Quy hoạch tuyến tính

10/3/2013 1 PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNHPHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SốSố tiếttiết: : 3030 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNHQUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1: Phương pháp Gauss - Jordan Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương 3: Bài toán đối ngẫu Chương 4: Bài toán vận tải Giảng viên:Giảng viên: ThS. LThS. Lê Trung Nghóaê Trung Nghóa Tài liệu tham khảo [1] Võ Văn Tuấn Dũng, Giáo trình Quy hoạch tuyến tính, NXB Thống kê, 2007. [2] Nguyễn Thành Cả, Tối ưu hóa (phần Quy hoạch tuyến tính), NXB Thống kê, 2005. [3] Nguyễn Cảnh, Quy hoạch tuyến tính , NXB ĐHQG Tp. HCM, 2004. [4] Đặng Hấn, Quy hoạch tuyến tính, Đại học Kinh tế Tp. HCM. Chương 1 Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan tổng qt  Hệ phương trình tuyến tính tổng qt có dạng 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =   + + + =     + + + =  (1) Phương pháp Gauss-Jordan  Ta viết lại hệ (1) bằng bảng hệ số như sau Phương pháp Gauss-Jordan Nếu , ta biến đổi: . Hệ (1) tương đương 11 a 0 ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 11 1 1 : 1 , 2 : 2 a 1 a = = − ( ) ( ) ( ) m1 , , m : m a 1 = − 12 1n 1 1 2 n 11 11 11 12 1n 1 22 21 2 2n 21 n 2 21 11 11 11 12 1n 1 m2 m1 2 mn m1 n m m1 11 11 11 a a b x x x a a a a a b a a x a a x b a a a a a a b a a x a a x b a a a a  + + + =        − + + − = −                  − + + − = −           ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10/3/2013 2 Phương pháp Gauss-Jordan  Bảng hệ của hệ trên  Khả năng 1 : Mọi dòng đều có ẩn cơ sở (Ẩn cơ sở của 1 dòng là ẩn chỉ xuất hiện trên dòng đó và hệ số của nó là 1). Khi đó, các ẩn còn lại trở thành ẩn tự do. Ta có hai trường hợp :  Trường hợp 1 : Không có ẩn tự do. Hệ phương trình có duy nhất một nghiệm.  Trường hợp 2 : Có ít nhất một ẩn tự do. Hệ phương trình có vô số nghiệm. Phương pháp Gauss-Jordan 10/3/2013 8 C01014 Phương pháp Gauss-Jordan  Khả năng 2 : Tồn tại một số dòng không có ẩn cơ sở. Ta có hai trường hợp :  Trường hợp 1 : Có một dòng mà số hạng tự do tương ứng . Khi đó, dòng này cho phương trình dạng Phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.  Trường hợp 2 : Mọi dòng đều có số hạng tự do tương ứng bằng 0. Các dòng này cho phương trình dạng Ta bỏ các dòng trên và chuyển về khả năng 1. + + + = 1 2 n 0x 0x 0x b 1 2 n 0x 0x 0x 0. + + + = ≠ b 0 Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình tuyến tính  Lập bảng các hệ số 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 x 3x 2x x 2 4x x 3x 2x 1 2x 7x x 1 − + − =   + + − =   + − = −  ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 2 1 3 − 2 1 − 1 4 1 3 2 − 1 − 2 7 1 − 0 Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 1, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi ta được 1 x (2) : (2) 4(1);(3) : (3) 2(1), = − = − Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 2, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi ta được 2 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 13 2 : 2 ; 1 : 1 3 2 ; = = + ( ) ( ) ( ) 3 : 3 13 2 , = − ACS SHTD x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 513 1 0 1113 7 13− x 2 7 13− 0 1 513− 2 13 2 0 0 0 0 10/3/2013 3 Phương pháp Gauss-Jordan  Dòng 3 không có ẩn cơ sở tương ứng với phương trình  Phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. 