[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
( ) ( )
a sin x cos x+ +bsin x cos x c= Cách giải
Đặt t sin x cos x với điều kiện t= + ≤
Thì t sin x cos x
4
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟ = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ta coù : t2 = +1 2sin x cos x nên thành( )
( )
b
at t c
2
+ − =
2
bt 2at b 2c
⇔ + − − =
Giải (2) tìm t, so với điều kiện t ≤ giải phương trình ⎛⎜ + π⎞⎟=
⎝ ⎠
2 sin x t
4 ta tìm x
Bài 106 : Giải phương trình sin x sin x cos x *+ + = ( ) (*) ⇔sin x sin x( + )+cos x sin x( − ) = 0
( ) ( )
⇔ sin x+ =0 hay sin x cos x sin x+ − =0 ( )
( )
sin x 1
sin x cos x sin x cos x = −
⎡ ⇔ ⎢
+ − =
⎢⎣
( ) ( )
( )
2
1 x k2 k Z
2
Xét : đặt t sin x cos x cos x điều kiện t t 2sin x cos x
π
• ⇔ = − + π ∈
π
⎛ ⎞
• = + = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
≤ = +
Vậy (2) thành t t2
−
− =
( )
t 2t
t
t loại
⇔ − − =
⎡ = − ⇔ ⎢
= + ⎢⎣
Do ( ) ⇔ cos x
π
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
(2)
π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟ = − = ϕ < ϕ <
⎝ ⎠
π
⇔ − = ±ϕ + π ∈ ϕ = −
π
⇔ = ± ϕ + π ∈ ϕ = −
2
cos x cos với
4
2
x h2 , h , với cos
4
2
x h2 , h , với cos
4
π
1
Bài 107 : Giải phương trình 1 sin x cos x3 3sin 2x *( )
2
− + + =
( )* (sin x cos x sin x cos x)( ) 3sin 2x
⇔ − + + − =
Đặt t sin x cos x sin x
π
⎛ ⎞
= + = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
Với điều kiện t ≤ Thì t2 = +1 2sin x cosx
Vậy (*) thành : 1 t 1 t2 3(t2 1)
2
⎛ − ⎞
− + ⎜⎜ − ⎟⎟ = −
⎝ ⎠
( ) ( )
( )( )
( )
2
3
2
2 t t t
t 3t 3t
t t 4t
t t t loại
⇔ − + − = −
⇔ + − − =
⇔ − + + =
⇔ = ∨ = − + ∨ = − − với t = sin x sin
4
π π
⎛ + ⎞= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π π π π
⇔ + = = π ∨ + = + π ∈
π
⇔ = π ∨ = + π ∈
3
x k2 x k2 , k
4 4
x k2 x k2 , k
2
với = − ⎛⎜ + π⎞⎟ = − =
⎝ ⎠
3
t sin x sin
4 ϕ
π π −
⇔ + = ϕ + π ∨ + = π − ϕ + π ∈ =
π π −
⇔ = ϕ − + π ∨ = − ϕ + π ∈ = ϕ
3
x m2 x m2 , m , với s
4
3
x m2 x m2 , m , với sin
4
ϕ in
Bài 108 :Giải phương trình sin x cos x( + )= tgx cot gx *+ ( ) Điều kiện sin x sin 2x
cos x ≠ ⎧
⇔ ≠
⎨ ≠
⎩
Lúc (*) sin x cos x( ) sin x cos x cos x sin x
(3)( ) sin x cos x2
2 sin x cos x
sin x cos x sin x cos x
+
⇔ + = =
Đặt t sin x cos x sin x
π
⎛ ⎞
= + = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
Thì t2 = +1 sin x cos x với t ≤ t2 ≠1 (*) thành 2t 22
t
= −
2t 2t
⇔ − − =
(Hiển nhiên t = ±1 không nghieäm)
( )( )
( )
2
2
t 2t 2t
t
t 2t vô nghiệm
⇔ − + + =
⎡ = ⇔ ⎢
+ + =
⎢⎣
Vaäy ( )* ⇔ sin x
π ⎛ + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
⎛ ⎞
⇔ ⎜ + ⎟ =
⎝ ⎠
π π
⇔ + = + π ∈
π
⇔ = + π ∈
