Quy hoạch tuyến tính

Khoa Sư Phạm Qui Hoạch Tuyến Tính Tác giả: Phạm ðức Thơng Biên mục: sdms Chương I: Bài tốn quy hoạch tuyến tính Khái niệm ðể giải cơng việc số điều kiện đó, chẳng hạn vấn ñề lĩnh vực kinh tế, quản lý hay khoa học kỹ thuật, người ta ñưa cách thức (phương án) hành động Khi có nhiều phương án khả thi, ñiều tự nhiên người ta muốn tìm phương án tốt (tối ưu), theo tiêu chuẩn chất lượng định trước Bài tốn điều khiển trình với yêu cầu tìm phương án tốt gọi “Bài tốn điều khiển tối ưu” Bài tốn điều khiển tối ưu đặc trưng bởi: • • Một tập điều kiện (cịn gọi ràng buộc) cần phải tôn trọng xây dựng phương án Mục tiêu ñiều khiển, tức tiêu chuẩn chất lượng, mà theo đó, phương án ñánh giá tốt phương án khác Quy hoạch toán học ngành mơn tốn nghiên cứu mơ hình lớp tốn điều khiển tối ưu, ràng buộc mơ tả hệ phương trình bất phương trình, cịn mục tiêu điều khiển biểu thị dạng tìm giá trị lớn nhỏ hàm tập nghiệm của hệ phương trình bất phương trình Trong chương này, ký hiệu: I = {1, 2, ., m} J = {1, 2, ., n} Dạng tổng quát toán quy hoạch toán học sau: ðịnh nghĩa Cho tập hợp vectơ X = (x1, x2, , xn ) thuộc Rn thoả mãn ñiều kiện: , đó, gi ( i I) hàm thực n biến; Ri dấu quan hệ J1 J, J2 J J1 Cho hàm f : X , = ; bi ( i I) số ; J2 = Ø R f (X) Bài toán quy hoạch toán học tốn tìm vectơ X , đó, hàm f ñạt cực ñại (gọi toán quy hoạch max ) f đạt cực tiểu (gọi tốn quy hoạch ) Bài toán quy hoạch toán học viết dạng sau: Tìm vectơ X = (x1, x2, , xn ) f (X) max (min) (1) với ràng buộc: Rn cho: Hàm f ñược gọi Hàm mục tiêu tốn; điều kiện (2), (3) (4) gọi Ràng buộc, đó, người ta thường gọi (2) ràng buộc cưỡng bức, (3) (4) ràng buộc dấu Các hàm gi ( i I) ñược gọi Hàm ràng buộc ñược gọi Phương án toán, Mỗi vectơ X phương án hay Miền ràng buộc ñược gọi Tập Phương án X*, đó, hàm f ñạt cực ñại (hoặc cực tiểu) ñược gọi Phương án tối ưu (PATƯ) hay nghiệm tốn, i.e hay X , f (X) f (X*) (đối với toán quy hoạch max) X , f (X) f (X*) (đối với tốn quy hoạch min) f (X*) ñược gọi Giá trị mục tiêu tối ưu Tập hợp phương án tối ưu ñược gọi Miền tối ưu toán Một toán quy hoạch tốn học thường ký hiệu ( phương án f hàm mục tiêu , f ), tập ðể tiện việc trình bày, nói đến vectơ (trong Rn hay Rm ), hiểu vectơ cột hay vectơ hàng, tuỳ theo ngữ cảnh ðịnh nghĩa: (a) Một tốn quy hoạch tốn học, đó, hàm mục tiêu f hàm ràng buộc gi (i Ỵ I) hàm tuyến tính, gọi tốn Quy hoạch tuyến tinh hay nói gọn Quy hoạch tuyến tính (QHTT) Nói cách khác, tốn QHTT có dạng: Tìm vectơ (x1, x2, , xn ) Rn cho: (có thể bỏ qua dòng này) với ràng buộc: ` ñó, J1, J2 có ý nghĩa trên; tập hợp I1, I2, I3 rời đơi I1 