Một số phương trình chứa căn thức

Sở giáo dục & đào tạo bắc giang Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng pháp giải Môn : Toán Khối : 9 1 Năm học 2007 - 2008 Phòng giáo dục & đào tạo Lạng giang Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng pháp giải Môn : Toán Khối : 9 Ngời thực hiện: Vũ Minh Sơn đánh giá của tổ chuyên môn (Nhận xét, đánh giá xếp loại) . . đánh giá của hội đồng nhà trờng (Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu) 2 Phần ghi số phách của Phòng GD & ĐT . . Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng pháp giải Môn : Toán Khối : 9 đánh giá, xếp loại của Phòng giáo dục và đào tạo (Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu) . . 3 Phần ghi số phách của Phòng GD & ĐT . tác giả : Đơn vị công tác : . A. đặt vấn đề Trong chơng trình dạy toán nói chung của trung học cơ sở, có rất nhiều vấn đề mà ngời dạy chúng ta cần quan tâm, đánh giá và suy nghĩ để từ đó t duy tổng hợp, tiến hành thực hiện áp dụng việc đổi mới giúp cho việc giảng dạy của thầy hiệu quả hơn, việc tiếp thu của trò dễ dàng hơn và học trò hứng thú với việc học tập ở trờng. Qua nghiên cứu chơng trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số lớp 9 phần bài tập liên quan đến căn thức và các phép biến đổi của căn thức đặc biệt là các dạng toán về phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức đối với học sinh khi thực hiện rất khó khăn, trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp thì dạng toán liên quan đến giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức là những bài toán hay và khó. Trong những năm gần đây, việc đổi mới phơng pháp dạy học là một yêu cầu bắt buộc đối với tất cả các môn học, cụ thể chúng ta phải áp dụng linh hoạt các phơng pháp để tạo cho học sinh học tập có hệ thống, tự giác trong việc nghiên cứu lý thuyết cũng nh tìm tòi lời giải, phát triển tính sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng các kiến thức đã học để khám phá lời giải của các bài tập, thống kê và đa chúng về một số dạng cơ bản trên cơ sở đó thực hiện việc giải toán một cách dễ dàng hơn. Qua quá trình giảng dạy các đối tợng học sinh, tôi đã thực hiện việc tổng hợp một số dạng toán về phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng pháp giải, bớc đầu đã đạt đợc những kết quả nhất định. Tôi mạnh dạn tổng hợp và viết sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phơng trình bất phơng trình và phơng pháp giải trong khuôn khổ của chơng trình toán trung học cơ sở nhằm mong muốn đợc các đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến. 4 B. giảI quyết vấn đề Một trong những điều cần lu ý nhất đối với phơng trình và bất phơng trình chứa căn là tính không thuận nghịch của các phép toán. Nhìn chung những dạng phơng trình và bất phơng trình cơ bản là các phơng trình, bất phơng trình có thể đa về phơng trình và bất phơng trình đại số bậc nguyên. Vì vậy cần lu ý đến điều kiện có nghĩa của biểu thức. Ví dụ 1: A(x) = (1 + x ) 2 + (1 - x ) 2 và B(x) = 2 + 2x thì