1 2 3 4 0x 0x 0x 0x 2. + + + = Phương pháp Gauss-Jordan  Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình tuyến tính 1 2 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x 2x 5 2x 4x x 5x 1 x 3x 5x 3 3x 7x 3x 9x 14 2x 8x 4x 2x 22 + + =   + − + = −   + + = −   + − + = −  + − + = −   Phương pháp Gauss-Jordan  Lập bảng các hệ số ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 1 0 2 1 − 2 4 1 − 5 3 − 1 3 0 5 14 − 3 7 3 − 9 22 − 2 8 4 − 2 Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 1, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi ta được 1 x (2) : (2) 2(1); (3) : (3) (1); = − = − (4) : (4) 3(1); (5) : (5) 2(1), = − = − ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 5 1 1 0 2 11 − 0 2 1 − 1 8 − 0 2 0 3 29 − 0 4 3 − 3 32 − 0 6 4 − 2 − Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 2, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi ta được 2 x 1 2 (2) : (2); (1) : (1) (2); (3) : (3) 2(2); = = − = − (4) : (4) 4(2); (5) : (5) 6(2), = − = − ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 21 2 1 0 1 2 3 2 2 x 11 2 − 0 1 1 2 − 1 2 3 0 0 1 2 7 − 0 0 1 − 1 1 0 0 1 − 5 − Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 3, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi ta được 3 x 1 1 2 2 (1) : (1) (3); (2) : (2) (3); (4) : (4) (3); = − = + = + (5) : (5) (3), = + ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 9 1 0 0 1 2 2 x 4 − 0 1 0 3 2 3 x 3 0 0 1 2 4 − 0 0 0 3 4 0 0 0 3 − 10/3/2013 4 Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 4, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi : ta được 4 x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 3 2 2 (4) : (4); 1 : 1 (4); 2 : 2 (4); = = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 : 3 2(4); 5 : 5 3(4), = − = + ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 29 3 1 0 0 0 2 x 2 − 0 1 0 0 3 x 17 3 0 0 1 0 4 x 4 3 − 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss-Jordan  Dòng 5 không có ẩn cơ sở tương ứng với phương trình  Phương trình này nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm nên ta có thể bỏ đi mà không làm mất nghiệm. 1 2 3 4 0x 0x 0x 0x 0. + + + = Phương pháp Gauss-Jordan  Mọi ẩn đều là ẩn cơ sở nên hệ có duy nhất nghiệm là 29 17 4 3 3 3 1 2 3 4 x ; x 2; x ; x . = = − = = − ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 29 3 1 0 0 0 2 x 2 − 0 1 0 0 3 x 17 3 0 0 1 0 4 x 4 3 − 0 0 0 1 Phương pháp Gauss-Jordan  Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình tuyến tính 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x 2x 4x 5 3x x x 2x 1 x x 3x 6x 9 12x 2x x 2x 10 − − + =   − − + =   + + − = −   − + − = −  Phương pháp Gauss-Jordan  Lập bảng các hệ số ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 1 − 2 − 4 1 3 1 − 1 − 2 9 − 1 1 3 6 − 10 − 12 2 − 1 2 − Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 1, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi ta được 1 x (2) : (2) 3(1); (3) : (3) (1); = − = − (4) : (4) 12(1), = − ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 