT ) s   2  (42) HÌNH 12-17 Hình 12-17 Hàm nhảy bậc cắt phổ Một đồ thị hình 12-17 Phổ tín hiệu bị cắt hình sin bao bọc đường bao hai lần phổ F(s) Sự biến đổi đáng kể tính chất phổ kết cắt bớt - trường hợp thay đổi hàm ban đầu Bởi mà làm thực tính điểm G(s), nên cần đến vị trí, nơi mà điểm định vị, cách ý tới biến đổi sin G(s) Các điểm mẫu G(s) tính tần số rời rạc s i  i s  i T i  0,1,2, , N (43) 216 HÌNH 12-18 Hình 12-18 Phổ hàm nhảy bậc tính Và điểm tính 1  G si   F s i   cos(i ) 2  (44) Thành phần cosin nhận giá trị +1 với i chẵn -1 với i lẻ, 2 F s i  G si i lẻ i chẵn (45) Xem hình 12-18 12.5.2 Các tác dụng cắt bớt Chú ý tác dụng kỳ lạ cắt bớt ví dụ trước Những điểm đánh số lẻ xác, gấp đơi kích thước bình thường, điểm đánh số chẵn Nó cắt bớt phân bố lại lượng điểm chẵn điểm lẻ Trong ví dụ này, biên đặt cửa sổ cắt Độc giả tự xác định kết điểm mẫu G(s) biên cách xa tâm cửa sổ cắt Người ta thu kết mong đợi cách nhân chập G(is) với lọc tam giác, trung bình cục bộ, hẹp ví dụ [1/4, 1/2, 1/4] Điều tương đương với việc nhân biên bị cắt với hàm cửa sổ dạng (sin(x)/x)2 Do tránh điểm gián đoạn T/2 ngăn ngừa sai số cắt 12.6 XỬ LÝ SỐ Bây đặt vào vị trí để xem xét tồn bộ, kết tích luỹ q trình xử lý số tín hiệu hay ảnh liên tục Chúng ta thừa nhận kết việc lấy mẫu, cắt bớt, nội suy, thực nhân chập số biến đổi Fourier Trong phần này, yêu cầu số hố hàm sau tái tạo lại mà khơng cần xử lý Chúng ta bắt đầu với hàm liên tục f(t), trình bày hình 1219 Hàm ví dụ có phổ biên độ tam giác pha ngẫu nhiên HÌNH 12-19 217 Hình 12-19 Một tín hiệu phổ 12.6.1 Cắt bớt Khi số hố tín hiệu, phải cắt theo khoảng T hữu hạn Cửa sổ cắt (t/T) phổ minh hoạ hình 12-20 Hình cho thấy hàm cắt phổ Cắt f(t) cách nhân chập phổ với hàm sin(x)/x hẹp HÌNH 12-20 Hình 12-20 Cắt tín hiệu 12.6.2 Ống kính lấy mẫu Bộ số hố có ống kính lấy mẫu có độ rộng hữu hạn mà tín hiệu tính trung bình điểm mẫu Như đề cập chương 9, phép lấy trung bình chỗ mơ tích chập với hàm ống kính lấy mẫu thích hợp Đối với số hố ảnh, hàm ống kính lấy mẫu mơ tính nhạy cảm khơng gian điểm quét Các tín hiệu điện tử thường lấy mẫu mạch điện tích hợp tồn chu kỳ cố định Trong hình 12-21, mơ ống kính lấy mẫu xung chữ nhật nhỏ có độ rộng xung  Như trình bày hình, việc nhân chập tín hiệu cắt với hàm ống kính lấy mẫu tương đương với việc nhân phổ với hàm sin(x)/x rộng Cho ví dụ, ống kính lấy mẫu hàm Gauss phổ tín hiệu cắt nhân với hàm Gauss rộng Trong trường hợp khác, tác dụng ống kính lấy mẫu làm giảm lượng tần số cao tín hiệu Lưu ý hình 12-21 tần số vượt s = 1/ chiều phân cực lượng đảo lại HÌNH 12-21 218 Hình 12-21 Nhân chập ống kính lấy mẫu 12.6.3 Lấy mẫu Quá trình lấy mẫu minh hoạ hình 12-22 Tín hiệu bị cắt, làm nhẵn ống kính lấy mẫu, nhân với III(t/T) để thực