A(x) = B(x) chỉ đúng khi x > 0 Ví dụ 2: Xét phơng trình 4 )(xA = B(x) (1) thì điều kiện đối với B(x) là quan trọng. Nếu cha biết thông tin đối với B(x) thì không thể viết: (1) A(x) = B(x) 4 B(x) 0 Ví dụ 3: Giải phơng trình 4 1 x = x 1 Phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 (2) Nếu chỉ dựa vào phép tính biến đổi ta sẽ thấy: (2) x - 1 = (1 - x) 2 = = 2 1 x x Do vậy, trong mọi trờng hợp, cần phải xem xét điều kiện có nghĩa của phơng trình một cách chi tiết, sau đó mới tiến hành các phép biến đổi tơng đơng. 1. Quy tắc giản ớc : Khác với các biểu thức đại số bậc nguyên khi một thừa số khác không, ta có thể giản ớc hoặc đặt thừa số chung. Đối với biểu thức chứa căn, cần đặc biệt lu ý tới điều kiện có nghĩa. Bài toán 1 : Giải phơng trình: xx ))1( + xx )2( = )3( + xx Giải: Điều kiện có nghĩa: (x - 1)x 0 x 2 (x - 2)x 0 x = 0 x(x + 3) 0 x - 3 1) x = 0 là một nghiệm. 2) Xét x 2 khi đó có thể giản ớc hai vế của phơng trình cho x 1 x + 2 x = 3 + x 2x - 3 + 2 )2)(1( xx = x + 3 2 )2)(1( xx = 6 - x 6 - x 0 x 6 x = 3 28 4 (x 2 - 3x + 2) = 36 - 12x + x 2 3x 2 = 28 5 Kết hợp với điều kiện x 2 ta đợc nghiệm x = 3 28 3) Xét x - 3 khi đó viết phơng trình đã cho dới dạng: ))(1( xx + ))(2( xx = )3)(( xx Giản ớc 2 vế cho x x 1 + x 2 = x 3 Trờng hợp này phơng trình vô nghiệm vì vế trái lớn hơn vế phải. Tóm lại: phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 3 28 2. Quy tắc thay giá trị: Sử dụng hằng đẳng thức: (u + v) 3 = u 3 + v 3 + 3uv (u +v) Từ biểu thức u + v = a dễ dàng suy ra: u 3 + v 3 + 3uva = a 3 Tuy nhiên, phép thế giá trị u + v = a này vào biểu thức lập phơng có thể dẫn đến một phép bình phơng và phép biến đổi không còn là phép biến đổi tơng đơng. Bài toán 2 : Giải bất phơng trình: 3 x + 3 3 x m (1) Giải: (1) 3 3 x m - 3 x 3 - x m 3 - 3m 2 3 x + 3m 3 x 2 - x 3m 3 x 2 - 3m 2 3 x + m 3 - 3 0 1) m = 0, x là nghiệm. 2) m 0 xét tam thức bậc hai: f(t) = 3mt 2 - 3m 2 t + m 3 - 3, với t = 3 x = 9m 4 - 12m(m 3 - 3) = - 3m 4 + 36m = - 3m(m 3 - 12) m 0 3 12 - 0 + 0 - a) Nếu m < 0 thì < 0 => f(t) 0, t . Vậy x là nghiệm b) Nếu 0 < m 3 12 thì f(t) 0 => m m 6 3 2 t m m 6 3 2 + Từ đó ta đợc m m 6 3 2 3 x m m 6 3 2 3 c) m > 3 12 thì < 0 => f(t) > 0 t , bất phơng trình vô nghiệm Bài toán 3: Giải phơng trình: 3 2 2 xx ++ + 3 2 2 xx = 3 4 Giải: Lập phơng hai vế ta đợc: 4 + 3 3 2 2 xx ++ . 3 2 2 xx ( 3 2 2 xx ++ + 3 2 2 xx ) = 4 Vậy phơng trình tơng đơng với: 3 2 2 xx ++ + 3 2 2 xx = 3 4 3 3 2 2 xx ++ . 3 2 2 xx = 0 Vì 3 2 2 xx ++ > 0 nên suy ra: 3 2 2 xx = 0 => = = 2 1 x x Hai giá trị này đều thoả mãn phơng trình đã cho. 3. Phép hữu tỉ hoá: 6 Một trong những phơng pháp cơ bản để giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn là chuyển bài toán đã cho về dạng hữu tỷ (bậc nguyên) bằng cách đặt ẩn phụ. Bài toán 4: Giải phơng trình: 4 1 + x = (a 4 x - 4 1 + x )x Giải: Điều kiện x 0 Nhận xét: a , x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Chia 2 vế của phơng trình cho x 4 x , ta đợc: + x x 1 4 5 = a (1) + Nếu a 1 phơng trình