DE CUONG ON TAP TOAN 9(2011)

Bài 7Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định[r]

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN TỐN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011

PHẦN I: LÝ THUYẾT

A HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn:

Dạng tổng quát:

ax by c a ' x b ' y c '

 

 

 

 (với a, b, c, a’, b’, c’R a, b; a, b’ không đồng thời 0) II/ Giải hệ phương trình bậc hai ẩn:

1) Phương pháp thế:

- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình hệ thay vào phương trình cịn lại - Bước 2: Giải phương trình ẩn x (hoặc y)

- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình cịn lại để suy giá trị ẩn lại - Bước 4: Kết luận

2) Phương pháp cộng đại số:

Chú ý: Hệ số ẩn trừ, đối cộng, khác nhân. B HÀM SỐ y=ax2 (a0)

I/ Tính chất hàm số y=ax2 (a 0): 1/ TXĐ: xR

2/ Tính chất biến thiên:

* a>0 hàm số y=ax2đồng biến x>0 nghịch biến x<0. * a<0 hàm số y=ax2đồng biến x<0 nghịch biến x>0. 3/ Tính chất giá trị:

* Nếu a>0 ymin =  x=0 * Nếu a<0 ymax =  x=0 II/ Đồ thị hàm số y=ax2 (a 0):

1/ Đồ thị hàm số y=ax2 (a 0):

- Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng

- Nếu a>0 đồ thị nằm phía trục hồnh Ox; Nếu a<0 đồ thị nằm phía trục hồnh Ox 2/ Các bước vẽ đồ thị hàm số y=ax2 (a 0):

- Lập bảng giá trị tương ứng:

x x1 x2 x4 x5

y=ax2 y1 y2 0 y4 y5

- Biểu diễn điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định lên mặt phẳng tọa độ - Vẽ (P) qua điểm

III/ Quan hệ (P): y=ax2 (a 0) đường thẳng (d): y=mx+n:

Phương trình hồnh độ giao điểm (P): y=ax2 đường thẳng (d): y=mx+n là: ax2= mx+n  ax2- mx-n=0 (*)

1/(P) cắt (d) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt >0 (hoặc '>0) 2/(P) tiếp xúc (d)  phương trình (*) có nghiệm kép =0 (hoặc'=0)

3/(P) (d) khơng có điểm chung  phương trình (*) vơ nghiệm  <0 (hoặc '<0) C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

I/ Khái niệm ph trình bậc hai ẩn số (x): ph.trình có dạng: ax2 + bx + c = (với a,b,c R a 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai ẩn số:

1 Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax2 + bx = 0:

ax2 + bx =  x.(ax+b)=0 

0

0 x x

b

ax b x

a   

 



   

 

 2 Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax2 + c = 0:

* Trường hợp c>0: phương trình vơ nghiệm (vì ax2 + c > x )

* Trường hợp c<0, ta có: ax2+ c = 

2

ax

c x

c a

c x

a c

x

a 

   

   



  

o

B A

D

C 3 Dạng đầy đủ – Dạng ax2 + bx + c = (với a, b, c0 :

- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c

- Bước 2: Lập  = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 – ac) so sánh với 0

(Trong trường hợp >0 (hoặc '>0) ta tính (hoặc tính ') - Bước 3: Xác định kết luận nghiệm theo bảng sau:

C«ng thøc nghiƯm tổng qt C«ng thøc nghiÖm thu gän

 = b2 - 4ac

-Nếu > : Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt:

x1=

− b+

√

Δ

2a ; x2=

− b −

√

Δ

2a

- NÕu = : Phơng trình có nghiệm kép : x1=x2=− b

2a

- NÕu  < : Phơng trình vô nghiệm

' = b'2 - ac (víi b’ = 2 b

2b')

- Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1=− b '

+

√

Δ'

a ; x2=

− b'−

√

Δ'

a

- Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm kÐp: x1=x2=− b

'

a

- Nếu ' < : Phơng trình vô nghiƯm * Chú ý: Nếu a.c < phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét:

