Hình học xạ ảnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM HÌNH HỌC XẠ ẢNH LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 02 - 2019 Giáo trình tài liệu giảng dạy "Hình học xạ ảnh", tác giả Lê Ngọc Quỳnh, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày / / Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường thông qua ngày / / Tác giả biên soạn Trưởng đơn vị Trưởng môn Hiệu trưởng AN GIANG, 02 - 2019 LỜI CẢM ƠN Tài liệu giảng dạy thực trường Đại học An Giang Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm mơn Tốn phịng ban chức trường Đại học An Giang anh chị, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tài liệu Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho tài liệu Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân ln tin tưởng, thương yêu, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình thực tài liệu giảng dạy An Giang, tháng năm 2019 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh i LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy riêng tơi Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng An Giang, tháng năm 2019 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh ii MỤC LỤC Chương Không gian xạ ảnh 1.1 Định nghĩa không gian xạ ảnh 1.2 Các mơ hình khơng gian xạ ảnh 1.2.1 Mơ hình vectơ 1.2.2 Mơ hình số học 1.2.3 Mơ hình bó 1.2.4 Mơ hình affine 1.3 Tọa độ xạ ảnh mục tiêu xạ ảnh 1.3.1 Hệ điểm độc lập 1.3.2 Mục tiêu xạ ảnh 1.3.3 Tọa độ xạ ảnh 1.3.4 Công thức đổi mục tiêu xạ ảnh 10 1.4 Phương trình phẳng không gian xạ ảnh 11 1.4.1 Phương trình tham số m-phẳng xạ ảnh 11 1.4.2 Phương trình tổng quát m-phẳng xạ ảnh 12 1.4.3 Các m-phẳng tọa độ 14 1.4.4 Phương trình tổng quát siêu phẳng Pn 16 1.5 Vị trí tương đối phẳng Pn 18 1.5.1 Sự cắt chéo phẳng xạ ảnh 19 1.5.2 Công thức số chiều tổng giao phẳng xạ ảnh 19 1.5.3 Hệ siêu phẳng độc lập 19 1.6 Tỉ số kép 22 1.6.1 Tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng 22 1.6.2 Tỉ số kép chùm bốn siêu phẳng 24 1.6.3 Hình bốn đỉnh tồn phần - Hình bốn cạnh tồn phần 27 1.6.4 Tọa độ xạ ảnh không 30 iii 1.7 Nguyên tắc đối ngẫu không gian xạ ảnh 32 1.7.1 Khái niệm đối ngẫu 33 1.7.2 Nguyên tắc đối ngẫu 35 1.8 Ánh xạ xạ ảnh - Biến đổi xạ ảnh 36 1.8.1 Ánh xạ xạ ảnh phép biến đổi xạ ảnh 36 1.8.2 Phép biến đổi xạ ảnh 38 1.8.3 Phương trình phép biến đổi xạ ảnh 39 1.8.4 Điểm kép hay điểm bất động phép biến đổi xạ ảnh 42 1.8.5 Các phép thấu xạ 44 1.8.6 Phép chiếu xuyên tâm 45 1.8.7 Nhóm phép biến đổi xạ ảnh hình học xạ ảnh 47 1.9 Siêu mặt bậc hai 48 1.9.1 Khái niệm siêu mặt bậc hai 48 1.9.2 Dạng chuẩn tắc phân loại siêu mặt bậc hai 49 1.9.3 Phân loại xạ ảnh siêu mặt bậc hai 50 1.10 Cực siêu phẳng đối cực 54 1.10.1 Cực siêu phẳng đối cực 54 1.10.2 Giao điểm siêu mặt bậc hai với đường thẳng 57 Bài tập 64 Chương Các định lý đường bậc hai xạ ảnh 80 2.1 Ánh xạ xạ ảnh 80 2.1.1 Ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm 80 2.2 Định lý Steiner 86 2.2.1 Định lý Steiner đối ngẫu 86 2.2.2 Cách xác định đường ôvan mặt phẳng xạ ảnh 89 iv 2.3 Định lý Pascal - Định lý Brianchon 90 2.3.1 Định lý Pascal - Định lý Brianchon 90 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt định lý Pascal Brianchon 91 2.4 Định lý Fregier 94 2.5 Định lý Desargues 97 Bài tập 99 Chương Mơ hình xạ ảnh không gian affine không gian Euclide 