Phương pháp lặp giải hệ thưa và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA LÊ TRUNG SAN PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI HỆ THƯA VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ NGÀNH: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ CBHD: TS ĐẶNG VĂN VINH TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2008 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học : Tiến sĩ ĐẶNG VĂN VINH Cán chấm nhận xét : PGS TS ĐẬU THẾ CẤP Cán chấm nhận xét : Tiến sĩ LÊ THỊ QUỲNH HÀ Luận văn thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 29 tháng 08 năm 2009 -i- CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC Tp HCM, ngày tháng 02 năm 2008 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Lê Trung San Phái : Nam Ngày, tháng, năm sinh: 05 – 02 - 1977 Nơi sinh : Nam Định Chuyên ngành: Toán ứng dụng MSHV : 02407705 I- TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI HỆ THƯA VÀ ỨNG DỤNG II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: Nghiên cứu số phương pháp lặp giải hệ phương trình Ax = b Lập trình giải hệ Ax = b (Coding ) ngôn ngữ Matlab Nghiên cứu vài giải pháp lưu trữ ma trận thưa Một số toán ứng dụng hệ Ax = b III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: ngày 25 tháng 11 năm 2008 V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TIẾN SĨ ĐẶNG VĂN VINH CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH TS Đặng Văn Vinh PGS TS Nguyễn Đình Huy - ii - LỜI CẢM ƠN Được học tập nghiên cứu Toán ứng dụng bậc sau đại học Khoa khoa học ứng dụng Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM hạnh phúc lớn lao tơi Nhờ khố học mà tơi tập thể thày Bộ mơn Tốn ứng dụng thuộc Khoa Khoa học ứng dụng tận tình dùi dắt, triyền đạt nhiều kiế thức khoa học cần thiết cho nghề nghiệp sống Tơi bày tỏ lịng biết ơn cảm ơn sâu sắc tới Thầy Tiến sĩ Đặng Văn Vinh nhận lời hướng dẫn, hết lòng giục giã tận tình dẫn tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể q thầy Bộ mơn Tốn ứng dụng thuộc Khoa khoa học ứng dụng Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM tạo điều kiện học tập tốt truyền đạt nhiều kiến thức bổ ích suốt khố học cao học Tơi xin chia sẻ niềm vui gởi lời cảm ơn đến gia đình tơi, người thân yêu thương nâng đỡ tinh thần giúp đỡ vật chất để tơi có nghị lực điều kiện hồn thành khố học Cuối xin gởi lời cảm ơn đến bạn tập thể lớp cao học toán ứng dụng K2005 động viên, chia sẻ với tơi suốt khố học Lê Trung San - iii - TÓM TẮT Những tốn kỹ thuật tính tốn kế cấu, tính tốn nhiệt, điện tử, tương thích với q trình truyền nhiệt, truyền sóng, mơ tả phương trình vi phân đạo hàm riêng mà nghiệm giải tích thường khó tìm có biểu thức nghiệm phức tạp Phương pháp phần tử hữu hạn nhằm tuyến tính hố tốn phi tuyến áp dụng nhiều năm gần Cùng với phát triển vượt bậc khoa học máy tính tạo thuận lợi cho người tính tốn giải toán lớn với thời gian thực nhanh Giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b bước quan trọng phương pháp phần tử hữu hạn mà người thực tính tốn phải tiến hành Các phương pháp giải trực tiếp Cramer, Gauss hay phân tích LU có nhiều hạn chế mà chủ yếu sai số tích luỹ lớn khơng khắc phục độ phức tạp thời gian tính tốn lớn Nghiên cứu phương pháp lặp phát triển hàm solver hệ Ax = b với khả kiểm soát sai số thực luận văn nhằm đóng góp phần khắc phục sai số giảm thời gian tính tốn giúp người giải tốn kỹ thuật có điều kiện tốt việc lựa chọn phương pháp xấp xỉ bậc cao độ mịn chia lưới thoả đáng - iv - MỤC LỤC MỞ ĐẦU NHU CầU THựC TIễN CủA KHOA HọC TÍNH TỐN MụC TIÊU CủA LUậN VĂN NộI DUNG THựC HIệN CủA LUậN VĂN: CHƯƠNG - PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I./ TÓM LƯỢC CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐÚNG 10 II./ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP .15 CHUẩN CủA VÉCTƠ VÀ MA TRậN 15 GIớI THIệU PHƯƠNG PHÁP LặP 16 MộT Số KếT QUả TRÊN Dữ LIệU THử: 36 SO SÁNH THờI GIAN THựC HIệN GIữA CÁC THUậT TOÁN 37 CHƯƠNG 2: HỆ THƯA 40 Hệ THƯA .41 LƯU TRữ MA TRậN THƯA – GIảI PHAP TIN HọC[3] 42 Đồ THị BIểU DIễN MA TRậN: 44 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PHầN Tử HữU HạN GIảI BÀI TOÁN CƠ HọC VậT RắN 48 I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG (TRÍCH Từ [5]) 48 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BằNG: (EQUATION OF INTERNAL EQUILIBRIUM) 48 QUAN Hệ GIữA BIếN DạNG – CHUYểN Vị: 49 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TụC CủA BIếN DạNG: 51 -1- ĐIềU KIệN BIÊN (BOUNDARY CONDITIONS) 52 CÁC PHƯƠNG TRÌNH VậT LÝ – QUAN Hệ GIữA ứNG SUấT VÀ BIếN DạNG – ĐịNH LUậT HOOKE 52 II PHƯƠNG PHÁP PHầN Tử HữU HạNGIảI BÀI TOÁN CƠ HọC VậT RắN .59 2.1 XÂY DựNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BảN 61 2.2 CÁC CÔNG THứC NộI SUY 63 2.4 CÁC PHầN Tử CƠ BảN 66 2.5 GHÉP NốI CÁC PHầN Tử - MA TRậN Độ CứNG TổNG THể: 70 III CÁC BƯớC Để GIảI MộT BÀI TOÁN BằNG PHƯƠNG PHÁP PHầN Tử HữU HạN [6] 71 KếT LUậN CHƯƠNG 3: 73 CHƯƠNG 4: CÁC ỨNG DỤNG 74 BÀI TOÁN 1: 74 BÀI TOÁN 2: 85 BÀI TOÁN 3: GIÀN KHÔNG GIAN 107 KẾT LUẬN 109 HẠN CHẾ 109 HƯỚNG MỞ RỘNG 109 PHỤ LỤC 110 A CODE CHƯƠNG TRÌNH MATLAB GIẢI BÀI TỐN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG: 110 B CODE CHƯƠNG TRÌNH ANSYS GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG: 126 DANH SÁCH BẢNG .133 DANH SÁCH HÌNH ẢNH 134 TÀI LIỆU THAM KHẢO 135 -2- -3- MỞ ĐẦU Nhu cầu thực tiễn khoa học tính tốn Trong thực tiễn khoa học tính tốn nhằm giải tốn thực tiễn có nhiều tốn mơ tả hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến, chí mơ tả phương trình vi phân hay phương trình vi phân đạo hàm riêng mà cấu trúc nghiệm thường phức tạp Các toán thường gặp phải trình lan truyền chất thải mơi trường khơng khí, nước, hay biến dạng vật thể chịu tác động ngoại lực mà tương thích với q trình truyền nhiệt, truyền sóng , … chẳng hạn học, người ta cần giải toán lý thuyết đàn hồi chuyển vị ứng suất điểm vật thể tải trọng tác dụng bên điều kiện biên cho trước Ứng suất biến dạng quy định phương trình vi phân đạo hàm riêng Một ví dụ tốn 2D có phương trình chủ đạo mô tả: ∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ + + =0 ∂x ∂x 2∂y ∂y hay phương trình lan truyền chất tan có dạng: ∂c ∂c ∂c ∂c ∂  ∂c  ∂  ∂c  ∂  ∂c   +  D z  − λc + w +u + v + w =  Dx  +  D y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z  Cho đến người ta chưa tìm quy tắc chung để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng với nghiệm giải tích Thường đưa phương pháp tìm nghiệm giải tích cho phương trình riêng biệt mà thực tiễn cho thấy cấu trúc nghiệm giải tích phức tạp (cũng giải số phương trình đơn giản) biểu diễn dạng tích phân mà việc lấy tích phân gặp khơng khó khăn -4- Để giải khó khăn nói trên, cách tiếp cận tuyến tính hóa tốn phi tuyến kỹ thuật khác nhằm tìm nghiệm gần tốn với sai số chấp nhận (cịn gọi nghiệm yếu) Trong vài thập niên gần diễn nhiều thay đổi lớn phương pháp nghiên cứu lĩnh vực tính tốn, đặc biệt tốn kỹ thuật Máy tính với tốc độ xử lý ngày nhanh công cụ hỗ trợ tích cực cho việc tính tốn Để sử dụng máy tính cần phải xây dựng phương pháp tính tốn tổng qt mơ tả cơng thức đơn giản, cô đọng Các công thức biểu diễn ngơn ngữ phù hợp với máy tính Ma trận ngôn ngữ diễn tả lí tưởng dạng số Nhờ khả tính tốn với tốc độ cao máy tính giúp khắc phục trở ngại khối lượng tính tốn toán, giúp người nghiên cứu tập trung lựa chọn, hồn thiện mơ hình tính tốn phản ánh tối đa tính chất tốn cần giải Có phương pháp rời rạc hóa tốn thường sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn dực rời rạc hóa tốn học đạo hàm thay sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn xây dựng sở rời rạc hóa vật lý Trong phương pháp phần tử hữu hạn, vật thể liên tục thay phần tử rời rạc có hình dáng đơn giản, chúng nối với điểm gọi nút Các phần tử giữ nguyên vật thể phạm vi nó, có hình dáng đơn giản nên cho phép nghiên cứu dễ dàng sở số luật phân bố Trong trình tính tốn phương pháp phần tử hữu hạn xuất hệ phương trình tuyến tính Ax = b mà cấp ma trận A phụ thuộc vào độ mịn chia lưới hữu hạn Một sơ đồ giải thuật cho tốn tính tốn biến dạng học vật rắn: -5- if flag==1; [kk,ff]=feaplyc2(kk,ff,bcdof,bcval); kk; ff; [x,ss,dem,t]= sor(kk,ff); disp=x; %disp=kk\ff; % % Tinh ung suat % for iel=1:nel nd(1)= nodes(iel,1); nd(2)= nodes(iel,2); x1=xycoord(nd(1),1); y1=xycoord(nd(1),2); x2=xycoord(nd(2),1); y2=xycoord(nd(2),2); L=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); if (x2-x1)==0; beta=2*atan(1); else beta=atan((y2-y1)/(x2-x1)); end E=prop(1); A=prop(2); index=feeldof(nd,nnel,ndof); k=fetrussphang(E,L,A,0,beta,1); for i=1:(nnel*ndof) eldisp(i)= disp(index(i)); end elforce=k*eldisp; stress(iel)=sqrt(elforce(1)^2+elforce(2)^2)/A; if((x2-x1)*elforce(3))