việc lấy mẫu Như minh hoạ, lấy mẫu tín hiệu khiến cho phổ tuần hoàn cách thay phổ ban đầu khoảng cách 1/t 12.6.4 Nội suy Giả sử đơn muốn nội suy hàm lấy mẫu trở lại thành hàm gần f(t) tốt Hình 12-23 minh hoạ phép nội suy cách nhân chập hàm lấy mẫu với xung tam giác Trong hình, độ rộng xung tam giác 2t0 Phép nhân chập hàm lấy mẫu với hàm nội suy tương đương với phép nhân phổ với hàm dạng sin2(x)/x2 Vì thơng thường hàm giảm tần số tăng, có chiều hướng làm cho tất mơ hình thành 0, ngoại trừ mơ hình định vị s = Nhắc lại, hàm nội suy lý tưởng sin(x)/x, nhân phổ với xung chữ nhật có tâm s = Tuy nhiên, xung tam giác hình 12-23 tạo kết xấp xỉ HÌNH 12-22 Hình 12-22 Lấy mẫu tín hiệu Nếu ký hiệu h(t) hàm thu nội suy hàm lấy mẫu cắt   t t h(t )    f (t )     T        t    t   III         t   t  t  (46) Và phổ     sin(st )  sin(sT )  sin(s )   H s     F ( s )  T   tIII ( s  t )   (47)  s  st  sT      12.6.5 Tác dụng xử lý số Rõ ràng, câu hỏi khơng phải xử lý số có tác dụng lên tín hiệu hay khơng, mà có hiệu 219 Trong ví dụ trước đây, ống kính lấy mẫu hàm nội suy chọn bao quát để chứng minh hiệu chúng Cụ thể  = t0 = 2t Các tham số này, tuỳ ý, thường nên chọn theo mối quan hệ thích hợp với tham số khác Ví dụ, ống kính lấy mẫu nên có độ rộng  xấp xỉ khoảng cách lấy mẫu t Ngoài ra, nội suy tuyến tính, nên chọn t0 = t Sự cắt cụt nhân chập phổ với hàm sin(x)/x hẹp Nếu cửa sổ cắt rộng phổ trở nên hẹp, gần giống xung đơn vị, điều làm giảm ảnh hưởng Ngồi ra, bên ngồi cửa sổ cắt, giá trị hàm phép cắt khơng có hiệu HÌNH 12-23 Hình 12-23 Nội suy tín hiệu lấy mẫu Ống kính lấy mẫu, minh hoạ hình 12-21, có xu hướng làm giảm lượng tần số cao phổ Theo cách thực vậy, giảm bớt tượng trùm phổ Ống kính lấy mẫu đảo cực lượng tần số cao hàm truyền đạt âm Dĩ nhiên, việc lấy mẫu khiến cho phổ tuần hoàn Việc tạo tượng trùm phổ lượng bên tần số bao trùm, 1/2t Phép nội suy khôi phục phổ thành mơ hình giống gần với ban đầu Tuy nhiên, điều thực cách xác sin(x)/x sử dụng hàm nội suy Các hàm nội suy khác khơng loại bỏ hồn tồn mơ hình phổ, giảm bớt thành phần lượng tần số cao mơ hình bản, hai Các tham số số hố thường có từ thiết kế thiết bị số hố Ví dụ, cửa sổ cắt biểu diễn khoảng cực đại mà số hoá ảnh bao quát Ống kính lấy mẫu đơn hàm cảm nhận điểm quét Khoảng cách lấy mẫu thường điều chỉnh thiết lập cho có liên quan đến đường kính điểm Đối với việc hiển thị ảnh, hàm nội suy hiển thị thân điểm mẫu 12.7 ĐIỀU CHỈNH SAI SỐ TRÙM PHỔ Có hai tham số mà sử dụng để ngăn ngừa tượng trùm phổ gián đoạn thông tin ảnh: ống kính lấy mẫu khoảng cách lấy mẫu 12.7.1 Bộ lọc chống trùm phổ Hình 12-24 minh hoạ cách thức người ta sử dụng ống kính lấy mẫu hình chữ nhật để giảm trùm phổ Độ rộng ống kính gấp đơi khoảng cách lấy mẫu