Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 11: Thiết kế bộ lọc

[r]

Chương 11

THIẾT KẾ BỘ LỌC 11.1 GIỚI THIỆU

Trong chương chương 10, đặt móng cho việc phân tích thiết kế phép tốn lọc tuyến tính Trong chương này, sẽđề cập đến kỹ thuật việc thiết kế lọc để thực mục đích đặc thù Để trình bày hiểu biết rõ bên trình, nghiên cứu hoạt động vài lọc đơn giản, hữu ích miền thời gian miền tần số Phần sau chương này, tiếp cận vấn đề thiết kế lọc tối ưu dùng việc thực công việc đặc biệt

Theo chương chương 10, thực việc phân tích tín hiệu (thời gian) chiều, cho vấn đề toán học đồ hoạđơn giản Tổng quát trường hợp hai chiều điều dễ hiểu Nhưđã thảo luận lọc đơn giản, gắn bó với phép nhân chập hệ thống tuyến tính giới thiệu chương trước (Xem lại hình 10-3) Tuy nhiên, tập tên biến khác dùng việc thảo luận lọc tối ưu

Trong phần đây, xem xét vài lọc mà ta quan niệm đơn giản để minh hoạ đặc tính miền thời gian miền tần số lọc kết xử lý tín hiệu chúng

11.2 CÁC BỘ LỌC THÔNG THẤP (LOWPASS)

Một tín hiệu hay ảnh thường hay tập trung lượng vùng tần số thấp trung bình phổ biên độ Tại tần số cao, thơng tin cần thiết thường bị nhiễu phá huỷ Vì thế, lọc làm giảm biên độ thành phần tần số cao làm giảm ảnh hưởng nhìn thấy nhiễu

11.2.1 Các lọc thông thấp đơn giản

Bộ lọc hộp. Cách đơn giản để làm giảm nhiễu tần số cao cách lấy trung bình chỗ Cách thực cách nhân chập tín hiệu với xung vng, (x),

minh hoạ hình 9-16 Nó gọi lọc trung bình-di chuyển (moving-average) Mức xám điểm ảnh thay trung bình mức xám bên hình vng hay hình chữ nhật điểm lân cận

Nhắc lại chương 10, biến đổi Fourier xung vng có dạng sin(x)/x (Hình 10-2) Hình 11-1 minh hoạ kết vấu sườn âm hàm truyền đạt lọc hộp Bảng kiểm tra chứa dọc tần số biến thiên Đáp ứng xung xung vng có chiều rộng khác đặt theo hướng ngang

Theo định lý sựđồng dạng (chương 10), độ rộng hàm truyền đạt tỷ lệ nghịch với bề rộng đáp ứng xung Miễn lọc hộp không rộng hai điểm ảnh, điểm zero giao hàm truyền đạt nằm hay tần số cao liệu

được lấy mẫu (xem thêm chương 12) Tuy nhiên, lọc hộp rộng hai điểm

HÌNH 11-1

Hình 11-1 Ảnh đảo ngược lọc hộp: bảng kiểm tra nhân chập với xung vuông

Bộ lọc tam giác. Chúng ta sử dụng lọc tam giác, (x), đáp ứng xung lọc thơng thấp Đơi cịn gọi lọc trung bình có trọng số (weighted-average) Trong khơng gian hai chiều, xuất dạng hình chóp

Phổ xung tam giác có dạng [sin(x)/x]2, không âm tắt dần với tần số nhanh nhiều so với lọc hộp Vì thế, vấu sườn nhỏ (âm) tập trung ởảnh đầu Bộ

lọc có thểđược dùng an tồn kích thước lớn mà khơng lo ngại phân cực

đảo

Người ta tạo kết tương tự lọc tam giác hai ứng dụng liên tiếp lọc vng Bởi tính đơn giản lọc hộp nên có hiệu mặt tính toán việc sử dụng (x) Thực tế, việc dùng từ ba ứng dụng trở

lên (x) mô (emulate) lọc, giống hàm Gauss, có tác dụng làm nhẵn miền tần số

Ngưỡng tần số cao (High-Frequency Cutoff) Một phương pháp lọc thông thấp có phần “bắt ép thơ bạo” (brute force) dùng để (a) tính biến đổi Fourier tín hiệu hay ảnh, (b) đặt phần phổ biên độ có tần số cao 0, (c) tính biến đổi Fourier ngược kết Điều tương đương với việc nhân phổ với xung vuông tương đương với việc nhân chập tín hiệu hay ảnh với hàm sin(x)/x

Việc nhân chập với hàm sin(x)/x khiến cho ringing (phần 9.5.2) xuất vùng lân cận đỉnh nhọn cạnh Vì lý mà ngưỡng nhọn miền tần số

có ích bị giới hạn

11.2.2 Bộ lọc thông thấp Gauss

Bởi biến đổi Fourier hàm Gauss hàm Gauss nên hàm tạo thành lọc thông thấp với tác dụng làm nhẵn hai miền Dĩ nhiên có thểđược thực phép nhân chập miền thời gian hay không gian phép nhân miền tần số

