Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN vµ MCN c©n.[r]
(1)Đề 3
Bài 1: Cho biểu thøc:
√x+√y
P= x
(√x+√y)(1−√y)−
y
¿(√x+1)¿−
xy
(√x+1)(1−√y)
a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2)
a) Chøng minh r»ng víi mäi giá trị m (d) cắt (P) hai ®iĨm A , B ph©n biƯt
b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung Bài 3: Giải hệ phơng trình :
¿
x+y+z=9
1 x+
1 y+
1 z=1 xy+yz+zx=27
¿{ {
¿
Bài 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn (C ≠ A ;C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax
tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N
a) Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R
Bµi 5: Cho x , y , z∈R tháa m·n : x+
1 y+
1 z=
1 x+y+z
HÃy tính giá trị biểu thức : M =
4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 x10) Đáp án
Bi 1: a) Điều kiện để P xác định :; x ≥0; y ≥0; y ≠1; x+y ≠0
*) Rót gän P:
(1 ) (1 )
1
x x y y xy x y
P
x y x y
( )
1
x y x x y y xy x y
x y x y
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1
1
x x y x y x x
x y
(2)Q
N
M
O C
B A
1
x y y y x
y
1 1
1
x y y y y
y
x xy y.
VËy P = √x+√xy−√y b) P = ⇔ √x+√xy−√y = ⇔√x(1+√y)−(√y+1)=1
⇔(√x −1) (1+√y)=1
Ta cã: + y 1 x 1 0 x x = 0; 1; 2; ; 4 Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn
Bi 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên ph-ơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m –
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m –
⇔ x2 + mx + m – = (*)
Vì phơng trình (*) có =m24m+8=(m2)2+4>0m nên phơng tr×nh (*)
ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B
b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung ⇔ ph¬ng tr×nh : x2 + mx + m – = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m <
Bµi :
¿ x+y+z=9(1)
1
x+
1
y+
1
z=1(2)
xy+yz+xz=27(3)
¿{ {
¿
§KX§ : x ≠0, y ≠0, z≠0
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
81 81
81 27
2( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x y z x y z xy yz zx
x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
x y y z z x
x y x y
y z y z x y z
z x z x
Thay vµo (1) => x = y = z =
Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z =
Bµi 4:
a) XÐt ΔABM vµ ΔNBM
Ta có: AB đờng kính đờng trịn (O) nên :AMB = NMB = 90o
(3)=> ΔBAN cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiếp
=> BAM = MCN ( bù với góc MCB) => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M
b) XÐt ΔMCB vµ ΔMNQ cã :
MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ).
=> ΔMCB=ΔMNQ(c.g.c) => BC = NQ
XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã AC⊥BQ⇒ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC =
(√5−1)R
Bµi 5: Tõ :
x+ y+
1 z=
1
x+y+z =>
1 x+
1 y+
1 z−
1 x+y+z=0
=> x+y xy +
x+y+z− z
z(x+y+z)=0
⇒(z+y)(
xy+
z(x+y+z))=0
⇒(x+y)(zx+zy+z
2
+xy
xyz(x+y+z) )=0
⇒(x+y)(y+z)(z+x)=0
Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M =