Lý thuyết các tập hợp số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY LÝ THUYẾT CÁC TẬP HỢP SỐ PHẠM MỸ HẠNH AN GIANG, THÁNG 06 NĂM 2018 Tài liệu giảng dạy “Lý thuyết tập hợp số” tác giả Phạm Mỹ Hạnh, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày 24 tháng 05 năm 2018 Tác giả biên soạn Ths Phạm Mỹ Hạnh Trưởng đơn vị Trưởng Bộ môn Hiệu trưởng AN GIANG, THÁNG 06 NĂM 2018 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết tập hợp số môn học Tốn cao cấp có nhiều giáo trình, tài liệu biên soạn nội dung Đây nguồn tư liệu học tập tham khảo bổ ích cho sinh viên giảng viên Đối với trường Đại học An Giang, môn Lý thuyết số giảng dạy cho sinh viên năm thứ tư chun ngành Tốn Đây mơn học chuyên ngành giúp hệ thống cách xây dựng tập hợp số mối quan hệ chúng Các kiến thức tập hợp số kiến thức cần thiết mà sinh viên chuyên ngành Toán cần nắm vững áp dụng vào giảng dạy cách thành thạo Theo tác giả, muốn nắm vững kiến thức môn học này, sinh viên cần hiểu rõ khái niệm bản, trình bày ví dụ cụ thể giải nhiều dạng tập để củng cố thêm kiến thức Dựa chương trình khung ngành Sư phạm Tốn chương trình chi tiết mơn Lý thuyết số tài liệu bố cục thành chương sau: Chương Tập hợp số tự nhiên Chương Tập hợp số nguyên Chương Tập hợp số hữu tỉ Chương Tập hợp số thực Chương Tập hợp số phức Chương Các hệ thống ghi số Chương Tập hợp số chương trình tốn phổ thơng Mặc dù q trình biên soạn, thân tác giả có nhiều cố gắng, tài liệu không tránh khỏi mặt hạn chế thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến góp ý quý báu quý đồng nghiệp sinh viên để tài liệu ngày hoàn chỉnh Xin chân thành cám ơn./ LỜI CẢM TẠ Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô môn Tốn, khoa Sư phạm nhiệt tình đọc thảo tài liệu đóng góp nhiều ý kiến quý báu để tài liệu ngày hoàn thiện Tác giả xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến Thầy Đinh Quốc Huy, môn Giáo dục Tiểu học giúp đỡ cung cấp nhiều tài liệu tham khảo quý báu trình biên soạn tài liệu An Giang, ngày 01 tháng năm 2018 Người thực PHẠM MỸ HẠNH LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy riêng Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng An Giang, ngày 01 tháng 06 năm 2018 Người biên soạn PHẠM MỸ HẠNH MỤC LỤC CHƯƠNG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 01 1.1 Bản số tập hợp 01 1.2 Số tự nhiên 06 1.3 Tính thứ tự tốt nguyên lý quy nạp tập hợp số tự nhiên 10 1.4 Xây dựng tập hợp số tự nhiên hệ tiên đề Peano 14 BÀI TẬP CHƯƠNG 15 CHƯƠNG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN 20 2.1 Xây dựng vành số nguyên 20 2.2 Quan hệ thứ tự vành số nguyên 25 2.3 Lý thuyết chia hết tập hợp số nguyên 27 BÀI TẬP CHƯƠNG 28 CHƯƠNG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ 34 3.1 Xây dựng tập hợp số hữu tỉ  từ tập hợp   * 34 3.2 Xây dựng tập hợp số hữu tỉ dương từ tập hợp số tự nhiên  37 3.3 Quan hệ thứ tự trường số hữu tỉ 39 3.4 Liên phân số, số thập phân hữu hạn số thập phân vô hạn tuần hoàn 41 3.5 Trường thứ tự 44 3.6 Dãy trường thứ tự 46 BÀI TẬP CHƯƠNG 50 CHƯƠNG TẬP HỢP SỐ THỰC 56 4.1 Xây dựng trường số thực – Quan hệ   56 4.2 Quan hệ thứ tự trường số thực 58 4.3 Số thập phân vô hạn – Số thực 63 4.4 Xây dựng tập hợp số thực lát cắt Dedekind 64 BÀI TẬP CHƯƠNG 65 CHƯƠNG TẬP HỢP SỐ PHỨC 69 5.1 Xây dựng trường số phức 69 5.2 Các dạng biểu diễn số phức 71 BÀI TẬP CHƯƠNG 75 