vô nghiệm. + Xét a > 1 khi đó (1) x x 1 + = a 5 4 x = 1 1 5 4 a Bài toán 5: Giải phơng trình: 4 5 x + 4 1 x = 2 (1) Giải: Điều kiện 1 x 5; Đặt 4 1 x = y + 2 2 , - 2 2 y 2 2 Khi đó: x = (y + 2 2 ) 4 + 1, 4 5 x = 4 4 ) 2 2 (4 + y Thay vào (1) ta đợc phơng trình: 4 4 ) 2 2 (4 + y + y + 2 2 = 2 ( y + 2 2 ) 4 + (y - 2 2 ) 4 = 4 (y + 2 2 ) 2 - (y - 2 2 ) 2 2 + 2(y 2 - 2 1 ) 2 = 4 2y 4 + 6y 2 - 2 7 = 0 => y = 2 2 Vậy phơng trình có nghiệm x 1 = ( 4 ) 2 2 2 2 + + 1 = 5 x 2 = (- 4 ) 2 2 2 2 + + 1 = 1 Bài toán 6: Giải bất phơng trình: 2( xx 1 ) 4 1 x + 4 x Giải: Điều kiện 0 x 1 Viết bất phơng trình đã cho dới dạng: ( 4 1 x + 4 x ) 2 + ( 4 1 x - 4 x ) 2 4 1 x + 4 x (1) Đặt 4 1 x + 4 x = y 4 1 x 1 - x Do Nên: y 1 suy ra y 2 y 4 x x Do vậy ( 4 1 x + 4 x ) 2 4 1 x + 4 x Vậy (1) luôn luôn đúng. Suy ra nghiệm là đoạn [ ] 1;0 4. Phép chuyển về hệ: (hữu tỉ hoá gián tiếp) Nhìn chung, các phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức đều có thể chuyển đợc về một hệ hữu tỉ. Tuy nhiên, không phải khi nào cũng cho thấy tính u việt của hệ nhận đợc. Thông thờng, phép toán chuyển về hệ sẽ có hiệu quả khi các phép toán đó có sử dụng các hằng đẳng thức quen biết. Bài toán 7 : Giải phơng trình x x 5 26 + x x + + 5 26 = 3 8 Giải: Điều kiện: -5 < x < 5; Đặt x 5 = u ; x + 5 = v ; 0 < u , v < 2 5 (*) Khi đó ta đợc hệ: u 2 + v 2 = 10 7 - u 4 - v 4 + 2(u + v) = 3 8 (u + v) 2 = 10 + 2uv (u + v)(1 - uv 2 ) = 3 4 Đặt tiếp uv 2 = t uv = t 2 , t > 5 2 Ta đợc hệ: (u + v) 2 = 10 + t 4 (u + v) 2 = 2 )1(9 16 t uv = t 2 Vậy t phải thoả mãn phơng trình 2 )1(9 16 t = 10 + t 4 8t = 45t(1 - t) 2 + 18(1 - t) 2 45t 3 - 72t 2 + t + 18 = 0 15 (3t 3 - 2t 2 ) - 14 (3t 2 - 2t) - 9(3t - 2) = 0 (3t - 2) (15t 2 - 14t - 9) = 0 t = 3 2 => uv = 3 t = 15 4627 + => uv = 4627 30 + = a 1 Vậy u,v là nghiệm của một trong hai hệ sau: (u + v) 2 = 10 + 2uv = 16 u 1 = 3 ; v 1 = 1 (1) => (u - v) 2 = 10 - 2uv = 4 u 2 = 1 ; v 2 = 3 u 3 = 2 1 ( )210210 11 aa ++ (u + v) 2 = 10 + 2a 1 v 3 = 2 1 ( )210210 11 aa + (2) => (u - v) 2 = 10 - 2a 1 u 4 = 2 1 ( )210210 11 aa + v 4 = 2 1 ( )210210 11 aa ++ Các nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*) Suy ra nghiệm của phơng trình là: x = 5 - 2 k u , k = 1,2,3,4 Bài toán 8 : Giải phơng trình: x 2 - 2x = 2 12 x Giải: Điều kiện x 2 1 Đặt 12 x = y + . Chọn , để hệ : x 2 - 2x = 2 ( y + ) ( y + ) 2 = 2x - 1 Là hệ đối xứng: Lấy = 1, = -1 Ta đợc hệ: x 2 - 2x = 2(y - 1) ( x 2 1 , y 1) (*) y 2 - 2y = 2(x - 1) 8 x 2 - 2x = 2(y - 1) (x 2 - 2x) - (y 2 - 2y) = 2(y - 1) - 2(x - 1) y = x x 2 - 2x = 2(y - 1) x 2 - 2x = 2(x - 1) x 2 - y 2 = 0 y = - x x 2 - 2x = 2(- x - 1) y = x x = y = 2 2 x 2 - 4x + 2 = 0 y = -x ( vô nghiệm) x 2 = -2 Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta đợc nghiệm duy nhất của phơng trình : x = 2 + 2 Bài toán 9 : Giải phơng trình: x 2 + 4 x = 2 1 Giải: Điều kiện 0 x 2 Đặt x 2 = u 4 x = v 0 u 2 ; 0 v 4 2 u + v = 2 1 u = ( 2 1 - v) sẽ đợc hệ (1) u 2 + v 4 = 2 ( 2 1 - v) 2 + v 4 = 2 Giải phơng trình (1): v 4 + v 2 - 2 v + 2 1 = 2 (v 4 + 2v 2 + 1) - (v 2 + 2 v + 2 1 ) = 0 (v 2 + 1) 2 - (v + 2 1 ) 2 = 0 (v 2 + v + 1 + 2 1 )(v 2 - v + 1 - 2 1 ) = 0 Vế trái luôn luôn dơng, vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. 