Điều khiển bám vị trí hệ phi tuyến có tham số trễ theo trạng thái và tín hiệu đầu vào với bộ điều khiển tuyến tính từng đoạn

Hơn thế nữa, những phương pháp điều khiển bám tín hiệu đặt trước cho hệ phi tuyến có trễ lại càng hiếm [4], trong khi bài toán điều khiển bám ổn định vị trí có ràng buộc cho những đối [r]

ĐIỀU KHIỂN BÁM VỊ TRÍ HỆ PHI TUYẾN CÓ THAM SỐ TRỄ THEO TRẠNG THÁI VÀ TÍN HIỆU ĐẦU VÀO VỚI BỘ

ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TỪNG ĐOẠN

Đỗ Thị Tú Anh*, Nguyễn Dỗn Phước

Tóm tắt: Bài tốn điều khiển bám tiệm cận vị trí cho hệ phi tuyến có tham số trễ theo trạng thái tín hiệu điều khiển thách thức Bài báo giới thiệu phương pháp giải toán vừa nêu Phương pháp đề xuất xây dựng ngun lý tuyến tính hóa đoạn với điều khiển phản hồi trạng thái LQR trượt dọc trục thời gian Do điều khiển LQR đảm bảo tính ổn định điểm cân nên áp dụng vào toán điều khiển bám, điều khiển tối ưu đoạn báo cần thêm kỹ thuật bổ sung, kỹ thuật chuyển tốn điều khiển bám thành toán điều khiển ổn định tương đương Chất lượng bám tiệm cận điều khiển báo xác nhận thơng qua kết mơ ví dụ số

Từ khóa: Tuyến tính hóa đoạn, Hệ phi tuyến có trễ, LQR

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Các đối tượng điều khiển thực tế hệ phi tuyến [1] Để mô tả cách tương đối đầy đủ chất tượng vật lý, hóa học tự nhiên người ta phải sử dụng phương trình phi tuyến [2] Bởi vậy, xu hướng nâng cao chất lượng hệ thống điều khiển tự động ngày nay, người ta không lưu tâm nghiên cứu phát triển phương pháp điều khiển phi tuyến

Biết vậy, song phương pháp điều khiển hệ phi tuyến có, đặc biệt với hệ phi tuyến có trễ, lại khơng nhiều Điều ta thấy tài liệu [3], sách đánh giá cao tính bao quát điều khiển phi tuyến Hơn nữa, phương pháp điều khiển bám tín hiệu đặt trước cho hệ phi tuyến có trễ lại [4], toán điều khiển bám ổn định vị trí có ràng buộc cho đối tượng phi tuyến có trễ lại phổ biến thực tế [2,5], chẳng hạn hệ cơ, hệ chuyển động có lực ma sát, hệ thủy lực với tượng dính (stiction), vọt nhẩy (jump), khe hở (dead zone) sinh từ thành phần hai vị trí có trễ, khuếch đại có trễ, hysteris bên [4,5] Và lý thúc đẩy tác giả báo nghiên cứu xây dựng phương pháp điều khiển cho hệ phi tuyến có tham số trễ theo trạng thái tín hiệu điều khiển, mơ tả mơ hình trạng thái không liên tục dạng chung sau:

1 1

2 2

1 ( , ) ( , )

( , ) ( , )

k k k k k k k

k k k k k k

k

x A x u x B x u u

y C x u x D x u u

   

   

    

   

 

  

 

 

(1) đó:

 xk ( [ ], x k1  ,x kn[ ])T vector n giá trị biến trạng thái hệ thời điểm

 uk ( [ ], u k1  ,u km[ ])T vector m biến điều khiển (tín hiệu đầu vào),

 yk ( [ ], y k1  ,y km[ ])T vector m tín hiệu đầu ra,

 1, 1, 2, 2 thời gian trễ theo biến trạng thái chúng số tự nhiên,

 1,  1, 2, 2 thời gian trễ theo biến điều khiển chúng số tự nhiên,



1 1 2 2

( k , k ), ( k , k ), ( k , k ), ( k , k )

A x  u  B x  u  C x  u  D x  u 

ma trận hàm mơ tả tính phụ thuộc trạng thái tín hiệu điều khiển khứ tham số mơ hình