1/ Vi-ét thuận: NÕu x1, x2 nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

1

b S x x

a c P x x

a  

  

  

  

 

2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thỡ u,v l nghim ca phơng trình: x2 - Sx + P = 0 (§iỊu kiƯn: S2 - 4P  0)

3/ NhÈm nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0):

*/ NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a */ NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 =

c a 

* Chú ý: NÕu x1, x2 lµ nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

ax2 + bx + c = a(x-x

1)(x-x2)

IV/ Giải phương trình quy phương trình bậc hai: 1/ Phương trình tích:

( ) ( ) ( )

( ) A x A x B x

B x  

   

 2/ Phương trình chứa ẩn mẫu:

- Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình (là ĐK ẩn để tất mẫu khác 0) - Bước 2: Qui đồng khử mẫu hai vế

- Bước 3: Giải phương trình nhận bước

- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐKXĐ kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = ( a 0 )

+ Đặt : x2 = y  , ta có PT cho trở thành : ay2 + by + c = (*) + Giải phương trình (*)

+ Chọn giá trị y thỏa mãn y0 thay vào: x2 = y  x= y + Kết luận nghiệm phương trình ban đầu

4/ Phương trình sau đặt ẩn phụ quy phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện ẩn phụ có

+ Giải phương trình ẩn phụ

+ Chọn giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy giá trị ẩn ban đầu + Kết luận nghiệm phương trình ban đầu

o C A

B

I M

o

B A

D o

B A

C

x o

A B

x o

A B

C E o

A B

D C

F

M

o

A B C

B

o

A C

E o C

D A

B

B A

o E

C

D

1 Với hai cung nhỏ đường tròn, hai dây căng hai cung nhau, hai cung căng hai dây nhau: AB CD  AB CD

2 Đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung MA MB   IA IB Đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung

và ngược lại MA MB  OM AB

4 Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây chia cung bị căng hai phần IA IB  OI AB MA MB; 

5 Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây chia cung bị căng hai phần OI AB IA IB MA MB ; 

6 Hai cung chắn hai dây song song AB CD/ /  AC BD

7 Số đo góc tâm số đo cung bị chắn BOC sd BC 

8 Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn

 

2 

BAC sd BC

9 Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn

 

2 

BAx sd AB 10 Trong đường tròn :

a) Các góc nội tiếp chắn cung ACB DFE  AB DE b) Các góc nội tiếp chắn cung nhauAMBACB (cùng chắn AB) c) Các góc nội tiếp chắn cung AB DE  ACB DFE d) Góc nội tiếp nhỏ 90o có số đo nửa số đo góc tâm

chắn cung

 1

2 ACB AOB

(cùng chắn cung AB)

e) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng ngược lại, góc vng nội tiếp chắn nửa đường trịn ACB90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

f) Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung BAx BCA  ( chắn cung AB)

11.Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn

 (  )

2

 

BED sd BD AC

(góc có đỉnh bên đường trịn)

12 Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

 (  )

2

 

CED sd CD AB

(góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) II Tø gi¸c néi tiÕp:

a) Tính chất: Tổng hai góc đối tứ giác 1800.

b) DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:

- Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm

III Độ dài đ ờng tròn - Độ dài cung trßn:

- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180 Rn l IV Diện tích hình trịn - Diện tích hình quạt trịn:

- Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

2

360

R n lR S   V C ác cơng thức hình học khơng gian :

1 Hình trụ: Sxq = Cđáy.h (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), Sxq=2r.h (r: bán kính đáy)

V= Sđáy.h (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), V= r2.h (r: bán kính đáy)

2 Hình nón: Sxq =rl (l: đường sinh), V=

3Sđáy.h , V=

3 r2.h 3 Hình cầu: Sxq =4r2 , V=

4 r3

PHẦN II: BÀI TẬP Dạng 1: Giải hệ phương trình.

a)

3x y 2x y

 

 

 

 b)

2x 5y 2x 3y

 

 

 

 c)

4x 3y 2x y

 

 

 

 d)

2x 3y

3x 2y

 

 

 

 e)

2 x y

x y

  

 

 



 i)

1

2 x y

2

1 x y

              

Dạng 2: Một số toán quy giải hệ phương trình. Bài 1: Tìm a, b: 1/ để hệ phương trình

2x by a bx ay

 

 

 

 có nghiệm (1;3).