5 1 1 − 2 − 4 14 − 0 2 5 10 − 14 − 0 2 5 10 − 70 − 0 10 25 50 − 10/3/2013 5 Phương pháp Gauss-Jordan  Trên dòng 2, chọn làm ACS. Lần lượt biến đổi : ta được 2 x 1 2 (2) : (2); (1) : (1) (2); = = + (3) : (3) 2(2); (4) : (4) 10(2), = − = − ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 − 1 0 1 2 1 − 2 x 7 − 0 1 5 2 5 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss-Jordan  Hai dòng 3 và 4 không có ẩn cơ sở tương ứng với phương trình nên ta có thể bỏ đi mà không làm mất nghiệm. 1 2 3 4 0x 0x 0x 0x 0 + + + = Phương pháp Gauss-Jordan  Hệ có vô số nghiệm. Đặt ta được  Vậy nghiệm của hệ có dạng ACS SHTD 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 − 1 0 1 2 1 − 2 x 7 − 0 1 5 2 5 − 3 4 x m, x n, m,n , = = ∈ ℝ 51 2 2 1 2 x 2 m n, x 7 m 5n. = − − + = − − + ( ) ( ) 5 1 2 2 1 2 3 4 x , x , x , x 2 m n, 7 m 5n, m, n = − − + − − + Phương pháp Gauss-Jordan Bài tập.  Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss-Jordan bằng bảng các hệ số 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 x 3x 2x x 2 1) 4x x 3x 2x 1 2x 7x x 1 − + − =   + + − =   + − =  Phương pháp Gauss-Jordan 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 x x x x 2 x x 2x 0 2) x 2x 2x 7x 7 2x x x 3 − + − =   − + =   − + − + = −   − − =  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x 2x 3x 5x 1 x 3x 13x 22x 1 3) 3x 5x x 2x 5 2x 3x 4x 7x 4 + − + =   + − + = −   + + − =   + + − =  Phương pháp Gauss-Jordan 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x 2 x x 2x 0 4) x 2x 2x 7x 7 x x 2x 8x 5 − + − =   − + =   − + − + = −   + − + = −  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x 5x 4x 3x 1 2x x 2x x 0 5) 5x 3x 8x x 1 4x 9x 10x 5x 2 + + + =   − + − =   + + + =   + + + =  10/3/2013 6 BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 2 Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương 2 Bài toán quy hoạch tuyến tính  Một số bài toán quy hoạch tuyến tính  Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính  Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính  Phương pháp đơn hình 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính. Cần vận chuyển hàng hóa từ 3 phân xưởng P 1 , P 2 , P 3 tới 2 đại lý D 1 , D 2 . Cho biết lượng hàng hóa ở các phân xưởng P i là a i , nhu cầu ở các đại lý D j là b j và là chi phí vận chuyển trên một đơn vị hàng hóa từ đến , trong đó Vấn đề là tìm kế hoạch vận chuyển từ các phân xưởng cho đến các đại lý sao cho mọi phân xưởng phát hết lượng hàng đã có, mọi đại lý nhận đủ hàng cần và tổng chi phí là nhỏ nhất? = = i 1,2,3; j 1, 2. ij c i P j D 1.1. Bài toán vận tải 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.  Gọi là số lượng hàng hóa vận chuyển từ phân xưởng đến đại lý , với và ij x i 1,2,3 = = j 1,2. i P j D 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.  Các ràng buộc  Ràng buộc về dấu ij x 0, i 1,3, j 1, 2. ≥ = =  + =  + =   + =  11 12 1 21 22 2 31 32 3 x x a x x a x x a  + + =  + + =  11 21 31 1 12 22 32 2 x x x b x x x b 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.  