Nhiệm vụ điều khiển đặt phải xây dựng điều khiển phản hồi trạng

thái cho tín hiệu đầu yk hệ (1) bám tiệm cận theo giá trị đặt w dạng

số cho trước

2 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN

Tư tưởng thiết kế điều khiển báo mở rộng phương pháp điều khiển trình bày tài liệu [6] sang cho hệ phi tuyến có trễ mơ tả mơ hình (1) Như vậy, bước thiết kế điều khiển bao gồm:

 Tuyến tính hóa đoạn mơ hình (1) theo chu kỳ trích mẫu Mỗi mơ hình tuyến

sẽ sử dụng khoảng thời gian kT t (k1)T

 Chuyển toán điều khiển bám cho hệ tuyến tính thành tốn điều khiển ổn định

tương ứng

 Xây dựng điều khiển LQR đoạn để xác định tín hiệu điều khiển uk thuộc

khoảng thời gian kT t (k1)T cho hệ (1)

2.1 Tuyến tính hóa đoạn mơ hình phi tuyến

Xét hệ (1) thời điểm t kT Do thời điểm giá trị trạng thái 1, 1, 2,

k k k k

x  x  x  x  tín hiệu điều khiển

1, 1, 2,

k k k k

u  u  u  u  thuộc

khứ biết nên tất ma trận:

1 1

2 2

( , ), ( , )

( , ), ( , )

k k k k k k

k k k k k k

A A x u B B x u

C C x u D D x u

   

   

   

   

 

  (2)

đều xác định Khi đó, tất ma trận phụ thuộc trạng thái tín hiệu điều

khiển A B C D, , , mơ hình song tuyến (1) giả thiết hàm liên tục, tức

có thể xấp xỉ được:

, , ,

k k k k

A A B B  C C D D với kT t (k1)T

thì hệ phi tuyến cho ban đầu thay gần mơ hình tuyến tính tham số (LTI):

k : k k k k k

k k k k k

x A x B u H

y C x D u

  

 

  

 

(3)

Như vậy, thời điểm k 1, 2,  hệ phi tuyến (1) tuyến tính hóa thành

các mơ hình Hk, k 1, 2,  cho (3) mơ hình tuyến tính có tác

2.2 Chuyển toán điều bám thành toán điều khiển ổn định

Giả sử với dãy tín hiệu điều khiển uk tìm được, hệ Hk, k 1, 2,  vào chế

độ xác lập với biến trạng thái xk tiến tới số, ký hiệu x ks[ ], yk w Khi đó,

nếu ký hiệu uk u ks[ ] giá trị tín hiệu điều khiển chế độ xác lập, ta

được từ (3):

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

k k

s s s

k s k s x k A x k B u k w C x k D u k

 

 

 



 [ ] [ ]

[ ] [ ]

k n k s s

k

k k s s

x k x k

A I B

M

u k u k

C D

w

    

 

 

 

       

       

với Mk ký hiệu của:

k k n k

k k

A I B

M

C D



 

   (4)

Vậy, ma trận Mk định nghĩa (4) khơng suy biến thì:

[ ]

[ ] s

k s

x k M

u k w



   

  

   

  (5)

Từ ta thấy đặt biến mới:

ek xk x ks[ ] dk uk u ks[ ] (6)

hệ sai số là:

Hk/: ek1A ek k B dk k (7)

và hệ sai số Hk/ ổn định tiệm cận gốc, ta có từ ek 0 điều mong muốn xk x ks[ ] uk u ks[ ], hay yk w

2.3 Thuật toán điều khiển

Để điều khiển ổn định tiệm cận gốc hệ sai số Hk" có mơ hình (7) ta sử dụng tiêu

chuẩn tối ưu toàn phương:

 

0

min

T T

k k i k k i k i k k i i

J  e Q e  d  R d 



    (8)

với Qk Rn n , Rk Rm m hai ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn Khi đó,

theo phương pháp quy hoạch động [6], điều khiển LQR cho hệ (7) là:

 k Tk k k kT k k  k kT k k Tk k k [ ]

k k k s

d   R B L B  B L A e   R B L B  B L A x x k (9)

trong ma trận đối xứng xác định dương Lk LTk 0 nghiệm phương trình

Riccati:

Lk QkA L I B RkT k   k k B LTk kBk1BkTLkAk

 

  (10)

