Lý thuyết phương trình sai phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——————— HUỲNH KIM TUYẾN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NGÀNH ĐÀO TẠO: TOÁN ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng, 04/2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Lý thuyết phương trình sai phân ứng dụng” cơng trình nghiên cứu độc lập khơng có chép người khác Đề tài sản phẩm mà nỗ lực nghiên cứu trình học tập trường đại học Trong q trình viết có tham khảo số tài liệu có nguồn gốc rõ ràng, hướng dẫn thầy Lê Hải Trung Tôi cam đoan có vấn đề tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm Đà Nẵng, ngày tháng năm 2019 Sinh viên thực Huỳnh Kim Tuyến LỜI CẢM ƠN Bản luận văn tơi hồn thành hướng dẫn trực tiếp TS Lê Hải Trung - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc bảo tận tình đến người thầy dạy giảng viên hướng dẫn - TS Lê Hải Trung Suốt thời gian qua, thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn, giúp đỡ với nhiệt tình, chu tơi hoàn thành luận văn cách tốt Bên cạnh đó, kiến thức tơi cịn hạn chế, q trình làm luận văn, tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy tất thầy Khoa Tốn Tơi xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ tất người tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành nhiệm vụ Mục lục Lời mở đầu CHƯƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Hệ phương trình tuyến tính nghiệm hệ phương trình tuyến tính 1.2 Sai phân hữu hạn 1.3 Một số khái niệm phương trình sai phân 11 1.4 Phương trình sai phân cấp 13 1.5 Phương trình sai phân cấp cao 17 1.6 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n 19 1.7 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 26 1.8 Phương trình sai phân tuyến tính khơng 30 1.9 Phương trình sai phân tuyến tính khơng hệ số với vế phải đặc thù 33 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 36 2.1 Dãy truy hồi.ư, cơng thức tính tổng phần 36 2.2 Áp dụng phương trình sai phân phân tích kinh tế 38 2.3 Mơ hình thị trường có hàng tồn kho 39 2.4 Mơ hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson 41 2.5 Mơ hình kinh tế vĩ mơ lạm phát thất nghiệp với thời gian rời rạc 42 Tài liệu tham khảo 45 LỜI MỞ ĐẦU Có nhiều tượng khoa học kỹ thuật thực tiễn mà việc tìm hiểu dẫn đến tốn giải phương trình sai phân Phương trình sai phân cịn cơng cụ giúp giải tốn vi phân, đạo hàm phương trình đại số tuyến tính Sự đời phương trình sai phân xuất phát từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bên đại lượng biến thiên liên tục với bên lại độ biến thiên đại lượng Đối với hàm thơng thường, nghiệm giá trị số (số thực, số phức, ) Cịn phương trình sai phân, mục tiêu tìm công thức hàm chưa biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề Thơng thường họ nghiệm, sai lệch số C Hàm xác định xác có thêm điều kiện xác định ban đầu điều kiện biên Trong ứng dụng thực tế, khơng dễ dàng để tìm cơng thức hàm nghiệm Với giá trị của thực tiễn ấy, người ta quan tâm tới giá