Cơ học kết cấu II - Chương 9 : Tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp đúng dần

PH ƯƠ NG PHÁP H.CROSS. I.[r]

CHƯƠNG TÍNH HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ĐÚNG DẦN

Cách tính hệ siêu tĩnh phương pháp chuyển vị hay phương pháp lực cho ta kết có độ xác cao Tuy nhiên, việc tính theo phương pháp có gây khó khăn định đặc biệt số lượng ẩn số lớn với cơng cụ tính tốn thơng thường

Để giải khó khăn này, người ta tìm cách giải toán với kết gần

đúng cách tính đơn giản kết gần chấp nhập thiết kế kết cấu Một cách tính phương pháp tính dần

Đặc điểm phương pháp ta cần thực phép tính theo trình tự định, lặp lặp lại nhiều lần thỏa mãn yêu cầu độ xác

Nội dung phương pháp tính dần nói chung trình bày dạng phân phối mơmen hay phân phối biến dạng theo hình thức hình thức khác

Sau đây, ta tìm hiểu phương pháp dần, phương pháp H.Cross phương pháp G.Kani

ß1 PHƯƠNG PHÁP H.CROSS

I Khái niệm:

Phương pháp H.Cross hình thức khác phương pháp chuyển vị,

đó việc giải hệ phương trình tắc thực theo phương pháp dần mang ý nghĩa vật lý

* Ưu điểm phương pháp: - Tính tốn đơn giản

- Chỉ yêu cầu phải giải số lượng phương trình so với số lượng phương trình theo phương pháp "chính xác" có trường hợp khơng cần phải giải hệ phương trình

* Nhược điểm phương pháp: Chỉ áp dụng có hiệu cho hệ có nút khơng chuyển vị thẳng

II Quy ước cách đọc tên xét dấu nội lực: 1 Quy ước đọc tên nội lực:

Ta dùng ký hiệu cho nội lực tương ứng biết kèm theo hai số:

- Chỉ số thứ thứ biểu thị vị trí tiết diện chứa thành phần nội lực

- Chỉ số thứ hai kết hợp với số thứ biểu thị

thanh chứa nội lực

Ví dụ: MAB: mômen tiết diện A thuộc AB

QAC: đọc lực cắt tiết diện A thuộc

thanh AC

2 Quy ước dấu:

- Mơmen uốn nút xem dương làm cho thớ quay theo chiều kim đồng hồ ngược lại Xem ví dụ hình (H.9.1.2a)

H.9.1.1 A P

- Lực cắt xem dương làm cho thành phần chịu lực quay theo chiều kim đồng hồ xem âm quay ngược chiều kim đồng hồ (giống SBVL) (H.9.1.2b)

III Sự phân phối mômen xung quanh nút:

Xét hệ gồm có nút khơng có chuyển vị thẳng chịu mơmen tập trung nút hình (H.9.1.3a) Ta xác định mômen uốn MAB, MAC, MAD

tại đầu quy tụ nút A mômen MBA, MCA, MDA đầu đối diện

với nút A

Chọn cách giải hệ phương pháp chuyển vị:

- Chọn hệ hình (H.9.1.3b), hệ phương trình tắc có dạng: r11Z1 + R1P =

- Xác định hệ số hệ phương trình tắc: + Các biểu đồ (M1) và( o)

P

M vẽ hình (H.9.1.3.c & H.9.1.3d)

* r11:

AD AD AC

AC AB

AB 11

l J l

J l

J

4E E E

r = + +

M < M <

M < M <

M > M <

Q > Q >

Q > Q >

H.9.1.2a H.9.1.2b

Z1 =

H.9.1.3c (M1)

AC AC

l EJ

3

AB AB

l EJ

2 AB

AB

l EJ

4

AD AD

l EJ

H.9.1.3d M

) ( o

P

M

B A

C D

EJAC

lAC

EJAB

lAB

EJAD

lAD

M

H.9.1.3a H.9.1.3b

Gọi: AB AB l J E

RAB = - độ cứng đơn vị quy ước AB (thanh có đầu đối diện ngàm)

AC AC l J E

RAC = - độ cứng đơn vị quy

ước AC (thanh có đầu đối diện khớp) AD AD l J E

RAD = - độ cứng đơn vị quy ước AD (thanh có đầu đối diện ngàm trượt song song với trục thanh)