I Khi khơng nói rõ tên miền ràng buộc, ñược ký hiệu I2 I3 = (b) Phương án X thoả mãn ràng buộc i với dấu “ = “, i.e , ñược gọi thoả mãn chặt ràng buộc i, hay ràng buộc i ñược gọi chặt ñối với phương án X Phương án X thoả mãn ràng buộc i với dấu bất ñẳng thức thực ñược gọi thoả mãn lỏng ràng buộc i, hay ràng buộc i ñược gọi lỏng ñối với phương án X (c) Một tốn có một PATƯ gọi tốn giải Một tốn khơng có phương án có phương án khơng có PATƯ gọi khơng giải ñược hay vô nghiệm (d) Nếu I3 = I, i.e hệ ràng buộc cưỡng hệ phương trình tuyến tính, J1 = J tốn QHTT gọi có dạng tắc (e) Nếu I1 = I, i.e hệ ràng buộc cưỡng hệ bất phương trình tuyến tính, J1 = J tốn QHTT gọi có dạng chuẩn Cụ thể, quy hoạch tuyến tính tắc có dạng: ðặt: ( A ñược gọi ma trận ñiều kiện ); C = ( c1, c2 , , cn ) On = ( 0, , , ) Rn , ( C ñược gọi vectơ hệ số hàm mục tiêu ) quy ñịnh rằng: Nếu X = (x1, x2, , xn ) Y = (y1, y2, , yn ) thuộc Rn thoả xj viết: X Y yj với j J Với ký hiệu phép nhân ma trận, tốn QHTT dạng tắc viết dạng ma trận sau: ( phép nhân ma trận CX AX, X ñược hiểu vectơ cột ) f (X) = CX max ( ) max {CX : AX = B, X hay gọn hơn: {CX : AX = B, X hay On} On} Tương tự, tốn QHTT dạng chuẩn viết dạng: max ( ) f (X) = CX hay gọn hơn: hay max {CX : AX {CX : AX B, X B, X On} On} ðịnh nghĩa: Hai tốn QHTT gọi tương ñương chúng vô nghiệm hai tốn có nghiệm thì, cách đó, tìm nghiệm tương ứng toán kia, giá trị mục tiêu tối ưu chúng Biến đơit dạng tốn QHTT ðơi khi, để tiện việc giải tốn QHTT, người ta biến đổi tốn ñã cho thành toán dạng khác tương ñương với tốn cho, số phép biến đổi sau: 4.1 Bài tốn quy hoạch max chuyển thành toán quy hoạch min, ngược lại, cách giữ nguyên tập phương án thay ñổi hàm mục tiêu: Giả sử ( ( , f ) tốn quy hoạch max Khi đó, tốn , g ), g = - f tốn quy hoạch có phương án tối ưu với ( Thật vậy: , f ) (X* phương án tối ưu ( ( X , f (X) ( X , - f (X) ( X , g (X) ,f)) f (X*) ) - f (X*) ) g (X*) ) (X* phương án tối ưu ( 4.2 Một ràng buộc ñẳng thức thức , g ) ).x tương ñương với hai ràng buộc bất ñẳng 4.3 Một ràng buộc bất đẳng thức đưa thêm vào ẩn bù si: ñưa ñẳng thức cách 4.4 Một ẩn xj khơng bị ràng buộc dấu thay hiệu hai ẩn không âm : với Như vậy, với việc áp dụng liên tiếp phép biến đổi trên, đưa tốn QHTT dạng tắc hay dạng chuẩn tương đương Một số tốn quy hoạch tuyến tính thực tế Bài toán lập kế hoạch sản xuất Công ty Alpha sản xuất hai loại sản phẩm S1 S2 Nguyên liệu ñể sản xuất gồm hai loại A B, với trữ lượng ðể sản xuất sản phẩm S1 cần nguyên liệu A nguyên liệu B Hai số tương ứng sản phẩm S2 ðược biết nhu cầu thị trường ngày sau: Nhu cầu S2 không nhu cầu