103 3.1 Mơ hình affine khơng gian xạ ảnh 103 3.2 Mơ hình xạ ảnh khơng gian affine 104 3.2.1 Xây dựng mơ hình An từ Pn 104 3.2.2 Một số thể mơ hình 105 3.2.3 Vài áp dụng mơ hình 116 3.3 Sự liên hệ hình học xạ ảnh hình học affine 122 3.3.1 Từ kết hình học xạ ảnh suy kết hình học affine 123 3.3.2 Từ kết hình học affine suy kết hình học xạ ảnh 123 3.3.3 Từ định lý hình học affine suy định lý khác hình học affine 124 3.4 Mơ hình xạ ảnh không gian Euclide 124 3.4.1 Xây dựng mơ hình En từ Pn 124 3.4.2 Cái tuyệt đối không gian xạ ảnh Pn 125 3.4.3 Vài khái niệm hình học Euclide thể mơ hình 125 3.4.4 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Euclide 129 3.5 Các nhóm nhóm phép biến đổi xạ ảnh 131 3.6 Phức hóa không gian xạ ảnh thực 132 Bài tập 135 v Tài liệu tham khảo 144 vi LỜI NĨI ĐẦU Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư Phạm nước Mục đích mơn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan loại hình học mối quan hệ chúng Đồng thời, hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số tốn thuộc chương trình phổ thơng Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải sáng tạo tốn hình học affine việc ứng dụng định lý đường bậc hai xạ ảnh vào giải toán đồng quy, thẳng hàng, quỹ tích, dựng hình tốn liên quan đến hình học phẳng vấn đề mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho sinh viên học mơn hình học xạ ảnh để hiểu rõ vận dụng công tác giảng dạy sau Nhằm giúp sinh viên hiểu biết sâu hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng vào chương trình phổ thơng, chúng tơi biên soạn tài liệu giảng dạy Tài liệu trình bày gồm ba chương: Chương I: Không gian xạ ảnh Chương II: Những định lý đường bậc hai xạ ảnh Chương III: Mơ hình xạ ảnh khơng gian affine không gian Euclide Tác giả hi vọng tài liệu bổ ích bạn sinh viên theo học khoa Toán trường Đại học Sư phạm Sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ngành Toán dùng tài liệu làm tài liệu tham khảo, đặc biệt giáo viên Toán trường trung học phổ thơng dùng tài liệu để ôn tập củng cố kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn chắn tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu chân tình q đồng nghiệp bạn đọc để tài liệu hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn An Giang, tháng năm 2019 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh CHƯƠNG KHƠNG GIAN XẠ ẢNH Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư Phạm nước Mục đích mơn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan loại hình học mối quan hệ chúng Việc nghiên cứu hình học phương pháp nhóm giúp phân biệt khái niệm affine, khái niệm Euclide khái niệm xạ ảnh hình học đồng thời giúp tìm mối liên hệ mật thiết ba thứ hình học affine, Euclide xạ ảnh Đồng thời, thông qua việc làm này, hiểu rõ nội dung cấu trúc chương trình hình học trường phổ thơng Nhờ công cụ đại số học, có nhiều điều kiện phương tiện để nghiên cứu hình học cách đầy đủ xác Trong giới hạn nội dung Chương 1, tìm hiểu kiến thức khơng gian xạ ảnh làm tiền đề nghiên cứu nội dung chương sau Chương viết chủ yếu dựa tài liệu N.M.Hy (2000), N.M.Hy (2007) K.Q.Anh cs (1984) 1.1 ĐỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Cho V n+1 K - không gian vectơ n + chiều (n ≥ 0) Ta kí hiệu [V n+1 ] tập hợp tất không gian chiều V n+1 nghĩa phần tử [V n+1 ] không gian V V n+1 Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp X = ∅, K-không gian vectơ n + chiều V n+1 Khi có song ánh p : [V n+1 ] → X ba (X, p, V n+1 ) gọi không gian xạ ảnh n chiều trường K, liên kết với K-không gian vectơ V n+1 song ánh p kí hiệu Pn Nếu K = R Pn gọi khơng gian xạ ảnh thực Nếu K = C Pn gọi không gian xạ ảnh phức Trong tài liệu này, khơng nói thêm, ta xét khơng gian xạ ảnh thực Mỗi phần tử Pn gọi điểm không gian xạ ảnh Pn Với → − → − − − − u ∈ V n+1 → u = → u ∈ [V n+1 ] Khi p ( → u ) = U ∈ Pn ta nói − vectơ → u vectơ đại diện điểm U Nếu có hai vectơ khác vectơ khơng đại diện cho điểm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính Như vậy, điểm khơng gian xạ ảnh Pn ảnh không gian → − − V sinh vectơ → x = V n+1 qua song ánh p Nếu V m+1 không gian vectơ V n+1 (0 ≤ m ≤ n) tập hợp p([V m+1 ]) X gọi m-phẳng xạ ảnh không gian xạ ảnh Pn Ta đặt X = p([V m+1 ]) b) Đường tròn đường trái xoan S cắt đường thẳng vô tận ∆ hai điểm cyclic I, J c) Đường hyperbol vuông đường trái xoan S cắt ∆ hai điểm M, N cho (M N IJ) = −1 Các tiếp tuyến S M, N đường tiệm cận hyperbol Các tiếp tuyến cắt O tâm hyperbol d) Đường parabol đường trái xoan S tiếp xúc với đường thẳng ∆ U Gọi T điểm ∆ cho (U T IJ) = −1 Gọi U M đường đối cực T S Như U M trục đối xứng parabol ta có M T ⊥M U (U T IJ) = −1 Các đường thẳng qua U biểu thị đường thẳng song song với trục M U M đỉnh parabol Các tiếp tuyến xuất phát từ I J cắt tiêu điểm F Đường đối cực F đường thẳng d qua T biểu thị cho đường chuẩn parabol 130 e) Đường elip đường trái xoan S không cắt đường thẳng vô tận ∆ Từ điểm M ∆ ta dựng hai tiếp tuyến tiếp xúc với S A B, ta có AB đường kính elip Tương tự, từ điểm N = M ∆ ta dựng đường kính khác CD elip Điểm O = AB ∩ CD biểu thị cho tâm elip Như đường thẳng ∆ đường đối cực điểm O S 3.5 CÁC NHÓM CON CỦA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH Gọi Kn nhóm phép biến đổi xạ ảnh Pn hình học xạ ảnh hình học nhóm Kn Nếu Pn ta chọn siêu phẳng Pn−1 làm siêu phẳng vơ tận phép biến đổi xạ ảnh giữ nguyên Pn−1 làm thành nhóm nhóm Kn Nhóm đẳng cấu với nhóm phép biến đổi affine An không gian affine An = Pn \ Pn−1 131 Nếu xét tập hợp phép biến đổi xạ ảnh giữ nguyên Pn−1 giữ nguyên tuyệt đối T tập hợp làm thành nhóm đẳng cấu với nhóm phép đồng dạng En Tóm lại ta có: nhóm xạ ảnh ⊃ nhóm affine ⊃ nhóm đồng dạng ⊃ nhóm dời hình học xạ ảnh ⊂ hình học affine ⊂ hình học đồng dạng ⊂ hình học Euclide Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm giúp thấy liên quan thứ hình học: xạ ảnh, affine, Euclide Đồng thời, thông qua việc làm này, hiểu rõ nội dung cấu trúc chương trình hình học trường phổ thơng Nhờ công cụ đại số học, có nhiều điều kiện phương tiện để nghiên cứu hình học cách đầy đủ xác 3.6 PHỨC HĨA MỘT KHƠNG GIAN XẠ ẢNH THỰC Định nghĩa 3.1 Giả sử Pn (C) mơ hình số học không gian xạ ảnh phức n chiều Pn (C) Một điểm Pn (C) lớp (x1 , x2 , · · · , xn+1 ) số phức không đồng thời tỉ lệ với số phức (x1 , x2 , · · · , xn+1 ) theo hệ số tỉ lệ khác Điểm gọi điểm thực lớp (x1 , x2 , · · · , xn+1 ) có số mà thành phần thực, điểm mà không thực gọi điểm ảo Bây cho không gian xạ ảnh thực Pn (R) với mục tiêu {Ai ; E}i=1,··· ,n+1 Lấy hệ tọa độ thực {Ai ; E }i=1,··· ,n+1 Pn (C) lập ánh xạ f : Pn (R) → Pn (C) theo quy tắc sau: Nếu điểm X thuộc Pn (R) có tọa độ (x1 , · · · , xn+1 ) mục tiêu {Ai ; E}i=1,··· ,n+1 điểm f (X) thuộc Pn (C) có tọa độ mục tiêu {Ai ; E }i=1,··· ,n+1 (x1 : · · · : xn+1 ) 132 Rõ ràng f đơn ánh, đồng hóa Pn (R) với f (Pn (R)) ⊂ Pn (C) Ký hiệu Pn (R) sau đồng hóa Pn (R) quy ước gọi điểm Pn (R) = f (Pn (R)) điểm thực Pn (R) Mỗi điểm không thực Pn (R) (tức điểm thuộc Pn (C)\Pn (C)) gọi điểm ảo Pn (R) Hai điểm (x1 , x2 , · · · , xn+1 ) (y1 , y2 , · · · , yn+1 ) Pn (R) gọi phức liên hợp có số k = cho xi = kyi , i = 1, · · · , n + Hai điểm ảo Pn (R) mà phức liên hợp gọi hai điểm ảo liên hợp Hai m-phẳng Pn (R) gọi phức liên hợp chúng tổng hai m + điểm độc lập đôi phức liên hợp với Ta thường ký hiệu phẳng phức liên hợp với phẳng α α Hai phẳng ảo mà phức liên hợp với gọi hai phẳng liên hợp Rõ ràng khái niệm thực, ảo, phức liên hợp, ảo liên hợp trình bày không thay đổi ta chuyển mục tiêu thực {Ai ; E} sang mục tiêu thực khác Pn (R) Ta gọi không gian xạ ảnh Pn (R) khơng gian xạ ảnh thực có bổ sung thêm phần tử ảo hay không gian mở rộng Pn (R) cho Định lý 3.4 Nếu m-phẳng xác định m + điểm độc lập, điểm thực đơi ảo liên hợp với m-phẳng thực Chứng minh: Giả sử {M0 , Mi }i=1,··· ,n m + điểm độc lập điểm thực đôi ảo liên hợp với Nếu Mi Mj hai điểm ảo liên hợp với ta thay chúng hai điểm Mi Mj cho: [Mi ] = [Mi ] + [Mj ]; [Mj ] = [Mi ] − [Mj ] Rõ ràng hai điểm Mi Mj hai điểm thực Như vậy, ta hệ m + điểm {M0 , Mi } điểm thực Dễ dàng thấy hệ điểm {M0 , Mi } hệ điểm độc lập m-phẳng cho qua m + điểm độc lập nên m-phẳng thực Hệ 3.1 Qua hai điểm ảo liên hợp xác định đường thẳng thực Hệ 3.2 Qua điểm ảo kẻ đường thẳng thực Định lý 3.5 Nếu m-phẳng giao n − m siêu phẳng thực đơi ảo liên hợp m-phẳng thực 133 Chứng minh: Sinh viên tự chứng minh Hệ 3.3 Giao hai siêu phẳng ảo liên hợp (n − 2)-phẳng thực Hệ 3.4 Mỗi siêu phẳng ảo ln chứa (n − 2)-phẳng thực Định lý 3.6 Nếu (ABCD) = −1 A, B hai điểm ảo liên hợp C điểm thực D điểm thực Nếu (P QRS) = −1 P, Q hai siêu phẳng ảo liên hợp cịn R siêu phẳng thực S siêu phẳng thực Chứng minh: Sinh viên tự chứng minh 134 BÀI TẬP Chứng minh định lý Papus cách dùng mơ hình xạ ảnh khơng gian affine Chứng minh định lý Desargue cách dùng mơ hình xạ ảnh khơng gian affine Trong mặt phẳng affine cho ba điểm L1 , L2 , L3 nằm ba cạnh A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 tam giác A1 A2 A3 cho trước Chứng minh điều kiện cần đủ để ba điểm L1 , L2 , L3 thẳng hàng là: (L1 A2 A3 ).(L2 A3 A1 ).(L3 A1 A2 ) = Trong mặt phẳng affine cho ba điểm L1 , L2 , L3 nằm ba cạnh A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 tam giác A1 A2 A3 cho trước Chứng minh điều kiện cần đủ để ba đường thẳng A1 L1 , A2 L2 , A3 L3 đồng quy là: (L1 A2 A3 ).(L2 A3 A1 ).(L3 A1 A2 ) = −1 Trong mặt phẳng affine cho hai đường thẳng a b song song với Ta lấy hai điểm A B đường thẳng a điểm P không thuộc a a) Bằng cách dùng thước dựng trung điểm I đoạn thẳng AB b) Cũng dùng thước, dựng đường thẳng qua P song song với a Trong mặt phẳng xạ ảnh cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng đường thẳng d khơng qua điểm Gọi Bij = d ∩ Ai Aj với i, j = 1, 2, 3, i = j Gọi Cij điểm liên hiệp điều hòa với Bij Ai Aj a) Chứng minh C12 , C14 , B24 thẳng hàng Bằng cách chứng minh tương tự, ba điểm thẳng hàng khác b) Chứng minh ba đường thẳng C12 C34 , C13 C24 , C14 C23 đồng