sin x
4
x k2 , k
4
x k2 , k
4
Bài 109 : Giải phương trình cot gx cos x( − )−5 tgx sin x( − ) =2 *( )
Với điều kiện sin2x 0≠ , nhân vế phương trình cho sinxcosx≠0 : ( )* ⇔ cos x sin x2 ( − )−5 sin x cos x2 ( − ) =2 sin x cos x
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
( ) ( )
⇔ − − − = −
⇔ ⎡⎣ − + ⎤⎦− ⎡⎣ − +
⇔ − + − − +
+ − =
⎡ ⇔ ⎢
− =
⎢⎣
2
3 cos x sin x sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x cos x cos x sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x sin x cos x sin x sin x sin x sin x cos x cos x
sin x cos x sin x cos x
3 cos x sin x
) = ⎤⎦
=
( Ghi chuù: A.B + A.C = A.D ⇔ A = hay B + C = D ) Giải (1) Đặt t sin x cos x sin x
4
π
⎛ ⎞
= + = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
Thì t2 = +1 2sin x cosx với điều kiện : t ≤ t ≠ ±1 (1) thành : t t2 0 t2 2t
2
− 1 0
− = ⇔ − − =
( )
( )
t loại t
t nhận so với điều kiện
⎡ = + ≤
⎢ ⇔
(4)Vaäy sin x sin (0 )
4
π −
⎛ + ⎞ = = α < α < π
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π π
⎡ + = α + π ⎡ = α − + π
⎢ ⎢
⇔ ⎢ ⇔ ⎢
π π
⎢ + = π − α + π ∈ ⎢ = − α + π ∈
⎢ ⎢
⎣ ⎣
x k2 x k2
4
3
x k2 , k x k2 ,
4 k
( )2 ⇔ tgx= = tgβ ⇔ x = β + πh , h∈ (với 0< β < π)
5
Baøi 110 : Giải phương trình
( ) ( )
3
2
3 sin x x
3tg x tgx 8cos *
4 cos x
+ ⎛π ⎞
− + = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1
Lúc : (*) tgx 3tg x sin x tg x( ) ( )( ) 4 cos x ⎡ ⎛π ⎞⎤
⇔ − + + + = ⎢ + ⎜ − ⎟⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
( )
4 sin x = +
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
2
2
2
2
tgx 3tg x 1 sin x tg x 3tg x tgx sin x
3tg x sin x cosx sin x cosx 3tg x 1
sin x cosx sin x cosx
⎡ ⎤
⇔ − + + ⎣ + − ⎦
⇔ − + + =
⇔ − + + =
⎡ =
⇔ ⎢
+ + =
⎢⎣
=
( )
2
(1) tg x tgx x
3
Giải đặt t sin x cos x sin x π
• ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + πk
π
⎛ ⎞
• = + = ⎜ ⎟
⎝ + ⎠ Với điều kiện t ≤ t≠ ±1
Thì t2 = +1 2sin x cos x
(2) thaønh : t t 12 0 t2 2t 1
− 0
+ = ⇔ + − =
( )
( )
t loại dođiều kiện t t nhận so với điều kiện
⎡ = − − ≤
⎢ ⇔
⎢ = − + ⎣
Vaäy sin x sin
4
π −
⎛ + ⎞= =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ϕ
x k2 ,k x k2 ,k
4
3
x k2 ,k x k2 ,
4
π π
⎡ + = ϕ + π ∈ ⎡ = ϕ − + π ∈
⎢ ⎢
⇔⎢ ⇔⎢
π π
⎢ + = π − ϕ + π ∈ ⎢ = − ϕ + π ∈
⎢ ⎢
⎣ ⎣
¢ ¢
(5)Bài 111 : Giải phương trình 2sin x sin x cos x cosx cos2x *3 − = − + ( )
( )* ⇔2 sin x cos x( − )−(sin x cos x− )+sin x cos x 02 − =
( ) ( )
( )
( )
sin x cosx hay sin x cosx sin x cosx sin x cosx
sin x cosx sin 2x
⇔ − = + − + + =
− =
⎡ ⇔ ⎢
+ + + =
⎢⎣ ( )
( ) tgx
x k ,k
xét đặt t sin x cosx cosx x
• ⇔ =
π
⇔ = + π ∈
π
⎛ ⎞
• = + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
¢
− Với điều kiện : t ≤
2
t = +1 sin 2x
( ) ( )
Vậy thành t+ t − + =1
( )
t t t t ⇔ + = ⇔ = ∨ = − Khi t = cos x
4 π ⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
x 2k ,k
4
3
x k ,k
π π
⇔ − = + ∈
π
⇔ = + π ∈
¢ ¢
Khi t cos x cos3
4
π π
⎛ ⎞
= − ⎜ − ⎟= − =
⎝ ⎠
3
x k2 , k 4
x k2 hay x k2 ,k
π π
⇔ − = ± + π ∈
π
⇔ = π + π = − + π ∈
¢
¢
Bài 112 : Giải phương trình
( )
2 4
sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+ + + = + + +
Ta coù : (*)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4
sin x cosx sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cosx hay sin x cosx sin x.cosx sin x cosx
⇔ − + − + − + − =
⇔ − = + + + + + + =
( )
( ) ( )
sin x cosx
2 sin x cosx sin x cosx 2
− =
⎡ ⇔ ⎢
+ + + =
⎢⎣
Ta coù : (1) ⇔ tgx 1= x k , k
4 π
(6)Xét (2) : đặt t sin x cos x cos x π
⎛ ⎞
= + = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Với điều kiện t ≤ Thì t2 = +1 2sin x cos x (2) thành 2t t 12
2 −
+ + =
( )
2
t 4t t t loại ⇔ + + =
⇔ = − ∨ = −
khi t = -1 cos x cos3
4
π π
⎛ − ⎞= − =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
x k2 ,k
4
x k2 ,
4 x k2 ,k x k2 ,k
2
π π
⎡ − = + π ∈ ⎢
⇔ ⎢
π π
⎢ − = − + π ∈ ⎢⎣
= π + π ∈ ⎡
⎢
⇔ π
⎢ = − + π ∈ ⎣
¢ ¢ ¢
¢ k
Bài 113 : Giải phương trình tg x sin x2 ( − )+cos x *3 − = ( )
Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1 Lúc (*) ( )
2
sin x sin x cos x cos x
⇔ − + − =
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 3
2
1 cos x sin x cos x sin x cosx sin x
hay cosx sin x sin x cosx cos x sin x
⇔ − − − − − =
⇔ − − =
+ + + − + + +
( )
( )
2 2
cos x nhận điều kiện sin x loại điều kiện
sin x sin x cosx cos x sin x cos x
⎡ =
⎢ ⇔⎢ =
⎢
+ − − =
⎢⎣
=
( )
2
cos x
sin x cos x sin x cos x sin x cos x =
⎡
⇔ ⎢ − + − =
⎣
cosx
sin x cosx hay sin x cosx sin x cosx =
⎡
⇔ ⎢ − = + + =
⎣
cosx tgx
sin x cosx sin x cosx = ∨ =
⎡
⇔ ⎢ + + =
⎣
x k2 ,k x k ,k
4
sin x cos x sin x cos x
= π ∈
⎡
⎢ π
⎢
⇔ = + π ∈
⎢
⎢ + + =
⎣
(7)xeùt pt sin x cosx sin x cosx 0+ + = đặt
( )
t sin x cos x cos x x điều kiện t vaø t
π
⎛ ⎞
= + = ⎜ − ⎟ ≤ ≠ ±
⎝ ⎠
2
t 2sin x cos x
⇒ = +
Ta phương trình t t2 0 t2 2t 1
−
+ = ⇔ + − =0 ( )
( )
t loại
t nhận so với đk ⎡ = − −
⎢ ⇔
⎢ = − + ⎣
Vaäy cos x cos
4
π −
⎛ − ⎞= = ϕ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x k2 ,k x k2 ,
4
π π
⇔ − = ±ϕ + π ∈ ⇔ = ± ϕ +¢ π ∈k ¢
Bài 114 : Cho phương trình m sin x cosx 1 sin 2x *( + + = +) ( )
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0, π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Đặt t sin x cos x sin x π ⎛
= + = ⎜ −
⎝ ⎠