CHƯƠNG CÁC HỆ THỐNG GHI SỐ 79 6.1 Hệ ghi số g 79 6.2 So sánh số hệ ghi số g 82 6.3 Thực hành phép toán hệ ghi số g 83 6.4 Dấu hiệu chia hết 86 BÀI TẬP CHƯƠNG 87 CHƯƠNG TẬP HỢP SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 92 7.1 Các cấu trúc đại số tập hợp số 92 7.2 Phương pháp xây dựng tập hợp số chương trình THPT 94 7.3 Sơ lược tập hợp số chương trình phổ thơng 98 CHƢƠNG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN Trong lịch sử toán học, số tự nhiên đời nhu cầu nhận biết đếm số lượng đồ vật Con người nhận thức số lượng đồ vật cách so sánh với tập hợp biết rõ số lượng Tập hợp gọi tập hợp chuẩn Từ hình thành tương ứng một-một, hay song ánh từ tập hợp cần đếm số lượng đến tập hợp chuẩn Khái niệm hai tập hợp tương đương, hay tập hợp có lực lượng hình thành Trong chương trình tốn tiểu học, hình thành số tự nhiên cho học sinh, số yếu tố lý thuyết tập hợp giáo viên sử dụng dạng trực giác ngầm ẩn Để hình thành biểu tượng “nhiều hơn”, “ít hơn”, “bằng nhau”, người ta sử dụng tập hợp đồ vật tương ứng hay ngầm hình thành số tự nhiên dựa vào khái niệm số Việc so sánh số tự nhiên gắn liền với hình thành biểu tượng tập hợp sổ tập hợp Trong phạm vi chương này, tài liệu giới thiệu hai phương pháp xây dựng tập hợp số tự nhiên dựa vào khái niệm số dựa vào hệ tiên đề Peano, qua chứng minh tập hợp số tự nhiên với quan hệ thứ tự thông thường tập thứ tự tốt Archimede 1.1 Bản số tập hợp 1.1.1 Quan hệ tƣơng đƣơng tập hợp Định nghĩa 1.1 Cho A B hai tập hợp tùy ý Tập hợp A gọi tương đương với tập hợp B tồn song ánh từ A đến B Ký hiệu: A B Nhận xét: 1) Quan hệ hai tập hợp xác định quan hệ tương đương, thỏa tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu 2) Dựa vào quan hệ tương đương ta hình thành lớp tương đương phần tử đại diện cho lớp tương đương Ví dụ Trong tam giác ABC, tập hợp điểm cạnh AB, ký hiệu [AB] tập hợp điểm cạnh CB, ký hiệu [CB] hai tập hợp tương đương Ví dụ Tập hợp điểm nằm nửa đường trịn đường kính AB tập hợp điểm đoạn thẳng AB hai tập hợp tương đương Định lý 1.2 Quan hệ tương đương tập hợp bảo tồn qua phép lấy tích Descartes phép lấy hợp hai tập hợp Cụ thể, i) Nếu A A1 B B1 A B A1 B1 ii) Nếu A A1, B B1 A B , A1 A B1 B A1 B1 A1 g : B B1 Chứng minh: Vì A A1 B Với a A, b : A B B1 nên tồn song ánh f : A B xét quy tắc A1 B1 (a, b) |– ((f (a ), g(b)) : A B x A1 B1 f (x ) x A g(x ) x B Kiểm tra qui tắc tương ứng nêu ánh xạ đồng thời song ánh.■ Ta thừa nhận định lý sau: Định lý 1.3 (Định lý Cantor) Với A B hai tập hợp tùy ý, ln xảy hai trường hợp sau đây: i) A tương đương với tập hợp B ii) B tương đương với tập hợp A Nếu hai trường hợp xảy A B tương đương với 1.1.2 Tập hợp hữu hạn tập hợp vô hạn Định nghĩa 1.4 Một tập hợp gọi vơ hạn tương đương với tập hợp thực Một tập hợp khơng phải tập hợp vơ hạn gọi tập hợp hữu hạn Nhận xét: 1) Để chứng minh tập hợp A vô hạn, cần chứng minh tồn đơn ánh f :A A mà f (A) A 2) Tập hợp A hữu hạn đơn ánh f từ A vào toàn ánh 3) Tập hợp A tương đương với tập tập hợp B tồn đơn ánh f từ A đến B Ví dụ 1) Tập hợp A {a;b} tập hữu hạn A có hai tập thực a b khơng có tập thực A tương đương với 2) Tập hợp rỗng tập hợp hữu hạn khơng có tập thực 3) Tập hợp điểm đoạn thẳng AB (với A B ) tập hợp vơ hạn Vì C điểm nằm AB, đoạn thẳng AC phận đoạn thẳng AB tương đương với AB tương đương với AD D Định lý 1.5 A v B C i) Mọi tập hợp tương đương