S1 tấn; Nhu cầu tối ña S2 • • Giá bán sản phẩm S1 triệu VNð sản phẩm S2 triệu VNð Với ñiều kiện cho, viết mơ hình tốn học cho toán lập kế hoạch sản xuất cho tổng doanh thu lớn Giải Gọi x1 x2, theo thứ tự, số lượng (tính theo tấn) sản phẩm S1 S2 cần sản xuất ngày Khi doanh thu ngày là: z = 6x1 + 9x2 (ñơn vị: 106 VNð) Các ràng buộc biến x1 x2: Ngun liệu sử dụng khơng vượt trữ lượng: • 2x1 + x2 Sản xuất khơng nhiều nhu cầu thị trường: • x2 - x1 x2 x1 + 2x2 • Số lượng phải số không âm: x1 x2 Vậy, mơ hình tốn học phải tìm QHTT: Tìm vectơ X = (x1, x2) R2 cho: z = f (X) = 6x1 + 9x2 max Bài toán phần ăn Giả sử người ta cần tạo hỗn hợp gồm hai loại thực phẩm T1 T2 Hỗn hợp cần có 60 đơn vị chất dinh dưỡng D1, 160 ñơn vị chất dinh dưỡng D2 180 ñơn vị chất dinh dưỡng D3 Một kilơgam T1 chứa đơn vị D1, đơn vị D2, ñơn vị D3 giá 15 ngàn ñồng Một kilơgam T2 chứa đơn vị D1, đơn vị D2, ñơn vị D3 giá 12 ngàn đồng Hãy viết mơ hình tốn học cho tốn: Xác ñịnh thành phần T1 T2 cho hỗn hợp ñược tạo bảo ñảm nhu cầu chất dinh dưỡng có giá thành rẻ Giải Gọi x1 x2, theo thứ tự, khối lượng (tính theo kilơgam) T1 T2 cần có hỗn hợp Lý luận trên, có mơ hình tốn học sau: Tìm vectơ X = (x1, x2) z = f (X) = 15x1 + 12x2 R2 cho: Bài tốn có dạng tổng qt với n loại thực phẩm T1, ,Tn ; m chất dinh dưỡng D1, , Dm Một ñơn vị (khối lượng) loại thực phẩm Tj (j = 1,…, n) có giá cj (đồng) chứa aij đơn vị chất dinh dưỡng Di (i = 1,…, m) Nhu cầu chất Di (i = 1,…, m) có hỗn hợp khoảng từ li ñến hi ñơn vị Gọi xj số ñơn vị (khối lượng) loại thực phẩm Tj (j = 1,…, n) cần mua Mô hình tốn học phải tìm QHTT: Tìm vectơ X = (x1, …, xn) Rn cho: Bài toán vận tải Hàng hố vận chuyển từ m kho hàng (gọi ñiểm phát) ñến n ñiểm tiêu thụ (gọi ñiểm thu) Lượng hàng kho i (tấn) (i = 1, …, m); nhu cầu tiêu thụ ñiểm thu j bj (tấn) (j = 1, …, n) Cước phí vận chuyển hàng từ kho i ñến ñiểm thu j cij ñồng Giả sử tổng lượng hàng kho tổng lượng hàng ñiểm thu cần, i.e Hãy viết mơ hình tốn học cho tốn lập kế hoạch vận chuyển hàng để cước phí nhỏ nhất, với ñiều kiện ñiểm tiêu thụ ñều nhận ñủ hàng theo nhu cầu, kho ñều xuất hết hàng Giải Gọi xij (i I, j J) lượng hàng cần vận chuyển từ kho i ñến ñiểm thu j Mơ hình tốn học phải tìm QHTT: Tìm ma trận (xij) kiểu m x n cho: z max với ràng buộc: x11 + x12 + x13 + x14 = x21 + x22 + x23 + x24 = x31 + x32 + x33 + x34 = z - 4x11 + 12x21 + 6x31 z - 10x12 + 20x22 + 12x32 z - 8x13 + 12x23 + 6x33 z - 6x14 + 12x24 + 4x34 z xij 0, i = 1,2,3; j = 1,…, Bài toán tổng quát Có m loại máy Mi (i Im), loại cái, sản xuất n loại chi tiết Cj ( j loại sản phẩm Mỗi sản phẩm cần chi tiết loại