⎞
⎟, điều kiện t ≤ Thì t2 = +1 sin 2x
Vậy (*) thành : m t 1( + =) t2 Nếu x x
2 4
π π π
≤ ≤ ≤ + ≤ π
Do sin x
2
π
⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠≤ t
⇔ ≤ ≤
ta coù m t 1( + =) t2
t m
t ⇔ =
+ (do t = -1 không nghiệm phương trình) Xét y t2 1,
t ⎡ ⎤
= ⎣ ⎦
+
Thì
( )
2 t 2t
y' t 1,
t
+ ⎡ ⎤
= > ∀ ∈ ⎣ ⎦ +
Vậy y tăng 1, 2⎡ ⎤ ⎣ ⎦
Vậy (*) có nghiệm 1, y 1( ) m y 2( )
π
⎡ ⎤ ⇔ ≤ ≤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )
(8)Bài 115 : Cho phương trình cos x sin x m sin x cosx *3 + = ( ) a/ Giải phương trình m=
b/ Tìm m để (*) có nghiệm
Ta có : (*) ⇔(cosx sin x sin x cosx+ )( − )=msin x cosx
Đặt t sin x cos x cos x x π
⎛ ⎞
= + = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Với điều kiện (t ≤ 2) Thì t2 = +1 2sin x cos x
Vậy (*) thành t t2 m t2
2
⎛ − ⎞ ⎛ −
− =
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( 2) ( )
t t m t
⇔ − = −
a/ Khi m= ta có phương trình
( 2) (( ))
t t− = t 1−
( )( )
3
2
t 2t 3t t t 2t
t hay t hay t 1( loại)
⇔ + − − =
⇔ − + + =
⇔ = = − + = − −
Vaäy cos x x x k2 , k x k2 , k
4 4
π π π
⎛ ⎞
• ⎜ − ⎟= ⇔ − = π ∈ ⇔ = + π
⎝ ⎠ ¢ ∈¢
1
cos x cos
4
x k2 ,k x k2 ,
4
π −
⎛ ⎞
• ⎜ − ⎟= = α
⎝ ⎠
π π
⇔ − = ±α + π ∈ ⇔ = ± α +¢ π ∈k ¢
b/ Xét phương trình t t( − 2) (=k t2−1 **)( ) Do t= ±1 không nghiệm (**) nên
( )
3t t ** m
t −
⇔ =
−
Xét y 3t t2 3( )C 2, \{ } t
− ⎡ ⎤
= ⎣− ⎦
− ±1
Ta coù
( )
4 2
t
y' t
t − −
= < ∀ =
− ±
) suy y giảm 1,1(−
lim , lim
x x
y y
+ −
→ −1 = + ∞ →1 = − ∞
Do 1,1(− )⊂ −⎡⎣ 2, \ 1⎤⎦ { }± ta có (d) y = m cắt (C) y 3t t2 với m
t −
= ∀
− ∈R
(9)Bài 116 : Cho phương trình
( ) 1 ( )
m sin x cos x tgx cot gx sin x cos x
⎛ ⎞
+ + + ⎜ + + + ⎟=
⎝ ⎠ *
a/ Giaûi phương trình m =
b/ Tìm m để (*) có nghiệm 0, π
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Với điều kiện sin 2x 0≠ ta có
(*) m sin x cos x 1( ) sin x cos x 1 cos x sin x sin x cos x
⎛ ⎞
⇔ + + + ⎜ + + + ⎟
⎝ ⎠=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
m sin 2x sin x cos x sin 2x cos x sin x m sin 2x sin x cos x sin 2x cos x sin x m sin 2x sin x cos x sin x cos x sin x cos x
sin x cos x
m sin 2x sin x cos x
⇔ + + + + +
⇔ + + + + + =
⇔ + + + + +
⎡ + =
⇔ ⎢
+ + + =
⎢⎣
= =
Xét (2) đặt t sin x cos x cos x π
⎛ ⎞
= + = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Thì t2 = +1 sin 2x
Do sin 2x nên t≠ ≤ t= ±1 Vậy (*) thành : t 0( 2 )
m t t =
⎡ ⎢
− + + = ⎢⎣
( )
( )
t nhận so điều kiện m t 1 ( t 1) ⎡ =
⇔ ⎢
− + = ≠ −
⎢⎣
a/ Khi m ta :
2 =
( )
t
t loại điều kiện =
⎡ ⎢ =− ⎢⎣
Vaäy sinx + cosx = tgx
x k ,k
4 ⇔ = − π
⇔ = − + π ∈¢
b/ Ta coù : x x
2 4
π π π
< < ⇔ − < − < π Lúc
cos x 1 t
2