với tập hữu hạn tập hợp hữu hạn ii) Mọi tập hợp tập hợp hữu hạn hữu hạn Mọi tập hợp chứa tập hợp vô hạn tập hợp vô hạn iii) Mọi tập hợp tương đương với tập hợp tập hợp hữu hạn tập hợp hữu hạn iv) Nếu A B hai tập hợp hữu hạn chúng tương đương với A \ B B \ A v) Nếu A tập hợp hữu hạn, A1 A2 tập hợp A tương đương với A \ A1 A \ A2 Chứng minh: Dùng phương pháp phản chứng ta chứng minh tính chất từ i) đến iii) iv) Để chứng minh tính chất ta xét hai trường hợp: Nếu A B A \ B Nếu A B ta xét hai khả sau: a) Nếu A B B \ A A \ B A B \ A B từ suy điều phải chứng minh b) Nếu A B giả sử A \ B không tương đương với B \ A áp dụng định lý Cantor, tập hợp A \ B tương đương với tập hợp thực B1 B \ A Khi tồn song ánh g : A \ B Đặt B2 B1 B1 (A B) ta có B2 tập hợp thực B Xét ánh xạ f :A x B2 x x g(x ) x A B A\B a  cn 10n  cn 1.10n 1  c1.10  c0 Ta có  n  10n    9n  C n1 9n 1  C n2 9n    C nn 1     9n 1  C n1 9n   C n2 9n 3   C nn 1   9.mn  Suy với số tự nhiên a có biểu diễn dạng thập phân sau: a  cn 10n  cn 1.10n 1   c1.10  c0        cn 9.mn   cn 1 9.mn 1    c1   c0    cn mn  cn 1.mn 1   c1  cn  cn 1   c1  c0 Vậy a chia hết cho hay cn  cn 1   c1  c0 chia hết cho hay 6.4.3 Dấu hiệu chia hết cho 11 Giả sử số tự nhiên a biểu diễn dạng thập phân sau: a  cn 10n  cn 1.10n 1  c1.10  c0 Ta có  n  10n  11  n 1    11n  C n111n 1   1 n   C nn 111  1 n 1 n n  11 11n 1  C n111n    1 C nn 1   1  11.m  1         Suy     a  cn 10n  cn 1.10n 1   c1.10  c0  c0  c2   c1  c3   11.q Vậy số tự nhiên a tổng chữ số hàng chẵn trừ cho tổng chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 Ví dụ 20 1980 chia hết cho 11 (0+9) – (8+1) = chia hết cho 11 BÀI TẬP CHƯƠNG Thực phép tính sau: 35142 (6 )  423 ( 6) Tìm dấu hiệu chia hết cho hệ ghi số g  dấu hiệu chia hết cho hệ ghi số Thực phép tính sau hệ số g = sau viết kết dạng hệ thập phân 62405 ( )  325 (7 ) 87 Cho x số nguyên dương Hỏi tồn hay không số tự nhiên g  cho x biểu diễn hệ số g 1231(g ) Thực phép tính sau: 206513(7)  354(7) 31425 6  314    Tìm tất đa thức p x có tất hệ số nguyên không âm nhỏ  thỏa mãn p  2004 Cho x số nguyên dương, xét xem có tồn hay khơng số tự nhiên g  thỏa điều kiện x biểu diễn hệ ghi số số g 14541( g ) Chứng minh hệ ghi số số g với  g  10 hai lần g  bình phương g  viết chữ số theo thứ tự ngược lại Giả sử x g số nguyên dương cho x  777( g ) , tìm giá trị nhỏ g     10 Tìm đa thức f x thỏa điều kiện hệ số f x số tự nhiên nhỏ  f  2007 11 Cho số tự nhiên a  7n với n   chứng minh a chia cho dư 12 Chứng minh số tự nhiên (biểu diễn hệ số g  ) chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 13 Viết 101011(2) số 10 viết 1211 số 14 Thực phép tính sau: a) 23104(5)  31224(5) b) 177855(9)  258388(9) c) 211405(6)  11302(6) d) 11001001(2)  1110100(2) e) 1234(5)  321(5) f) 1101(2)  101(2) g) 1331223 6 : 43521 6 15 Xét xem phép tính sau thực hệ ghi số nào? 88 a) 425(t )  342(t )  63(t ) b) 10(t )  10(t )  100(t ) 10(t )  10(t )  100(t ) 16 Với giá trị t đẳng thức sau đúng? a) 3325(6)  11043(t ) b) 23456  125246(t ) 17 Chứng minh rằng: a) 144 bình phương số tự nhiên hệ ghi số lớn b) 1331 lập phương số tự nhiên hệ ghi số lớn 18 Chứng minh số A chia hết cho g số viết hệ ghi số g có chữ số tận 89 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 35142 ( )  423 ( 6)  25050350 ( 6) Xét số tự nhiên m có biểu diễn hệ số g  là: m  anan 1 