Ta có BTQHTT. Tìm sao cho ( ) 11 12 21 22 31 32 x , x , x , x , x , x = + + + + + + → 11 11 12 12 21 21 22 22 31 31 32 32 f c x c x c x c x c x c x min  + =  + =   + =   + + =  + + =   11 12 1 21 22 2 31 32 3 11 21 31 1 12 22 32 2 x x a x x a x x a x x x b x x x b ij x 0, i 1, 3, j 1,2. ≥ = = 10/3/2013 7 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính. 1.2. Bài toán vật tư.  Một xí nghiệp dự định sản xuất hai mặt hàng từ ba loại vật tư chủ yếu Để sản xuất một đơn vị mặt hàng cần vật tư . Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu đơn vị M 1 , M 2 để bảo đảm thu nhập là lớn nhất, biết rằng xí nghiệp chỉ có vật tư và lợi nhuận thu được trên một đơn vị mặt hàng là trong đó 1 2 M ,M 1 2 3 V ,V , V . ij a i V j c , j M j M i b i V i 1, 2, 3, j 1,2. = = 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.  Gọi là số đơn vị sản phẩm và cần sản xuất.  Hiển nhiên, ta có và tổng lợi nhuận thu được là  Ngoài ra, số đơn vị vật tư dùng để sản xuất không được quá số lượng vật tư tồn kho , nghĩa là 1 2 x , x 0, ≥ 1 1 2 2 f c x c x . = + i V i b 1 2 x , x 1 M 2 M = ≤ = ∑ 2 ij j i j 1 a x b ;i 1,2,3. 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính. Khi đó, ta nhận được bài toán  + ≤  + ≤   + ≤  11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 31 1 32 2 3 a x a x b a x a x b a x a x b 1 1 2 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 31 1 32 2 3 1 2 f c x c x max a x a x b a x a x b a x a x b x , x 0 = + → + ≤   + ≤   + ≤  ≥ 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính. 1.3 Bài tập thực hành 1. Nhân dịp tết trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh "Trăng" muốn sản xuất 3 loại bánh : đậu xanh, thập cẩm và bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất 3 loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, đậu, bột, trứng, mứt, lạp xưởng, Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là 500kg, đậu là 300kg, các nguyên liệu khác muốn bao nhiêu cũng có. Lượng đường, đậu cần thiết và lợi nhuận thu được trên một cái bánh mỗi loại cho trong bảng sau 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.  Cần lập kế hoạch sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về đường, đậu và tổng lợi nhuận thu được là lớn nhất nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết. 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính. 2. Một xí nghiệp dệt hiện có 3 loại sợi : Cotton, Katé, Polyester với khối lượng tương ứng là 3; 2.5; 4.2 (tấn). Các yếu tố sản xuất khác có số lượng lớn. Xí nghiệp có thể sản xuất ra 3 loại vải A, B, C (với khổ bề rộng nhất định) với mức tiêu hao các loại sợi để sản xuất ra một mét vải các loại cho trong bảng sau 10/3/2013 8 1. Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.  Biết lợi nhuận thu được khi sản xuất một mét vải các loại A, B, C tương ứng là 350, 480, 250 (đồng). Sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được hết với số lượng không hạn chế, nhưng tỷ lệ về số mét vải của B và C phải là 1 : 2. Hãy xây dựng bài toán tìm kế hoạch sản xuất tối ưu. 2. Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính.  Xét một bài toán quy hoạch tuyến tính theo hai ẩn :  Tìm sao cho với m ràng buộc và các ràng buộc về dấu ( ) 2 1 2 x x , x = ∈ ℝ ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 f x f x , x c x c x min (max), = = + → i1 1 i2 2 i a x a x b , + ≤ 1 2 x , x 0. ≥ i 1,2, ,m, = (1.11) (1.12) (1.13) 2. Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính.  Đường thẳng chia mặt phẳng ra làm hai miền như hình vẽ a x a x = m 1 2 + 1 2 a x a x > m 1 2 + 1 2 a x a x < m 1 2 + 1 2 x 2 x 2 x 1 x 1 O (a,b) 1 1 2 2 a x a x m + = 2. Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính. Ví dụ 3. Đường thẳng chia mặt phẳng thành hai miền như hình vẽ 1 2 2x 3x 6 + = 2x 3x = 6 1 2 + 2x 3x > 6 1 2 + 2x 3x < 6 1 2 + x 2 x 1 O 2 3 (2,3) 2. Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính.  Với ràng buộc, ta biểu diễn lên mặt phẳng như hình sau 1 2 1 2 2x 3x 6, x , x 0, + ≥ ≥ 2x 3x = 6 1 2 + x 2 x 1 O 2 3 Xét bài toán Quy hoạch tuyến tính 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 max 5 2 3 12 , 0. f x x x x x x x x x = + → + ≤   + ≤  ≥ 2. Ý nghĩa hình học của bài toán QHTT. 10/3/2013 48 letrungnghia85@yahoo.com 1 2 xOx Biểu diễn tập các điểm thoả tất cả các ràng buộc kể cả ràng buộc về dấu trên mặt phẳng , ta được miền chấp nhận được là miền nằm trong tứ giác OABC (kể cả biên). 10/3/2013 9 C O B Trong đó O(0,0); A(0,4); B(3,2); C(5,0). Hàm mục tiêu có dạng của một đường thẳng: f=4x 1 + x 2 . Cho f=0 ta có đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Tịnh tiến đường thẳng (d) theo một hướng nào đó sẽ làm cho giá trị hàm mục tiêu tăng, ngược lại sẽ làm hàm mục tiêu giảm. A 2. Ý nghĩa hình học của bài toán QHTT. 10/3/2013 49 letrungnghia85@yahoo.com x 1 x 2 Ở bài toán này ta cần làm cho hàm mục tiêu tăng. Rõ ràng đi theo hướng mũi tên sẽ làm cho hàm mục tiêu tăng. ( ) (0,0) 0; ( ) (0,4) 4; ( ) (3,2) 14; ( ) (5,0) 20. f O f f A f f B f f C f = = = = = = = = Hàm mục tiêu đạt giá trị max là 20 tại điểm C(5,0). Hàm mục tiêu đạt giá trị min là 0 tại điểm O(0,0). 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính. 3.1. Các dạng chính của BTQHTT.  Một bài toán quy hoạch tuyến tính bao gồm ba phần chính :  Hàm mục tiêu,  Các ràng buộc  Các ràng buộc về dấu. 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính. 3.1.1. Dạng tổng quát.  Tìm sao cho với điều kiện ràng buộc ( ) 1 2 n x x , x , , x = n 0 j j j 1 f c c x min (max) = = + → ∑ 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính. và các ràng buộc về dấu hay  Một phương án của bài toán QHTT là 1 bộ thoả tất cả các ràng buộc của bài toán.  Phương án tối ưu (PATƯ) hay nghiệm là phương án thỏa yêu cầu hàm mục tiêu. ( ) ( ) ( ) n ij j i j 1 n ij j i j 1 n ij j i j 1 a x b i 1, k a x b i k 1,l a x b i l 1,m = = =  = =    ≤ = +    ≥ = +   ∑ ∑ ∑ j j x 0, x 0 ≥ ≤ ( ) j x , j 1, n . ∈ =ℝ ( ) 1 n x , , x 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính. 3.1.2. Dạng chính tắc.  Tìm sao cho với điều kiện ràng buộc ( ) 1 2 n x x , x , , x = n 0 j j j 1 f c c x min (max) = = + → ∑ ( ) { n ij j i i j 1 a x b , b 0, i 1,m = = ≥ = ∑ j x 0, j 1, n. ≥ = 10/3/2013 10 3.1.3. Dạng chuẩn.  Tìm sao cho với điều kiện ràng buộc (dạng chính tắc có số ràng buộc = số ẩn cơ sở = m) ( ) 1 2 n x x , x , , x = n 0 j j j 1 f c c x min (max) = = + → ∑ ( ) { n i ij j i i j m 1 x a x b ,b 0, i 1,m = + + = ≥ = ∑ j x 0, j 1,n. ≥ = 3. Các dạng của bài toán QHTT. 10/3/2013 55 letrungnghia85@yahoo.com 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính.  Ví dụ 6. Tìm sao cho  Trong bài toán này, ta có các ẩn cơ sở là và các ẩn tự do là ( ) 1 2 3 4 5 x , x , x , x , x 2 4 1 2 4 2 3 4 2 4 5 j f 2x x 1 min x 2x x 3 x x 2x 1 3x x x 2 x 0, j 1,5. = + − → + + =   + + =   − + =  ≥ = 1 3 5 x ,x , x 2 4 x , x . 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính. 3.2. Giải thuật chuyển dạng tổng quát về dạng chính tắc. i) Nếu gặp ràng buộc ta thêm vào vế trái ẩn phụ với hệ số bằng 1 để đưa ràng buộc bất phương trình nêu trên về ràng buộc dạng phương trình n ij j i j 1 a x b = ≤ ∑ n i x 0 + ≥ n ij j n i i j 1 a x x b . + = + = ∑ 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính. ii) Nếu gặp ràng buộc dạng ta thêm vào vế trái ẩn phụ với hệ số bằng để đưa ràng buộc bất phương trình trên về ràng buộc dạng phương trình n ij j i j 1 a x b = ≥ ∑ n i x 0 + ≥ 1 − n ij j n i i j 1 a x x b . + = − = ∑ iii) Nếu gặp ràng buộc dạng ta thay ẩn bằng ẩn phụ để nhận được ràng buộc iv) Nếu ẩn không có ràng buộc về dấu, ta dùng hai ẩn phụ và , với , để nhận được các ràng buộc Chú ý: Nếu là bài toán dạng max thì ta có thể chuyển về bài toán dạng min bằng cách áp dụng công thức sau: j x 0 ≤ j x j j x x ′ = − j x 0. ′ ≥ j x j x ′ j x ′′ j j j x x x ′ ′′ = − j j x 0, x 0. ′ ′′ ≥ ≥ ( ) ( )   = − −   max f x min f x . 3. Các dạng của bài toán QHTT. 10/3/2013 59 letrungnghia85@yahoo.com 3. Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính.  Ví dụ 7. Xét bài toán quy hoạch tuyến tính 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 f x 2x x 3x min x x x 2x 8 x x 2x x 25 x x x x 17 x , x 0, x 0. = + − + → − + + =   + + − ≤   − + − + ≥  ≥ ≤ [...]... Phương pháp đơn hình Ví dụ 12 Giải bài tốn quy hoạch sau f = −8x1 + 6x2 + 2x 3 → min −4x1 − 4x2 + 3x3  4x1 + 3x 2 + 4x 3 x1 , x2 , x3 ≥ 0 4 Phương pháp đơn hình = −18 = 16 Ví dụ 13 Giải bài tốn quy hoạch sau f = 2x1 + x2 − x3 → min  −4x1 − x2 + 2x3 − x4  −2x1 + 2x2 − x3  1 x1 − 2x2 − x3  2 = 12 + x5 = 10 = 20 xi ≥ 0, ∀i = 1, 5 BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 3 Chương 3 Bài tốn đối ngẫu... tốn quy hoạch tuyến tính sau f = 5x1 + 4x2 + 5x 3 + 2x 4 + x5 + 3x 6 → min 2x1 + 4x2 + 3x3 + x 4  4x1 + 2x2 + 3x3 3x + x3  1 = 46 + x5 = 38 + x6 ( i = 1, m ) x + n a x = bi  i j=∑ 1 ij j m+   x j ≥ 0, j = 1, n  (1.19) = 21 x i ≥ 0, ∀i = 1, 6 nhưng vế phải của hệ ràng buộc lại có thể xuất hiện các số hạng âm 4 Phương pháp đơn hình 4 Phương pháp đơn hình Ví dụ 11 Xét bài tốn quy hoạch tuyến. ..10/3/2013 3 Các dạng của bài tốn quy hoạch tuyến tính 4 Phương pháp đơn hình Đặt x′3 = − x 3 , với x′3 ≥ 0; x 4 = x′4 − x′′ , với x′4 , x′′ ≥ 0, 4 4 ta nhận được bài tốn quy hoạch dạng chính tắc 4.1 Bài tốn QHTT dạng đơn hình (tham khảo) Xét bài tốn tìm ( x1 , x2 , , xn ) sao cho f + c r +1x r +1 + + cn... trường hợp nào 4 Phương pháp đơn hình Ví dụ 8 Giải bài tốn quy hoạch tuyến tính sau  x1     Cách xây dựng PA mới như sau: • Thay thế một ACS bằng một ẩn tự do trong đó ẩn cơ sở đưa vào tương ứng với c′j > 0 lớn nhất Giả sử đó là c′ thì ẩn tự do đưa vào là xk Ẩn bị k thay ra là xs với cách xác định như sau: = 1 = 2 = 3 Ví dụ 9 Giải bài tốn quy hoạch sau f = −x1 − x 2 → min − x1 + x 2 + x 3  + x4... = 1, m (2,3) × (3,2) × 2 Các tính