2/ để hệ phương trình

ax 2y bx ay

 

 

 

 có nghiệm ( 2;- 2). Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;3) B(3;2).

Dạng 4: Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số y=ax (a2 0)

Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x2 y= 

x2 mặt phẳng tọa độ.

b) Cho hàm số y=ax2 Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số qua điểm A(1;-1) Vẽ đồ thị hàm số trường hợp

Dạng 5: Quan hệ (P): y=ax2 (a 0) đường thẳng (d): y=mx+n: Bài 1: Cho hàm số y=x2(P) y=3x-2 (d)

a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ

b) Xác định tọa độ (P) (d) phương pháp đại số

c) Lập phương trình đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) (d’) cắt (P) điểm có hồnh độ

Bài 2: Cho hàm số y=

6 x

(P) y=x+m (d) a) Vẽ (P)

b) Tìm m để (P) (d): - Cắt hai điểm phân biệt; - Tiếp xúc nhau; - Khơng có điểm chung Dạng 6: Giải phương trình:

Bài 1: Giải phương trình: a) 2x2 + 5x = 0 b) x - 6x2 = 0 c) 2x2 + = 0 d) 4x2 -1 = 0 e) 2x2 + 5x + = 0 f) 6x2 + x + = 0 g) 2x2 + 5x + = 0 h) 25x2  20x 0  Bài 2: Giải phương trình: a) 3x4 + 2x2 – = 0 b) 2x4 - 5x2 – = 0 c) 3x4 5x2  0 d) 16 x3 – 5x2 – x = 0 e)



 



2

2

x 3x 5  2x 1 0

f)



 

 

3x 6x

x x

g)



 



x 3x

x x x

      h)

x+2−

x −2= 16

7

Bài 4: Giải phương trình: a) x – 7 x 0  b) x 5 x 0    c)









2

Dạng 7: Khơng giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm cịn lại biết trước nghiệm của PTBH:

Bài 1: Cho phương trình: x2 8x 15 0  , khơng giải phương trình tính:

a) x1x2 b) x x1 c) 2

1

x x d)



x1x2



2 e)

1

x  x f)

1

2

x x x  x Bài 2: Cho phương trình: x23x 15 0  , khơng giải phương trình tính: a) x1x2 b) x x1 Bài 3: a) Cho phương trình: x2 2mx 0  có nghiệm 2, tìm m tính nghiệm cịn lại. b)Cho phương trình: x25x q 0  có nghiệm 5, tìm q tính nghiệm cịn lại Dạng 8: Tìm hai số biết tổng tích chúng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u v biết:

a) u+v=3 u.v=2 b) u+v= -3 u.v=6 c) u-v=5 u.v=36 d) u2+v2=61 u.v=30 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) x1 8 x2 3 b) x1 5 x2 7 Dạng 9: Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn có nghiệm phương trình bậc hai:

Bài 1: Cho phương trình: x2 2x m 0   , tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vơ nghiệm d) Có hai nghiệm trái dấu e) Có hai nghiệm x1và x2 thỏa mãn x12x22 5 Bài 2: Cho phương trình: 3x2 2x m 0   , tìm m để phương trình:

a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm trái dấu c) Có hai nghiệm dương

Dạng 10: Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vơ nghiệm) với mọi tham số:

Bài 1: a) Chứng minh phương trình: x2 2x m 2 0 ln có hai nghiệm phân biệt m b) Chứng minh phương trình: x2 m x m 0







   ln có hai nghiệm phân biệt m. c) Chứng minh phương trình: x22 m x 4m 12 0







   ln có nghiệmm.

d) Chứng minh phương trình:





2 2 2

c x  a  b  c x b 0

vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác

Dạng 11: Tốn tổng hợp: Bài 1: Cho phương trình: x2 m x 4m 0







 

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép

b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1= 2x2 e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x12x22 5

f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 cho A=2x122x22 x x1 2đạt giá trị nhỏ nhất. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

- Bước 1: Chọn ẩn (kèm theo đơn vị) đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

- Bước 2: Biểu thị đại lượng chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết

- Bước 3: Lập phương trình (hệ phương trình) biểu diễn tương quan đại lượng - Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình)

- Bước 5: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐK trả lời

A

DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG.