a1a  an 6n  an 1.6n 1   a1.6  a (6) Do m chia hết cho a0 chia hết cho tức a  hay a  Thực tương tự cho trường hợp xác định dấu hiệu chia hết cho hệ ghi số 62405(7)  325(7)  30302164(7) Giả sử có số tự nhiên g  thỏa điều kiện x  1231g  đó: g  x  g  2g  3g   (g  1)3 Vậy khơng có số tự nhiên g thỏa yêu cầu đề 206513(7)  354(7)  210200(7) Giả sử đa thức cần tìm có dạng p(x )  an x n  an 1x n 1   a2x  a1x  a Theo giả thiết: p(6)  an 6n  an 1 6n 1   a2 62  a1  a  Vì hệ số số nguyên không âm nhỏ nên p  anan 1 a  6 theo giả thiết 2004  13140(6) Suy đa thức cần tìm p(x )  x  3x  x  4x Giả sử tồn số tự nhiên g  thỏa điều kiện x biểu diễn hệ ghi số số g 14541( g ) Khi đó, g  x  (g  1)4 suy g  x  g  Vậy không tồn g thỏa yêu cầu đề       Ta có g   g  g      Khi g   g  g  đặt u  g  suy g   1.g  u  1ug  Giả sử x  777( g ) suy x  7g  7g   g  g  1 Khi g  g   73.k với k   90 Vì g số nhỏ nên chọn k  Giải phương trình: g  g  342  g  18 10 Giả sử f x   anx n  an 1x n 1   a1x  a Vì f 5  an 5n  an 1 5n 1   a1  a  2007 f 5  anan 1 a 5 Ngoài 2007  31012(5) Do đa thức cần tìm f x   3x  x  x  11 Chứng minh quy nạp 12 Giả sử m  anan 1 a 7  an 7n  an 1 7n 1   a1  a Khi áp dụng câu 11 ta có m  an 3qn  1  an 1 3qn 1  1   a1 3.2  1  a  anqn  an 1qn 1   2a1   an  an 1   a1  a  Vậy số tự nhiên (biểu diễn hệ số g  ) chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 91 CHƯƠNG CÁC TẬP HỢP SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG Trong chương trình tốn tiểu học, hình thành cho học sinh số tự nhiên đầu tiên, số yếu tố lý thuyết tập hợp giáo viên sử dụng dạng trực giác ngầm ẩn Để hình thành biểu tượng “nhiều hơn”, “ít hơn”, “bằng nhau” giáo viên sử dụng tập hợp đồ vật tương ứng, điều tương tự với việc hình thành số tự nhiên dựa vào số cách ngầm ẩn Việc so sánh số tự nhiên gắn liền với hình thành biểu tượng tập hợp số tập hợp Kiến thức số học bậc tiểu học xây dựng dựa số yếu tố lý thuyết tập hợp thông qua dạy học kiến thức số học ngầm hình thành hiểu biết sơ đẳng tập hợp cho học sinh Chương trình mơn tốn trung học sở sử dụng ký hiệu tập hợp để diễn đạt nội dung số học số tự nhiên, số nguyên, số nguyên tố hợp số Tập hợp số hữu tỉ, số vô tỉ số thực giới thiệu cho học sinh thông qua khái niệm số thập phân, cụ thể số thực viết dạng số thập phân Số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn số hữu tỉ Số vô tỉ viết dạng thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Chương đại số lớp 10 hệ thống hóa lại tập hợp số học ký hiệu chuẩn cho tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực dạng tập hợp tập hợp số thực  bao gồm khoảng, đoạn, nửa khoảng như: a;b , (a; ), (;b), [a;b ], [a;b), (a;b ], [a;  ), (;b ], ;  Nhằm hoàn chỉnh tập hợp số, sách giáo khoa Toán lớp 12 giới thiệu cho học sinh số phức dạng đại số số phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa số phức Tuy nhiên, ứng dụng số phức dạng biểu diễn khác số phức chưa trình bày sách giáo khoa Trong phạm vi chương này, tài liệu khái quát trình tự tập hợp số chương trình tốn phổ thông, cấu trúc đại số tập hợp số quen thuộc 7.1 Các cấu trúc đại số tập hợp số 7.1.1 Các cấu trúc đại số tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên  với phép toán cộng phép nhân xác định cấu trúc đại số khác Vì phép cộng tập hợp số tự nhiên có tính chất kết hợp, tính chất giao hốn có phần tử trung hịa 0, có