Tiếp theo, từ dk có với cơng thức (9) ta có tín hiệu điều khiển uk

   

1

[ ] k Tk k k Tk k k [ ] [ ]

k k s k s s

u d u k   R B L B  B L A x x k u k (11) Vậy, tổng kết lại tất bước thực điều khiển tuyến tính

đoạn để điều khiển bám giá trị đặt w cho hệ phi tuyến với tham số trễ theo trạng thái

tín hiệu điều khiển mơ tả (1) làm việc theo bước sau: Khai báo mảng liệu sau:

1 

x gồm 1 phần tử n chiều:

1 1

1

, , ,

x x x

      

x với

1

i n

x R

2 

x gồm 2 phần tử n chiều:

2 2

1

, , ,

x x x

      

x với

2

i n

x R

1 

x gồm 1 phần tử n chiều:

1 1

1

, , ,

x x x

      

x với

1

i n

x R

2 

x gồm 2 phần tử n chiều:

2 2

1

, , ,

x x x

      

x với

2

i n

x R

1 

u gồm 1 phần tử m chiều:

1 1

1

, , ,

u u u

      

u với

1

i m

u R

2 

u gồm 2 phần tử m chiều:

2 2

1

, , ,

u u u

      

u với

2

i m

u R

1 

u gồm 1 phần tử m chiều:

1 1

1

, , ,

u u u

      

u với

1

i m

u R

2 

u gồm 2 phần tử m chiều:

1 2

1

, , ,

u u u

      

u với

1

i m

u R

2 Gán k 0 Chọn tùy ý giá trị đầu cho u1 cho tất phần tử mảng 1, 2, 1,

   

x x x x ,

1, 2, 1,

   

u u u u

3 Chọn hai ma trận đối xứng xác định dương Qk, Rk

4 Đo xk từ đối tượng điều khiển (1) Tính ma trận A B C Dk, k, k, k theo công thức

(2) mà cụ thể là:

1 1 2 2

1 1 1 1

( , ), ( , ), ( , ), ( , )

k k k k

A A x u B B x u C C x u D D x u

5 Xây dựng ma trận Mk theo (4)

6 Nếu Mk suy biến gán uk uk1 chuyển tới bước Ngược lại thực

bước

7 Xác định x k u ks[ ], s[ ] theo công thức (5)

8 Tính uk theo cơng thức (10) (11), sau đưa vào điều khiển đối tượng

9 Sắp xếp lại mảng

1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,

       

x x x x u u u u theo thứ tự từ phải sang trái

như sau (FILO):

1

1 1

1

, , , k

x x x x

 

 

   tức 1

1

1

: , 1

i i

x x  i   1: k x x

2

2 2

1

, , , k

x x x x

 

 

   tức 2

1

2

: , 1

i i

1

1 1

1

, , , k

x x x x

 

 

   tức 1

1

1

: , 1

i i

x x  i   1: k x x

2

2 2

1

, , , k

x x x x

 

 

   tức 2

1

2

: , 1

i i

x x  i   2: k x x

1

1 1

1

, , , k

u u  u u

 

 

   tức 1

1

1

: , 1

i i

u u  i   1: k u u

2

2 2

1

, , , k

u u u u

 

 

   tức 2

1

1

: , 1

i i

u u  i   1: k u u

1

1 1

1

, , , k

u u u u

 

 

   tức 1

1

1

: , 1

i i

u u  i   1: k u u

2

2 2

1

, , , k

u u u u

 

 

   tức 2

1

2

: , 1

i i

u u  i   2: k u u

10 Gán k:k1 quay lại bước cần thay đổi Q Rk, k quay lại bước

giữ nguyên Q Rk, k cho tất bước tính, tức cho k

3 VÍ DỤ MINH HỌA

Xét hệ (1) bậc hai có dạng chi tiết sau:

  1 2

0 0.25 [ 1]

[ 1] 0.5

1 , [ 1]

k

k k

k

k k k k

x k

x x u

x k u

y x k x u u

                           (12)

tức có thời gian trễ 121121, 1220 tham số mơ hình Cụ thể, hệ có tham số là:

 

1 1

2 2

1

2

2

[ 1] 0.25 [ 1]

( , ) , ( , )

[ 1] 0.5

( , ) , [ 1] , ( , )

k k k k

k

k

k k k k

x k x k

A x u B x u

x k u

C x u x k D x u u

                                    (13)