π
⎛ ⎞
< ⎜ − ⎟≤ ⇒ < ≤
⎝ ⎠
(
(10)Nên ta xét phươn trình : g m t 1 **( − + =) ( )
( )** ⇔mt m 1= −
t m
⇔ = − (do m (**) vơ nghiệm) Do : yêu
=
cầu toán ⇔ < −1 1 ≤ m
1 0 m 0
⎧− > ⎧ <
m 1
m
1
1 1 2
m
m
⎪⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ≤
= − −
⎪ − ≤ ⎪⎩ −
⎪⎩
⇔ ≤ − −
Baøi 117 : Cho f x( )=cos 2x sin x cosx2 + ( + )3−3sin2x m+
a/ Giải phương trình f(x) = m = -3
b/ Tính theo m giá trị lớn giá trị nhỏ f(x) Tìm m cho ⎡⎣f x( )⎤⎦2 ≤36 x R∀ ∈
( )
t=sin x cos x cos⎛x ⎞ điều kiện t
π
+ = ⎜ − ⎟ ≤
⎝ ⎠
x Đặt
Thì t2 = +1 sin 2
Vaø cos 2x si2 = − n22x t= −( 2−1)2 = − +t4 2t2 Vaäy f x thaønh g t( ) ( )= − +t4 2t2 +2t3 −3 t( − +1) m a/ Khi m = -3 g(t) =
t t ⇔ = ∨ =
vaäy m = -3 f( ) =
( )
t t 2t ⇔ − 2− + =
x
( )
1 cos x hay cos x
4
π
⎛ ⎞ ⎛
⇔ ⎜ − ⎟= ⎜
⎝ ⎠
x 2k hay x k2 , k
4 4
π ⎞ − ⎟=
⎝ ⎠
π π π π
⇔ − = + − = ± + π ∈¢
x k
π
⇔ = + π hay x k2 x k2 , k
π
= + π ∨ = π ∈¢
b/ Ta có g' t( )= −4t3+6t2−2t= −2t 2t( 2− +3t 1) Vaäy ⎧⎪g'( )t t t t
2 t 2,
=
⇔ = ∨ = ∨ =
⎨ ⎡ ⎤
∈ −
⎪ ⎣ ⎦
Ta coù : ⎩
( ) ( ) 47
g m g , g m 16 ⎛ ⎞
= + = ⎜ ⎟= +
⎝ ⎠
( ) ( )
(11)Vaäy : ( ) ( )
t , x
Maxf x Max g t m
⎡ ⎤
∈ −
∈ ⎣ ⎦
= =
¡
3
+
( ) t 2 , 2 ( ) x R
Minf x Min g t m 2
⎡ ⎤
∈ −
∈ ⎣ ⎦
= = − −
Do : ⎡⎣f x( )⎤⎦2 ≤36, x R∀ ∈ ⇔ − ≤6 f x( )≤6, x R∀ ∈ ( )
( ) R
R
Max f x Min f x m
m ≤ ⎧⎪
⇔ ⎨
≥ − ⎪⎩
+ ≤ ⎧⎪
⇔ ⎨
− − ≥
⎪⎩ −
⇔4 m 3− ≤ ≤
Cách khác : Ta có g t( )= −t t2( 2− + + + = −2t m) ⎡t t 1( − )⎤2 + +3 m
⎣ ⎦
Đặt u t= −2 t
Khi t 2, u 1,2
⎡ ⎤
⎡ ⎤
∈ −⎣ ⎦ ∈ −⎢ + ⎥=
⎣ ⎦ D
Vaäy g t( ) ( )=h u = − + +u m2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
R t , u D
R t , u D
Max f x Max g t Max h u m Min f x Min g t Min h u m
∈
⎡ ⎤
∈ −⎣ ⎦
⎡ ⎤
∈ −⎣ ⎦ ∈
= = = +
= = = − −
Chú ý : Phương trình giả đối xứng
( ) ( )
a sin x cosx− +b sin x cosx =0 đặt t = sinx – cosx
thì t sin x cos x
4
π π
⎛ ⎞ ⎛
= ⎜ − ⎟= − ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞ + ⎟⎠
với điều kiện t ≤ 2 t2 = −1 2sin x cosx
Bài 118 : Giải phương trình 2sin x cot gx 2sin 2x *+ = + ( ) Điều kiện : sin x 0≠ ⇔ cos x= ±1
Lúc (*) 2sin x cos x sin x cos x sin x
⇔ + = +
=
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
⇔ + = +
⇔ − − − =
⇔ − − − +
⇔ − = − + =
− = ⎡
⇔ ⎢
− − =
⎢⎣
2
2
2 sin x cos x sin x cos x sin x
2 sin x sin x cos x sin x
sin x sin x cos x sin x sin x
2 sin x hay sin x cos x sin x
2 sin x 1
(12)( ) ( ) • Ta có ⇔sin x = nhận sin x
2 ≠
π π
⇔ x = +k2π ∨ =x +k2 , kπ ∈
6
( ) ⎛ π⎞
• = − = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Xeùt Đặt t sin x cos x sin x
− Với điều kiện t ≤ t ≠ ±
x Thì t2 = −1 sin
Vậy (2) thành : t−(1 t− 2) =0
t t
⇔ + − =
( )