5. Phân tích thành nhân tử: (phép đặt ẩn phụ không toàn phần) Một trong những nội dung khó nhất của loại phơng trình và bất phơng trình chứa căn chính là xác định tiêu chuẩn để một biểu thức chứa căn có thể phân tích đợc thành nhân tử. Tuy nhiên, dựa vào đặc thù riêng của từng bài, có thể xem một bộ phận thích hợp của biểu thức đã cho nh một biến số độc lập và phân tích chúng theo biến phụ đó. Bài toán 10 : Giải phơng trình: 4 x + 1 - 1 = 3x + 2 x 1 + 2 1 x (1) Phân tích: Coi x 1 = t nh biến độc lập. Khi đó viết (1) dới dạng: 4 x + 1 - 1 = 3(1 - t 2 ) + 2t + t x + 1 3t 2 - (2 + x + 1 ) t + 4( x + 1 - 1) = 0 (2) 9 Cũng nh vậy, nếu coi x + 1 = t là ẩn phụ mới thì cũng có một phơng trình t- ơng tự. Tuy nhiên, sự may mắn để giải đợc phơng trình (2) theo tam thức bậc hai của t quả là ít xảy ra. Đó chính là điểm nút quan trọng nhất trong phơng pháp đặt ẩn số phụ không toàn phần: Thông thờng, trớc khi giải, ta cần xét biểu diễn của số hạng 3x dới dạng tổ hợp của 2 số: ( x 1 ) 2 ; ( x + 1 ) 2 ; 3x = (1 - x) + (1+ x) + Và chọn , , thích hợp để tam thức theo biến t có biệt thức = 0. Giải: Điều kiện -1 x 1 (1) Đặt x 1 = t 3x = - (1 - x) + 2 (1 + x) - 1 = - t 2 + 2(x + 1) - 1 Khi đó phơng trình (1) có dạng 4 x + 1 - 1 = - t 2 + 2(x + 1) - 1 + 2t + t x + 1 t 2 - (2 + x + 1 )t + 4 x + 1 - 2(1 + x) = 0 (3) = (2 - 3 x + 1 ) 2 Suy ra (3) (t - 2 x + 1 ) (t - 2 + x + 1 ) = 0 t = 2 x + 1 x 1 = 2 x + 1 x = - 5 3 t = 2 - x + 1 x 1 = 2 - x + 1 x = 0 Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện (1). Vậy phơng trình có hai nghiệm là x = 0 và x = - 5 3 6. Phép giải và biện luận: Việc giải phơng trình và bất phơng trình chứa căn thức có tham số thờng đợc tiến hành theo đặc thù của từng bài cụ thể để tìm cách giải tối u. Để có một cách hệ thống các bớc, ta sắp xếp việc biện luận theo trình tự dới đây: Bài toán 11 : Giải và biện luận bất phơng trình 1 2 x x m (1) Phân tích: Các điểm đặc biệt: x = 1, x = m -1 1 m Từ đó, suy ra phép biện luận theo sự phân bố của m. Giải: Điều kiện x 1 x - 1 1) m = 1 (1) 1 2 x x - 1 a) x - 1 0 => x 1. Suy ra x - 1 là nghiệm b) x - 1 0 => x 1 Bất phơng trình (1) x 2 - 1 x 2 - 2x + 1 x 1 Vậy x 1 Là nghiệm x - 1 2) m = -1 (1) 1 2 x x + 1 (2) a) x - 1 là nghiệm b) Xét x > - 1. Bất phơng trình (2) x 2 - 1 x 2 +2x +1 x -1 (loại) Vậy x -1 là nghiệm 3) m < -1 10 [...]... Hệ thống hoá đợc các kiến thức liên quan đến phép biến đổi căn thức, một số kỹ năng biến đổi mang tính định lợng và còn có thể là cả cách đặt sao cho phù hợp nhất Đối với học trò cần phải nắm chắc kiến thức về nhiều mảng liên quan nh các phép biến đổi căn thức, điều kiện có nghĩa của biểu thức trong căn, một số phép biến đổi đại số Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy vai trò của ngời thầy trong... trong quá trình giảng dạy chúng ta phải biết động