Bài giảng Toán trong công nghệ: Chương 4 - Nguyễn Linh Trung, Trần Thị Thúy Quỳnh

1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function ) 2 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF). 3 Các kỳ vọng[r]

Chương 4:

Một biến ngẫu nhiên

Nội dung

1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function )

2 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF)

3 Các kỳ vọng

4 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng

5 Hàm biến ngẫu nhiên

6 Bất đẳng thức Markov Chebyshev

Nội dung

1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function )

2 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF)

3 Các kỳ vọng

4 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm biến ngẫu nhiên

Hàm phân bố tích lũy (CDF)

Definition (Cumulative Distribution Function)

Example (CDF biến ngẫu nhiên rời rạc)

Tung đồng xu ba lần ghi lại mặt sấp/ngửa đồng xu lần tung GọiX số mặt ngửa ba lần tung Tính CDF củaX

Khơng gian mẫu:

S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}

SX={0,1,2,3}

Các xác suất tương ứng:

pX(0) = 1/8;pX(1) = 3/8;pX(2) = 3/8;pX(3) = 1/8

Vớix <0:

FX(x) =

Với0≤x <1:

Với1≤x <2:

FX(x) =P[X= 0] +P[X= 1] = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2

Với2≤x <3:

FX(x) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8

Vớix≥3:

Tổng thể

FX(x) =

              

Example (CDF of biến ngẫu nhiên liên tục)

Quay mũi tên có gốc gắn tâm hình trịn Gọiθlà góc mà mũi tên dừng lại,0< θ≤2π Xác suất đểθ nằm khoảng thuộc(0,2π]tỷ lệ với chiều dài khoảng Biến ngẫu nhiên X định nghĩa bởiX(θ) =θ/2π Tìm CDF củaX

Vớix <0:

FX(x) =P[X ≤x] =P[∅] =

Với0≤x≤1:

FX(x) =P[X≤x] =P[θ≤2πx] = 2πx/2π=x

(chuẩn hóa chiều dài 1) Vớix >1:

Tổng thể

FX(x) =

  

 

0, x <0 x, 0≤x≤1 1, x >1

Tính chất CDF 0≤FX(x)≤1 lim

x→∞FX(x) =

3 lim

x→−∞FX(x) =

4 FX(x)là hàm khơng giảm: nếua < bthìFX(a) ≤ FX(b) FX(x)là hàm liên tục phải:FX(b) =FX(b+)

6 P[a < X ≤ b] =FX(b)−FX(a)

7 P[X =a] =FX(a)−FX(a−) P[X > x] = 1−FX(x)

CDF biến ngẫu nhiên rời rạc

CDF biến ngẫu nhiên rời rạc hàm bậc thang, liên tục phải củax, bước nhảy thực điểmx0, x1, x2,

FX(x) =

X

xk≤x

pX(xk) =

X

k

pX(xk)u(x−xk)

vớipX(xk)là hàm xác suất khối PMFs vàu(x)là hàm nhảy bậc

đơn vị

CDF biến ngẫu nhiên liên tục

CDF biến ngẫu nhiên liên tục liên tục điểm cho bởi:

FX(x) =

Z x

−∞

f(λ)dλ

vớif(x)là hàm không âm

CDF biến ngẫu nhiên kết hợp

CDF biến ngẫu nhiên kết hợp không nhảy bậc điểm rời rạc đếm x0, x1, x2, , mà cịn tăng liên tục

trên khoảng giá trịxnào đó:

FX(x) =pFd(x) + (1−p)Fc(x)

với0< p <1 xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc/liên tục,Fd(x)

là CDF biến ngẫu nhiên rời rạc Fc(x)là CDF biến ngẫu

Example (Biến ngẫu nhiên kết hợp)

Thời gian đợiX hành khách trạm chờ taxi hành khách thấy taxi đỗ trạm chờ, và phân bố khoảng[0,1] (giờ) khơng có taxi trạm chờ Gọiplà xác suất để taxi đỗ trạm chờ hành khách tới Tính CDF củaX

Sử dụng định lý xác suất tổng cộng:

FX(x) =P[X ≤x|thấy taxi]p+P[X≤x|không thấy taxi](1−p)

Phần rời rạc

Fd(x) =P[X≤x|thấy taxi] =

(

Phần liên tục

Fc(x) =P[X ≤x|không thấy taxi] =

  

 

0, x <0 x, 0≤x≤1 1, x >1

CDF tổng thể

FX(x) =

  

 

Nội dung

1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function ) Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF)

3 Các kỳ vọng

4 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm biến ngẫu nhiên

Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function -PDF)

Definition

Hàm mật độ xác suất (PDF) củaX

fX(x) =

Xét xác suất đểX nằm khoảng nhỏ(x, x+h]), ta có:

P[x < X≤x+h] =FX(x+h)−FX(x) =

[FX(x+h)−FX(x)]

h h

Example (PDF biến ngẫu nhiên liên tục)

Quay mũi tên có gốc gắn tâm hình trịn Gọiθlà góc mà mũi tên dừng lại,0< θ≤2π Xác suất đểθ nằm khoảng thuộc(0,2π]tỷ lệ với chiều dài khoảng Biến ngẫu nhiên X định nghĩa bởiX(θ) =θ/2π Tìm PDF củaX

CDF X là:

FX(x) =

  

 

0, x <0 x, 0≤x≤1

1, x >1 a= 0, b= 1

PDF vi phân CDF nên:

fX(x) =

  

 

0, x <0 1, 0≤x≤1

Tính chất PDF

1 Do CDF hàm không giảm x, nên PDF hàmkhông âm: fX(x)≥0

2 Xác suất khoảng[a, b]làdiện tíchđược chặn bởifX(x)

trong khoảng đó:

P[a≤X≤b] = Z b

a