In) Biết ma trận suất (aij)m x n, aij suất ca máy Mi sản xuất loại chi tiết Cj Yêu cầu lập kế hoạch phân cơng hoạt động cho máy cho số sản phẩm ñược sản xuất nhiều Số lượng chi tiết j sản xuất ñược ca là: Với i Im j In, ñặt xij phần thời gian ca mà máy Mi dùng ñể sản xuất chi tiết Cj, z số sản phẩm ñược sản xuất ca Ký hiệu vectơ (x11, x12, …, xm1, …, xmn, z) (xij, z)i khơng có nhầm lẫn Im, j Mơ hình tốn học tốn SXðB sau: Tìm (xij, z)i Im, j In ( hay tìm (xij)Im x In z ) cho: In, (xij, z), z max ðặt tên cho toán SXðB vừa phát biểu (ðB) ðây tốn quy hoạch tuyến tính Ký hiệu Aij Az theo thứ tự, vectơ cột ma trận ñiều kiện ứng với ẩn xij z Như vậy, Aij có thành phần thứ i thành phần thứ m + j - aij; Az có m thành phần đầu 0, cịn n thành phần cuối Bài tốn ñược biểu diễn dạng bảng m hàng n cột, tốn vận tải Mỗi hàng đặc trưng cho loại náy, cột ñặc trưng cho loại chi tiết Ô (i, j) dặc trưng cho việc sử dụng máy i ñể sản xuất chi tiết j, nên ô ghi suất aij tương ứng (bảng 5.1) Do đó, bảng cịn gọi bảng suất tốn sản xuất đồng Tính chất 3.1 Vectơ (xij, z)i Im, j In thoả mãn tất ràng buộc toán (ðB) phương án toán Tuy nhiên, vectơ (xij) thoả mãn ràng buộc toán cho tương ứng họ phương án với thành phần z ñược xác ñịnh bởi: , với Trong số đó, rõ ràng phương án có • tốt Vì vậy, từ nay, gọi vectơ (xij)i Im, j In, ma trận (xij)m x n thoả mãn ràng buộc toán (ðB) phương án toán (ðB) với quy ước thành phần z 3.2 Hàm mục tiêu tốn sản xuất đồng bị chặn miền ràng buộc nó, với phương án (xij) tốn, Ngồi ra, rõ ràng vectơ (x’ij), tốn với (i, j) Vậy, tốn (ðB) ln giải Bài tốn đối ngẫu Xem tốn sản xuất đồng (ðB): z max (5.1) Bài tốn đối ngẫu (ðB*) (ðB) là: Các cặp ràng buộc ñối ngẫu nhau: Im x J, phương án • xij • z ui - aijvj Im x In; ; vj • với (i, j) với j In Dễ thấy rằng: Nếu (ui, vj) phương án (ðB*) (λui, λvj), với l số thực thỏa , phương án (ðB*) Chúng ta gọi phương án (ui, vj) toán (ðB*) thỏa mãn điều kiện (0v) thỏa mãn chặt m + n - ràng buộc dạng ui - aijvj = ứng với ô (i,j) khơng tạo thành vịng Chúng ta cơng nhận kết sau: Một phương án toán (ðB*) thỏa mãn ñiều kiện (0v) ràng buộc phương án cực biên Mọi phương án cực biên tốn (ðB*) thỏa mãn ràng buộc Từ phương án (ui, vj) tốn (ðB*) thỏa mãn điều kiện (0v) đặt: , với (i, j) Im x In, ñược phương án (u’i, v’j) thỏa mãn ñiều kiện (0v) PACB, với giá trị mục tiêu tương ứng là: ; ñó , Do ñó, từ nay, gọi phương án (ui, vj) toán (ðB*) thỏa mãn ñiều kiện (0v) phương án cực biên suy rộng với quy ước giá trị mục tiêu tương ứng Các thành phần ui vj phương án, theo thứ tự, ñược gọi nhân tử hàng nhân tử cột ( i Im, j In) Phương