Bài toán điều khiển tối ưu là xác định tín hiệu điều khiển u(t) làm cho chỉ tiêu chất lượng J đạt cực trị với những điều kiện hạn chế nhất định của u và x.. Lấy ví dụ về bài toán điề[r]
(1)Chương
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Vài nét lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển
- Phương pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange 1766 - Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov 1892
- Trí tuệ nhân tạo 1950
- Hệ thống điều khiển máy bay siêu nhẹ 1955 - Nguyên lý cực tiểu Pontryagin 1956
- Phương pháp quy hoạch động Belman 1957 - Điều khiển tối ưu tuyến tính dạng tồn
phương LQR ( LQR : Linear Quadratic Regulator )
- Điều khiển kép Feldbaum 1960 - Thuật toán di truyền 1960 - Nhận dạng hệ thống 1965 - Logic mờ 1965
- Luật điều khiển hệ thống thích nghi mơ hình tham chiếu MRAS tự chỉnh định STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR : Self-Tuning Regulator )
- Hệ tự học Tsypkin 1971 - Sản phẩm công nghiệp 1982 - Lý thuyết bền vững 1985
(2)1.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 1.1.1 Đặc điểm toán tối ưu 1 Khái niệm
Một hệ điều khiển thiết kế chế độ làm việc tốt hệ trạng thái tối ưu theo tiêu chuẩn chất lượng ( đạt giá trị cực trị ) Trạng thái tối ưu có đạt hay khơng tùy thuộc vào u cầu chất lượng đặt , vào hiểu biết đối tượng tác động lên đối tượng , vào điều kiện làm việc hệ điều khiển …
Một số ký hiệu sử dụng chương
Hình 1.1:Sơ đồ hệ thống điều khiển
Hệ thống điều khiển hình bao gồm phần tử chủ yếu : đối tượng điều khiển ( ĐTĐK ) , cấu điều khiển ( CCĐK ) vòng hồi tiếp ( K ) Với ký hiệu :
x0 : tín hiệu đầu vào u : tín hiệu điều khiển x : tín hiệu đầu
ε = x0 – x : tín hiệu sai lệch f : tín hiệu nhiễu
Chỉ tiêu chất lượng J hệ thống đánh giá theo sai lệch đại lượng điều khiển x so với trị số mong muốn x0 , lượng điều
khiển ( trị số cực đại xmax so với trị số xác lập x( )∞ tính theo phần trăm ) , thời gian độ … hay theo tiêu hỗn hợp điều kiện làm việc định hạn chế công suất , tốc độ , gia tốc … Do việc chọn luật điều khiển cấu điều khiển để đạt chế độ làm việc tối ưu tùy thuộc vào lượng thơng tin ban đầu mà ta có
(3)Hình 1.2 : Tối ưu cục tối ưu tồn cục
Khi tín hiệu điều khiển u giới hạn miền [u1,u2] , ta có giá trị tối ưu cực đại J1∗ tiêu chất lượng J ứng với tín hiệu điều khiển
1 u∗
Khi tín hiệu điều khiển u khơng bị ràng buộc điều kiện u1≤ ≤u u2 , ta có giá trị tối ưu J2∗ >J1∗ ứng với u2∗ Như giá trị tối ưu thực J2∗
Tổng quát , ta xét toán miền [u um, n] tìm giá trị tối ưu Ji∗ giá trị tối ưu cục Nhưng tốn khơng có điều kiện ràng buộc u giá trị tối ưu
( )i
J∗ =extremum J∗ với Ji∗ giá trị tối ưu cục , giá trị J∗ giá trị tối ưu tồn cục
Điều kiện tồn cực trị :
• Đạo hàm bậc J theo u phải :
= ∂ ∂
u J
• Xét giá trị đạo hàm bậc hai J theo u điểm cực trị :
2
> ∂ ∂
u J
: điểm cực trị cực tiểu
2
< ∂ ∂
u J
(4)2 Điều kiện thành lập toán tối ưu
Để thành lập toán tối ưu u cầu hệ thống phải có đặc tính phi tuyến có cực trị
Bước quan trọng việc thành lập hệ tối ưu xác định tiêu chất lượng J Nhiệm vụ bảo đảm cực trị tiêu chất lượng J Ví dụ xây dựng hệ tối ưu tác động nhanh yêu cầu hệ nhanh chóng chuyển từ trạng thái sang trạng thái khác với thời gian độ nhỏ , nghĩa cực tiểu hóa thời gian q độ Hay tính tốn động tên lửa tiêu chất lượng vượt khoảng cách lớn với lượng nhiên liệu cho
Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu x(t) , tín hiệu điều khiển u(t) thời gian t Bài toán điều khiển tối ưu xác định tín hiệu điều khiển u(t) làm cho tiêu chất lượng J đạt cực trị với điều kiện hạn chế định u x
Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau :
0
[ ( ), ( ), ]
T
J =∫L x t u t t dt
Trong L phiếm hàm tín hiệu x , tín hiệu điều khiển u thời gian t
Lấy ví dụ tốn điều khiển động điện chiều kích từ độc lập
kt const
Φ = với tín hiệu điều khiển u dịng điện phần ứng iu tín hiệu
x góc quay ϕ trục động
(5)M u c q
d
k i M M
dt ω
− = (1)
d dt
ϕ
ω = (2)
trong kM =CMΦ =const ; Mq moment qn tính ; ω tốc độ góc ; ϕ
là góc quay Giả sử bỏ qua phụ tải trục động ( Mc=0 ) :
2
M u q
d
k i M
dt ϕ
= (3)
Nếu xét theo thời gian tương đối cách đặt : /
M q
t k M
τ =
thì (3) có dạng :
2 u
d i d
ϕ
τ = (4)
Từ ta có :
2 d x
u
dτ = (5)
Vậy phương trình trạng thái động điện phương trình vi phân cấp hai
• Bài tốn tối ưu tác động nhanh ( thời gian tối thiểu ) :
Tìm luật điều khiển u(t) với điều kiện hạn chế u ≤1 để động quay từ vị trí ban đầu có góc quay tốc độ đến vị trí cuối có góc quay ϕ0 tốc độ với khoảng thời gian ngắn
Vì cần thời gian ngắn nên tiêu chất lượng J :
0
[ ( ), ( ), ]
T
J =∫L x t u t t dt T=
Rõ ràng từ phương trình ta phải có [ ( ), ( ), ] 1L x t u t t =
Như , toán tối ưu tác động nhanh tiêu chất lượng J có dạng :
∫ = =T dt T
(6)13 Xét hệ tác động nhanh có dạng sau :
2 d x
x u dt + =
1
u ≤
Tìm quỹ đạo pha tối ưu để đưa hệ gốc toạ độ từ điểm 14 Xét toán tác động nhanh :
2
0
0
x x u
ω
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ +⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )
u t ≤
a Giải phương trình biến trạng thái Dùng nguyên lý cực tiểu Pontryagin để tìm luật điều khiển tối ưu
b Vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp u = u = -1 c Tìm phương trình đường chuyển đổi
15 Cho hệ thống :
1 2 x x x u = =
( 2 2)
1 2
0
1
2
J x vx x qx u dt
∞
= ∫ + + +
với (q v− 2)>0
a Tìm lời giải cho phương trình Riccati đại số b Tìm điều khiển tối ưu hệ thống vịng kín tối ưu
c Vẽ quỹ đạo nghiệm số hệ thống q thay đổi từ đến ∞ Với giá trị q hệ thống ổn định
16 Cho hệ thống :
1
2 2
x x
x ax x u
=
= − − +
và tiêu chất lượng :
( 2 2)
1
1 2
J x x u dt
∞
(7)a Vẽ quỹ đạo nghiệm số hệ hở a thay đổi từ đến ∞ Với giá trị a hệ thống ổn định
b Với a = -8 tìm lời giải cho phương trình đại số Riccati hệ số K 17 Xét hệ rời rạc :
1
k k k
x+ = x +u a Tìm lời giải xk với k = ; x0 =
b Xác định luật uk tổn hao lượng tối thiểu để đưa hệ thống từ x0 = x5 = Vẽ quỹ đạo trạng thái tối ưu
c Tìm luật hồi tiếp trạng thái Kk tối ưu cho tiêu chất lượng J đạt
cực tiểu :
( )
4
2 2
5
0
5 0.5 k k
k
J x x u
=
= + ∑ +
Tính hàm tổn thất J tối ưu với k = ; 18 Xét hệ rời rạc :
1
k k k
x + =ax +bu
( )
1
3 3
0
1
2
N
N N k k
k
J s x − qx ru
=
= + ∑ +
với xk , uk vô hướng
a Tìm phương trình trạng thái , phương trình biến trạng thái điều kiện tĩnh
b Khi ta tìm luật điều khiển tối ưu uk Với điều kiện
đó , khử uk phương trình trạng thái
c Tìm lời giải tốn điều khiển vịng hở ( trạng thái cuối xN cố định ,
0
N