luật giản ước phần tử số, nên tập hợp số tự nhiên với phép cộng thông thường vị nhóm giao hốn Với a   phần tử đối xứng a   tập hợp số tự nhiên với phép tốn cộng khơng nhóm 92 Vì phép nhân số tự nhiên có tính chất kết hợp, giao hốn có phần tử đơn vị Do  với phép nhân vị nhóm giao hốn, có luật giản ước số tự  nhiên khác Với a   \ phần tử nghịch đảo   nên tập hợp a số tự nhiên với phép tốn nhân khơng nhóm 7.1.2 Các cấu trúc đại số tập hợp số nguyên Tập hợp số nguyên  với phép cộng lập thành nhóm giao hốn có đơn vị Ngồi nhóm cộng số ngun cịn nhóm xyclic cấp vơ hạn với hai phần tử sinh -1 Tập hợp số nguyên  với phép nhân lập thành vị nhóm giao hốn thỏa luật giản ước số khác Tuy nhiên, tập hợp số nguyên tồn phần tử khác khơng a,b cho phương trình a.x  b hay b.x  a không tồn nghiệm  Tập hợp số nguyên  với hai phép toán cộng phép nhân lập thành vành giao hoán có đơn vị, khơng có ước nên miền nguyên Đồng thời vành chính, vành Gauss vành Euclid 7.1.3 Các cấu trúc đại số tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số hữu tỉ không âm  với phép tốn cộng phép nhân có cấu trúc đại số sau:   - ,  vị nhóm giao hốn thỏa luật giản ước   - , nhóm giao hốn thỏa luật giản ước số khác Tập hợp số hữu tỉ  với phép toán cộng phép nhân có cấu trúc đại số sau: - ,  nhóm giao hốn - ,. vị nhóm giao hốn số hữu tỉ khác khả nghịch - , ,. trường nguyên tố vô hạn - Tập hợp số hữu tỉ khác khơng * với phép nhân nhóm giao hoán Trường số hữu tỉ trường số quen thuộc đồng thời trường thương miền nguyên  7.1.4 Tập hợp số thực Tập hợp số thực  với phép toán cộng phép nhân có cấu trúc đại số sau: 93 - ,  nhóm giao hốn - ,. vị nhóm giao hoán số thực khác khả nghịch -  ,. nhóm giao hốn - , ,. trường vô hạn * Mỗi số thực biểu diễn điểm trục số Tập hợp số thực tập hợp có lực lượng vô hạn không đếm Trường số thực chứa vô số trường con, có trường số hữu tỉ 7.1.6 Tập hợp số phức Tập hợp số phức với phép tốn cộng phép nhân có cấu trúc đại số sau: - ,  nhóm giao hốn -  ,. nhóm giao hốn - , ,. trường đóng đại số Mọi đa thức bậc n * hệ số thực có đủ n nghiệm phức  7.2 Phương pháp xây dựng tập hợp số chương trình phổ thơng Tư tưởng việc xây dựng hệ thống số xét cấu trúc đại số tập hợp số biết với phép tốn Sau đó, phát vấn đề chưa giải hệ thống số biết hạn chế cấu trúc tốn học tập hợp số Xây dựng tập hợp số chứa tập hợp số cho tập hợp cho vấn đề phát giải nhờ cấu trúc tập hợp số vừa xây dựng Các định lý nhúng cấu trúc đại số sở việc xây dựng nhiều hệ thống số Riêng việc xây dựng hệ thống số thực cần đến kiến thức cấu trúc thứ tự hay kiến thức cấu trúc mêtric, cấu trúc tôpô 7.2.1 Xây dựng  từ  Xuất phát từ vị nhóm cộng số tự nhiên ,  phép trừ lúc thực tập hợp số tự nhiên Từ dẫn đến nhu cầu mở rộng  thành tập hợp số chứa  cho phép trừ ln thực Việc xây dựng nhóm cộng số nguyên  thực chất đối xứng hóa vị nhóm ,  Tuy nhiên, tập hợp số tự nhiên có phép nhân quan hệ thứ tự, nên mở rộng  để có tập hợp số nguyên  ta thực mở rộng phép nhân quan hệ thứ tự cách thích hợp Kết mở rộng đồng ta nhận hệ thống số 94 nguyên , ,.,  vành thứ tự tuyến tính (sắp thứ tự tồn phần), Archimede rời rạc Do vị nhóm ,  có luật giản ước số tự nhiên, nên sau đối xứng hóa vị nhóm ,  ,  nhóm Ngồi ra, với hai số tự nhiên a,b cho trước hai phương trình a  x  b, b  x  a khơng phải ln có nghiệm tự nhiên nên thực mở rộng cách đơn giản cách giữ nguyên tập hợp số tự nhiên  bổ sung thêm số nguyên âm để hai phương trình ln tồn nghiệm 7.2.2 Xây dựng  từ  xây dựng  từ  a) Xây dựng  từ  Việc xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm thực thông qua bước sau: Xây dựng tập   * gồm phần tử (a, b)    * phân số, ký hiệu: a b a c   a.d  b.c quan hệ quan hệ phân b d số thường ký hiệu dấu “=” Xây dựng quan hệ tương đương Quan hệ nêu xác định chia lớp tập hợp    * Tập thương  với quan hệ tương đương nêu bao gồm lớp phân số Mỗi lớp số hữu tỉ không âm Ta gọi lớp phân số Như thuật ngữ phân số dùng để biểu thị cặp số tự nhiên lớp cặp số tự nhiên tương đương với Định nghĩa phép cộng phép nhân  sau: a c a.d  b.c   b d b.d a c a.c  với phép tốn cộng nửa nhóm giao hốn Ngoài ra,  b d b.d   ,. nhóm giao hốn  b) Xây dựng  từ  Việc xây dựng trường số hữu tỉ  từ vành số nguyên  thực tương tự xây dựng  từ  thông qua quan hệ tương đương tập hợp   * Sau thực phép nhúng từ tập hợp số nguyên  vào  95 Ngồi ra, ta xây dựng  từ  tương tự với việc lấy đối xứng phần tử qua trục số giống xây dựng tập hợp số nguyên  từ tập hợp số tự nhiên  7.2.3 Mở rộng đại số hệ thống số hữu tỉ Xây dựng mở rộng cực tiểu trường số hữu tỉ  chứa nghiệm đa thức   x  xây dựng trường     a  b | a, b     Trong tập hợp biểu thức dạng a  b với a, b số hữu tỉ, xét phép toán cộng phép nhân giống cộng nhân biểu thức thông thường với ý    Khi    trường chứa  chứa 2 trường cực tiểu chứa  chứa Bằng cách tương tự ta xây dựng trường cực tiểu chứa  chứa nghiệm phương trình x   trường  i   {a  ib | a, b  } Tóm lại, với đa thức bậc n, p(x )  a  a1x   an x n bất khả quy  u nghiệm p(x ) ta xây dựng trường (u )  {b0  b1u   bn 1u n 1 | bi  ,  i  n  1} Đây trường cực tiểu chứa  chứa u Ngoài ra, xét (u ) khơng gian vectơ  số chiều (u ) n Với hai đa thức bất khả quy p(x ) q(x )  có bậc n khác khơng sai khác số khác 0, giả sử u, v nghiệm tương ứng đa thức p(x ) q(x )  u  (v ) trường mở rộng  chứa u v Ngoài ra,  u   v  xem không gian vectơ trường số hữu tỉ  chứa u v Nếu xét  u   v  hai khơng gian vectơ chúng đẳng cấu với có số chiều Tuy nhiên, hai trường  u   v  không đẳng cấu với 7.2.4 Xây dựng hệ thống số thực  từ  Có nhiều cách xây dựng hệ thống số thực  từ  cụ thể: - Dùng dãy số hữu tỉ: Đồng dãy số hữu tỉ có hiệu dần tới Mỗi số thực lớp dãy số hữu tỉ 96 - Dùng lát cắt  - Dùng biểu diễn p  phân (chẳng hạn thập phân) Mỗi số thực dạng biểu diễn p  phân (hữu hạn, vơ hạn tuần hồn vơ hạn khơng tuần hồn) - Dùng liên phân số - Dùng phương pháp tiên đề Sách giáo khoa phổ thông giới thiệu tập hợp số thực dựa vào phép hợp tập hợp số hữu tỉ số vô tỉ Mỗi số thực viết dạng số thập phân Các phép toán số học tập hợp số thực thực với dạng biểu diễn số thập phân gần 7.2.5 Xây dựng hệ thống số phức  từ hệ thống số thực  Đây mở rộng đại số  Ta cần ghép thêm nghiệm đa thức x  vào  ta có trường   (i ) Mỗi số phức z viết dạng z  a  bi, với a, b   i  1 Khi phép cộng phép nhân số phức phép cộng nhân biểu thức có dạng a  ib i thay -1 Tập hợp  tất số phức với phép cộng phép nhân lập thành trường Ngoài trường  đa thức bậc lớn hay n có đủ n nghiệm phức Do đó,  trường đóng đại số Khi xét  với chuẩn thích hợp  trường đầy đủ   Mỗi số phức viết dạng đại số, cặp số thực a, b , ma trận, dạng lượng giác hay dạng hàm số mũ Khi đó, phép tốn số học thơng thường thực tương ứng với dạng biểu diễn số phức 7.2.6 Các quan hệ thứ tự tập hợp số Xét tập hợp , , , ,  với quan hệ thứ tự thông thường số ta có: , tập hợp thứ tự tồn phần rời rạc , tập hợp thứ tự toàn phần rời rạc , tập hợp thứ tự toàn phần trù mật , tập hợp thứ tự toàn phần, trù mật đầy đủ Ngoài ra, tập hợp số tự nhiên với quan hệ thứ tự thơng thường , có tính chất đặc biệt với tập hợp khác rỗng số tự nhiên tồn số bé 97 Quan hệ thứ tự tập hợp số tự nhiên quan hệ thứ tự tốt Vành số nguyên vành thứ tự Archimede Trường số hữu tỉ trường thứ tự Archimede không đầy đủ Trường số thực trường thứ tự liên tục Trường số phức  không trường thứ tự 7.3 Sơ lược tập hợp số theo chương trình phổ thơng 7.3.1 Các tập hợp số chương trình tốn tiểu học Trong chương trình toán tiểu học, học sinh giới thiệu khái niệm ban đầu số tự nhiên, số liền trước, số liền sau, số tự nhiên hai số tự nhiên cho trước học số từ đến 9, viết số tự nhiên từ số gồm hai chữ số, đến số có nhiều chữ số dựa vào chữ số từ đến Học sinh biết so sánh số tự nhiên, xếp thứ tự số tự nhiên thành dãy, từ ngầm hình thành đặc điểm dãy số tự nhiên thứ tự rời rạc có số nhỏ khơng có số lớn dãy số tự nhiên Học sinh thành thạo phép toán cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên, chia hết chia có dư, hay thứ tự thực phép tính biểu thức có nhiều dấu tính cộng, trừ, nhân, chia Trong chương trình tốn lớp 4, lớp 5, học sinh giới thiệu cách đọc viết số phân số số thập phân, cộng, trừ, nhân chia số thập phân Chương trình tốn tiểu học thống với bốn mạch nội dung số học, đại lượng đo đại lượng số đại lượng đo thơng dụng kg, lít, mét…, hình học điểm, đường thẳng, đường gấp khúc, tam giác, tứ giác…và giải tốn có lời văn gồm tốn gồm phép tính tốn kết hợp nhiều phép tính Tóm lại, chương trình tốn bậc tiểu học tạo tảng hoàn chỉnh cho học sinh số tự nhiên, dãy số tự nhiên bước đầu giới thiệu giúp học sinh làm quen với số hữu tỉ dương, biểu diễn số hữu tỉ dạng số thập phân 7.3.2 Các tập hợp số chương trình tốn bậc trung học sở Sách giáo khoa tốn trình bày khái niệm tập hợp phần tử tập hợp, phép tốn tập hợp Học sinh ơn tập hồn thiện số tự nhiên, phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với số mũ tự nhiên, tính chia hết tập hợp số tự nhiên, thơng qua dấu hiệu chia hết cho 2, 3, Học sinh làm quen với số nguyên tố, hợp số giới thiệu số nguyên theo hướng mở rộng tập hợp số tự nhiên, hay kéo dài trục số bên trái gốc tọa độ O biểu diễn điểm đối xứng với số tự nhiên trục số Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia tập hợp số tự nhiên mở rộng cho tập hợp số nguyên, học sinh hiểu phép trừ thực với hai số nguyên tùy ý Ngoài ra, sách giáo khoa tốn lớp cịn mở rộng khái niệm phân số mà học sinh học bậc tiểu học, so sánh hai phân số hoàn thiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số, giới thiệu số thập phân, hỗn số phần trăm, tỉ số 98 Trong chương trình tốn lớp 7, học sinh phải thành thạo phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa tập hợp số hữu tỉ, so sánh hai số hữu tỉ, phân thức Nội dung số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn, làm trịn số Học sinh làm quen với khái niệm bậc hai, số vô tỉ từ dẫn đến khái niệm số thực Tóm lại, chương trình tốn lớp hồn tất việc xây dựng tập hợp số từ số tự nhiên đến số thực Các nội dung chương trình tốn lớp lớp không sâu vào việc mở rộng tập hợp số mà củng cố tập hợp số mà học sinh học qua nội dung đa thức, phân thức, phương trình giải phương trình, hàm số, phép biến đổi biểu thức có bậc hai bậc ba Tóm lại, chương trình tốn bậc trung học sở trang bị cho học sinh đầy đủ tính chất tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ Tập hợp số vô tỉ số thực không đề cập sâu mà giới thiệu cách khái quát thông qua việc biểu diễn số dạng thập phân hữu hạn, vơ hạn tuần hồn hay vơ hạn khơng tuần hoàn Học sinh hiểu tập hợp số thực trù mật biểu diễn vơ số điểm trục số Ngoài ra, tập hợp tập hợp số cho trước giới thiệu để học sinh nắm nội dung ban đầu lý thuyết tập hợp 7.3.3 Các tập hợp số chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Sách giáo khoa tốn lớp 10 mở đầu với chương trình với nội dung tập hợp, mệnh đề tập hợp số Bên cạnh mục đích củng cố ôn tập kiến thức tập hợp số chương trình tốn bậc trung học sở, học sinh tiếp cận số khái niệm tập hợp thực tập hợp số thực khoảng, đoạn, nửa đoạn, nửa khoảng như: a;b , (a; ), (;b), [a;b ], [a;b), (a;b ], [a;  ), (;b ], ;  Học sinh củng cố thêm kiến thức phép toán tập hợp phép hợp, giao, hiệu, lấy phần bù, cụ thể tập hợp tập hợp số thực Các tập hợp có vơ số phần tử biểu diễn điểm trục số Các kiến thức hàm số, phương trình, bất phương trình cập nhật theo hướng nâng cao nhằm hoàn thiện kiến thức kỹ toán cho học sinh Tiếp nối nội dung góc lượng giác, hàm số lượng giác tốn lớp 10, chương trình tốn lớp 11 sâu hàm số lượng giác, giải phương trình lượng giác số nội dung giải tích dãy số tìm giới hạn dãy số, đạo hàm, vi phân… Chương trình tốn lớp 12 tiếp tục hoàn thiện kiến thức hàm số, khảo sát tính đồng biến, nghịch biến, cực trị vẽ đồ thị hàm số Học sinh tiếp thu kiến thức từ đến nâng cao lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, nguyên 99 hàm tích phân ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay Nhằm hồn tất việc mở rộng tập hợp số, sách giáo khoa toán lớp 12 đề cập đến bậc hai số âm tập hợp số mới, số phức, chứa tập hợp số thực tập Mỗi số phức biểu diễn dạng đại số gồm phần thực phần ảo Học sinh phải nắm vững phép toán cộng, trừ, nhân, chia lũy thừa, giải phương trình tập hợp số phức Tóm lại chương trình tốn phổ thơng cung cấp cho học sinh đầy đủ tập hợp số, lý phải mở rộng tập hợp số, ngầm hình thành cấu trúc đại số tương ứng tập hợp số tương ứng với phép toán cộng nhân Học sinh trang bị kỹ tính tốn tập hợp số Tuy nhiên, ứng dụng cụ thể tập hợp số cách biểu diễn số tự nhiên qua hệ ghi số khác nhau, chưa giới thiệu nhiều cho học sinh./ 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Tiến Quang (2013) Bài tập số học TP Hồ Chí Minh NXB Giáo dục Trần Diên Hiển – Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Văn Ngọc (2014) Giáo trình lý thuyết số TP Hồ Chí Minh NXB Đại học Sư phạm ... tiết mơn Lý thuyết số tài liệu bố cục thành chương sau: Chương Tập hợp số tự nhiên Chương Tập hợp số nguyên Chương Tập hợp số hữu tỉ Chương Tập hợp số thực Chương Tập hợp số phức Chương Các hệ... AD D Định lý 1.5 A v B C i) Mọi tập hợp tương đương với tập hữu hạn tập hợp hữu hạn ii) Mọi tập hợp tập hợp hữu hạn hữu hạn Mọi tập hợp chứa tập hợp vô hạn tập hợp vô hạn iii) Mọi tập hợp tương... đơn vị 2) Tập hợp  tập hợp vô hạn Bản số tập hợp  gọi lực lượng đếm 3) Nếu tập hợp A tương đương với tập hợp số tự nhiên  A gọi tập hợp đếm 1.2.3 Các phép tốn số tự nhiên Vì phép lấy hợp lấy