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

0.5 1.5 S ta te v a ri a b le

Rk = 100*(0.5)

k

Rk = R =

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

-1 -0.5 0.5 time S ta te v a ri a b le

Rk = 100*(0.5)k Rk = R =

Sử dụng thuật toán điều khiển có mục 2.3 với:

 

2, 100 0.5

k

k k

Q I R  w 1

cho bước tính k, giá trị đầu:

 

1 0, ,

T

u  x 

thì với giá trị trạng thái khởi phát:

 

0 0.2 , 1.3

T

x 

hệ kín có chất lượng thể hình gồm hình biểu diễn quỹ đạo vector trạng thái, hình tín hiệu đầu hình giá trị tín hiệu điều khiển

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

time

P

ro

c

e

s

s

o

u

tp

u

t

R

k = 100*(0.5) k

R k = R =

Hình 2 Đáp ứng đầu hệ kín

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5

time

C

o

n

tr

o

l

s

ig

n

a

l

R

k = 100*(0.5) k

R

k = R =

Các kết mô cho thấy điều khiển đề xuất điều khiển đối tượng song tuyến (12) có tham số trễ theo trạng thái tín hiệu điều khiển cơng

thức (13), bám ổn định theo tín hiệu đặt w 1 cho trước, tức hệ kín có đầu yk

tiệm cận tới w1 suốt q trình điều khiển hệ ln có trạng thái bị chặn Ngồi

ra tất hình vẽ, đường nét liền biểu diễn cho trường hợp Rk 100 0.5 k

đường nét đứt biểu diễn trường hợp Rk 1 thấy ưu điểm việc thay đổi ma

trận trọng số hàm mục tiêu (8) Ngay lúc đầu (khi k nhỏ), ta chọn Rk đủ lớn để có

k

u đủ nhỏ cho thỏa mãn điều kiện ràng buộc (nếu có) tín hiệu điều khiển

Sau đó, ta giảm dần Rk để thơng qua làm tăng thêm tham gia thành phần sai

lệch bám ek hàm mục tiêu (8) nhằm làm giảm nhanh sai lệch bám tín hiệu yk

so với tín hiệu đặt w

4 KẾT LUẬN VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG CỦA PHƯƠNG PHÁP

Bài báo giới thiệu phương pháp điều khiển bám vị trí cho lớp hệ song tuyến có tham số trễ theo trạng thái tín hiệu điều khiển Các kết mô số xác nhận chất lượng bám vị trí đặt tốt điều khiển

Mặc dù điều khiển đề xuất báo giới hạn cho lớp hệ song tuyến có cấu trúc mơ hình cho (1), song thấy ta mở rộng để áp dụng cho hệ phi tuyến affine có tham số trễ với mơ hình:

1 1

2 2

1 ( , , ) ( , , )

( , ) ( , )

k k k k k k k k

k k k k k k

k

x f x x u H x x u u

y C x u x D x u u

   

   

    

   

 

  

 

 

nếu có vector hàm

1

( k, k , k )

f x x  u  ma trận

1

( k, k , k )

H x x  u  liên tục theo đối số

Cuối cùng, từ kết mơ phỏng, vấn đề nẩy sinh cần nghiên cứu tiếp việc

chọn hợp lý ma trận Qk, Rk, quy luật thay đổi ma trận cho

vịng lặp, nhằm nâng cao chất lượng bám hệ thống đảm bảo điều kiện ràng buộc kèm theo toán điều khiển Đây hướng nghiên cứu nhóm tác giả

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Engell, S., “Entwurf nichtlinearer Regelung”, Oldenbourg, 1995

[2] Gruyitch, L.T, “Nonlinear Systems Tracking”, CRC Press, 2016

[3] Khalil, H.K., “Nonlinear Systems”, The 3rd edition Pearson Educaion Limited, 2014

[4] Phước, N.D., “Phân tích điều khiển hệ phi tuyến”, Xuất lần thứ NXB Bách

Khoa, 2015

[5] Johansson, R and Rantzer, A., “Nonlinear and hybrid systems in automotive

control”, Springer, 2002

[6] Tú Anh, Đ.T., “Điều khiển dự báo phản hồi đầu cho hệ phi tuyến”, Luận án TS,