Điều 220 đặt chéo hàm truyền đạt fN = 1/2t Vì thế, lượng tần số lớn fN làm suy giảm nhiều HÌNH 12-24 Hình 12-24 Giảm trùm phổ ống kính hình chữ nhật Ống kính lấy mẫu hình tam giác sử dụng hình 12-25 rộng bốn điểm mẫu có chéo fN Vì phổ triệt tiêu tần số nhanh xung chữ nhật, nên chống trùm phổ hiệu Tuy nhiên, giống xung chữ nhật, giảm bớt lượng F(s) xuống fN HÌNH 12-25 Hình 12-25 Giảm trùm phổ ống kính tam giác Trong hình 12-12, xảy tượng trùm phổ camera CCD có kẽ hở lớn điểm ảnh chip cảm biến Vì thế, ống kính lấy mẫu (phần tử cảm biến chẳng hạn) hẹp để hoạt động lọc chống trùm phổ loại bỏ thông tin tần số cao trước lấy mẫu Trong phần (b), camera đặt gần tiêu điểm thấu kính làm việc lọc chống trùm phổ 12.7.2 Lấy mẫu chồng (Oversampling) Các biểu thức (46) (47) cho biết hàm liên tục xử lý số mà không bị méo trình bày trước vơ ích Tuy nhiên, có lối - lấy mẫu chồng Nếu khiến cho khoảng cách lấy mẫu nhỏ, đặt fN vượt xa tần số mà ta quan tâm phổ Sau đó, tượng trùm phổ làm 221 hỏng phần phổ, có ảnh hưởng khơng ảnh hưởng đến liệu xử lý Theo quy tắc ngón tay cái, lấy mẫu chồng theo thừa số hai đủ cho hầu hết ứng dụng, trường hợp nên có bước phân tích Ngồi ra, cửa sổ cắt phải đủ rộng để phần hỏng phổ tín hiệu nhỏ Bằng cách lấy mẫu chồng thích hợp, ta làm giảm tượng trùm phổ kết cắt với biên độ Dĩ nhiên, khoản chi phí cho tài ngiuyên máy tính cần phải trả đầy đủ 12.8 LỌC TUYẾN TÍNH THỰC HIỆN SỐ Lọc tuyến tính thực số theo hai cách khác Đầu tiên, trình lọc cho hình 12-26 thực tích chập số hàm lấy mẫu f(t) với h(t) để tạo g(t) HÌNH 12-26 Hình 12-26 Một hệ thống tuyến tính Như lựa chọn, người ta biến đổi f(t) h(t) miền tần số thuật giải biến đổi Fourier thực phép tích phân số học Tiếp theo, phổ đầu G(s) thực phép nhân tín hiệu đầu tạo phép biến đổi ngược Nếu hay hai tín hiệu đầu tích chập tồn khoảng ngắn, phương pháp tích chập số đơn giản mặt tính tốn Nói cách khác, thuật giải biến đổi Fourier có khả làm cho phương pháp thứ hai thực tế Trong phần này, so sánh hai cách tiếp cận liên quan đến trùm phổ sai số cắt 12.8.1 Lọc tích chập Như đề cập trước đây, lấy mẫu f(t) h(t) khiến cho phổ chúng tuần hồn Nếu hai tín hiệu lấy mẫu khoảng t nhau, phổ chúng tuần hồn với chu kỳ 1/t Tích chập hai tín hiệu lấy mẫu nhân với hai phổ miền tần số để tạo G(s) tuần hoàn với chu kỳ t Khi g(t) nội suy, phổ bị suy giảm xuống thành mơ hình thu nhỏ gốc, đề cập phần trước Nếu f(t) hay h(t) bị giới hạn dải s = 1/2t, g(t) bị giới hạn dải tương tự phép nội suy tái tạo lại cách xác Tuy nhiên, phép cắt phá huỷ tính giới hạn dải vài tượng trùm phổ tránh khỏi Hiện tượng trùm phổ biểu diễn g(t) theo khía cạnh dễ hiểu Vì 222 thế, tích chập số khơng đưa kết vượt xa có cách lấy mẫu, cắt bớt nội suy 12.8.2 Lọc miền tần số Hình 12-27 minh hoạ tượng xảy ta tính biến đổi Fourier Tín hiệu đầu vào f(t) lấy mẫu để tạo thành x(t) có phổ tuần hồn, liên tục Khi ta tính biến đổi Fourier x(t), thực tế ta xếp điểm có khoảng cách chu kỳ phổ tuần hoàn, giống hình minh hoạ HÌNH 12-27 Hình 12-27 Lọc miền tần số Chúng ta tính N điểm cách khoảng s toàn miền tần số từ –1/2t đến 1/2t Ta ký hiệu phổ tính Y(s) thực tế ó khơng phải X(s), phổ x(t) Vì Y(s) lấy mẫu nên biến đổi ngược y(t) hàm vơ hạn, tuần hồn, liên tục (khơng lấy mẫu) Vì thế, phổ Y(s) phổ x(t) hay f(t), hàm nguyên thuỷ Đây phổ hàm tuần hồn liên tục có chu kỳ T Tất điểm mẫu x(t) nằm chu kỳ y(t), ngoại trừ tượng trùm phổ, chu kỳ y(t) là f(t), hàm đượ lấu mẫu để tạo thành x(t) Bằng cách tính phổ x(t) theo phương pháp số, có Y(s) Đây phổ hàm y(t) tuần hoàn, liên tục Bây giờ, miền tần số, có điều tương đương với tái tạo phổ, mà ta thấy trước lấy mẫu miền thời gian Nếu thực biến đổi ngược theo phương pháp số, phục hồi x(t) từ Y(s) Nếu sau đó, ta nội suy x(t) ta khôi phục f(t) Thực tế Y(s) tương ứng với hàm tuần hoàn đem lại kết không tồi trường hợp thực lọc số cách thay đổi phổ vấn đề khơng cịn đơn giản Sự chồng chéo phổ tái tạo Giả sử thực lọc miền tần số cách nhân Y(s) với hàm truyền đạt H(s) Đây tích chập y(t) với đáp ứng xung h(t) Bởi y(t) tuần hồn nên tích chập có chiều hướng dịch chuyển chu kỳ gần kề thành chu kỳ vùng lân cận t = T/2 Nếu h(t) hẹp y(t) không đổi phạm vi t = T/2 chồng chéo chu kỳ gần kề có ảnh hưởng nhỏ Tuy nhiên, x(t) đầu cửa sổ cắt khơng y(t) gián đoạn t = T/2 Điều thể 223 gián đoạn tạo hàm (tuần hoàn) đầu cửa sổ cắt Tích chập với đáp ứng xung tạo hiệu ứng hai đầu cửa sổ cắt cách phủ lấp lên điểm gián đoạn Mặc dù kết phủ lấp điểm đầu cửa sổ cắt tránh khỏi cách hồn tồn, giảm xuống mức chấp nhận (a) cách tạo cửa sổ cắt có ý đến thành phần quan trọng tín hiệu, cho khơng có phần xét bị ảnh hưởng, hay (b) cách xếp x(t) để có biên đọ đầu cửa sổ cắt, cho khơng có chỗ bị gián đoạn hay bị chút trước trở nên tuần hồn Người ta thực điều cách nhân hàm cắt với hàm cửa sổ Hàm có biên độ đơn vị tồn phạm vi cửa sổ, giảm dần đầu mút Kết chặn đứng đầu mút cửa sổ cắt thường gặp lọc miền tần số miền tần số tương đương với tượng trùm phổ lấy mẫu miền thời gian Khi thực lọc tuyến tính cách tính phổ, ta phải thực phép phân tích để định lượng kết phép cắt 12.9 TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG Hàm Shah (chuỗi xung) biến đổi Fourier [biểu thức (2)] Phác hoạ nén hàm Shah (các thao tác đơn giản) để biến đổi cường độ xung [biểu thức (8)] Việc lấy mẫu hàm liên tục mô phép nhân hàm Shah Một hàm bị giới hạn dải tần số s0 khơi phục lại hồn tồn từ giá trị mẫu chúng lấy mẫu 1/2s0 Dưới lấy mẫu (undersampling) dẫn đến trùm phổ, lượng bên tần số lấy mẫu (s = 1/2t) tần số lấy mẫu Sự cắt bớt phá huỷ tính giới hạn dải tránh tượng trùm phổ xử lý số Các ảnh hưởng trùm phổ giảm đến mức chấp nhận cách lấy mẫu chồng, hay cách lọc thông thấp trước lấy mẫu Lọc miền tần số tạo kết chặn đứng đầu mút cửa sổ cắt (tại biên ảnh chẳng hạn) BÀI TẬP Chứng minh biểu thức (2) Giá trị điểm mẫu phổ của cạnh hình 12-18 chúng tính si = (i + 1/2)/T theo biểu thức (43)? Phác thảo lại hình 12-18 f(x) = sign(x-a) a = T/8 Một tín hiệu tuần hồn với tần số f0 = Hz Bạn muốn tính phổ để xác định tần số điều hồ Bạn biết lọc thơng thấp để loại bỏ tất thành phần tần số cao 48 Hz Số mẫu tối thiểu bao nhiêu, lấy chu kỳ thời gian để bạn số hố tín hiệu với việc lấy mẫu tới hạn? Một tín hiệu cosin tần số f0 = 0.22 Hz đường bao Gauss biên độ độ lệch tiêu chuẩn  = 10 giây, tập trung t = Đối với mục đích cắt bớt, giả sử tín hiệu biên độ hạ xuống 0.1% giá trị cực đại Cần mẫu chu kỳ để bạn số hố tín hiệu (a) lấy mẫu tới hạn? (b) lấy mẫu chồng tín hiệu thừa số hai? (c) 224 Nếu bạn sử dụng số hố ln ln cố định 256 mẫu, bạn gặp phải hịên tượng trùm phổ không? Một tín hiệu sin tần số f0 = 430 Hz đường bao Gauss có độ lệch tiêu chuẩn  = 10 giây, tập trung t = Đối với mục đích cắt bớt, giả sử tín hiệu biên độ hạ xuống 0.1% giá trị cực đại Cần mẫu chu kỳ để bạn số hố tín hiệu này, lấy mẫu chồng tín hiệu thừa số hai? Bằng lấy mẫu tới hạn? Một tín hiệu sin tần số f0 = 250 Hz đường bao có dạng 4sech(t),  = 10 ms, tập trung t = Đối với mục đích cắt bớt, giả sử tín hiệu biên độ hạ xuống 0.1% giá trị cực đại Cần mẫu chu kỳ để bạn số hố tín hiệu này, lấy mẫu chồng tín hiệu thừa số hai? Bằng lấy mẫu tới hạn? Tín hiệu III(x/) đường bao Gauss biên độ độ lệch tiêu chuẩn , tập trung t = Ở đây,  = 100 ms  = 500 ms Phác hoạ tín hiệu phổ Tín hiệu III(x/) đường bao Gauss biên độ độ lệch tiêu chuẩn , tập trung t = Ở đây,  = ms  = ms Phác hoạ tín hiệu phổ 10 Một phim âm 35 m 24 mm  36 mm Nó chứa đen trắng nằm liên tiếp nhau, đặt cách D mm theo chiều 36 mm Bạn có số hố 640  480 điểm ảnh (a) Khoảng cách điểm ảnh nhỏ để số hố tồn ảnh âm bản? (b) Nếu hình sin D = 0.15 mm, bạn số hố mà không vấp phải vấn đề trùm phổ không? (c) Nếu D = 0.3 mm, bạn số hố cách lấy mẫu chồng hai lần, ba lần hay không? (d) Nếu D = 1mm không hình sin, bạn tính phổ chúng thành hàm điều hoà (chẳng hạn, sm =  tần số thanh) không? DỰ ÁN Phịng tiếp thị cơng ty bạn đề xuất việc thiết kế sản phẩm xử lý ảnh nhằm làm giảm kích thước ảnh số cách loại bỏ số hàng cột Bạn biết ảnh bị chất lượng đáng kể lỗi trùm phổ Nười quản lý cấp cao bạn (người cho trùm phổ nghĩa đăng nhập tên người dùng giả mạo) thích nghe dự án đề xuất sản phẩm Có hội nghị xem xét sản phẩm vài ngày Bạn có hội để bác bỏ thiết kế tồi trước khiến