1 5
t t
2
− + − −
⇔ = ∨ = loại
Do : sin x 5(nhận t t 1)
4
π − +
⎛ − ⎞ = ≤ ≠ ±
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π −
⎛ ⎞
⇔ ⎜ − ⎟ = =
⎝ ⎠
5
sin x sin
4 2 ϕ
π
⎡ − = ϕ + π ∈ ⎢
⇔ ⎢ π
⎢ − = π − ϕ + π ∈ ⎢⎣
x k2 , k
4
x k2 ,
4 k
π
⎡ = ϕ + + π ∈ ⎢
⇔ ⎢
π
⎢ = − ϕ + π ∈ ⎢⎣
x k2 , k
4
x k2 ,
4 k
Bài 119 : Giải phương trình
( )( )( )
cos2x 2 cos x sin x cos x *+ = − −
Ta coù : ( )* ⇔(cos x sin x2 − )+ =5 2 cos x sin x cos x( − )( − ) (sin x cos x 2 cos x) ( ) (sin x cos x)
⇔ − ⎡⎣ − + + ⎤⎦− =
(sin x cos x sin x cos x 4)[ ]
⇔ − − + − =
Đặt t sin x cos x sin x
π
⎛ ⎞
= − = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Với điều kiện t ≤ (*) thành : t t 4( + )− =5
( )
t 4t
t t loại
⇔ + − =
⇔ = ∨ = −
Vaäy ( )* ⇔sin x sin
4
π π
⎛ − ⎞ = =
⎜ ⎟
(13)π π π π
⇔ − = + π ∨ − = + π ∈
π
⇔ = + π ∨ = π + π ∈
3
x k2 x k2 , k
4 4
x k2 x k2 , k
2
Baøi 120 : Giải phương trình cos x sin x cos 2x *3 + = ( )
Ta coù (*) ⇔ (cos x sin x sin x cos x+ )( − ) =cos x sin x2 − ( )
( )
⇔ + = − = −
+ =
⎡ ⇔ ⎢
− − + =
⎢⎣
cos x sin x hay sin x cos x cosx sin x
sin x cos x
sin x cos x sin x cos x
Ta coù : ( )1 ⇔ tgx= −1 π
⇔ x = − + πk , k∈
4
Xét (2) đặt t sin x cos x sin x
π
⎛ ⎞
= − = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Với điều kiện t ≤ Thì t2 = −1 2sin x cosx
(2) thaønh t t2 1 0 t2 2t 1
2
−
− + = ⇔ + + =0
t
⇔ = −
vaäy (2)⇔ sin x sin
4
π π
⎛ − ⎞= − = ⎛−
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
π π
⎡ − = − + π ∈ ⎡ = π ∈
⎢ ⎢
⇔ ⎢ π π ⇔ ⎢ = π+ π ∈
⎢ − = + π ∈ ⎣
⎢⎣
x k2 , k
x k2 , k
4 3
5 x k2 , k
x k2 , k 2
4
Baøi 121 : Cho phương trình cos x sin x m3 − = ( )1
a/ Giải phương trình (1) m = cách đặt ẩn phụ t c= os x sin x− b/ Tìm m cho (1) có hai nghiệm x ,
4
π π
⎡ ⎤
∈ −⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ta coù (1) ⇔ (cos x sin x sin x cos x− )( + )= m Đặt t cos x sin x cos x
4
π
⎛ ⎞
= − = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
Với điều kiện t ≤ Thì t2 = −1 2sin x cosx
Vậy (1) thành : t 1 t2 m
⎛ + − ⎞=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( 2) ( )
t t 2m
(14)a/ Khi m = (2) thành t3 −3t 0+ =
( )( )
( )
t t t
t t loại
⇔ − + − =
⇔ = ∨ = −
Vaäy ⎛⎜ + π⎞⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈
⎝ ⎠
2
cos x x k2 , k
4 4
π
⇔ x k2= π ∨ = − +x k2 , kπ ∈
2
b/ Neáu x , 4
π π
⎡ ⎤
∈ −⎢ ⎥
⎣ ⎦ x
π π
≤ + ≤
neân cos x
π
⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ≤
0 t cos x
4
π
⎛ ⎞
⇔ ≤ = ⎜ + ⎟≤
⎝ ⎠
nhận xét với t tìm ⎡⎣0, 2⎤⎦ ta tìm x ,
4
π π
⎡ ⎤
∈ −⎢ ⎥
⎣ ⎦
xeùt f t( ) = − +t3 3t treân 0, 2⎡ ⎤
⎣ ⎦
( )
f ' t 3t
⇒ = − +
vậy (1) có hai nghiệm x , 4