L u ý: + Qđờng = Vtốc Tgian; Tgian = Qđờng : Vtốc; Vtốc = Qđờng : Tgian + v(xuôi)= v(riêng)+v(nớc); v(ngợc)= v(riêng)-v(nớc)

+ v(riêng)= [v(xuôi) + v(ngợc)]:2; v(nớc)= [v(xuôi) - v(ngợc)]:2 * Chú ý: - Vận tốc dịng nớc vận tốc đám bèo trơi, bè trôi

Bài 1: Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người tăng vận tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B

Giaûi: Gọi x (km/h ) vận tốc người xe đạp từ A đến B (ĐK: x > 0) Khi đó: vận tốc người từ B A : x + (km/h)

Thời gian người từ A đến B là: 36

x (h); Thời gian người từ B A là:

36

x+3 (h)

Theo đề tốn ta có phương trình:

36 36

3 x  x  Biến đổi phương trình ta được: x2 + 3x - 180 = 0

Giải phương trình ta được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện ẩn) x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện ẩn) Vậy vận tốc người từ A đến B 12 km/h.

Bài 2: Hai thành phố A B cách 50km Một người xe đạp từ A đến B Sau 1giờ 30 phút, một người xe máy từ A đến B sớm người xe đạp 1giờ Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy lớn vận tốc người xe đạp 18km/h

Gọi x(km/h) vận tốc người xe đạp, ta có phương trình:

50 50

18

x - x+ =

Bài 3: Một ca nơ chạy xi dịng từ bến A đến bến B, sau chạy ngợc dịng từ B A hết tổng thời gian Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km vận tốc dịng nớc km/h Tính vận tốc thực ca nô

Gọi x(km/h) vận tốc ca nô, ta cã PT: 60

5 x +

60 x = 5

Bài 4: Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ đến sớm 2 giờ, giảm vận tốc 4km/giờ đến muộn giờ.Tính vận tốc dự định thời gian dự định

Giải: Gọi thời gian dự định x(h) vận tốc dự định y(km/h) (ĐK: x > 0, y > 0) * Quãng đường AB dài là: x.y (km)

* Nếu vận tốc giảm 4km/h thời gian tăng thêm nên ta có: (x + 1)(y - 4) = x.y



-4x + y = 4

* Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thời gian bớt nên ta có: (x - 2)(y + 14) = x.y



14x - 2y = 28

Theo đề ta có hệ phương trình:

4x y 8x 2y x =

14x 2y 28 14x 2y 28 y = 28

     

  

 

  

   

   (TMĐK)

Vậy : Thời gian dự định vận tốc dự định 28km/h.

Bài 5: Một ngời từ tỉnh A đến tỉnh B cách 78 km Sau ng ời thứ hai từ tỉnh B đến tỉnh A hai ngời gặp địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian ngời từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn vận tốc ngời thứ km/h

Gọi x (h) thời gian ngời từ A đến C (ĐK: x> 0), ta cú phương trỡnh: 36

1 x

-42

x =4

C

DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIÊNG.

Bài 1: Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thợ thứ hai làm họ làm đợc 25% khối lợng công việc Hỏi ngời thợ làm cơng việc

Giải: Gọi x(giờ) thời gian để ngời thứ làm xong cơng việc.