cho cong ty bạn phá sản Hầu hết tài sản cá nhân bạn bị giữ lại kho công ty dự kiến lương hưu Bạn người cơng ty, người nhìn thấy mối nguy hại Bạn phải hành động nhanh chóng có sức thuyết phục Số hố ảnh có chứa mơ hình tần số cao Giải thích tượng trùm phổ cách lấy mẫu lại xuống nửa kích thước mà khơng lấy trung bình chỗ để tránh trùm phổ Phác hoạ MTF hệ thống số hoá ảnh Trên tỷ lệ, đánh dấu tần số lấy mẫu trước sau lấy mẫu lại Ngồi ra, đánh dấu tần số mơ hình trước sau lấy mẫu lại Viết tường thuật ngắn giảng giải lý thuyết đằng sau tượng giải thích, liên hệ với kết quan sát tượng trùm phổ thảo luận việc hiệu chỉnh vấn đề sau xảy làm để tránh 225 Định vị hệ thống số hoá ảnh (máy quét phim, camera CCD,…) đó, điểm quét nhỏ khoảng cách điểm ảnh cách đáng kể Chọn đối tượng (hay ảnh đối tượng) có chứa mơ hình tần ss cao rõ rệt Đầu tiên, tính khoảng cách điểm ảnh (của đối tượng) mà tượng trùm phổ mơ hình bắt đầu xảy Sau số hố ảnh giá trị 0.5, 1.0 2.0 lầm khoảng cách điểm ảnh Viết tường thuật ngắn mô tả kết bạn Dùng kết để hỗ trợ cho việc định khoảng cách điểm ảnh sử dụng Trình bày ví dụ trùm phổ (tương tự hình 12-12) cách lấy mẫu lại ảnh số thành kích thước nhỏ cách loại bỏ bớt hàng cột mà khơng lấy trung bình chỗ Tạo bưu thiếp đẹp gửi cho người bạn Viết tường thuật súc tích giải thích u cầu để có ví dụ điển hình tượng trùm phổ ảnh số Định vị hệ thống số hoá ảnh (máy quét phim, camera CCD,…) đó, điểm quét nhỏ khoảng cách điểm ảnh cách đáng kể Sử dụng thiết bị để trình bày ví dụ trùm phổ Làm thiệp Giáng sinh gởi cho tác giả Viết tường thuật súc tích giải thích u cầu để có ví dụ điển hình tượng trùm phổ ảnh số sử dụng chương trình tốn học hay viết chương trình để thực lọc thơng thấp chiều miền tần số Dùng chương trình để giải thích cho chặn đứng hàm đầu mút cửa sổ cắt Viết ngắn gọn mô tả minh hoạ bạn tượng Chọn ảnh số chứa đựng khác biệt mức xám biên trái phải và/hoặc biên Sử dụng hệ thống xử lý ảnh để thực lọc thông thấp miền tần số Tạo ba ví dụ sử dụng lọc thơng thấp nhiều lần Viết ngắn gọn minh chứng cho kết việc chặn đứng chu kỳ gần kề 226 ... HÌNH 1 2-2 1 218 Hình 1 2-2 1 Nhân chập ống kính lấy mẫu 12.6.3 Lấy mẫu Q trình lấy mẫu minh hoạ hình 1 2-2 2 Tín hiệu bị cắt, làm nhẵn ống kính lấy mẫu, nhân với III(t/T) để thực việc lấy mẫu Như... 12 1-3 minh hoạ cho hàm lấy mẫu Sự thuận tiện tốn học khiến cho mơ hình lựa chọn làm phương pháp lẫy mẫu HÌNH 1 2-2 Hình 1 2-2 Hàm giới hạn dải HÌNH 1 2-3 Hình 1 2-3 Hàm lấy mẫu 205 12.2.3 Lấy mẫu. .. vẹn Dưới lấy mẫu (Undersampling) Đối với trường hợp 3, ta đặt t  2     f  (25) fn  f0 (26) Nghĩa 209 HÌNH 1 2-8 Hình 1 2-8 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp HÌNH 1 2-9 Hình 1 2-9 Lấy mẫu hàm

Ngày đăng: 08/05/2021, 17:12