Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 18: Nhận dạng mẫu: Phân đoạn ảnh

[r]

Chương 18

NHẬN DẠNG MẪU:

PHÂN ĐOẠN ẢNH

18.1 GIỚI THIỆU

Từ trước đến nay, sách này, xem xét phương pháp chủ yếu để cải thiện ảnh hiển thị Trong chương 16, tham vọng đạt ảnh gần giống so với ảnh ban đầu, ảnh không suy biến

Trong chương hai chương tiếp theo, đưa vài hướng phân tích nội dung ảnh Nghĩa cố gắng tìm có

ảnh Chúng ta xem xét hai cách tiếp cận, nhận dạng mẫu thống kê mạng nơ ron, phương pháp áp dụng vào ảnh số Các sách viết nhiều hai phương pháp này, giúp độc giả người mong muốn tiếp tục tìm hiểu với giới thiệu lĩnh vực nhiều

Trong chương nhận dạng mẫu này, đưa tập chủđề

lĩnh vực Trong thực tế, nghiên cứu nhận dạng mẫu thống kê, thực kỹ thuật xử lý ảnh số Việc trước hết bao gồm việc định vị cô lập đối tượng ảnh sau nhận biết (phân loại) đối tượng

sử dụng kỹ thuật dựa lý thuyết định thống kê Chúng ta xem qua việc sử dụng mạng nơ ron nhân tạo cho việc nhận dạng mẫu

18.1.1 Nhận dạng mẫu thống kê

Chi nhánh thị giác máy lĩnh vực trí tuệ nhân tạo nghiên cứu cách phát triển thuật giải phân tích nội dung ảnh Một sựđa dạng phương pháp tiếp với mục đích hiểu ảnhđã dùng, việc hiểu tảng cho nhận thức tồn q trình nhận dạng mẫu, nhiên có thểđược thực

Nhận dạng mẫu thống kê giả thiết ảnh chứa hay nhiều đối tượng đối tượng thuộc kiểu, loại hay các lớp mẫu định nghĩa trước Trong thực nhận dạng mẫu nhiều cách, quan tâm tới việc thực kỹ thuật xử lý ảnh số

Cho ảnh số có chứa vài đối tượng, q trình nhận dạng mẫu gồm có pha (Xem Hình 18-1) Pha gọi phân đoạn ảnh hay cô lập đối tượng, đối tượng tìm ảnh tách khỏi cảnh cịn lại

Pha thứ hai gọi trích chọn đặc trưng Đây pha mà đối tượng đo lường Một sốđo giá trị tính chất xác định số lượng

đối tượng Một đặc trưng hàm hay nhiều số đo, tính tốn cho nó xác định tính chất quan trọng đối tượng Q trình trích chọn đặc trưng tạo tập đặc trưng, nhận được, bao gồm vec tơ đặc trưng Điều làm giảm khối lượng thông tin (so với ảnh ban đầu) biểu diễn tin tức mà định thống kê phải dựa vào Thật hữu ích để nhận thức hố khơng gian n chiều mà vec tơđặc trưng n phần tử

có tập trung vào Vì thế, đối tượng riêng biệt bất kỳđều tương ứng với

điểm không gian đặc trưng

ấn định vào nhiều nhóm (lớp) thiết lập trước biểu diễn cho tất loại đối tượng có ảnh Một lỗi không phân loại nhầm xảy đối tượng bịấn định vào lớp khơng thích hợp Khả để xảy điều tỉ số

lỗi phân loại nhầm

Sự phân loại dựa vào vec tơđặc trưng Trong hai chương tiếp theo, xem xét kỹ thuật phân loại xuất phát từ phạm trù lý thuyết định thống kê mạng nơ ron

HÌNH 18-1

Hình 18-1 Ba pha nhận dạng mẫu

18.1.2 Ví dụ nhận dạng mẫu

Các khái niệm nhận dạng mẫu thống kê có thểđược minh hoạ tốt ví dụ Giả sử muốn thực hệ thống xếp trái đổ

xuống băng truyền Việc xếp thực bịảnh hưởng phần di chuyển từ xuống làm chệch hướng loại trái khác khỏi băng truyền rơi vào hộp chun chở thích hợp, minh hoạ

trong hình 18-2 Hãy giả sử trái anh đào, táo, chanh nho Những cần hệ thống xử lý ảnh mà quan sát quảđang đến gần, phân loại thả phần phân loại thích hợp lúc vào hộp đựng trái tương ứng