Gọi y(giờ) thời gian để ngời thứ hai làm xong cơng việc (ĐK: x > 16; y > 16). Trong giờ, ngời thứ làm đợc:

x (công việc) ; Trong giờ, ngời thứ hai làm đợc:

1

y (c«ng viƯc)

Trong giờ, hai ngời làm đợc:

Theo đề ta có hệ phơng trình:

¿

1

x+

1

y=

1 16

x+

6

y=

1

¿{

¿

Giải hệ phơng trình ta đợc:

¿ x=24

y=48

¿{

¿

( tháa m·n ®iỊu kiƯn )

Vậy: thời gian để ngời thứ làm xong cơng việc là: 24 ( ). thời gian để ngời thứ hai làm xong cơng việc là: 48 ( giờ).

Bài 2: Hai tổ niên tình nguyện sửa đờng xong Nếu làm riêng tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm xong việc ?

Giải : Gọi x( ) thời gian tổ sửa xong đờng ( ĐK: x >4 )

Thời gian tổ sửa xong đờng x + ( ) Trong giờ, tổ sửa đợc:

x ( đờng ); Trong giờ, tổ sửa đợc:

1

x+6 (con đờng ) Trong giờ, hai tổ sửa đợc:

4 (con đờng ) Theo ta có hệ phơng trình:

x +

1

x+6 = Biến đổi phương trình ta được: x2 2x 24 0

Giải phương trỡnh trờn ta được: x1 = (thoả điều kiện ẩn) x2 = -4 (khụng thoả điều kiện ẩn) Vậy: tổ sửa xong đờng hết ngày

tổ sửa xong đờng hết 12 ngày

Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bể (ban đầu khơng chứa nước) sau đầy bể Nếu chảy mình cho đầy bể vịi I cần nhiều thời gian vòi II Hỏi chảy để đầy bể vòi cần thời gian ?

Gäi x( giê ) lµ thêi gian vịi II chảy đầy bể( §K: x >6 ) , phương trình : x 5 +

1 x =

1

D

DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU.

Bài 1: Một đoàn học sinh gồm cú180 học sinh đợc điều thăm quan diễu hành Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lợt hết số học sinh phải điều động dùng loại xe nhỏ Biết xe lớn nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn ?

Giải: Gọi số xe lớn x (chiếc) (K: x nguyên dơng). Số xe nhỏ là: x + ( chiÕc )

Số học sinh xe lớn chở đợc là: 180x ( Hs); Số học sinh xe nhỏ chở đợc là: 180x

+2 ( Hs). Vì xe lớn nhiều số xe nhỏ 15 chỗ ngồi, ta có phơng trình: 180

x -

180

x+2 = 15 Biến đổi phương trình ta được: x22x 24 0

Giải phương trình ta được: x1 = (thoả mãn điều kiện ẩn) x2 = -6 (không thoả mãn điều kiện ẩn) VËy sè xe lín lµ chiÕc

Bài 2: Trong buổi lao động trồng ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 Vì có bạn tổ đợc phân cơng làm việc khác nên để trồng đủ số đợc giao ,mỗi bạn lại tổ trồng tăng thêm với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bạn biết số đợc phân cho bạn

Gọi x số học sinh tổ (x nguyên x>1), ta cú phơng trình :

56 56

1

x  x 

Gọi x(dÃy) số dÃy ghế ban đầu, phơng trình:

400 360 1

x  x 

Bài 4: Một đội công nhân hồn thành cơng việc với mức 420 ngày cơng Hãy tính số cơng nhân đội, biết đội tăng thêm ngời số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày.

Gọi x số công nhân ca i (x nguyờn v dng), phơng trình: 420x - 420x

+5 =

E

DẠNG TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC.

Bài 1: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng i

Bi 2: Một hình chữ nhật có chu vi lµ 160m vµ diƯn tÝch lµ 1500m2 TÝnh chiỊu dài chiều rộng hình chữ nhật ấy Bi 3: Tìm hai cạnh tam giác vuông biết cạn huyền 13 cm tổng hai cạnh góc vuông 17.

Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ tam giác x ( cm ), (K: 0< x < 17 ). Ta có: cạnh góc vuông lại là: ( 17 - x ) ( cm).

Vì cạnh huyền tam giác vng 13cm, ta có phơng trình: x2 + ( 17 - x )2 = 132  x2 - 17x + 60 =

Giải PT ta đợc: x1 = 12, x2 = ( thỏa mãn điều kiện )

Vậy độ dài cạnh góc vng lần lợt 12 cm, cm.

F

MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC.

Bài 1: Bạn Hải mua trứng gà trứng vịt Lần thứ mua năm trứng gà năm trứng vịt hết 10.000đ Lần thứ hai mua ba trứng gà bảy trứng vịt hết 9.600đ Hỏi giá qủa trứng loại bao nhiªu?

Bài 2:Tổng số cơng nhân hai đội sản suất 125 ngời Sau điều 13 ngời từ đội thứ I sang đội thứ II số công nhân đội thứ I 2/3 số công nhân đội thứ II Tính số cơng nhân đội lúc ban đầu

BÀI TẬP HÌNH HỌC:

Bài 1: Cho ABC vuông A (AB < AC), vẽ AH  BC Gọi D điểm đối xứng B qua H, E hình chiếu C AD Chứng minh:

a) Tứ giác AHEC nội tiếp, xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) AHE cân c) Biết BC = 2a, ACB = 300, tính theo a:

c1) Diện tích xung quanh thể tích hình tạo quay ABC vuông A quanh cạnh AB c2) Diện tích hình giới hạn đoạn AC, CH cung AH (O)

Bài 2: Cho đường trịn (O; 10cm) điểm A nằm bên ngồi đường tròn Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB AC (B, C tiếp điểm) cho góc BAC = 450.

a) Tính độ dài cung AB đường tròn (O);

b) Tia CO cắt AB D, chứng minh: BOD ACD tam giác vng cân;

c) Tính độ dài đoạn AC; d) Tính d.tích hình giới hạn đoạn AC, AB cung BC (O) Bài 3: Cho tam giác ABC vng A Đường phân giác góc C cắt AB E Kẻ AH vng góc với BC AK vng góc với CE, gọi I giao điểm AH CE Chứng minh:

a/ Bốn điểm A, K, H, C nằm đường tròn Xác định tâm O đường tròn b/ OK vng góc AH c/ Tam giác AEI cân

Bài 4: Cho tam giác vng ABC có cạnh huyền BC 2a góc B 600 Trên cạnh AC lấy điểm M ( M khác A;C) Vẽ đường trịn tâm I đường kính MC Đường tròn cắt tia BM D cắt cạnh BC điểm thứ hai N

a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn b Chứng minh DB tia phân giác góc ADN

c Khi tứ giác ABCD hình thang , tính diện tích hình trịn tâm I theo a

Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn Kẻ đường cao AH Trên đoạn AH lấy điểm M Đường tròn tâm O đường kính AM cắt AB D AC E

a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp b) Chứng minh : AMDABC c) Cm: AD.AB = AE.AC

a) Chứng minh:SMC ACB b) Cm: AC2 = AM.AS

c) Trường hợp Aˆ= 600 Tính độ dài BAC, độ dài dây AB d.tích phần h.trịn nằm ngồi ABC theo R Bài 7: Cho ABC nội tiếp (O;

BC

2 ) có AB>AC, Hai tiếp tuyến đường tròn A B cắt M. a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp Xác định tâm I đường trịn b) Chứng minh: OAB IAM  . c) Đường cao AH ABC cắt CM N Chứng minh : N trung điểm AH

d) Giả sử ACB = 600 Tính diện tích hình giới hạn dây AC cung nhỏ AC (O) theo R.

ƠN TẬP TỐN – HỌC KÌ 2

A LÍ THUYẾT Câu 1: Hàm số y = ax2 (a khác 0): Tính chất đồ thị?

Câu 2: Công thức nghiệm PT bậc ẩn.(Khi hệ số b chẵn hệ số b lẻ)

Câu 3: Hệ thức Vi-et: Phát biểu ứng dụng.