quy Trong mặt phẳng affine cho hình bình hành ABCD Từ điểm M tùy ý cạnh AB ta dựng đường thẳng a cắt cạnh BC N từ điểm Q tùy ý cạnh AD ta dựng đường thẳng b song song với a cắt cạnh CD P Các đường thẳng M P, N Q hình thang M N P Q cắt O Chứng minh O, B, D thẳng hàng 135 Trong mặt phẳng affine cho tam giác A1 A2 A3 Một đường thẳng d khơng qua đỉnh tam giác cắt đường thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 P1 , P2 , P3 Ta gọi B1 điểm đối xứng A1 qua trung điểm đoạn P2 P3 , B2 điểm đối xứng A2 qua trung điểm đoạn P3 P1 B3 điểm đối xứng A3 qua trung điểm đoạn P1 P2 Chứng minh ba điểm B1 , B2 , B3 thẳng hàng Trong mặt phẳng affine cho hình thang A1 A2 B1 B2 với hai đáy A1 A2 B1 B2 Qua đỉnh A1 B1 ta vẽ đường thẳng song song a1 b1 , qua đỉnh A2 B2 ta vẽ đường thẳng song song a2 b2 cho a1 a2 không song song Chứng minh ba điểm A1 B1 ∩ A2 B2 , a1 ∩ a2 b1 ∩ b2 thẳng hàng Dùng mơ hình affine P2 thực mặt phẳng thơng thường E2 để giải tốn hình học sơ cấp sau đây: 10 Trong mặt phẳng thông thường cho đường tròn (G) tâm O, điểm P ∈ / (G) đường thẳng biến thiên qua P cắt (G) hai điểm A, B Đường thẳng (d) qua P vng góc với OP Hai tiếp tuyến với (G) A, B cắt (d) M, M Chứng minh P trung điểm M M 11 Cho tam giác ABG có A, B cố định cịn G biến thiên đường thẳng (d) khơng qua A, B Tìm quỹ tích trực tâm tam giác 12 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b điểm A thuộc a điểm D không thuộc a, b Một đường thẳng biến thiên qua D, cắt a M cắt b N Tìm quỹ tích đường thẳng qua M vng góc với AN 13 Chứng minh ba đường cao tam giác đồng quy 14 Chứng minh mặt phẳng Euclide hai đường phân giác góc hợp thành hai đường thẳng a, b với a, b làm thành chùm điều hòa 15 Hãy diễn tả khái niệm sau mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Euclide: a) Hình chữ nhật b) Hình vng c) Hình tam giác cân d) Đường trịn với đường kính tâm đường trịn e) Đường elip với tâm hai trục elip Áp dụng định lý Desargue thứ mơ hình affine để giải tốn dựng hình sau: 136 16 Trong mặt phẳng thông thường cho tam giác ABC điểm P, Q, R nằm đường thẳng a Hãy dựng tam giác XY Z cho đỉnh X, Y, Z nằm tương ứng cạnh BC, CA, AB cạnh Y Z, XZ, XY qua điểm P, Q, R 17 Trong mặt phẳng thông thường cho hai đường thẳng a, b giao điểm S không thuộc vẽ cho điểm C, C ∈ / a, C ∈ / b Hãy dựng đường thẳng CS 18 Trong mặt phẳng thông thường cho hai đường thẳng song song a, b điểm C không nằm chúng Chỉ dùng thước kẻ dựng qua C đường thẳng song song với a b 19 Trong mặt phẳng thông thường cho hai điểm A, B đường thẳng c không qua A B Hãy dựng giao điểm c với đường thẳng AB mà không kẻ đường thẳng AB 20 Trong mặt phẳng thơng thường cho hình bình hành, đường thẳng a điểm C không thuộc a Chỉ dùng thước kẻ, dựng qua C đường thẳng song song với đường thẳng a 21 Cho bốn điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C, D Chứng tỏ với cách thứ tự tùy ý điểm A, B, C, D tồn tỉ số kép bốn điểm tương ứng Hãy tìm tất tỉ số kép khác thành lập từ hệ bốn điểm 22 Với giả thiết cho (ABCD) = k Hãy tính tất tỉ số kép bốn điểm theo k 23 Cho năm điểm thẳng hàng A, B, C, D, E Chứng tỏ có đẳng thức (ABCD) = (ABCE) D ≡ E 24 Cho bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D Chứng minh (ABCD) = A ≡ C cịn (ABCD) = C ≡ D 25 Trong P2 cho đơn hình OAB, điểm M nằm cạnh AB đỉnh Một đường thẳng biến thiên qua M cắt OA A cắt OB B Gọi N = AB × A B, tìm quỹ tích điểm N 26 Trong P2 cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c đồng quy điểm S Chỉ dùng thước kẻ dựng đường thẳng d cho (abcd) = −1 27 Trong mơ hình xạ ảnh khơng gian affine, chứng minh rằng: a) Một m-phẳng k-phẳng (m ≤ k) song song với chúng sinh m-phẳng xạ ảnh k-phẳng xạ ảnh cắt theo (m − 1)-phẳng tuyệt đối 137 b) Một m-phẳng k-phẳng chéo cấp r chúng sinh m-phẳng xạ ảnh k-phẳng xạ ảnh cắt theo (r − 1)-phẳng tuyệt đối c) Một m-phẳng k-phẳng cắt cấp r chúng sinh với m-phẳng xạ ảnh k-phẳng xạ ảnh cắt theo r-phẳng xạ ảnh khơng hồn tồn nằm tuyệt đối 28 Trong mơ hình xạ ảnh mặt phẳng affine A2 , diễn tả khái niệm affine sau khái niệm xạ ảnh: a) Đoạn thẳng, điểm trong, điểm ngoài, điểm đoạn thẳng b) Hình tam giác, đường trung tuyến, đường trung bình hình tam giác c) Hình tứ giác, hình thang, hình bình hành 29 Dùng mơ hình xạ ảnh khơng gian affine A2 để chứng minh rằng: a) Hai đường chéo hình bình hành cắt điểm đường b) Đường trung bình tam giác song song với cạnh đáy tương ứng c) Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy 30 Trong mặt phẳng affine cho hình tam giác ABC ba hình bình hành cho hình bình hành chúng có đường chéo cạnh tam giác, lại hai cạnh kề hai cạnh lại tam giác Chứng minh đường chéo thứ hai hình bình hành đồng quy điểm 31 Trong mặt phẳng affine cho hình thang A1 A2 B1 B2 với cạnh song song A1 A2 B1 B2 Qua đỉnh A1 B1 dựng đường thẳng song song a1 b1 qua đỉnh A2 B2 dựng đường thẳng song song a2 b2 cho a1 ∦ a2 Chứng minh điểm A1 B1 × A2 B2 , a1 × a2 , b1 × b2 thẳng hàng Dùng mơ hình xạ ảnh A2 để giải toán sơ cấp sau: 32 Chứng minh tiếp tuyến hyperbol cắt hai đường tiệm cận hai điểm đối xứng với qua tiếp điểm 33 Chứng minh A, B hai điểm phân biệt nằm hyperbol đường thẳng AB cắt hai đường tiệm cận hai điểm C, D mà đoạn thẳng AB CD có chung điểm I 34 Chứng minh hình bình hành có hai đỉnh đối diện nằm hyperbol mà cạnh song song với đường tiệm cận hyperbol hai đỉnh đối diện lại thẳng hàng với tâm hyperbol 138 Áp dụng kết để dựng tâm đường tiệm cận hyperbol thước kẻ cho trước ba điểm hai phương tiệm cận hyperbol 35 Chứng minh hai đường kính liên hợp biến thiên hyperbol ln chia điều hịa hai đường tiệm cận 36 Cho hyperbol (S) với hai đường tiệm cận a, b điểm E thuộc (S) Qua E dựng hai đường thẳng a , b theo thứ tự song song với a, b dựng tiếp tuyến t cắt a, b theo thứ tự A, B Từ A B dựng hai đường thẳng m n song song với Chứng minh hai điểm m × b n × s thẳng hàng với tâm C hyperbol 37 Chứng minh hình bình hành có cạnh tiếp xúc với elip tâm hình bình hành trùng với tâm elip 38 Chứng minh hai điểm phân biệt A, B parabol ta dựng hai tiếp tuyến cắt điểm C đường thẳng nối từ C đến điểm I đoạn thẳng AB phương tiệm cận parabol 39 Cho parabol (P ) tam giác ABC có cạnh tiếp xúc với (P ) Gọi P, Q tiếp điểm AB, AC tương ứng với (P ), d tiếp tuyến (P ) song song với P Q Chứng minh d qua điểm đoạn thẳng BC 40 Dùng mơ hình xạ ảnh A2 để từ định lý sau hình học affine suy định lý tương ứng hình học xạ ảnh: a) Hai hyperbol tương đương affine với b) Hai parabol tương đương affine với c) Hai elip tương đương affine với 41 Trong P3 ta phân loại mặt bậc hai không suy biến theo phương trình tắc sau: • Mặt trái xoan (hay ôvan): −x20 + x21 + x22 + x23 = • Mặt kẻ khơng suy biến: −x20 − x21 + x22 + x23 = • Mặt trống không (hay rỗng): x20 + x21 + x22 + x23 = Xét xem mơ hình xạ ảnh A3 , mặt bậc hai affine sau sinh từ siêu mặt bậc hai xạ ảnh nào: a) Mặt elipxoit thực b) Mặt elipxoit ảo c) Mặt hyperboloit tầng 139 d) Mặt hyperboloit hai tầng e) Mặt paraboloit eliptic f) Mặt paraboloit hyperbolic (yên ngựa) Giải toán sau P2 42 Cho năm điểm thuộc đường bậc hai Chỉ dùng thước kẻ dựng thêm số điểm khác đường bậc hai 43 Cho bốn điểm thuộc đường bậc hai tiếp tuyến điểm Chỉ dùng thước kẻ dựng thêm số điểm khác đường bậc hai 44 Cho ba điểm thuộc đường bậc hai hai tiếp tuyến hai ba điểm Chỉ dùng thước kẻ dựng thêm số điểm khác đường bậc hai 45 Chỉ dùng thước kẻ dựng thêm số đường thẳng đường lớp hai (g) biết (g) cho bởi: a) Nằm đường thẳng thuộc (g) b) Bốn đường thẳng thuộc (g) tiếp điểm (g) thuộc bốn đường thẳng c) Ba đường thẳng thuộc (g) hai tiếp điểm (g) thuộc hai ba đường thẳng 46 Cho năm điểm A, B, C, D, E đường bậc hai không suy biến (S) Chỉ dùng thước kẻ dựng tiếp tuyến (S) đỉnh A 47 Cho ba điểm A, B, C đường bậc hai không suy biến (S), điểm H không thuộc cạnh hình ba đỉnh ABC đường đối cực h H (S) Chỉ dùng thước kẻ dựng thêm bốn điểm (S) 48 Cho năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường bậc hai M điểm tùy ý Chỉ dùng thước kẻ dựng đường đối cực M đường bậc hai (Đường bậc hai xem chưa biết) 49 Cho đường bậc hai (G), M điểm tùy ý Chỉ dùng thước kẻ dựng: a) Đường đối cực M (G) b) Các tiếp tuyến M (G) trường hợp (G) không suy biến 50 Cho đường bậc hai không suy biến (G) ba điểm K, M, L Hãy dựng hình bốn đỉnh ABCD cho cạnh AB CD qua điểm K L tương ứng cạnh BC AD giao điểm M 140 51 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b ba điểm phân biệt A, B, C không nằm hai đường thẳng cho Một đường thẳng biến thiên qua C cắt a A1 , cắt b B1 Tìm quỹ tích điểm D = AA1 × BB1 Phát biểu kết đối ngẫu 52 Trong P2 cho hình bốn đỉnh ABCD Tìm quỹ tích điểm M cho (M A, M B, M C, M D) = k k số không đổi khác khác Phát biểu kết đối ngẫu 53 Cho đường bậc hai không suy biến (S), hai điểm phân biệt A, B thuộc (S) điểm F không thuộc (S) Một đường thẳng biến thiên qua F cắt (S) hai điểm M, N Tìm quỹ tích điểm Q = AM × BN, R = AN × BM Phát biểu kết đối ngẫu 54 Cho đường bậc hai không suy biến (S), hai điểm phân biệt A, B Hai đường thẳng biến thiên a, b theo thứ tự qua A, B liên hợp (S) Tìm quỹ tích điểm M = a × b Phát biểu kết đối ngẫu 55 Cho đơn hình OAB đường thẳng d không qua A, B Một điểm M biến thiên d Đặt C = OA × BM, D = OB × AM Tìm quỹ tích đường thẳng CD 56 Cho hình bốn đỉnh ABCD, đường thẳng a chứa A, đường thẳng b chứa B Đường bậc hai biến thiên (G) ngoại tiếp ABCD cắt a điểm thứ hai M cắt b điểm thứ hai M Tìm quỹ tích đường thẳng M M 57 Cho hình bốn đỉnh ABCD đường bậc hai biến thiên (G) ngoại tiếp ABCD Giả sử d đường thẳng cố định khơng qua A, B, C, D Tìm quỹ tích cực E đường thẳng d (G) 58 Cho đường bậc hai không suy biến (S) ngoại tiếp hình ba đỉnh ABC Một đường thẳng tùy ý qua cực AB cắt CA, CB hai điểm M, N tương ứng Chứng minh M liên hợp với N (S) Phát biểu kết đối ngẫu (Định lý Staud) 59 Cho đường bậc hai (S) hai điểm phân biệt A, B thuộc (S) Một đường thẳng qua cực AB cắt (S) hai điểm C, D Chứng minh (ABCD) = −1 Phát biểu kết đối ngẫu 141 60 Chứng minh hai hình ba đỉnh nội tiếp đường bậc hai chúng ngoại tiếp đường bậc hai khác Phát biểu kết đối ngẫu 61 Chứng minh có hình ba đỉnh nội tiếp đường bậc hai không suy biến (S) ngoại tiếp đường bậc hai không suy biến (R) có vơ số hình ba đỉnh nội tiếp (S) ngoại tiếp (R) Phát biểu kết đối ngẫu 62 Cho hai hình ba đỉnh ABC A B C Chứng minh ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy sáu điểm AB × A B , AB × C A , BC × C A , BC × A B , CA × A B , CA × B C thuộc vào đường bậc hai không suy biến Phát biểu kết đối ngẫu 63 Chứng minh hai hình bốn đỉnh tồn phần có chung ba điểm chéo tám đỉnh chúng nằm đường bậc hai Dùng mơ hình xạ ảnh E2 để giải toán sơ cấp sau: 64 Cho tam giác ABC có A, B cố định cịn C biến thiên đường thẳng d không qua A, B Tìm quỹ tích trực tâm tam giác 65 Tìm quỹ tích điểm nhìn đường bậc hai khơng suy biến góc vng 66 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng phân biệt a, b điểm A ∈ a, điểm D không thuộc a, b Một đường thẳng biến thiên qua D cắt a M cắt b N Tìm quỹ tích đường thẳng qua M thẳng góc với đường thẳng AN 67 Chứng minh quỹ tích chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm parabol đến tiếp tuyến thay đổi parabol tiếp tuyến đỉnh parabol 68 Cho hai hyperbol vuông cắt bốn điểm A, B, C, D a) Chứng minh đường bậc hai suy biến qua A, B, C, D cặp đường thẳng vng góc Cịn đường bậc hai không suy biến qua A, B, C, D hyperbol vuông elip (khác đường trịn) b) Tìm quỹ tích tâm đường bậc hai qua A, B, C, D 69 Cho đường trịn (S), dây cung AB điểm H AB hai dây cung CD, EF qua H Đặt P = CE × AB, Q = DF × AB, R = 142 CF × AB, T = DE × AB Chứng minh H điểm P Q RT 70 Cho đường tròn (S) tiếp tuyến d T Lấy hai điểm phân biệt A, B thuộc d đối xứng với qua T , đường thẳng qua A cắt (S) hai điểm P, Q đường thẳng qua B cắt (S) hai điểm V, W Đặt M = d × P V, M = d × QW, N = d × P W, N = d × QV Chứng minh T điểm đoạn thẳng M M , N N 71 Chứng minh ba đường cao tam giác đồng quy 72 Cho hình tam giác ABC, điểm D khơng nằm cạnh ba đường thẳng a, b, c qua D theo thứ tự thẳng góc với DA, DB, DC Chứng minh ba điểm a × BC, b × CA, c × AB thẳng hàng 73 Cho hình tam giác ABC, đường thẳng d điểm O ∈ d Dựng đường thẳng đối xứng với OA, OB, OC qua d Các đường thẳng cắt BC, CA, AB theo tứ tự P, Q, R Chứng minh P, Q, R thẳng hàng 74 Chứng minh hyperbol ngoại tiếp hình tam giác ABC hyperbol vng trực tâm giam giác thuộc hyperbol 75 Chứng minh từ điểm M đường chuẩn d ứng với tiêu điểm F đường bậc hai không suy biến (S) ta dựng tiếp tuyến M T (S) với T tiếp điểm F nhìn đoạn thẳng M T góc vng 76 Chứng minh parabol: a) Đường chuẩn tiếp tuyến đỉnh luôn vuông góc với trục đối xứng b) Đỉnh điểm đoạn thẳng nối tiêu điểm với giao điểm đường chuẩn trục đối xứng 77 Chứng minh hai điểm A, B nằm parabol thẳng hàng với tiêu điểm hai tiếp tuyến A, B parabol vng góc 143 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Văn Thuận (1996) Giáo trình hình học cao cấp tập II Cần Thơ: Đại học Cần Thơ Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đơ Tạ Mân (1984) Bài tập hình học cao cấp tập II Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2000) Hình học cao cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2007) Bài tập hình học cao cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Văn Như Cương (1999) Hình học xạ ảnh Hà Nội: NXB Giáo dục 144