π π
⎡ ⎤
∈ −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )d y 2m caét C y( ) t3 3t treân 0, 2⎡ ⎤
⇔ = = − + ⎣ ⎦ điểm phân biệt ⇔ 2m 2≤ <
2 m 1
2
⇔ ≤ <
Baøi 122 : Cho phương trình
( )( )
2
2cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x *+ + = + a/ Giải phương trình m =
b/ Tìm m để phương trình (*) có nghiệm 0,
π
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Ta coù : ( )* ⇔ 2 cos x sin x( − )+sin x cos x sin x cos x( + ) =m sin x cos x( + )
( )
(15)Đặt t cos x sin x cos x
π ⎛
= − = ⎜ +
⎝ ⎠
⎞
⎟ (điều kiện t ≤ 2) Thì t2 = −1 2sin x cosx
x Ta coù : ( )1 ⇔sin x = −cos
π
⇔ tgx= − ⇔1 x = − + πk , k∈
4
Ta có : (2) thành 2t t2 m
−
+ =
( )
t 4t 2m * *
⇔ − + + =
a/ Khi m = (**) thaønh t2 −4t 0+ = ( )
⇔ = ∨ =t t loại
vaäy ⎛⎜ + π⎞⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈
⎝ ⎠
2
cos x x k2 , k
4 4
π
⇔ x k2= π ∨ = − + πx k , k∈
2
Do :
( )* ⇔ x= − + π ∨ =4π k x k2π ∨ = − +x 2π k2 , kπ ∈
b/ Ta coù ∈⎡⎢ π⎤⎥ ⇔ + ∈π ⎡⎢π π⎤⎥
⎣ ⎦ ⎣
3
x 0, x ,
2 4 ⎦
vaäy cos x
2
π
⎛ ⎞
− ≤ ⎜ + ⎟≤
⎝ ⎠
1 t ⇒ − ≤ ≤
Do nghieäm = − + π ∉π ⎡⎢ π⎤⎥ ∀ ∈
⎣ ⎦
x k 0, , k
4
Nên yêu cầu tốn ⇔( )* * có nghiệm [−1,1] Xét y = − +t2 4t y '+ = − + > ∀ ∈ −2t t [ 1,1]
[ ]
y tăng 1,1
⇒ −
Do : u cầu tốn
( ) ( )
4 y 2m y
2 m
⇔ − = − ≤ ≤ =
⇔ − ≤ ≤
* Chú ý : Phương trình lượng giác dạng
( ) ( 2 )
a tgx cot gx± +b tg x cot g x+ =
ta đặt t tgx cot gx t= ± = tg x cot g x 22 + ± t tgx cot gx t sin 2x( 1)
sin 2x
= + = ≥ ≤
Bài 123 : Giải phương trình
( )
2
(16)Đặt t tgx cot gx sin 2x
= + =
Với điều kiện t ≥ Thì t2 = tg x cot g x2 + +2 (*) thành : 3 t( −2)+4t 0+ =
2
3t 4t
⇔ + − =
( )
2
t loại điều kiện
t
⎡ = ⎢ ⇔
⎢ = − ⎣
Ta coù : t 2 sin 2x 2sin x
= − ⇔ = − ⇔ = −1
π
⇔ = − + π ∈
π
⇔ = − + π ∈
2x k2 , k
2
x k , k
4
Bài 124 : Giải phương trình
( )
2 3
tgx tg x tg x cotgx cotg x cotg x *+ + + + + =
Ta coù (*) ⇔ (tgx cot gx+ )+(tg x cot g x2 + ) (+ tg x cot g x3 + ) =6
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx tg x cot g x
tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx tgx cot gx
⇔ + + + − + + + − =
⎡ ⎤
⇔ + + + + + ⎣ + − ⎦ =
Đặt t tgx cot gx (điều kiện t 2) sin 2x
= + = ≥
Vậy (*) thành : t t+ +t t( −3) =8
( )( ) ( )
3
2
2
t t 2t
t
t t 3t
t 3t vô nghiệm
t
⇔ + − − =
= ⎡
⇔ − + + = ⇔ ⎢
+ + = ⎣
⇔ =
Vaäy 2 sin 2x
sin 2x = ⇔ =1
π
⇔ = + π ∈
π
⇔ = + π ∈
2x k2 , k
2
x k , k
4
Bài 125 : Giải phương trình
( )
+ + + + =
2
2 2tg x 5tgx cot gx *
sin x
(17)( ) ( )
( ) ( )
⇔ + + + + =
⎡ ⎤
⇔ ⎣ + − ⎦+ + +
2
2
2 tg x cot g x tgx cot gx
2 tgx cot gx tgx cot gx 0=
Đặt t tgx cot gx= + = , với t ≥2 sin 2x
Ta phương trình : 2t2 +5t 0+ =