Suy ra: r11 = 4.(RAB + RAC + RAD) = åR

* R1P:

R1P = -M

Thay vào phương trình tắc: 4.(RAB + RAC + RAD).Z1 - M =

R M R R R M Z AD AC AB S = + + = Þ ) (

- Vẽ biểu đồ mômen (M):

o

P

M Z M

M)=( 1) 1+

( Kết thể hình (H.9.1.3e)

Từ đây, ta xác định giá trị mômen uốn đầu quy tụ nút A:

M R R

M AB

AB = S , R M

R

M AC

AC = S , R M

R

M AD

AD = S

- Các mômen uốn MAB, MAC, MAD mômen M phân phối vào nút A nên

gọi mômen phân phối Và xét dấu theo qui ước H.Cross thì: M

R R

M AB

AB =- S , M

R R

M AC

AC =- S , M

R R

M AD

AD =- S - Mômen uốn đầu đối diện với nút A:

MBA MAB

+

= ; MCA = 0.MAC; MDA = -1.MAD

Các mômen gi l mụmen truyn

ăTng quỏt: Khi nỳt A gồm nhiều quy tụ, ta có: + Mơmen phân phối đầu A thuộc AX:

MAX = -gAX.M

+ Mômen truyền: MXA = bXA.MAX

Trong đó: gAX - hệ số phân phối AX

R

RAX

AX = S

g

RAX: độ cứng đơn vị quy ước AX, phụ thuộc vào liên kết đầu

đối diện với nút

åR: tổng độ cứng đơn vị quy ước quy tụ nút A bXA: hệ số truyền AX

* Chú ý: Mômen M tập trung nút biểu thức lấy dấu dương xoay chiều kim đồng hồ ngược lại

B.9.1.1 Bảng độ cứng đơn vị vi ước hệ số truyền

Liên kết đầu đối diện nút RAX bXA

- Khớp

l J 3E

0 - Ngàm trượt

l J E -1 - Ngàm l J E +1/2

- Tự 0

Ví dụ 1: Xác định mơmen phân phối mơmen truyền hệ cho hình (H.9.1.4a) Cho biết độ cứng tất EJ = const

1 Xác định độ cứng đơn vị quy ước: RAB =

4

EJ l

EJ

AB

= ; RAC =

4 EJ l EJ AC = ;

RAD =

4

3 EJ EJ

l EJ

AD

=

= ; RAE =

4

3 EJ EJ

l EJ

AE

= =

2 Xác định hệ số phân phối mômen phân phối: - Hệ số phân phối:

R

RAX

AX = S

g

® 0,25

4 4 J = = EJ E AB

g ; 0,25

4 4 J = = EJ E AC

g ; 0,25

4 4 J = = EJ E AD

g ; 0,25

4 4 J = = EJ E AE g D 3m A C B H.9.1.4a 4m 4m 3m E

M = 4T.m

Mômen phân phối: MAX = -gAX.M

® MAB = - 0,25.(-4) = 1; MAC = - 0,25.(-4) = 1;

MAD = - 0,25.(-4) = 1; MAE = - 0,25.(-4) =

3 Xác định hệ số truyền mômen truyền: - Hệ số truyền: bBA = bCA =

2

; bDA = bEA =

- Mômen truyền: MXA = bXA.MAX

® MBA =

2

.1 = 0,5; MCA =

2

.1 = 0,5; MDA = MEA =

Kết tính tốn có thểđược vẽ biểu đồ (M) (H.9.1.4b)

IV Cách tính hệ có nút khơng chuyển vị thẳng:

Ta phân tích cách tính hệ hình (H.9.1.5a) Tuy nhiên, cách lập luận mang tính tổng qt cho hệ có nút khơng chuyển vị thẳng

Giả sử ngăn cản chuyển vị xoay tất nút cách đặt thêm vào nút liên kết mômen, ta thu hệ

chính hệ phương pháp chuyển vị

(H.9.1.5b) Tại nút bị chốt, phát sinh phản lực mômen gọi ngẫu lực chèn Ngẫu lực chèn phải cân với mômen uốn dầu quy tụ nút

Ví dụ: Với nút B:

MB + MBA + MBE + MBC =

H.9.1.5a

F C

H E

G B A

D

M M

D

A B

G E

H C

F

H.9.1.5b

MB MC

ME MF

MF

ME

MC

MB

H.9.1.5c

F C

H E

G B A

D M

D

A B

G E

H C

F

H.9.1.5d B

B M

M* =

-C

C M

M* =

-E

E M

M* =

-F

F M

M* =

-MBA

MB

MBC

Nút

(Ngàm) A B D E F C

Đầu

thanh AD BE DA DE ED EB EF FE FC CF g 0,3333 0,666 0,4 0,2 0,4 0,6666 0,3333

M* 3,2 -3,2

D -0,533 -1,066 -2,133 -1,066

E 0,426 0,853 1,706 0,853 1,706 0,853

F -0,284 -0,568 -0,284 -0,142

D -0,142 -0,284 -0,568 -0,284

E 0,056 0,113 0,227 0,113 0,227 0,113

F -0,037 -0,075 -0,037 -0,018

D -0,018 -0,037 -0,075 -0,037

E 0,007 0,014 0,029 0,014 0,029 0,014

F -0,004 -0,009 -0,004 -0,002

D -0,022 -0,004 -0,009 -0,004

Mcc -0,695 0,489 -1,395 1,395 -2,629 0,98 1,637 0,328 -0,325 -0,162

B.9.1.3 Bảng phân phối mômen tải trọng

4 Tính hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu chuyển vị cưỡng bức: - Hệ số phân phối hệ số truyền xác định mục

- Xác định mômen nút cứng:

Chốt tất nút tra bảng cho phần tử chịu chuyển vị cưỡng (H.9.1.8d):

1 * *

* .

l 6EJ d

= =

= EB FC

DA M M

M

Nếu chọn d = J

2

E l

* = * = * =1 FC EB

DA M M

M

Suy được: * = * = * =1/2 CF BE

AD M M

M

- Lập bảng phân phối mômen (B.9.1.4)

- Dựa vào kết bảng tính, ta vẽđược (M1)

- Xác định phản lực r11:

Thực cắt khỏi hệ phần hình vẽ (H.9.1.8d) Lực cắt

đầu bị cắt suy từ biểu đồ mơmen (M1)

® r11 = 0,261 + 0,345 + 0,251 = 0,857

5 Thay tất vào phương trình xác định k:

r11k1 + R1P = ® 0,877.k1 - 0,277 = ® k1 = 0,323

d 1

H.9.1.8d

0,261 0,345 0,251

r11

Nút

(Ngàm) A B D E F C

Đầu

thanh AD BE DA DE ED EB EF FE FC CF g 0,333 0,666 0,4 0,2 0,4 0,666 0,333

M* 0,5 0,5 1 0,5

D -0,166 -0,333 -0,666 -0,333

E -0,066 -0,133 -0,266 -0,133 -0,266 -0,133

F -0,577 -0,288 -0,144

D 0,022 0,044 0,088 0,044

E 0,024 0,048 0,097 0,048 0,097 0,048

F -0,015 -0,031 -0,015 -0,007

D -0,008 -0,015 -0,031 -0,015

E 0,003 0,006 0,012 0,006 0,012 0,006

F -0,002 -0,004 -0,002 -0,001

Mcc 0,348 0,461 0,696 -0,688 -0,461 0,921 -0,462 -0,687 0,659 0,348

B.9.1.4 Bảng phân phối mômen d1

6 Xác định mômen uốn đầu hệ ban đầu:

Đầu

thanh AD BE DA DE ED EB EF FE FC CF o

P

M -0,695 0,489 -1,395 1,395 -2,629 0,98 1,637 0,328 -0,325 -0,162

1

M 0,348 0,461 0,696 -0,688 -0,461 0,921 -0,462 -0,687 0,659 0,348

1

M k1 0,112 0,149 0,225 -0,222 -0,149 0,297 -0,149 -0,222 0,213 0,112 Mcc -0,583 0,638 -1,170 1,173 -2,778 1,277 1,488 0,106 -0,112 -0,50

B.9.1.5 Bảng xác định mômen hệ

Sau xác định mơmen uốn đầu thanh, ta vẽđược biểu đồ (M) Xem hình (H.9.1.8f)

Sau vẽ biểu đồ (M), tiến hành biểu đồ lực cắt (Q) lực dọc theo nguyên tắc biết

H.9.1.8f 4,8

1,17

0,583 0,638

2,778 1,488

1,277

0,50 0,122