11.3 CÁC BỘ LỌC THÔNG DẢI VÀ CHẮN DẢI

    lại )

(s f1 s f2

G (1)

Và trình bày hình 11-2 Bởi G(s) cặp xung vng chẵn nên có thểđược xem xung vuông nhân chập với cặp xung chẵn Nếu đặt

HÌNH 11-2

Hình 11-2 Hàm truyền đạt thơng dải lý tưởng

) ( ) ( 1 2

0 f f s f f

s   vµ    (2)

chúng ta viết hàm truyền đạt lọc thơng dải sau

 ( ) ( )

) ( )

( s s0 s s0

s s s

G    

 

   (3)

Với dạng biểu diễn hàm truyền đạt, dễ dàng có đáp ứng xung: ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

( 0 s0t

st st s t s st st s t g               (4)

Bởi s < s0, nên biểu thức (4) diễn tả hàm cosin tần số f0 bao bọc hàm

sin(x)/x có tần số s/2 Đáp ứng xung vẽ hình 11-3 Số chu kỳ hàm cosin giao điểm zero bao quanh phụ thuộc vào mối quan hệ s0 s Chú ý f0 số s nhỏ dần (dải thơng hẹp chẳng hạn), đường bao mở rộng thêm nhiều chu kỳ cosin giao điểm zero Khi s tiến đến đáp ứng xung tiến đến hàm cosin Trong trường hợp hạn chế, phép nhân chập thực tế trở

thành tương quan chéo (cross-correlation) đầu vào với hàm cosin tần sốs0

Hình 11-3 Đáp ứng xung thơng dải lý tưởng

11.3.2 Bộ lọc chắn dải lý tưởng

Hàm truyền đạt lọc cho nămg lượng tần sốđi qua, ngoại trừ tần số nằm dải tần từf1đến f2được cho

 



lại )

(s f1 s f2

G (5)

Và thể hình 11-4 Để thuận lợi, lại đặt s0 tần số trung tâm s độ rộng dải chắn (stopband) [biểu thức (2)] Bây viết hàm truyền

đạt giống ta trừ lọc thông dải, chẳng hạn,

 ( ) ( )

) ( )

( s s0 s s0

s s s

G    

  

   (6)

Từđó, ta có đáp ứng xung

) cos( ) sin( ) ( )

( s0t

st st s

t t

g 

  

  



 (7)

HÌNH 11-4

Hình 11-4 Hàm truyền đạt chắn dải lý tưởng

Đáp ứng xung thể hình 11-5 Hoạt động thay

Hình 11-5 Đáp ứng xung chắn dải lý tưởng

11.3.3 Bộ lọc thông dải tổng quát

Bây xem xét lớp lọc thông dải cấu trúc theo cách

đây: Chúng ta chọn hàm đơn thức (unimodal) K(s) khơng âm nhân chập với cặp xung chẵn tần số s0 Hành động cho ta hàm truyền đạt, hình 11-6 Hàm truyền đạt có dạng

 ( ) ( )

) ( )

(s K s s s0 s s0

G       (8)

Và đáp ứng xung

) cos( ) ( )

(t k t s0t

g   (9)

HÌNH 11-6

Hình 11-6 Bộ lọc thông dải tổng quát

Đáp ứng xung hàm cosin tần số s0 đường bao nghịch đảo biến đổi Fourier K(s)

Ví dụ, giả sử K(s) hàm Gauss

 ( ) ( )

)

(s Ae 2/2 s s0 s s0

G  s      (10)

Khi đáp ứng xung trở thành

) cos(

2 ) (

1

0

/

2

t s e

A t

g t 

 

  



 (11)

Đáp ứng xung này, hàm cosin đường bao Gauss, thể hình 11-7 Chú ý dễ dàng tạo lớp lọc chắn dải kỹ

thuật

Hình 11-7 Bộ lọc thơng dải tổng qt

11.4 CÁC BỘ LỌC TĂNG CƯỜNG TẦN SỐ CAO

Thuật ngữbộ lọc tăng cường tần số cao (high-frequency enhancement filter), hay bộ

lọc thông cao (highpass filter) dùng đến để mô tả cách tổng quát hàm truyền đạt, đơn vị tần số tăng lên với gia tăng tần số Một hàm truyền đạt có mức vượt ngồi giá trị lớn giá trị đơn vị

hoặc, phổ biến hơn, rơi trở tần số cao Trong trường hợp sau, bộlọc tăng cường tần số cao thực chất kiểu lọc thông dải với giới hạn số gia đơn vị tần số không