trị hàm giá trị cụ thể biến độc lập Phương trình sai phân nghiên cứu rộng rãi tốn học túy có ứng dụng kinh tế ngành kỹ thuật khác Tuy nhiên nhiều tốn phương trình sai phân mà việc tìm nghiệm phức tạp đơn giản mặt cấu trúc Nói chung khơng có phương pháp chung để giải phương trình sai phân tuyến tính Điều người ta quan tâm nghiên cứu phương trình sai phân tính tồn mơ hình ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Phương trình sai phân phân làm nhiều loại, luận văn trình bày nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính Ở trường trung học phổ thông kỳ thi học sinh giỏi toán xuất nhiều toán hay khó dãy số, giới hạn, số học, phân tích truy hồi, phương trình hàm, cho dạng phương trình sai phân hay có sử dụng phương trình sai phân để giải Chính mà nhiệm vụ tìm hiểu ứng dụng phương trình sai phân tốn phổ thơng xem yêu cầu cấp thiết quan trọng Việc xây dựng có hệ thống kiến thức phương trình sai phân có phân loại dạng phương trình sai phân với tổng hợp phương pháp giải đóng góp tốt hơn, có hiệu cao cho việc định hướng nghiên cứu phát triển tư cho học sinh CHƯƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Hệ phương trình tuyến tính nghiệm hệ phương trình tuyến tính Trong tốn học (cụ thể đại số tuyến tính), hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản hệ phương trình tập hợp phương trình tuyến tính với biến số Hình thức tổng qt hệ phương trình đại số tuyến tính gồm n phương trình tuyến tính với k biến số Định nghĩa 1.1.Một hệ có dạng  a11 x1 + a12 x2 + + a1k xk     a21 x1 + a22 x2 + + a2k xk = b1 = b2 (1.1)      a x + a x + + a x = b n1 n2 nk k n gọi hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn Hệ phương trình (1.1) viết dạng phương trình ma trận A.x = b, với A ma trận chứa hệ số aij (aij phần tử hàng thứ i, cột thứ j ma trận A); x vec-tơ chứa biến xj ; b vec-tơ chứa số bi , tức       a11 a21 a12 a22 a1k a2k an1 an2 ank       .     x1 x2 xn       =     b1 b2 bn       Nếu biến số hệ phương trình tuyến tính nằm trường đại số vơ hạn (ví dụ số thực hay số phức), có ba trường hợp xảy ra: • Hệ vơ nghiệm; • Hệ có nghiệm; • Hệ có vô số nghiệm 1.2 Sai phân hữu hạn Xét hàm số biến thực: y = y(t), t ∈ R (hay t ∈ Z+ ), h > Định nghĩa 1.2 Đại lượng y(t + h) − y(t) = y(t) (1.2) gọi phương trình sai phân hữu hạn cấp hàm số y(t) Ta đặt mặc định hàm y(t) xác định điểm mà ta tiến hành xem xét Chú ý, lý thuyết vi phân h số gia đối số, cịn y(t) số gia hàm số điểm t Mặt khác, số h cịn có tên gọi bước Sai phân hữu hạn cấp cao xác định biểu thức n y(t) = n−1 ( y(t)) (1.3) Ví dụ, n = ta có y(t) = ( y(t)) = y(t + h) − y(t) Đối với n = ta có y(t) = = ( y(t)) (y(t + h) − y(t)) = (y(t + 2h) − y(t + h)) − (y(t + h) − y(t)) = y(t + 2h) − 2y(t + h) + y(t) Ta kí hiệu y(t) = y(t) Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta dễ dàng chứng minh sai phân hữu hạn cấp n tuyến tính, có nghĩa n n (f (t) + g(t)) = n (f (t)) + (Cf (t)) = C n n (f (t)) (g(t)), Giá trị n y(t) khơng khó để biểu