Sơ đồ khảo sát hàm số

SÔ ÑOÀ CAÙC BÖÔÙC KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ 1.. Baûng bieán thieân : (ÖÙng vôùi caùc tröôøng hôïp ñaïo haøm phía treân ).[r]

SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ 1 Hàm bậc ba : y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

a TXĐ : D = R b Sự biến thiên :

+ Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = A x2 + Bx + C ( Tính Δ ) , Sau khả năng

xẩy :

TH1: {AΔ<<00  y’ < với x R  HS nghịch biến R (1)

TH2: {AΔ<0

>0  y’ > với x R  HS đồng biến R (2) TH3: {ΔA=<00  y’  với x R  HS nghịch biến R (3)

TH4: {ΔA=>00  y’  với x R  HS đồng biến R (4)

TH5, 6: Δ > Cho y’= 

x=x1⇒y=f(x1)

x=x2⇒y=f(x2)

¿

(5) vaø (6)

Căn vào BBT để kết luận khoảng mà hàm số tăng giảm + Cực trị :

* Các TH1, TH2, TH3, TH4 : Kết luận khơng có cực trị * TH5: Hàm số đạt cực đại x = x1 yCĐ = f(x1)

Hàm số đạt cực tiểu x = x2 yCT = f(x2)

* TH6: Hàm số đạt cực tiểu x = x1 yCT = f(x1)

Hàm số đạt cực đại x = x2 yCĐ = f(x2)

+ Giới hạn: a > : Limyx→ −∞=¿ - , Limy

x →+∞

=¿ +  ; a < : Limy

x→ −∞

=¿ + ,

Limy x →+∞

=¿ - 

+ Bảng biến thiên : (Ứng với trường hợp đạo hàm phía )

c Đồ thị :

+ Điểm đặc biệt : Tìm gđ đồ thị (C) với Ox Oy; điểm CT ; lấy thêm vài điểm khác + Vẽ đồ thị : Gồm bước : Vẽ hệ tục ; Lấy điểm đặc biệt ; Vẽ đồ thị (Các dạng đồ thị )

) x ( f     CT CÑf(x2)     CÑ CT ) x ( f 1 ) x ( f _          x ' y y ) (          x ' y y ) ( A B          x ' y y ) (  A B  _         x ' y y ) (        x ' y y ) (

 01 

x x2

     x ' y y ) (

 01 

x x2

)

2 Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c (a  )

a TXĐ : D = R b Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = x (4ax2 + 2b) Có thể xẩy

trường hợp sau:

TH1: Nếu a < b < y’=  x =  y = f(0) Xem BBT để kết luận

khoảng tăng , giảm (1)

TH2: Nếu a > b > y’=  x =  y = f(0) Xem BBT để kết luận

khoảng tăng , giảm (2)

TH3: Neáu a < b > y’= 

x=x1⇒y=f(x1)

x=0⇒y=f(0) x=x2⇒y=f(x2)

¿

Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm (3)

TH4: Nếu a > b < y’= 

x=x1⇒y=f(x1)

x=0⇒y=f(0) x=x2⇒y=f(x2)

¿

Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm (4)

+ Cực trị :

TH 1: Hàm số đạt cực đại x = yCĐ = f(0)

TH 2: Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = f(0)

TH 3: Xem BBT để kết luận TH 4: Xem BBT để kết luận

+ Giới hạn: a> : Limyx→ −∞=¿ + Limy

x →+∞=¿ +  ; a< : Limyx→ −∞=¿ - vaø Limy

x →+∞=¿ - 

+ Bảng biến thiên :

c Đồ thị :

* Điểm đặc biệt : Tương tự HS bậc ba

* Vẽ đồ thị : Thứ tự bước vẽ HS bậc ba Các dạng đồ thị hàm trùng phương ứng với trường hợp sau :

y’

x y

 

+

0

 

0 _



 CÑf(0  

)

(1)

y’ x

y

 

+

 

0 _



 CT 

f(0)

(2)

y’ x y

 

+

 

0 _

 

(3) x10 00 + x2 _

CT f(0)

0 y’

x y

 

+ _

 CÑ 

f(0)

(4) x10 00 x2

+ _ 0

  )

x ( f CD

1 f(x )

CD

2

) x ( f CT

1 f(x )

CT

2

)

c

a   

_

  





x ' y

y ) (



 

 

_

  



x ' y

y ) (

 

c a

c a

c a c

d



c d

 3 Hàm biến : y = axcx++bd ( c  ; ad –bc  )

a TXĐ : D = R \ {−d c} b Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Đạo hàm : y’ =

cx+d¿2 ¿

ad−bc

¿

Có thể xẩy trường hợp sau :

TH1: ad - bc >  y’> với xD HS tăng khoảng: (-, −dc );( −dc ,

+ ) (1)

TH2: ad - bc <  y’< với xD HS giảm khoảng: (-, −dc );( −dc ,

+ ) (2)

+ Cực trị: Khơng có

+ Tiệm cận : ( có TCĐ TCN ) * y’ > : x →lim(− d

c)

−

y=+∞

vaø x →(− d c)

+¿

y=− ∞ lim

¿

 đường thẳng x = −dc

là TCĐ

y’ < : x →lim

(− d c)

−y

=− ∞

va x →(− d c)

+¿

y=+∞ lim

¿

 đường thẳng x = −dc

là TCĐ * lim

x → ±∞y= a

c  đường thẳng y = a

c laø TCN + Bảng biến thiên :

c Đồ thị : * Điểm đặc biệt : Tìm giao điểm đồ thị với trục toạ độ ; Lấy thêm vài điểm khác

(1) (2) TCÑ

TCN

TCÑ