Thực tế, người ta mong muốn có số gia đơn vị bé tần số không, để

giảm tương phản thành phần không ổn định tương đối lớn ảnh Nếu hàm truyền đạt qua gốc toạđộ, gọi bộ lọc Laplace

11.4.1 Bộ lọc hiệu hàm Gauss (Difference of Gaussians)

Chúng ta tạo hàm truyền đạt tăng cường tần số cao cách biểu diễn hiệu hai hàm Gauss có độ rộng khác nhau:

2

/

/

, )

( 22

2

1

 

 

 



 Ae Be A B s

G s s (12)

Điều trình bày rtong hình 11-8 Đáp ứng xung lọc

i t

t

e B e

A t

g

 

 

 

2

2 )

( 12 2/2 22

2 2

/

 

   i (13)

và thể hình 11-9 Chú ý hàm Gauss miền tần số tạo hàm Gauss hẹp miền thời gian ngược lại Đáp ứng xung cho hình 11-9 đặc trưng lọc thơng cao thơng dải, có xung dương vị trí lõm âm

11.4.2 Các quy tắc ngắn gọn thiết kế lọc thông cao

Trong phần này, trình bày hai quy tắc áp dụng gần cho việc

đánh giá hoạt động lọc tăng cường tần số cao Giả sửđáp ứng xung

lọc biểu diễn xung hẹp trừđi xung rộng, ví dụ, )

( ) ( )

(t g1 t g2 t

g   (14)

Như minh hoạ hình 11-11 Chúng ta biết hàm truyền đạt G(s) hình thành trạng thái lọc tăng cường tần số cao Chúng ta đánh giá hàm truyền đạt tần số để xác định ảnh hưởng tương phản đối tượng lớn bên ảnh Chúng ta sẽđánh giá giá trị hàm truyền đạt cực đại đạt tần số

HÌNH 11-9

Hình 11-9 Đáp ứng xung tăng cường tần số cao Gauss

Giá trị cực đại. Nếu ta viết biến đổi Fourier biểu thức (14) thay giá trịs = 0

vào, ta

2

1( ) ( )

) ( )

0

( g t dt g t dt g t dt A A

G     

  

  



 (15)

Trong đóA1 A2 biểu diễn diện tích bên hai hàm thành phần

Chúng ta thay biên độ lớn hàm truyền đạt giả thiết G2(s) tiến đến trước G1(s) từ giá trị cực đại giảm xuống; tức là,

1

1

max G (0) g (t)dt A

G   



 (16)

Bây có hai quy tắc đơn giản lọc tăng cường tần số cao bao gồm hiệu hai xung:

1 max

1 )

( A A G A

G   vµ  (17)

Hình 11-10 Bộ lọc thơng cao Gauss

HÌNH 11-11

Hình 11-11 Bộ lọc thơng cao tổng qt

Nếu g1(t) xung (Xem hình 11-10), tiến hành hai quy tắc biểu thức (17)

Đáp ứng tần số thấp. Bây xem xét ảnh hưởng lọc tác động lên đối tượng lớn vùng mức xám không đổi bên ảnh

Giả sửđáp ứng xung g(t) bị giới hạn thời gian-tức là, giá trị khơng nằm bên ngồi khoảng hữu hạn Cũng giả thiết tín hiệu vào f(t) khơng đổi khoảng rộng khoảng thời gian g(t) Tình trình bày hình 11-12 Đầu hệ thống tích phân phép nhân chập

 

 f  g x  d x

h( ) ( ) ( ) (18)

Tuy nhiên, tồn khoảng xét, tín hiệu vào số, biểu thức (18) trở thành



 

 

  

 cg x  d c g  d x

h( ) ( ) ( ) (19)

Chú ý ta thay s = 0 vào định nghĩa phép biến đổi Fourier, ta có



 g t dt

G(0) ( )

Nghĩa

) ( ) (x cG

h  (20)

HÌNH 11-12

Hình 11-12 Đáp ứng tần số thấp

11.5 THIẾT KẾ BỘ LỌC TUYẾN TÍNH TỐI ƯU

Trong phần này, trình bày kỹ thuật để thiết kế lọc mà, ý nghĩa đó, tối ưu việc thực công việc đặc biệt Đầu tiên, tiến hành cách thiết lập đặc tính tiêu chuẩn sau mở rộng tiêu chuẩn