chất của bài tốn vận tải 2.1 Tính chất 1 Bài tốn vận tải cân bằng thu phát ln có phương án tối ưu 2.2 Tính chất 2 Gọi A là ma trận hệ số của hệ phương trình n x ∑ i j j =1 m ∑ x i j  i =1 × (2,2) (3,1) 2 Các tính chất của bài tốn vận tải (1,2) ) Khi đó, r ( A ) ≤ m + n − 1 nghĩa là hệ (1.10) có m + n − 1 phương trình độc lập tuyến tính Do đó, phương án cơ bản... án tối ưu là x = (2, 4, 0, 0) và giá trị tối ưu là -6 Tìm PATƯ của bt đối ngẫu? BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 3x1 + x 2 ≥ 3   x1 + x 2 ≥ 2 3x + 4x ≥ 7  1 2 x j ≥ 0; j = 1, 2 Giải một trong hai bài tốn rồi suy ra phương án tối ưu của bài tốn còn lại? Chương 4 Bài tốn vận tải Thành lập bài tốn vận tải Các tính chất của bài tốn vận tải Chương 4 Các phương pháp tìm phương án xuất phát Bài tốn vận... bài tốn (3.5), f = 40x1 + 12x2 + 40x3 → min 2x1 + x2 + 5x3 ≥ 20  4x1 + x 2 + x3 ≥ 30 (3.8) (3.9) 3 Cặp bài tốn đối ngẫu tổng qt Định nghĩa cặp bài tốn đối ngẫu tổng qt như sau : Cặp bài tốn quy hoạch tuyến tính f → min (gọi tắt là bài tốn min) và g → max (gọi tắt là bài tốn max) được gọi là đối ngẫu của nhau nếu : x1 , x2 , x3 ≥ 0 16 10/3/2013 3 Cặp bài tốn đối ngẫu tổng qt f = n ∑ c i x i → min... phương án tối ưu y và giá trị hàm mục tiêu tối ưu bằng nhau, nghĩa là f ( x ) = g ( y ) , trong đó f là hàm mục tiêu của bài tốn gốc, g là hàm mục tiêu của bài tốn đối ngẫu Ví dụ 5: Xét bài tốn Quy hoạch tuyến tính n    bi − ∑ aij x j  yi = 0 i = 1, m j =1   ⇔  m    c j − ∑ aij yi  x j = 0 j = 1, n i =1   Ví dụ 6: Cho bài tốn f (x) = 15x1 + 19x 2 → min f ( x) = x1 − 2 x2 + 2 x3 + 0... đối ngẫu Ý nghĩa kinh tế của bài tốn đối ngẫu Cặp bài tốn đối ngẫu tổng qt Định lý độ lệch bù Bài tốn đối ngẫu 14 10/3/2013 1 Thành lập bài tốn đối ngẫu 1 Thành lập bài tốn đối ngẫu Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính , mà ta gọi là bài tốn gốc f = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n → min  a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n  a x + a x + + a x  21 1 22 2 2n n    a m1 x 1 + a m 2 x 2 + + a mn x n  ≥... , M2 là 20; 30 15 10/3/2013 2 Ý nghĩa kinh tế của bài tốn đối ngẫu 2 Ý nghĩa kinh tế của bài tốn đối ngẫu Khi đó, với y i , i = 1, 2, chỉ số lượng mặt hàng M cần sản suất, ta nhận được bài tốn quy hoạch tuyến tính (3.6) Bây giờ, giả sử rằng có người muốn mua lại tồn bộ các vật tư V1 , V2 , V3 và ta cần tìm xem giá bán mỗi đơn vị vật tư này nên đặt là bao nhiêu ? i Gọi x i , i = 1, 2, 3 là giá bán một . GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 2 Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương 2 Bài toán quy hoạch tuyến tính  Một số bài toán quy hoạch tuyến tính  Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính . Dũng, Giáo trình Quy hoạch tuyến tính, NXB Thống kê, 2007. [2] Nguyễn Thành Cả, Tối ưu hóa (phần Quy hoạch tuyến tính) , NXB Thống kê, 2005. [3] Nguyễn Cảnh, Quy hoạch tuyến tính , NXB ĐHQG. PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SốSố tiếttiết: : 3030 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNHQUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương 1: Phương pháp Gauss - Jordan Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương 3: Bài toán đối ngẫu Chương