viên khuyến khích, khích lệ học sinh tham gia tìm tòi sáng tạo, sáng tạo lại những kiến thức, kỹ năng đã đợc tiếp thu, nghiên cứu Mỗi thầy, cô giáo nên dùng phơng pháp biểu dơng sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả lao động sáng tạo của các em dù là rất nhỏ Trên đây là một số dạng phơng trình bất phơng trình và phơng pháp giải mà trong quá trình. .. Kết luận i) Với a < 2( 3 1) ii) Với a x= 3 + 2 3 phơng trình vô nghiệm 2( 3 1) 3 + 2 3 phơng trình có nghiệm: 1 y 2 3y 4 6 y 2 + 1 2y2 với y = a + a2 + 4 2 bài tập áp dụng Bài 1: Giải và biện luận các phơng trình 1) 3 x a - 3 x b = c 2) x 2 ax +1 = ax + 1 3) x ax 1 = x 1 + x 4) 4 x 1 + 4 2 x = a Bài 2: Giải và biện luận các bất phơng trình 1) x + a + x +1 a +1 2) x( x a) + x( x + a ) x 2... 6: Giải các phơng trình: 1) 2 x + 5 + 3x 5 = 2 13 4 x 2 (1 x) (3) 2) 3) 1 + x x2 + 4 3+x 3x = x + 1 1 1 4 2 + + 9 x 9 x2 = 4) x2 5 + x 2 6 = 7 Bài 7: Giải các phơng trình: 1) 3 x + 45 - 3 x 16 = 1 2) x + 4 x = 12 3) 2 3 x 2 - 3 3 x = 20 4) x 3 2 x 4 + x 4 2x + 2 x +2 5) 6) x 3 x 1 3 x 2 1 x +2 2x + 2 - x 2 1 3 x +1 3 = 7 12 x 4 = 1 = 4 c Kết luận Cách đa các bài toán về một số dạng để có phơng... sinh hoạt động một cách linh hoạt, phát huy tính độc lập sáng tạo và tạo hứng thú cho học sinh học tập có kết quả Để thực hiện công việc này đòi hỏi ngời thầy phải tham khảo nhiều tài liệu, phải dành thời gian hợp lý ví dụ ở các giờ học chính khoá, giờ học ngoại khoá, giờ học tự chọn, giờ thực hành và phải thực sự say mê môn Toán với các căn thức đầy hóc búa Hệ thống hoá đợc các kiến thức liên quan... m 2m là nghiệm 4) -1 < m < 1 a) x -1 là nghiệm b) Xét x 1 Bất phơng trình (1) x2 -1 x2 -2mx + m2 2mx m2 + 1 (*) + -1 < m 0 thì ( * ) vô nghiệm + 0 < m < 1 thì ( * ) x Vậy x -1 x m 2 +1 2m m 2 +1 2m thoả mãn điều kiện x 1 là nghiệm 5) m > 1 a) x -1 là nghiệm b) Xét x m Bất phơng trình (1)... - 1 3x a 4) x +a - x a 2 x a Bài 3: Giải các phơng trình 1) x 3 1 = x2+3x -1 2) x + 4 x(1 x) 2 + 4 (1 x) 3 = 1 x + 4 x 3 + 3) 2x2 - 6x - 1 = 4 x + 5 4) 1+x - 2x2 = 4 x 2 1 - 2 x +1 Bài 4: Giải các bất phơng trình 1) 4 4 x + 1 x 2) 1 + x 2 ( 1 x 2 + 2 x ) 1 - 2x - x2 3) x2 + 2 8 x 8 4) x2 - 2x - 1 2(1 - x) x 2 + 2 x 1 Bài 5: Giải các phơng trình: 1) x + x 1 = 13 2) 2x2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 9... nghiệm b) Xét x m Bất phơng trình (1) x m 2 +1 2m không thoả mãn điều kiện x m Vậy x -1 là nghiệm Bài toán 12: Giải và biện luận bất phơng trình sau: ( x m)( x + m 2) 2x - m - 1 (1) Giải: (1) ( x 1) (m 1) 2(x - 1) - (m - 1) (1') Điều kiện để căn thức có nghĩa: x 1 + m 1 (2) x 1 - m 1 m 1 1) Xét 2(x - 1) - (m - 1) 0 x 1 + kết hợp với (2) thì (1) có nghiệm: 2 x 1- 2 2 m 1 2) Xét 2(x - . kiến thức về nhiều mảng liên quan nh các phép biến đổi căn thức, điều kiện có nghĩa của biểu thức trong căn, một số phép biến đổi đại số . Trong quá trình. hơn. Qua quá trình giảng dạy các đối tợng học sinh, tôi đã thực hiện việc tổng hợp một số dạng toán về phơng trình - bất phơng trình chứa căn thức và phơng