pháp ñiều chỉnh nhân tử Theo ðịnh lý 3.3.4 (ñịnh lý ñộ lệch bù), tìm phương án (xij, z) toán (ðB) phương án (ui,vj) tốn (ðB*) cho: (5.2) (xij, z) PATƯ toán (ðB) (ui,vj) PATƯ tốn (ðB*) Nội dung phương pháp điều chỉnh nhân tử sau: Trước hết, xây dựng phương án cực biên suy rộng (ui, vj) toán (ðB*), i.e hệ thống nhân tử hàng nhân tứ cột; ñồng thời xác ñịnh ô chọn (ô có xij > 0) ( z, xij ) thoả mãn (5.1) (5.2) Gọi S tập ô (i,j) tương ứng với m + n - ràng buộc chặt độc lập tuyến tính dạng ui aijvj = điều kiện (0v) Các thuộc S lấy làm chọn, nên S gọi tập ô chọn phương án cực biên suy rộng (ui, vj) Phương pháp ñiều chỉnh nhân tử thực theo thuật tốn sau: Bước 1: Xây dựng hệ thống nhân tử (ui,vj) (hay PACB suy rộng tốn (ðB*)): Trước hết, xác định (i,j) có aij lớn Giả sử , đặt: vjo = uio = aiojo.vjo Ơ (io, jo) lấy làm chọn đánh dấu Các nhân tử cịn lại xác định sau: • Trên hàng i có nhân tử ui, tìm có suất lớn nằm cột j chưa có nhân tử Nhân tử cột ñược xác ñịnh bởi: / với hàng i có nhân tử ) Ơ tương ứng với nhân tử vj lấy làm chọn đánh dấu • Trên cột j có nhân tử vj, tìm có suất lớn nằm hàng i chưa có nhân tử Nhân tử hàng ñược xác ñịnh bởi: / với cột j có nhân tử ) Ơ tương ứng nhân tử ui lấy làm chọn đánh dấu Tiếp tục q trình xây dựng tồn hệ thống nhân tử Như vậy, trừ ô chọn (io, jo) ñầu tiên tương ứng với hai nhân tử uio vjo; sau đó, lần xây dựng nhân tử đồng thời xác định chọn Do đó, tổng số chọn m + n - 1, hiển nhiên chúng không tạo thành vịng Ký hiệu tập chọn S, có: (ui,vj) vừa tìm PACB suy rộng tốn đối ngẫu (ðB*) Bước 2: Xây dựng giả phương án (xij, z): Các xij ñược tính nhờ vào giá trị z hệ phương trình: (5.3) Vì S khơng tạo thành vịng nên có treo (trên hàng hay cột có S) - Nếu (i,j) S treo hàng i xij = - Nếu (i,j) S ô treo cột j xij = z/aij Sau tính xij ứng với treo (i,j), loại khỏi S; tập chọn cịn lại khơng tạo thành vịng nên lại có treo Dựa vào giá trị z, xij tính hệ (5.3), tính giá trị xij với (i,j) S Chuyển sang bước Bước 3: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu: Nếu xij với (i,j) tốn (ðB) S (xij, z) (i Im, j In) phương án cực biên Nếu tồn (i,j) S cho xij < (xij, z) vừa tìm khơng phải phương án (ðB) Chuyển sang bước Bước 4: ðiều chỉnh nhân tử ô chọn: Nhân tử khơng bị điều chỉnh giữ ngun, nhân tử bị điều chỉnh nhân với số thực l, gọi hệ số điều chỉnh Trong thuộc S có xij < 0, chọn có xij nhỏ nhất; giả sử (io,jo) Khơng điều chỉnh vjo: v’jo = vjo; ñiều chỉnh uio: u’io = λuio Các nhân tử cịn lại điều chỉnh theo qui tắc sau: - Trên hàng i ñã ñiều chỉnh nhân tử, có (i,j) S nằm cột chưa ñiều chỉnh nhân tử ñiều chỉnh nhân tử cột này: v’j = λvj - Trên cột j ñã ñiều chỉnh nhân tử, có (i,j) S nằm hàng chưa điều chỉnh nhân tử ñiều chỉnh nhân tử hàng này: u’j = λuj Việc điều chỉnh thực khơng cịn ñiều chỉnh ñược ðặt: K = {(i,j) / u’i = ui, v’j = λvj} Hệ số ñiều chỉnh l ñược xác ñịnh bởi: ; giả sử: Thay l giá trị vừa tìm được, có hệ thống nhân tử (u’i,v’j) ðó PACB suy rộng tốt phương án (ui,vj) toán (ðB*), với tập ô chọn là: S’ = (S {(io,jo)}) {(r,s)} Lặp lại q trình từ bước (u’i,v’j) Sau số hữu hạn lần thực phép lặp, tìm phương án tối ưu Thí dụ: Giải tốn SXðB cho ma trận suất sau: A= Giải Bước 1: Xây dựng hệ thống nhân tử ô chọn: Max (aij) = 720 tương ứng với (3,1), nên đặt: v1 = u3 = 720 x = 720 Lấy (3,1) làm chọn đánh dấu “ * ” vào Trên hàng 3, có suất cao chưa có nhân tử cột (3,2) Nhân tử cho cột ñược xác ñịnh bởi: v2 = u3 /a32 = 720/360 = Trên cột 2, ô có suất cao chưa có nhân tử hàng (1,2) Nhân tử cho hàng ñược xác ñịnh bởi: u1 = max (240 x 2, 63 x 1) = 480 Cơng việc tiếp tục hồn thành hệ thống nhân tử Kết ghi bảng 5.2 Bảng 5.2 Bước 2: Xây dựng giả phương án (xij, z): (2,3) (4,3) ô treo hàng hàng 4, nên: x23 = x43 = Trên cột 3: ( 160.x13 + 200 x + 240 x = 420 ) x13 = - 1/8 Trên hàng 1: ( x12 + (-1/8) = ) x12 = 9/8 (3,1) ô treo cột 1, nên: Trên hàng 3: ( 7/12 + x32 ) = ) x32 = 5/12 Bước 3: Vì x13 = - 1/8 < 0, nên (xij, z) vừa tìm khơng phải phương án toán Chuyển sang bước Bước 4: ðiều chỉnh nhân tử ô chọn: Những hàng cột có điều chỉnh nhân tử đánh dấu chữ l Xác định tập K = {(2,1); (2,2); (4,1); (4,2)} ứng với (4,2) Ơ lấy làm chọn thay cho (1,3) bảng Thay λ = 3, có hệ thống nhân tử tính (xij, z) Kết ghi bảng sau: Bảng 5.3 Vì xij với (i,j) tốn cho: S, nên phương án (xij, z) vừa tìm PATƯ ; z = 410 Mở rộng số trường hợp 1.Trường hợp tốn có ma trận suất (aij)m x n , với aij 0: Vẫn áp dụng thuật tốn Tuy nhiên, điều chỉnh nhân tử, xảy trường hợp tập K = {(i,j) / u’i = ui, v’j = λvj} gồm tồn có aij = Như vậy, l khơng xác định ðể tiếp tục thuật tốn, người ta thay có aij = aij = e > gọi toán e Dễ thấy phương án tốn đối ngẫu e trở thành phương án tốn đối ngẫu (ðB*) cho e = Sử dụng e thực chất để xác định đưa vào tập chọn nên bước tính giá trị z ứng với tốn xuất phát, nghĩa là: Trường hợp loại có nhiều máy: Thuật toán giải toán (ðB) dựa giả thiết: Mỗi loại máy có thành phẩm cần ñúng chi tiết cho loại Bây giờ, xét trường hợp tổng quát Thí dụ: Một xí nghiệp có máy loại M1, máy loại M2 máy loại M3 Các máy sản xuất ba loại chi tiết C1, C2 C3 loại sản phẩm S xí nghiệp Mỗi sản phẩm S gồm chi tiết loại C1, chi tiết loại C2 chi tiết loại C3 Năng suất (số chi tiết/ca làm việc) máy