diễn qua giá trị hàm y(t) điểm t, t + h, , t + nh Ta có cơng thức sau n n (−1)n−k Cnk y(t + h) y(t) = (1.4) k=0 Chứng minh (Bằng phương pháp quy nạp toán học) Hiển nhiên với n = công thức (1.4) có dạng y(t) = −y(t) + y(t + h) Phương trình đại lượng (1.2) Giả sử (1.4) thỏa mãn sai phân hữu hạn cấp n − Ta có n y(t) = ( n−1 y(t)) n−1 k (−1)n−k−1 Cn−1 y(t + kh) = k=0 n−1 = n−1 (−1) n−k−1 k Cn−1 y(t k (−1)n−k−1 Cn−1 y(t + kh) + (k + 1)h) − k=0 k=0 Ở số hạng thứ nhất, ta đặt m = k + Khi đó, n−1 n (−1) n−k−1 k Cn−1 y(t m−1 (−1)n−m Cn−1 y(t + kh), + (k + 1)h) = m=1 k=0 lại đặt m = k , ta nhận biểu thức n k−1 (−1)n−k Cn−1 y(t + kh) k=1 Khi đó, n−1 n n (−1) y(t) = n−k k−1 Cn−1 y(t k (−1)n−k−1 Cn−1 y(t + kh) + kh) − k=0 k=1 n−1 k−1 n−1 (−1)n−k Cn−1 y(t + kh) + (−1)0 Cn−1 y(t + nh) = k=1 n−1 k (−1)n−k Cn−1 y(t + kh) + k=0 n−1 k−1 n−1 (−1)n−k Cn−1 y(t + kh) + Cn−1 y(t + nh) = k=1 n−1 k (−1)n−k Cn−1 y(t + kh) + (−1)n Cn−1 y(t) + k=1 Mặt khác, ta lại có  C k−1 + C k = C k , n−1 n n−1 C = C n−1 = n−1 n−1 Do đó, cơng thức cuối ta viết dạng n−1 n (−1)n−k Cnk y(t + kh) + (−1)n y(t) y(t) = y(t + nh) + k=1 (1.5) n (−1)n−k Cnk y(t + kh) = k=0 Như vậy, công thức (1.4) chứng minh Chú ý rằng, công thức (1.4) ta thực phép đổi biến số m = n − k sử dụng cơng thức Cnk = Cnn−k , ta nhận n n y(t) = (−1)m Cnm y(t + (n − m)h) m=0 Một cách hoàn toàn tương tự, ta chứng minh công thức n Cnk y(t + nh) = k=0 10 k y(t) (1.6) Khi đó, k Y (t) = Yi (t) i=1 nghiệm riêng (1.38) Tính chất 1.10 Định lý nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính khơng Nếu Y (t) nghiệm riêng phương trình (1.38), z1 (t), z2 (t), , zn (t) hệ nghiệm sở (1.39) nghiệm tổng quát y(t) phương trình sai phân tuyến tính khơng viết dạng: n y(t) = Y (t) + Ci zi (t), i=1 với Ci , i = 1, 2, , n số tùy ý Chứng minh Từ điều kiện định nghĩa nghiệm tổng quát, với giá trị cụ thể Ci = Ci0 , hàm số n Ci0 zi (t) y0 (t) = Y (t) + i=1 nghiệm phương trình sai phân tuyến tính khơng Tính chất 1.8 Bây ta lấy nghiệm riêng Y ∗ (t) phương trình khơng Theo Tính chất 1.7, hiệu Y ∗ (t) − Y (t) nghiệm phương trình tương ứng (1.39) Do theo định lý nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính tồn giá trị Ci∗ , , Cn∗ cho Y ∗ (t) − Y (t) = C1∗ z1 (t) + + Cn∗ zn (t), hay Y ∗ (t) = Y (t) + C1∗ z1 (t) + + Cn∗ zn (t) Như nghiệm riêng Y ∗ (t) nhận từ nghiệm tổng quát với giá trị tùy ý xác định cách 31 Để xây dựng nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính khơng Ly(t) = f (t) (1.38) Ta cần biết nghiệm riêng Y (t) hệ nghiệm bảm phương trình tương ứng Lz(t) = từ (1.39) Định lí 1.8.1 (Lagrange) Giả sử z1 (t), z2 (t), , zn (t) hệ nghiệm (1.39), nghiệm riêng (1.38) tìm dạng n Ck (t)zk (t), Y (t) = (1.40) k=1 C1 (t), , Cn (t) hàm số chưa biết  Ck (t), k = 1, 2, , n tìm từ hệ   z1 (t + 1) C1 (t) + z2 (t + 1) C2 (t) + + zn (t + 1) Cn (t) = 0,     z (t + 2) C (t) + z (t + 2) C (t) + + z (t + 2) C (t) = 0, 1 2 n n       z (t + n) C (t) + z (t + n) C (t) + + z (t + n) C (t) = f (t) 1 2 n n (1.41) sai phân hữu hạn Ví dụ 1.7 Tìm nghiệm phương trình 3t(t + 3) t(t + 3) 2(t + 1)(t + 3) y(t + 1) − y(t) = −4 , y(t + 2) − (t + 2) (t + 1)(t + 2) t+2 33 với điều kiện y(1) = 8, y(2) = Lời giải t+3 Đầu tiên ta chia hai vế phương trình cho ta t+2 2(t + 1) 3t t+2 y(t + 2) − y(t + 1) − y(t) = −4t t+3 t+2 t+1 t Đặt v(t) = y(t) ta nhận t+1 v(t + 2) − 2v(t + 1) − 3v(t) = −4t Giải phương trình sai phân ý điều kiện đầu v(1) = y(1) = 4, 2 v(2) = y(2) = 11, 32 ta nhận v(t) = t + 3t Suy 3t t+1 v(t) = t + + (t + 1) y(t) = t t 1.9 Phương trình sai phân tuyến tính khơng hệ số với vế phải đặc thù Xét phương trình: Ly(t) = y(t + n) + a1 y(t + n − 1) + + an y(t) = f (t), (1.42) với ∈ R, k = 1, 2, , n, an = 0, f (t) = ρt (Qk1 (t) cos ϕt + iQk2 (t) sin ϕt), ρ > 0, (1.43) Qk1 (t) Qk2 (t) đa thức theo t bậc k1 k2 tương ứng Hàm f (t) cho (1.43) gọi hàm đặc thù Phương trình cho giải nhiều cách khác Hơn thế, nghiệm riêng phương trình (1.42) tìm cách đơn giản mà phương pháp biến thiên số Định lí 1.9.1 Giả sử f (t) = Qk (t)λt với λ = 0, λ ∈ C Qk (t) đa thức bậc k theo t Giả sử λ đặc số bội s phương trình đặc trưng phương trình tương ứng (1.42) Khi đó, phương trình (1.42) có nghiệm riêng Y (t) = ts Bk (t)λt Với hệ số Bk (t) xác định phương pháp cân hệ số Hơn thế, nghiệm tìm Định lí 1.9.2 Giả sử vế phải (1.42) có dạng (1.43), k = max {k1 , k2 } λ = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) đặc số bội s phương trình đặc trưng Khi đó, nghiệm riêng (1.42) tìm dạng Y (t) = ts ρt (Uk (t) cos ϕt + Vk (t) sin ϕt), Uk (t) Vk (t) đa thức với cấp nhỏ k 33 (1.44) Chứng minh Biến đổi hàm f (t) công thức (1.43) Ta có: eiϕt − e−iϕt eiϕt + e−iϕt + Qk2 (t) f (t) = ρt Qk1 (t) 2i i i = ρt eiϕt Qk1 (t) − Qk2 (t) + ρt e−iϕt Qk1 (t) + Qk2 (t) 2 2 t ¯ k (t) = λ Qk (t) + λ¯t Q = f1 (t) + f2 (t) Biết hàm f1 (t), f2 (t) có dạng xét Định lý 1.8 Để xây dựng nghiệm riêng Y (t) ta sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm Y (t) = Y1 (t) + Y2 (t), Yi (t) nghiệm riêng phương trình Ly(t) = fi (t), i = 1, Mặt khác, Y1 (t) tìm theo Định lý 8.1 cách dạng Y1 (t) = ts Bk (t)λt Do f¯2 (t) = f1 (t), hệ số ak phương trình (1.42) số thực nên Y¯2 (t) = Y1 (t) nghiệm phương trình Ly(t) = f2 (t) Việc lại ta cần chứng tỏ tổng Y1 (t) + Y¯1 (t) biến đổi dạng (1.44) Ta có Y1 (t) + Y¯1 (t) = 2ReY1 (t) = 2ts Re(Bk (t)λt ) = 2ts Re (ReBk (t) + iImBk (t))ρt (cos ϕt + i sin ϕt) = 2ts ρt ReBk (t) cos ϕt − ImBk (t) sin ϕt = ts ρt Uk (t) cos ϕt + Vk (t) sin ϕt Như vậy, Định lý 1.9.2 chứng minh Ví dụ 1.8 Giải phương trình y(t + 2) − 3y(t + 1) + 2y(t) = 2t + 34 Lời giải Từ toán, ta viết nghiệm phương trình đặc trưng λ2 − 3λ + = có hai nghiệm phân biệt λ1 = λ2 = Do λ1 (t) = 1, λ2 (t) = 2t hình thành nên hệ nghiệm phương trình tương ứng Vế phải phương trình cho f (t) = 2t + có dạng đặc biệt xét Từ Định lý 1.9.2, nghiệm riêng phương trình tìm dạng Y (t) = t(at + b) = at2 + bt, k = 1, s = Tiếp theo, ta có a(t + 2)2 + b(t + 2) − 3[a(t + 1)2 + b(t + 1)] + 2at2 + 2bt = 2t + Ta tiến hành cân hai vế  hệ thức cuối ta thu a = −1, b = −2 đó, nghiệm riêng tìm Y (t) = −t2 − 2t Đến nghiệm phương trình cho y(t) = −t2 − 2t + C1 + C2 2t 35 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 2.1 Dãy truy hồi.ư, cơng thức tính tổng phần Định nghĩa 2.1 Dãy u1 , u2 , , un gọi dãy truy hồi cấp k , tồn số a1 , a2 , , ak (ak = 0) cho un+k = a1 un+k−1 + a2 un+k−2 + + ak un , (n ≥ 1) (2.1) Như dãy truy hồi số hạng, số thứ tự thứ k + biểu diễn qua k số lượng phần tử đứng trước Dễ thấy rằng, dãy truy hồi cấp k xác đinh cách nhất, k phần tử u1 , u2 , , uk dãy cho trước Thực tế cho thấy rằng, để tính phần tử phía sau dãy truy hồi ta cần quay ngược lại đến phần tử đứng trước Ví dụ 2.1 Xét cấp số nhân với cơng bội q Khi đó, phần tử thứ q un phương trình (2.1) có dạng un = qun−1 ⇔ un+1 = qun Cấp số nhân gọi dãy truy hồi cấp Ví dụ 2.2 Từ định nghĩa, cấp số cộng có dạng un+1 = un + d, quan hệ dạng (2.1) Mặt khác, từ hai đẳng thức un+2 = un+1 + d, un+1 = un + d ta có un+2 = 2un+1 − un Như dãy cấp số cộng gọi dãy truy hồi cấp hai 36 Ví dụ 2.3 Tính tổng n i(−1)i Sn = i=1 Lời giải Ta có số hạng un = n(−1)n nghiệm phương trình un+2 + 2un+1 + un = 0, nghiệm tổng quát phương trình có dạng un = C1 (−1)n + C2n (−1)n Các đa thức đặc trưng P (λ) Q(λ) có dạng P (λ) = λ2 + 2λ + 1, Q(λ) = (λ − 1)(λ2 + 2λ + 1) = λ3 + λ2 − λ − Dãy S − n nghiệm phương trình Sn+3 + Sn+2 − Sn+1 − Sn = Do đó, Sn nhận từ cơng thức tổng quát Sn = C1 + C2 (−1)n + C3 n(−1)n , với số giá trị C1 , C2 , C3 Các giá trị hồn tồn xác định ta cho giá trị ban đầu ví dụ S0 = 0, S1 = −1, S2 = Từ ta có hệ phương trình   C + C2 =0,   C1 − C2 − C3 = − 1,    C1 + C2 + 2C3 =1 Giải hệ ta thu    , C = −     C2 = ,      C3 = 37 (2.2) Như vậy, n i=1  k, nun = 2k i i(−1) = −(2k + 1) + k = −k − 1, nun = 2k + Ví dụ 2.4 Tính tổng n iai , a = Sn = i=1 Lời giải Cách Ta có n n i ia = i=1 i=1 ai+1 − i a−1 = a−1 n i i=1 i = a−1 n+1 n ai+i − i=1 a2 (1 − an ) n=1 = (n + 1)a −a− a−1 a−1 n+1 n+2 (n + 1)a a a = − + a−1 (a − 1)2 (a − 1)2 2.2 Áp dụng phương trình sai phân phân tích kinh tế Trong mục này, phương trình sai phân tuyến tính cấp áp dụng để nghiên cứu kiểu thay đổi tương tác biến kinh tế liên quan nhằm tìm quỹ đạo thời gian chúng Từ đó, kết luận đưa việc biến kinh tế có hội tụ mức cân ổn định động hay không Để nghiên cứu cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp một, xét ví dụ sau đây: x(t + 1) + 15x(t) = 38 (2.3) Ta tìm nghiệm riêng phương trình (2.3) là: x(t) = Chú ý Nếu cách tìm nghiệm riêng khơng cho ta đáp số cần tìm nghiệm riêng dạng: x(t) = kt Để tìm nghiệm bù (2.3), xét dạng nghiệm sau: x(t) = mbt , với b = Lúc đó, x(t + 1) = mbt+1 Thay biểu thức vào phương trình tương ứng với phương trình (2.3) x(t + 1) + 15x(t) = (2.4) Thay x(t + 1) = mbt+1 x(t) = mbt vào (2.4), ta có mbt+1 + 15mbt = Do b = −15, suy x(t) = m(−15)t Vậy nghiệm tổng quát phương trình (2.3) là: x(t) = m(−15)t + Trong ví dụ này, b = −15 nên đường quỹ đạo thời gian xt phân kì có dạng dao động tuần hồn khuếch đại Trong trường hợp tổng quát, đường quỹ đạo thời gian biến kinh tế x(t) đồng thời hội tụ phân kì 2.3 Mơ hình thị trường có hàng tồn kho Trong mơ hình này, ta xét giả thiết sau: Cả lượng cầu Qdt lượng cung Qst hàm tuyến tính "không trễ" P (t), α+γ δ t α+γ P (t) = P0 − − + β+δ β β+δ Việc điều chỉnh giá xảy không thông qua đáp ứng cân cung cầu thị trường thời điểm, mà thông qua việc người bán đặt giá trị phụ thuộc vào lượng hàng tồn kho Nếu lượng hàng tồn kho dương (hàng dư từ chu kì trước) giá điều chỉnh thấp xuống 39 ngược lại Sự điều chỉnh giá người bán ấn định chu kì tỉ lệ nghịch với lượng hàng tồn kho cịn lại từ chu kì trước Với giả thiết trên, có phương trình sai phân sau: Qdt = α − βP (t) (∀α, β > 0), (2.5) Qst = −γ + δP (t) (∀γ, δ > 0), (2.6) P (t + 1) = P (t) − σ(Qst − Qdt ) (∀σ > 0), (2.7) Qdt = Qst (2.8) Phương trình (2.7) có nghĩa là: giá hàng giai đoạn sau phụ thuộc vào giá hàng giai đoạn trước có điều chỉnh dựa vào hệ số σ lượng hàng tồn kho Thế phương trình (2.5) (2.6) vào (2.7), có: P (t + 1) − [1 − σ(β + δ)]P (t) = σ(γ + α) α+γ α+γ Do P (t) = P (0) − (1 − σ(β + δ))t + β+δ β+δ Suy P (t) = [P (0) − P¯ ](1 − σ(β + δ))t + P¯ Như vậy, tính ổn định động mức giá cân P¯ (hay cịn gọi bình ổn giá) phụ thuộc vào biểu thức b = − σ(β + δ) Dễ thấy, điều kiện bình ổn giá là: −1 < b = − σ(β + δ) < Khi b = giá khơng có biến động ln giữ mức cân P¯ Ngồi ra, ta nhận thấy β+δ ⇐⇒ quỹ đạo thời gian P (t) không dao động hội tụ −1 < b < ⇐⇒ β+δ < b < ⇐⇒ < σ < 40 ⇐⇒ quỹ đạo thời gian P (t) dao động khuếch đại khơng hội tụ 2.4 Mơ hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson Giả sử thu nhập quốc dân bao gồm phần chi phí: dành cho tiêu dùng quốc dân, cho đầu tư cho máy nhà nước Tiêu dùng quốc dân thời điểm (chu kì) t phụ thuộc vào mức thu nhập quốc dân thời điểm (chu kì) trước (t − 1) Cịn lượng đầu tư thời điểm t giả sử tỉ lệ định lượng tăng tiêu dùng thời điểm so với thời điểm trước Nếu lượng tiêu dùng tăng lượng đầu tư giả sử tăng lên Ngoài ra, giả sử chi phí cho máy nhà nước coi biến ngoại sinh Từ giả thiết trên, có phương trình sai phân sau đây: Y (t) = C(t) + I(t) + G(0), (2.9) C(t) = γY (t − 1), (∀0 < γ < 1), (2.10) C(t) = α(C(t) − C(t − 1)), (∀α > 0), (2.11) đó, Y : Thu nhập quốc dân, C : Tiêu dùng quốc dân, I : Đầu tư (tái đầu tư), G(0): Chi phí cho máy nhà nước, α: Nhân tử tăng tốc (cho tái đầu tư), γ : Khuynh hướng tiết kiệm biên Ta lấy (2.10) thay vào (2.11), ta được: I(t) = α(C(t) − C(t − 1)) = α(γY (t − 1) − γY (t − 2)) = αγ(Y (t − 1) − Y (t − 2)) Sau đó, thay (2.10) (2.12) vào (2.9) ta nhận được: Y (t) = γY (t − 1) + αγ(Y (t − 1) − Y (t − 2)) + G(0) ⇔ Y (t) − γ(1 + α)Y (t − 1) + αγY (t − 2) = G(0) 41 (2.12) 2.5 Mơ hình kinh tế vĩ mơ lạm phát thất nghiệp với thời gian rời rạc Để phân tích đường biến động giá lạm phát, ta xét phương trình sau đây: p(t) = α − T − βU (t) + hπ(t) (∀α, β > 0, < h ≤ 1), (2.13) π(t + 1) − π(t) = j(p(t) − π(t)) (∀0 < j ≤ 1), (2.14) U (t + 1) − U (t) = −k(m − p(t + 1)) (∀k > 0) (2.15) Từ (2.13) ta suy p(t + 1) = α − T − βU (t + 1) + hπ(t + 1) (2.16) Theo (2.13), (2.14) (2.15) ta suy p(t + 1) − p(t) = kβ(m − p(t + 1)) + hj(p(t) − π(t)) (2.17) Cần khử π(t) phương trình (2.17) Từ (2.13) ta có hπ(t) = p(t) − α + T + βU (t) (2.18) Thay vào (2.17) ta nhận p(t+1)−p(t) = kβ(m−p(t+1))+hjp(t)−j(p(t)−α+T +βU (t)) (2.19) ⇔ p(t + 2) − p(t + 1) =kβ(m − p(t + 2)) + hjp(t + 1) (2.20) − j(p(t + 1) − α + T + βU (t + 1)) Lấy (2.19) trừ (2.20) ta có −p(t + 2) + 2p(t + 1) − p(t) =kβ(p(t + 2) − p(t + 1)) + hj(p(t) − p(t + 1)) (2.21) + jβ[−k(m − p(t + 1))] Do (1 + kβ)p(t + 2) + (−kβ − hj + j + kjβ − 2)p(t + 1) + (1 + hj − j)p(t) = jβkm 42 (2.22) Như vậy, cuối ta có + hj + (1 − j)(1 + kβ) p(t + 2) − p(t + 1) + kβ jβkm − j(1 − h) p(t) = + + kβ + kβ (2.23) Đây phương trình sai phân cấp hai p (p tốc độ tăng trường giá cả) 43 KẾT LUẬN Luận văn hệ thống lại kiến thức lý thuyết phương trình sai phân như: định nghĩa sai phân, phân loại phương trình sai phân cấp một; lý thuyết để xây dựng cấu trúc nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Trên sở ta xây dựng nghiệm phương trình sai phân tuyến tính khơng dạng tổng nghiệm riêng nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính tương ứng Trình bày phương pháp để xác định nghiệm phương trình sai phân tuyến tính khơng với vế phải đặc thù Trong Chương 2, luận văn trình bày số ứng dụng phương trình sai phân việc tính tổng dãy truy hồi mà chất phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Giới thiệu số mơ hình kinh tế mơ tả dạng phương trình sai phân hệ phương trình sai phân theo biến thời gian: mơ hình thị trường có hàng tồn kho, mơ hình thu nhập quốc dân với nhân tử tăng tốc Samuelson, mơ hình kinh tế vĩ mơ lạm phát thất nghiệp với thời gian rời rạc Với thời gian nghiên cứu khả có hạn, chắn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi hy vọng nhận đóng góp ý kiến từ thầy để luận văn hồn thành cách tốt Cuối xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Ban Chủ nhiệm Khoa thầy Khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Saber Elaydi (2001), An Introduction toDifference Equations, Trinity University, San Antonio, Texas 78212, USA [2] Lin, C.C and Segel, L.A (1988), Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Philadelphia: SIAM [3] Nguyễn Hải Thanh (2008), Các phương pháp toán kinh tế, Trường Đại học Nông Nghiệp Hà Nội 45 ... niệm phương trình sai phân 11 1.4 Phương trình sai phân cấp 13 1.5 Phương trình sai phân cấp cao 17 1.6 Phương trình sai phân. .. Đây phương trình sai phân cấp hai p (p tốc độ tăng trường giá cả) 43 KẾT LUẬN Luận văn hệ thống lại kiến thức lý thuyết phương trình sai phân như: định nghĩa sai phân, phân loại phương trình sai. .. tìm hiểu dẫn đến tốn giải phương trình sai phân Phương trình sai phân cịn cơng cụ giúp giải tốn vi phân, đạo hàm phương trình đại số tuyến tính Sự đời phương trình sai phân xuất phát từ việc xác