( )
⇔ = − ∨ = −t t loại
Vaäy( )* ⇔ 2 sin 2x
sin 2x = − ⇔ = −1
π
⇔ = − + π ∈
π
⇔ = − + π ∈
2x k2 , k
2
x k , k
4
Cách : Đặt u = tgx (với điều kiện u 0≠ ) Vậy (*) thành :
2
2
2 2u 5u
u u
+ + + + + =
( )( )
( ) ( )
( )
( )
⇔ + + + + =
⇔ + + + + =
⇔ + + + =
⎡ = − ⇔ ⎢
+ + = ⎢⎣
4
3
2
2
2 2u 5u 5u 6u
u 2u 3u 3u
u 2u u
u nhận
2u u vô nghiệm
Vậy (*) ⇔tgx = -1 π
⇔ x = − + πk , k∈
4
Baøi 126 : Cho phương trình
( )
2
1 cot g x m tgx cot gx 2 0 1
cos x + + + + = ( )
a/ Giải phương trình m
=
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
Ta có : (1) ⇔ tg x cot g x m tgx cot gx2 + + ( + )+ =3 0 Đặt t tgx cot gx (điều kiện t 2)
sin 2x
= + = ≥
2 2
t tg x cot g x
⇒ = + +2
Vậy (1) thành : t2 +mt 0+ = ( )2 a/ Khi m
2
(18)( )
1
t t loại
2
⇔ = − ∨ = −
Do 2 sin 2x
sin 2x = − ⇔ = −1
π
⇔ = − + π ∈
π
⇔ = − + π ∈
2x k2 , k
2
x k , k
4
b/ Cách :
Ta có : (2) ⇔ mt = − −1 t2
1 m
t
⇔ = − −t(do t = không nghiệm (2)) Xét y t với t
t
= − − ≥
Thì y ' 12 1 2
t t
−
= − = t
Ta coù : y ' 0= ⇔ = ±t
Do (1) có nghiệm ⇔ (d) cắt C trên( ) (−∞ −, U 2,] [ +∞)
5
m m
2
5 m
2
⇔ ≤ − ∨ ≥
⇔ ≥
Cách : Yêu cầu toán ( )
f t t mt
⇔ = + + = có nghiệm t thỏa t ≥2
Nhận xét P = nên f(t) có hai nghiệm t , t với t1 2( 1 ≤t2)và có nghiệm ta có ⎧⎪⎨ ≤ ∨⎧⎪⎨ ≥
≥ ≤
⎪ ⎪
⎩ ⎩
1
2
t t
t t
Do :
Yêu cầu toán ⇔ t1 ≤ − <2 t1 < ∨ − <2 t1 < ≤2 t2 ( )
( )
( ) ( )
− ≤ ≤
⎧ ⎧ ⎧− + ≤ ⎧− + >
⎪ ⎪
⇔ ⎨ ∨⎨ ⇔ ⎨ ∨⎨
+ > + ≤
> − > ⎩ ⎩
⎪ ⎪
⎩ ⎩
⇔ ≥ ∨ ≤ −
1f 1f 2m 2m
2m 2m
1f 1f
5
m m
(19)BÀI TẬP Giải phương trình :
a/ 1 cos x sin x sin x+ − = b/ cos x cos x 2sin x 03 + + − =
c/ cos2x 2 cos x sin x cos x+ = ( − )( − ) d/ cot gx tgx sin x cos x− = +
e/ sin x cos x sin x cos x3 − = − f/ t+ gx sin x cos x= +
g/ sin 2x sin x
4
π
⎛ ⎞
+ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠=
k/ sin 2x 12 sin x cos x− ( − )+12 0= l/ sin x cos x
sin 2x
+ =
+
m/ cos 2x cos x33
1 cos 2x sin x
− = −
+ −
n/ sin x cos x( + )+sin 3x cos 3x 2 sin 2x− = ( + ) o/ 1+sin x cos x sin 2x 2cos2x 0+ + + =
p/ sin x cos x cos 2x sin x cos x sin x cos x2 − + = + r/ cos2x 2 cos x sin x cos x+ = ( − )( − )
= s/ cos x sin x cos x 02 + + t/ 4 sin x 3sin x3 − = − 3 cos 3x
2 Cho phương trình sin 2x sin x cos x( + )= m 1( ) a/ Chứng minh m > (1) vơ nghiệm b/ Giải phương trình m =
3 Cho phương trình sin 2x cos x sin x+ ( − ) =m a/ Giải phương trình m =
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
4 Cho phương trình : sin x cos x m sin x cos x− ( + )+ =1 a/ Giải phương trình m =
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m ≥1)
5 Cho phương trình ( )
3 3tg x m tgx cot gx 1
sin x + = + =