sản xuất loại chi tiết ñược cho bảng sau: Bảng 5.4 Hãy lập mơ hình tốn học giải tốn: Bố trí thời gian hoạt ñộng ca cho máy cho tổng số sản phẩm S ñược sản xuất nhiều Giải Với (i,j) (I3)2, ñặt xij phần thời gian ca mà máy Mi sản xuất loại chi tiết Cj, z tổng số sản phẩm S ñược sản xuất ca Dĩ nhiên xij z • Thời gian hoạt ñộng máy ca, nên: • Số chi tiết loại sản xuất ca: C1: z1 = 10x11 + 3.8x21 + 2.5x31 C2: z2 = 6x11 + 3.3x21 + 2.4x31 C3: z3 = 8x11 + 3.6x21 + 2.7x31 • z Theo giả thiết, phải có: ;z z2 z Mơ hình tốn học tốn là: Tìm (xij)3 x z cho: z max Bài tốn đưa dạng (ðB), với ma trận suất là: Dùng thuật tốn điều chỉnh nhân tử, tốn có PATƯ là: ; (Bạn đọc tự giải) Vậy, phải bố trí cho: Máy M1 sản xuất C2 toàn ca; máy M2 sản xuất C1 máy M3 sản xuất C2 ca, sản xuất C3 ca, sản xuất C3 Tổng số sản phẩm sản xuất ñược ca; ca Tổng quát: Loại máy Mi (i Im) có ti máy tham gia vào q trình sản xuất, đơn vị thành phẩm cần có kj (j In) đơn vị chi tiết Cj Năng suất ca máy Mi sản xuất loại chi tiết Cj aij Bằng phép biến ñổi: (i Im, j In ), tốn đưa dạng (ðB), với ma trận suất (a’ij)m x n, gọi ma trận suất quy ước Tài liệu tham khảo NGUYỄN THÀNH CẢ Tốn kinh tế, phần Quy hoạch tuyến tính - ðại học kinh tế TP.HCM, 1998 ðẶNG HẤN Quy hoạch tuyến tính ðại học kinh tế TP.HCM 1995 NGUYỄN THẾ HÒA Lý thuyết quy hoạch kinh tế - Nhà xuất Xây dựng, 2001 PHAN QUỐC KHÁNH - TRẦN HUỆ NƯƠNG Quy hoạch tuyến tính - Nhà xuất Giáo dục, 2000 NGUYỄN ðỨC NGHĨA Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính rời rạc) - Nhà xuất Giáo dục, 1996 B.PCHÉNITCHNY - Y.DẠNLINE Méthodes numériques dans les problèmes d’extrémum Éditions Mir - Moscou, 1977 BÙI THẾ TÂM - TRẦN VŨ THIỆU Các phương pháp tối ưu hóa - Nhà xuất Giao thông vận tải, 1998 JACQUES TEGHEM Programmation linéaire - Éditions de l’université de Bruxelle, 1996 BÙI PHÚC TRUNG Giáo trình Quy hoạch tuyến tính.- ðại học kinh tế TP.HCM, 1998 10 TRẦN TÚC Bài tập Quy hoạch tuyến tính - Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2001 ... cảnh ðịnh nghĩa: (a) Một toán quy hoạch toán học, đó, hàm mục tiêu f hàm ràng buộc gi (i Ỵ I) hàm tuyến tính, gọi tốn Quy hoạch tuyến tinh hay nói gọn Quy hoạch tuyến tính (QHTT) Nói cách khác,... số ; J2 = Ø R f (X) Bài toán quy hoạch tốn học tốn tìm vectơ X , đó, hàm f đạt cực đại (gọi tốn quy hoạch max ) f đạt cực tiểu (gọi toán quy hoạch ) Bài toán quy hoạch tốn học viết dạng sau:... phương trình tuyến tính, J1 = J tốn QHTT gọi có dạng tắc (e) Nếu I1 = I, i.e hệ ràng buộc cưỡng hệ bất phương trình tuyến tính, J1 = J tốn QHTT gọi có dạng chuẩn Cụ thể, quy hoạch tuyến tính tắc