Câu 4: Giải toán cách lập PT: (toán suất, chuyển động quan hệ số)

Câu 5: Góc tâm góc nội tiếp: Tính nghĩa, số đo, tính chất?

Câu 6: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, góc có đỉnh bên trong, bên ngồi đường trịn: Định nghĩa, số đo, tính chất?.

Câu 7: Liên hệ cung dây: Phát biểu định lí, vẽ hình, chứng minh.

Câu 8: Cung chứa góc:

- Quỹ tích Điểm M nhìn đoạn thẳng AB góc 900

- Quỹ tích Điểm M nhìn đoạn thẳng AB góc



( <



< 1800)

Câu 9: Tứ giác nội tiếp:

- Định nghĩa, tính chất?

- Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

Câu 10: Độ dài đường tròn, cung tròn Diện tích hình trịn, hình quạt trịn: Vẽ hình, viết cơng thức tính.

B BÀI TẬP

*DẠNG 1 TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC:

Bài 1: Cho biểu thức P= 

                       : 1 x x x x x x x x

a) Rút gọn P b/Tính Pkhi x=30 + 10

√5

Bài 2: Cho biểu thức:P=

1                   a a a a a a a a a a a a

a) Rút gọn P b) Chứng minh P >3

c) Cho P=1 6

 , tìm giá trị a?

Bài 3: Cho biểu thức :P=

1 2       a a a a a a a

a) Rút gọn P b) Biết a >1 Hãy so sánh P với P c) Tìm a để P=2 d) Tìm giá trị nhỏ P

Bài 4: Cho biểu thức:P=









b ab a b a a b a b b a a a b ab a a 2 : 3                   a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên

Bài 5: Cho biểu thức: P= 

                    2 : 1 a a a a a a a) Rút gọn P

Bài 6: Cho biểu thức :P=

√

x

√xy

−2y−

2x

x+

√

x −2

√

xy−2

√

y

1− x

1−

√

x

a) Rút gọn P

b) Tìm tất số nguyên dương x để y=625 P<0,2

*DẠNG 2 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ET:

Bài

Cho phương trình x2  2



m2



xm10 Giải phương trình m =2

a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm

b) Gọi x1;x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để: x1(1 2x2)x2(1 2x1)m2 Bài Cho phương trình : x2  2



m1



xm2  4m30

a) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm trái dấu

b) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ không c) Gọi x1;x2 hai nghiệm có phương trình Tính M =

2 2 x

x  theo m Tìm giá trị nhỏ M ( có)

Bài 3Cho phương trình: x2  2mx2m 10

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1;x2 với m

b) Đặt A=

2 2

1 )

(

2 x x  xx

b1) Chứng minh rằng: A=8m218m9 b2) Tìm m cho A= 27

c) Tìm m cho phương trình có nghiệm ba lần nghiệm Bài Cho phương trình x2mxn 30 (1) (n , m tham số) a) Cho n = CMR phương trình ln có nghiệm với m

b) Tìm m n để hai nghiệm: x1 ; x2 phương trình (1) thoả mãn hệ: 

 

 

7 2

2

x x

x x

Bài Cho phương trình : x2 



2m 3



xm2  3m0

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1,x2thoả mãn 0x1 x2 5 Bài Cho phương trình x2−2(m+1)x+2m+10=0 (với m tham số )

a) Giải biện luận số nghiệm phương trình

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ; tìm hệ thức liên hệ

x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị m để 10x1x2+x12+x22 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x2−4x

√3

+8=0 có hai nghiệm x1; x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức : M=6x1

2

+10x1x2+6x2 5x1x23+5x13x2

*DẠNG 3 CÁC BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN:

Bài Tìm giá trị m để hệ phương trình ;









  

  

   

2

1

y m x

m y x m

Có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y nhỏ

Bài 2Cho hệ phương trình :  

 

  

a y x a

y x a

3 )

1 (

a) Giải hệ phương rình a= -

Bài Cho a b thoả mãn hệ phương trình :