HÌNH 18-2

Hình 18-2 Hệ thống xếp trái

từng ảnh số hố tính đường kính trái theo đơn vị milimet tham số biểu thị màu sắc

Giả sử sử dụng camera TV màu chương trình tính độ sáng đối tượng theo kênh đỏ, lục lam (Xem chương 21) Sau nhận

được đặc trưng (ví dụ tỷ lệ độ sáng đỏ-lục) nhận giá trị thấp cho màu vàng giá trị cao cho màu đỏ Chúng ta gọi tham số độđo sắc

đỏ

Hình 18-3 cho thấy khơng gian hai đặc trưng chiều định nghĩa hai tham số,

đường kính sắc đỏ, nhóm đưa tương ứng với bốn lớp Bằng cách đặt đường định xấp xỉ khơng gian đặc trưng, phân chia thành vùng thuộc lớp thiết lập quy tắc phân loại

Khi đến gần camera TV, xác định, đặc trưng xác định điểm không gian hai chiều Tuỳ thuộc vào nơi mà điểm nằm không gian, mà trái ấn định vào bốn lớp Ngay

định phân loại thực hiện, chế bỏ vào phần mà sau làm lệch hướng đểđẩy vào thùng chứa thích hợp

HÌNH 18-3

Hình 18-3 Khơng gian đặc trưng

Trong hệ thống tiền xử lý không sử dụng rộng rãi ngành cơng nghiệp đóng gói trái cây, đáp ứng việc minh hoạ nhận dạng mẫu thống kê Vai trò thống kê thiết kế hoạt động hệ thống trở nên rõ ràng hai chương Bây giờđủđiều kiện để nói lớp tạo PDF không gian đặc trưng Các dịng định có thểđược xác định, từ

tác động qua lại PDF đó, theo cách để tránh hay có tối thiểu hố, lỗi phân loại nhầm

18.1.3 Thiết kế hệ thống nhận biết mẫu

Thiết kế hệ thống nhận biết mẫu thường thực theo năm bước liệt kê bảng 18.1: thiết kế bộđịnh đối tượng, chọn lựa đặc trưng, thiết kế phân loại thực việc đánh giá

Bộđịnh vịđối tượng thuật toán tách ảnh đối tượng riêng biệt ảnh phức hợp Việc phân tách đối tượng gọi phân đoạn ảnh hay phân đoạn cảnh, trình bày chương Chọn lựa đặc trưng có tác dụng

định thuộc tính đối tượng (kích thức, hình dạng,…) điểm khác biệt lớp đối tượng cần phải tính tốn Thiết kế phân loại bao gồm việc thiết lập

sở toán học cho thủ tục phân loại Các tham số điều chỉnh (ngưỡng

Cuối cùng, thường cần thiết lập tỷ lệ lỗi phân loại hệ thống hoạt

động Đây bước thực việc đánh giá

18.2 QUÁ TRÌNH PHÂN ĐOẠNẢNH

Chúng ta có thểđịnh nghĩa q trình phân đoạn ảnh việc phân chia ảnh số thành vùng rời (khơng chờm lên nhau) Đối với mục đích chúng ta, vùng tập liên thông điểm ảnh-tức là, tập tất

điểm ảnh gần kề hay sát Định nghĩa chuẩn tính liên thơng sau: hai điểm ảnh tập liên thông, tồn đường liên thơng phạm vi tập, ởđó đường liên thông đường luôn di chuyển

điểm ảnh lân cận Do đó, tập liên thơng, bạn tìm thấy đường liên thông hai điểm ảnh tập

BẢNG 18-1 THIẾT KẾ HỆ THỐNG NHẬN DẠNG MẪU

Bước Hàm

1 Thiết kế bộđịnh vịđối tượng Chọn thuật giải phân đoạn ảnh để phân tách đối tượng riêng biệt ảnh Lựa chọn đặc trưng Quyết định tính chất đối tượng mà có

thể phân biệt loại đối tượng tốt làm đểđo lường chúng

3 Thiết kế phân loại Thiết lập sở toán học cho thuật giải phân loại, lựa chọn kiểu cấu trúc phân loại để sử dụng

4 Huấn luyện phân loại Cố định tham số điều chỉnh khác (các đường biên định,…) phân loại cho phù hợp với đối tượng phân loại

5 Đánh giá hiệu suất Đánh giá tỷ số lỗi phân loại nhầm nhận khác

Có hai quy tắc liên thơng, số chấp nhận Nếu điểm lân cận bên (trên, dưới, trái, phải) coi thuộc liên kết, liên thông đối tượng liên kết Vì thế, điểm ảnh có lân cận để liên kết Thêm vào đó, điểm ảnh lân cận chéo (lân cận 450) tính đến liên kết có liên thơng 8, đối tượng liên kết Mỗi điểm

ảnh có lân cận để liên kết Cũng sử dụng quy tắc liên thơng kia, miễn thích hợp Thơng thường liên thông mang lại kết coi gần với trực giác người

Khi người quan sát cảnh, trình xử lý đặt hệ thống thị giác

phân đoạn cảnh cho người Việc thực hiệu quảđến nỗi ta trơng khơng cảnh phức tạp, người ta coi điều tập hợp cáca đối tượng Tuy nhiên, xử lý số, phải tách đối tượng ảnh cách phân chia ảnh thành tập điểm ảnh, tập ảnh đối tượng Trong công việc phân đoạn ảnh khơng có kinh nghiệm nhìn nhận người, cơng việc khơng tầm thường phân tích ảnh số

Phân đoạn ảnh tiếp cận từ ba lý thuyết phối cảnh khác Trong trường hợp tiếp cận vùng, ta ấn định điểm ảnh cho đối tượng hay vùng cụ

thể Trong phương pháp tiếp cận đường biên, ta thửđịnh vị đường biên có vùng Trong phương pháp tiếp cận đỉnh, ta tìm cách nhận biết

Trong chương này, xem xét vài kỹ thuật phân tách đối tượng ảnh số Mỗi lần phân tách, đối tượng đo lường phân loại Các kỹ thuật cho hoạt động hai chương

18.3 PHÂN ĐOẠNẢNH BẰNG PHÂN NGƯỠNG

Phân ngưỡng kỹ thuật phổ biến để tiếp cận vùng, hữu ích cảnh có chứa đối tượng đồng màu tương phản Mục đích để đơn giản tính tốn ln xác định vùng có đường biên đóng liên thơng

Khi sử dụng qui tắc phân ngưỡng để phân vùng ảnh, người ta ấn định tất

điểm ảnh nằm bên mức xám ngưỡng thuộc đối tượng Còn tất điểm

ảnh không nằm mức xám ngưỡng nằm đối tượng Đường bao tập tất điểm nằm bên điểm có điểm lân cận nằm ngồi

đối tượng

Phân ngưỡng sẽđược thực hoàn hảo đối tượng xét có mức xám bên đồng nằm có mức xám đồng khác Nếu vài tính chất (ngồi mức xám, tính kết cấu chẳng hạn) đối tượng khác chúng,

đầu tiên người ta chuyển đổi tính chất thành mức xám Sau tiến hành phân ngưỡng mức xám để phân vùng ảnh

18.3.1 Phân ngưỡng tổng thể

Trong trình xác định đường biên phân ngưỡng đơn giản nhất, giá trị mức xám ngưỡng sốđược sử dụng toàn ảnh Nếu mức xám số hợp lý đối tượng có độ tương phản xấp xỉ nhau, ngưỡng tổng thể cố định thường dùng để qui định mức xám ngưỡng hợp lý

được chọn

18.3.2 Phân ngưỡng thích nghi

Trong nhiều trường hợp mức xám số độ tương phản đối tượng ảnh hoàn toàn khác nhau, thường xảy trường hợp ngưỡng áp dụng thích hợp cho vùng ảnh lại khơng thích hợp cho vùng khác Trong trường hợp đó, thuận tiện sử dụng mức xám ngưỡng hàm biến thiên chậm theo vị trí ảnh

Hình 18-4 cho thấy ảnh hiển vi nhiễm sắc thể từ tế bào máu người Trong ảnh này, mức xám thay đổi chiếu sáng không đồng độ tương phản thay đổi từ nhiễm sắc thể sang nhiễm sắc thể khác Trong hình 18-4a, mức xám ngưỡng khơng đổi sử dụng cho tồn ảnh để phân tách nhiễm sắc thể Mỗi nhiễm sắc thể bao đường dãy số Trong hình 18-4b, ngưỡng thay đổi từ nhiễm sắc thể sang nhiễm sắc thể khác tương xứng với cục độ tương phản nhiễm sắc thể Điều tạo vài sai số

phân đoạn-trong nhiều nhiễm sắc thể bị dính vào hay nhiễm sắc thể

riêng biệt bị phá vỡ Một nghiên cứu tương tự cho thấy độ xác phép

đo diện tích nhiễm sắc thểđã cải tiến phân ngưỡng thích nghi Trong hình 18-4b, ngưỡng nhiễm sắc thể đặt xấp xỉ mức trung bình mức xám trung bình đối tượng mức xám cục

18.3.3 Lựa chọn ngưỡng tối ưu

Trừ phi đối tượng ảnh có mặt dốc đứng, cịn giá trị xác mức xám ngưỡng có tác động đáng kể lên vị trí đường biên tồn

HÌNH 18-4

Hình 18-4 Phân ngưỡng tổng thể thích nghi

18.3.3.1 Kỹ thuật lược đồ mức xám

Một ảnh chứa đối tượng tương phản có lược đồ mức xám nhị thức (bimodal) (hình 18-5) Hai đỉnh tương ứng với số lượng tương đối lớn điểm đối tượng Vùng lõm đỉnh tương ứng với điểm tương đối xuất xung quanh biên đối tượng Trong trường hợp này, lược đồ

mức xám thường dùng để thiết lập mức xám ngưỡng Diện tích đối tượng xác định mức xám ngưỡng T





T H D dD

A ( ) (18.1)

Lưu ý việc tăng ngưỡng T thêm lượng T làm giảm diện tích ngưỡng tương ứng với vùng lõm lược đồ mức xám Bởi vậy, việc lấy ngưỡng vùng lõm lược đồ tối thiểu hoá tính nhậy cảm phép đo vùng với sai số nhỏ chọn ngưỡng

Hình 18-5 Lược đồ mức xám nhị thức

Nếu ảnh hay vùng ảnh chứa đối tượng bị nhiễu không lớn lược đồ mức xám bị nhiễu Nhiễu làm mờđi vị trí vùng lõm, vùng lõm rõ nét cách khác thường Điều khắc phục phạm vi

đó cách làm trơn lược đồ mức xám, cách sử dụng tích chập hay thủ tục điều chỉnh đường cong Nếu hai đỉng có kích thước khơng giống nhau, việc làm trơn có xu hướng dịch chuyển vị trí Tuy nhiên, dễ dàng định vị

đỉnh tương đối ổn định làm trơn Một phương pháp có khả tin cậy để đặt ngưỡng vị trí cốđịnh liên quan tới hai đỉnh-có lẽ điểm hai

đỉnh thể phương thức (xuất nhiều nhất) mức xám điểm bên bên ngồi đối tượng Nói chung, tham số đánh giá xác mức xám thường xuất nhất-tức vùng lõm lược đồ





T H D dD

A ( )

A

) (D H

b

Người ta tạo thành lược đồ mức xám có điểm có độ lớn gradient tương đối cao, ví dụ 10% cao Việc ước lượng số lượng lớn điểm

ảnh bên bên dtvà làm cho vùng lõm lược đồ dễ truy cập Người ta chia lược đồ theo gradient trung bình điểm ảnh mức xám để tăng cường vùng lõm hay lấy mức xám trung bình điểm ảnh có gradient cao để xác phân ngưỡng

Bộ lọc Laplace toán tử đạo hàm bậc hai hai chiều Lọc Laplace theo sau làm trơn phân ngưỡng mc hay cao chút có xu hướng phân vùng đối tượng chéo đạo hàm bậc hai, tương ứng với điểm uốn biên đối tượng Lược đồ hai chiều mức xám gradient dùng để thiết lập tiêu chuẩn phân đoạn

18.3.3.2 Phân ngưỡng thích nghi

Kỹ thuật phân vùng thích nghi hình 18-4b thực kỹ thuật hai bước Trước qua bước thứ nhất, ảnh chia làm nhiều khu vực 100  100

điểm ảnh Từ lược đồ mức xám khu vực, ngưỡng xác định

đỉnh đỉnh liệu Các khu vực chứa lược đồđơn thức bị bỏ qua Trong bước thứ nhất, đường biên đối tượng định nghĩa sử dụng ngưỡng mức xám số phạm vi khu vực, khác khu vực lại Các đối tượng định nghĩa không trích chọn từảnh, mức xám bên trung bình đối tượng tính đến

Trong bước thứ hai, đối tượng lập ngưỡng nằm mức mức xám bên mức xám khu vực Xem xét hình 18-4 cho thấy số chi tiết nhỏ giảm từ bảy xuống hai, số tan rã giảm từ tới không

18.3.4 Phân tích điểm

Trong nhiều trường hợp quan trọng, điều cần thiết để tìm đối tượng có hình dạng gần trịn Việc phát triển chủ yếu tập trung vào đối tượng hình trịn Hạn chế đối tượng hình trịn cho phép ta tiếp tục lựa chọn ngưỡng tối ưu ngỡng khác Các khái niệm trình bày dù hữu ích nhiều trường hợp tổng quát

18.3.4.1 Định nghĩa

Giả sử ảnh B(x,y) chứa điểm đơn Theo định nghĩa, ảnh chứa

điểm (x0,y0) có mức xám cực đại Nếu thiết lập toạđộ cực có tâm (x0,y0),

sao cho ảnh cho Bp(r,),

r1, B r2,

Bp  p r2 > r1 (2)

với  Chúng ta gọi B(x,y) điểm đơn điệu dấu đẳng thức không xảy biểu thức (2) Nghĩa mức xám hoàn toàn giảm theo đường kéo dài theo hướng từ tâm (x0,y0) Đối với điểm đơn điệu, khơng có đỉnh

phẳng, (x0,y0)

Một trường hợp đặc biệt quan trọng xảy tất đường viền điểm đơn điệu đường tròn tâm (x0,y0) Chúng ta gọi trường hợp đặc biệt điểm đường trịn đồng tâm (concentric circular spot-CCS) Với ý nghĩa gần

đúng, điều thường miêu tảảnh khơng nhiễu kính thiên văn, tế bào kính hiển vi nhiều loại ảnh quan trọng khác Nhiễu thường làm cho ảnh thực sai khác với định nghĩa chúng, dù lý thuyết chứng tỏ tính hữu ích

Đối CCS, hàm Bp(r,)độc lập , ta gọi hàm chiếu điểm Đường

chọn ngưỡng mức xám đểđặt đường biên điểm có độ dốc lớn Đây gầm

đúng mà mắt người phân biệt đường biên xem ảnh chứa cạnh trơn, ổn định tác động việc làm trơn thêm nhiễu Đường bao đánh giá khơng mức kích thước thật đối tượng Các

điểm khác thuộc hình chiếu, ví dụ nhưđộ lớn cực đại đạo hàm bậc hai có thểđược sử dụng

Nếu phân ngưỡng điểm đơn điệu mức xám T, định nghĩa đối tượng có diện tích chu vi xác định Khi thay đổi T

trong dải mức xám, tạo hàm diện tích ngưỡng A(T) hàm chu vi ngưỡng p(T) Cả hai hàm điểm Cả hai liên tục điểm đơn điệu, hàm đủ xác định CCS cách đầy

đủ Như nội dung định nghĩa, hai điểm tương đương p chúng có hàm chu vi giống hệt tương đương H chúng có lược đồ giống Từđó ta có điểm tương đương H có hàm diện tích ngưỡng giống

18.3.4.2 Lược đồ tóm tắt

Giả sử ảnh CCS B(x,y)được cho hàm tóm tắt Bp(r) Bây

chúng ta tìm kiếm biểu thức cho lược đồđiểm dạng hàm tóm tắt Giả

sử phân ngưỡng B(x,y) mức xám D phân lại mức xám D + D Giả thiết định nghĩa hai vịng trịn bao quanh có bán kính r r + r, hình 18-6 Diện tích hình trịn đường viền

r r r r

r

A    

   2 (3)

Trong xấp xỉ thu giả thiết r nhỏ bỏ qua r2

Biểu thức xếp lại sau

r r A      (4) Theo định nghĩa, lược đồ ảnh là,

  D A D H D B    

L0 (5)

HÌNH 18-6

Hình 18-6 Phân ngưỡng điểm tròn đồng tâm

Chúng ta chia tử số mẫu số cho r thay biểu thức (4) vào tử số ta

được

 

 r drB d r r D r A D H p D B / / /         

Đểđạt đẳng thức bên phải, phải ghi nhớ r D đều tiến tới 0, thừa nhận đạo hàm hàm tóm tắt mẫu số

Chúng ta chưa chấm dứt, vế phải biểu thức (6) hàm r thay hàm D Do B(x,y) ảnh điểm đơn điệu, Bp(r) hàm đơn điệu

giảm, đó, tồn hàm ngược  D B  D

r  p1 (7)

Bây thay vào tử mẫu số biểu thức (6) để tạo lược đồ hàm mức xám Chú ý rằng, hàm tóm tắt Bp(r)đơn điệu giảm với r,

nên mẫu số biểu thức (6) âm Biểu thức bỏ dấu trừ tử số tạo lược đồ

dương, mong muốn

18.3.4.3 Tóm tắt diện tích nhận

Bây tìm kiếm biểu thức tóm tắt CCS dạng lược đồ Bán kính đối tượng hình trịn thu phân ngưỡng CCS mức xám T

      / / 1               

T HB D dD

T A T

R

 (8)

Đối với điểm đơn điệu, lược đồ HB(D) khác giá trị mức xám lớn

và nhỏ Nghĩa hàm diện tích A(T) đơn điệu tăng,

đúng cho hàm R(T) Vì thế, tồn hàm nghịch đảo biểu thức (8) tóm tắt Cho nên, tính tóm tắt diện tích nhận CCS cách tích phân lược đồđểđược hàm diện tích, công việc lấy bậc hai sau nghịch đảo hàm

18.3.4.4 Tóm tắt chu vi nhận

Phân ngưỡng CCS mức xám T tạo dy hình có bán kính  T P T

R



1

 (9)

Trong đóp(T) hàm chu vi Giống với kỹ thuật trước, tóm tắt chỉđơn hàm nghịch đảo biểu thức (9) Do biết hàm chu vi thu hàm tóm tắt nghịch đảo biểu thức (9)

18.3.4.5 Các điểm khơng trịn điểm nhiễu

Chúng ta thu dễ dàng tóm tắt ảnh chứa CCS không nhiễu đơn giản cách lấy mức xám theo dòng quét chứa đỉnh Tuy nhiên, điểm khơng trịn điểm nhiễu kỹ thuật đề cập trước

hữu ích Ví dụ, ta sử dụng lược đồ điểm khơng trịn để thu tóm tắt CCS tương đương H chọn mức xám để cực đại hoá độ dốc đường biên Trong trường hợp khác, hữu dụng để tính hàm chu vi xác định tóm tắt CCS tương đương p Mỗi kỹ thuật tạo ngưỡng thích hợp ảnh đến

Nhiễu ngẫu nhiên ảnh thường tạo ngưỡng đường biên bị lởm chởm Trong điều có thểảnh hưởng đơi chút lên hàm diện tích, có xu hướng tạo sai lầm lớn hàm chu vi Mặc dù giảm lỗi cách xây dựng trình làm trơn đường biên thành thủ tục tính chu vi, đơn giản hố cơng việc tính tốn khía cạnh tóm tắt diện tích nhận

Sieracki, Reichenback, Webb so sánh chín phương pháp chọn ngưỡng,

đó có hai phương pháp dựa tóm tắt diện tích nhận (độ lớn tối đa đạo hàm bậc đạo hàm bậc hai) việc tính tốn đường kính vi hạt huỳnh quang Phát biểu cách tổng quát, họ tìm thấy phương thức sau xác chín phương pháp hạt có kích thước cường độ khác Nó thực tốt cho tế bào việc cấy ghép mơ Tìm kiếm giá trị lớn đạo hàm bậc nhất, giống phương pháp kiểm tra khác, có xu hướng đánh giá kích thước vật thể không mức

18.3.5 Gradient đường biên trung bình

Đối với điểm khơng trịn, tóm tắt CCS tương đương H tương đương p

là chấp nhận cho việc lấy ngưỡng mức xám Đối với đối tượng có hình dạng tuỳ ý, xem xét gradient trung bình xung quanh đường biên

một hàm mức xám ngưỡng định nghĩa đường biên

Giả sử mơt điểm đơn điệu khơng trịn phân ngưỡng mức xám D D + D

nhưđã cho hình 18-7 Tại điểm a đường biên ngồi r khoảng cách vng góc với đường biên bên Vì r vng góc với đường viền nên nằm theo hướng vec tơ gradient điểm a Độ lớn vec tơ gradient

điểm a đường biên

r D B

D 

  



L0 (10)

HÌNH 18-7

Hình 18-7 Phân ngưỡng điểm khơng trịn

Vì quan tâm đến gradient trung bình quanh đường biên, nên tính trung bình |B| quanh đường biên ngồi cách đơn giản Nếu r nhỏ so chu vi diện tích hai đường biên

 D r p

A 

 (11)

Trong r khoảng cách vng góc trung bình từ đường biên bên tới