đó cách chọn đáp ứng xung thích hợp (hay hàm truyền đạt) cho lọc

Lịch sử xử lý ảnh số xem việc thiết kế lọc, giống chuyến bay thực Chiến tranh Thế giới I, “bằng đũng quần” (by the seat of the paints) Các

lọc chọn nguyên nhân đơn giản, thành công khứ, thuận lợi, lôi thẩm mỹ, lời đồn đại ý thích bất chợt, nhờ sử dụng máy tính Bộ lọc thiết kế

vậy chứng minh thành cơng, mang tiếng xấu gần điểm cực thuận

(suboptimal) Nó khơng tạo lọc tốt nguy hiểm Các lọc gần điểm cực thuận-những lọc riêng biệt dễ dàng thực máy tính-có thể đưa đồ tạo tác (artifact) vào ảnh, thường khơng có dấu hiệu báo trước Các lọc bao gồm xung vuông miền, người lập trình máy tính ưa chuộng, hoạt động không kết miền ngược lại chuyển động sóng vơ hạn hàm sin(x)/x

Những người sử dụng lọc có cạnh vng miền thường bị quấy rầy ringing tượng đồ tạo tác khác miền khác Đôi họ nhìn nhận cách sai lầm đặc tính khơng mong muốn vốn có xử lý số, hay họ than vãn thiếu máy tính có đủ khả cần thiết để thực cơng việc cách xác

Trong phần này, trình bày kỹ thuật thiết kế lọc tối ưu chứng minh, cách tổng quát, chúng hoạt động tốt Trang bị kiến thức này, người sử dụng lựa chọn cách thơng minh tính tối ưu tính tốn dễ

dàng mà không chuốc lấy đồ tạo tác tai hại

Đầu tiên xem lại khái niệm biến ngẫu nhiên sau trình bày kỹ thuật thiết kế hai lọc tối ưu: ước lượng Wiener, tối ưu việc khơi phục tín hiệu chưa biết từ nhiễu cộng tách đối sánh (match detector), tối ưu cho việc tách lấy tín hiệu

đã biết bị lẫn vào nhiễu cộng Dù người chưa thực trình thiết kế lọc tối ưu, hai luận điểm làm tăng hiểu biết người

về thiết kế lọc lên cách đáng kể

11.5.1 Biến ngẫu nhiên

Trong chương trước, đề cập đến khái niệm biến ngẫu nhiên, đặc biệt việc khử nhiễu ảnh Bởi biến ngẫu nhiên đóng vai trị chủ yếu trình bày nên ởđây thảo luận chúng chi tiết

Chúng ta dùng thuật ngữnhiễu ngẫu nhiên để diễn tả tín hiệu làm bẩn chưa biết Từ

được hiểu rõ cho lắm, hay với q trình mà việc phân tích chi tiết q phức tạp Vì thế, có chút hiểu biết chung tín hiệu, thiếu chi tiết đặc biệt, xem tín hiệu ngẫu nhiên

Khi xem xét tín hiệu suốt trình thu nhận ảnh, biết tín hiệu làm bẩn khơng mong đợi xuất chồng lên (thêm vào) tín hiệu cần thiết Mặc dù biết nguồn gốc nhiễu, khơng thể biểu diễn dạng hàm tốn học Sau quan sát nhiễu chu kỳ thời gian,

trình bày cách nhận biết phần nhiễu tiên đốn tường tận tác động Vì vậy, khái niệm biến ngẫu nhiên trở thành công cụ hữu ích xử lý nhiễu

Chúng ta xem xét mọt biến ngẫu nhiên theo cách sau: Xem xét tồn

vơ số hàm thành viên Khi thực việc thu nhận ảnh, hàm thành viên

đó bật lên để làm bẩn ghi chúng ta, khơng có cách để

biết hàm Tuy nhiên, tạo kê chung cho toàn

như nhóm Theo cách này, biểu diễn nhận biết phần tín hiệu nhiễu

11.5.1.1 Các biến ngẫu nhiên ergodic

Trong phần lại sách, quan tâm đến biến ngẫu nhiên

ergodic Dưới thểđịnh nghĩa thuật ngữ

Người ta tính trung bình biến ngẫu nhiên theo hai cách Chúng ta tính trung bình thời gian (time average) cách tích phân hàm thành viên riêng lẻ

trên toàn trục thời gian, tính trung bình giá trịước lượng tất hàm với thời điểm đặc biệt Kỹ thuật vừa nói đến tạo trung bình tồn (ensemble average) tại thời điểm

Một biến ngẫu nhiên ergodic (1) trung bình thời gian tất

các hàm thành viên nhau, (2) trung bình tồn khơng đổi theo thời gian, (3) trung bình thời gian trung bình tồn số lượng Do vậy, biến ngẫu nhiên ergodic, trung bình thời gian trung bình tồn thay lẫn

Trong chương 7, giới thiệu tốn tử dự tính x(t), biểu thị cho trung bình tồn biến ngẫu nhiên x tính thời điểm t Dưới tính chất ergodic,x(t)cũng biểu thị cho giá trị thu mẫu đặc biệt biến ngẫu nhiên x(t)được lấy trung bình theo thời gian; tức là,

  

 

 x t dt t

x( ) ( )

 (21)

Biểu thức (142) chương 10 xác định hàm tự tương quan (autocorrelation)