{

a

+2b2−4b+3=0

a2+a2b2−2b=0 Tính a2+b2

*DẠNG 4 CÁC BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 ( a  )

Bài 1: Cho (P) y x2 đường thẳng (d) y=2x+m a) Vẽ (P)

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số: y = 2

x2

a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A ; -2 ) B ; - ) b) Tìm giao điểm đường thẳng vừa tìm với đồ thị

Bài 3: Cho (P) x y 

(d): y=x+ m a) Vẽ (P)

b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -

Bài Cho (P)

2 x y 

đường thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ lầm lượt -2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng (d)

c) Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x



 2;4



cho tam giác MAB có diện tích lớn

(Gợi ý: cung AB (P) tương ứng hồnh độ x



 2;4



có nghĩa A(-2;yA) B(4;yB) tính yA;;yB) Bài

Cho đường thẳng (d): 2(m−1)x+(m −2)y=2

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y=x2 hai điểm phân biệt A B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m

c) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi d) * Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng lớn Bài 6Cho (P) y=− x2

a) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ

√

2

b) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ hai đường thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)

Bài Cho (P) y=−x

4 điểm M (1;-2)

a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m

b) Chứng minh rằng: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi

c) Gọi xA;xB hoành độ A B Xác định m để x2AxB+xAx2B đạt giá trị nhỏ tính giá trị

d) Gọi A' B' hình chiếu A B trục hồnh S diện tích tứ giác AA'B'B d1) Tính S theo m

d2) Xác định m để S = 4(8+m2

√

m2+m+2)

*DẠNG 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH:

Bài Hai tơ khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ

Bài Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe loại để vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành đoàn xe giao thêm 14 hàng phải điều thêm xe loại xe chở thêm 0,5 hàng Tính số xe ban đầu biết số xe đội không 12 xe

Bài 4Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B, lúc người đi từ bến A dọc theo bờ sôngvề hướng bến B Sau chạy 24 km, ca nô quay chở lại gặp người địa điểm D cách bến A khoảng km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết vận tốc người vận tốc dòng nước km/h

Bài

Hai vòi nước chảy vào bể chứa khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?

Bài 6Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt 20 cá, vượt mức tấn tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà cịn vượt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định

Bài 7Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhưng cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày vượt mức 6000 đơi giầy hồn thành kế hoạch định 24 ngày mà vượt mức 104 000 đơi giầy Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch

*DẠNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP :

Câu Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC

Chứng minh:

a) Tứ giác CBMD nội tiếp

b) Khi điểm D di động trên đường trịn BMˆD+BCˆD khơng đổi c) DB DC = DN AC

Câu Cho đường trịn tâm O A điểm ngồi đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn, cát tuyến từ A cắt đường tròn B C ( B nằm A C ) Gọi I trung điểm BC

1) Chứng minh điểm A, M, I, O, N nằm đường tròn

2) Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN MC E F Chứng minh tứ giác BENI tứ giác nội tiếp E trung điểm BF

Câu Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đường trịn đường kính AB, AC cắt D Một đường thẳng qua A cắt đường trịn đường kính AB, AC

E F

1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng

2) Khi E F vuông goc với AD ̀Chứng minh B, C , E , F nằm đường trịn 3) Xác định vị trí đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn

Câu 4Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh:

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đường tròn c) AC song song với FG

d) Các đường thẳng AC, DE BF đồng quy

Câu 5Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC

1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc AMB = góc HMK

3) Chứng minh  AMB đồng dạng với  HMK

Câu Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE

a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn b) CMR: HA tia phân giác góc BHC

BH cắt (O) K Chứng minh rằng: AE song song CK

Câu 7Cho  ABC ( AC > AB ; B^A C > 900 ) I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Các đường trịn đường kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) điểm thứ hai F

a) CMR ba điểm B, C, D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp

c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy

d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đường tròn ngoại tiếp AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH, DE

Câu 8Cho đường tròn (O; R) điểm A với OA = R

√

2 , đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M, N; gọi I trung điểm đoạn MN

a) CMR: OI  MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB, AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng