Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O... Gọi I là tr[r]
(1)GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A KỲ THI TUYỂN SINH ĐH – CĐ NĂM 2009 I Phần chung cho tất thí sinh
Câu I: (2,0đ) Cho hàm số:
x
y (1)
2x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O
Bài giải
3 x
2 x TXÐ: \
2 S bi n thiên
x
Tìm ti m c n ng: lim th hàm s (1) có ti m c n ng x
2x
x 1
Tìm ti m c n ngang: lim th hàm s (1) có ti m c n ngang y
2x 2
1
Tính y' v
2x
ù Õ
ệ ậ đứ đồ ị ố ệ ậ đứ
ệ ậ đồ ị ố ệ ậ
íi x hàm s ln ngh ch bi n ; 3; khơng có c c tr
2 2
è Þ Õ ù Þ
Bảng biến thiên
Đồ thị:
bảng biến thiên phụ
(2)-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -2 2 4
x y
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận điểm
3
I ,
2
làm tâm đối xứng.
2 G i A a;0 Ox; B 0;b Oy theo gi thi t ta có: |a| |b|
nh ng hàm s lu n ngh ch bi n nên ti p n ch có th có d ng y kx m v i k < nên a b
x y
Ph ng trình ng th ng AB: a b
x y
1 y x a ti p xúc v a a
ä ¶ ế
ư ố ô ị ế ế ế ỉ ể
ớ
ư đư ẳ
Õ í
2
2
x
x a 2x
i (1)
1
1 (2x 3)
x a (lo i)
T ph ng trình 2x
(2x 3) x a
V y ph ng trình ti p n c a (1) y x
ạ
ừ
ậ Õ Õ ñ
(3)1 Giải phương trình:
1 2sinx cosx
3 2sinx sinx
2 Giải phương trình: 3x 5x x3 Bài giải
2
x k2
6
1 2sinx sinx
u ki n : x k2
1 sinx sinx 1
x k2
2 2sinx cosx
3 2sinx sinx
cos x 2sin x cos x sinx 2sinx 2sin x cosx 2sinxcosx 2sin x sinx +1
cos x sin x cos2x s
1 §iỊ Ư
in2x
1 3
cos x sin x cos2x sin2x
2 2
sin x sin 2x
6
k2
x 2x k2 x
6 18
2
x 2x k2 x k2 lo i
6
(4)
3
3
2
3
2
3
3
2
2
2) 3x 5x
Ð t 3x u 3x u
6 5x v 5x v
3
u v
2u 3v
3
5u 3v
5 v 3v
2
Gi i ph ng trình: v 3v
135v 1104v 2880v 2496
v 135v 564v 624
v Vì 135v
Ỉ
ả
564v 624 VN
u
6 5x 16 x
(5)
/2
3
0
/2 /2
5
1
0
/2 /2
5
1
0
/2
2
/2
4
0
5
Tính tích phân I (cos x 1)cos x dx Gi i
I cos x dx cos x dx I I Tính I cos x dx cos x.cos x dx
1 sin x d(sin x)
sin x 2sin x d(sin x) / sin x 2sin x
sin x
5
1
1
5 15
¶
/2 /2
2
0
1
1
Tính I cos x dx cos2x dx
2 /
sin2x
4 4
8 Ta c : I I I
15
đư ợ
Câu IV: (1,0điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
(6)(7)
0
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
Hình thang ABCD A D 90
AB AD 2a A D a
A B l tam gi c vu ng B A AB a 4a 5a
vu ng DC : C a a 2a
T C k CH AB CHB l tam gi c vu ng
CH 2a, CD a HB a
BC HC HB 4a a 5a
BIC l tam gi c c n BC B 5a K
à ô
ô
ừ ẻ ô
à â
ẻ
2 2 2
0
K CB : T nh K
a G i J l trung m C J
2
a 9a
BJ B J 5a
2
3a
BJ ,
2
BJ C Ta có BJ C K.BC K
BC 3a
a 3a
K
a 5
S C , S C ABCD S ABCD
IK BC SK BC SKI 60
3a
S K.tan60
5
AB CD AD 2a a 2a
Di n t ch ABCD 3a
2
Ý
ä µ ®iĨ
Ư Ý
3
2
1 3a 3a 3a 15
V 3a
3 5
Câu V: (1,0 điểm)
Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có :
(8)
2
2
2
2
2 2
3
3
3 2
x xt t t y z, gi thi t suy yz
3
y z
Vì yz x x y z 3yz y z
4
3
x tx t 2x t 4t
4
2x t 2t 2x t
B T ph i ch ng minh
2x y z x y x z 2x y z x y x z y z y z
2x y z x y x z 2x x z
2x y z 6x x x y z yz
Đặ ¶ Õ
§ ¶ ø
3
2
3 2 3
2
Vì t
2
2
2
2
y z x xt
2x t 6x x xt 5t
3
2t 2x 3xt 2t
2x 3xt 2t
t t 3t
Vì x 2x 3xt 2t
2 2
2x 3xt 2t pcm
D u " " x y x y z
đ
ấ ả
Phn riêng (3,0)
A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng: : x + y – = Viết
phương trình đường thẳng AB
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn
(9)' '
'
' ' '
' '
M M M
I
M
M M M M
I
' '
E E E E
Ph ê
I giao c a AC BD nên M ì M CD
x x x
x x 11
2
y y y y
y
2
M t khác: ME IE nên:
EM IE (11 u )(x 1) (1 y )(y
ầnưri ngưcâuư6aư(1)
ixngviMquaIth
ặ
2
E E E E
2
E E E E
E E
2
E E E E
E E
E
E
'
5)
x 12x 11 y 4y
x y 12x 4y (1)
Mà E :x + y -5 =0
x y (2)
T ta c
x y 12x 4y
x y
79 y
169 79
18 E ;
169 18 18
x
18
29 61
ME ; l vec
18 18
õ(1) vµ(2) ã
µ AB AB
t ch ph ngc a AB hayu (29; 61) n (61; 29)
Ph ng trình ng AB : 61(x 1) 29(y 5)
61x 29y 84
¬ Ø ¬ đ
(10)
2
2
2
2
6a2 Ph ng trình (C) x y 2
T m ; ; b n k nh R K H ( ) H l trung m AB
1 4m V i H d /
1 m
ng th ng ( ) c t (C) H R | 4m |
2 14m 8m
1 m
4 30 30
m
14 14
t H x K : x
Trong vu ng HA ta c : HA
ư
â í
ẻ điể
ớ
Đư ẳ ắ
Đặ Đ
ô ó
2 2
2
2 AB
2
2 2
AB
2
AB
2
A H x
HA x
1
S H.AB x x
2
Áp d ng B T c si ta c :
x x
S x x x x
2
max S x x x tho m n
m tho m n | 4m |
1 15m 8m 8
m tho m n
1 m
15
ụ Đ ô ó
ả Ã
ả ·
¶ ·
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2
Bài giải
2 '
1
2
2 2
PT : z 2z 10
1 10
z 3i | z | 10
z 3i | z | 10
A | z | | z | 10 10 20
(11)' '
'
' ' '
' '
M M M
I
M
M M M M
I
' '
E E E E
Ph ê
I giao c a AC BD nên M ì M CD
x x x
x x 11
2
y y y y
y
2
M t khác: ME IE nên:
EM IE (11 u )(x 1) (1 y )(y
ầnưri ngưcâuư6aư(1) ủ đốiưxứngưvớiưMưquaIth ặ 2
E E E E
2
E E E E
E E
2
E E E E
E E
E
E
'
5)
x 12x 11 y 4y
x y 12x 4y (1)
Mà E :x + y -5 =0
x y (2)
T ta c
x y 12x 4y
x y
79 y
169 79
18 E ;
169 18 18
x
18
29 61
ME ; l vec
18 18
õ(1) vµ(2) ã
µ AB AB
t ch ph ngc a AB hayu (29; 61) n (61; 29)
Ph ng trình ng AB : 61(x 1) 29(y 5)
61x 29y 84
¬ Ø ¬ đ ¬ ® ê 2 2
2 Ph ng trình (C) x y 2
T m ; ; b n k nh R K H ( ) H l trung m AB
2 2m 2m V i H d /
1 m 4m H m â í
ẻ điể
(12)
2 2
2
2 2
2
2 AB
ng th ng ( ) c t (C) H R | 4m |
2 4m m
1 m
14m 8m
4 30 30
m
14 14
t H x K : x
Trong vu ng HA ta c : HA A H x
HA x
1
S H.AB x x
2
Đư ẳ ắ
Đặ Đ
« ã
2
2 2
AB
2
AB
2
2
Áp d ng B T c si ta c :
x x
x x x x
2
S
max S x x
x tho m n | 4m |
1 | 4m | m
1 m
m tho m n
15m 8m 8
m tho m n
15
ơ § « ã
¶ ·
¶ ·
¶ ·
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu
thức A = |z1|2 + |z2|2
Bài giải
2 '
1
2
2 2
PT : z 2z 10
1 10
z 3i | z | 10
z 3i | z | 10
A | z | | z | 10 10 20
(13)Câu VI.b (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 +
4x + 4y + = đường thẳng : x + my – 2m + = 0, với m là
tham số thực Gọi tâm đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) tại
hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y +
2z – = hai đường thẳng
x y z x y z
: , :
1 2
Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách
từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
bằng
(14)
2
2
2
2
1 Ph ng trình (C) x y 2
T m ; ; b n k nh R K H ( ) H l trung m AB
1 4m V i H d /
1 m
ng th ng ( ) c t (C) H R | 4m |
2 14m 8m
1 m
4 30 30
m
14 14
t H x K : x
Trong vu ng HA ta c : HA
ư
â í
ẻ điể
ớ
Đư ẳ ắ
Đặ Đ
ô ó
2 2
2
2 AB
2
2 2
AB
2
AB
2
A H x
HA x
1
S H.AB x x
2
Áp d ng B T c si ta c :
x x
S x x x x
2
max S x x x tho m n
m tho m n | 4m |
1 15m 8m 8
m tho m n
1 m
15
ụ Đ ô ó
ả Ã
ả Ã
¶ ·
(15) 2 2
2 2
2
6b.2
G i A l i m tr n v B l i m tr n m t ph ng (P)
x t
: y t
z 6t
x 2t '
: y t ' i qua A 1; ; v u ; 1; z 2t '
M M t ; t ; 6t
AM,u 14 8t 14t 20 4 t
d M,
3 u
1 t d M, (P)
ọ đ ể ê à đ ể ê ặ ẳ đ
2 2
2
2 2
2 2
2
1
2
2t 18 12t 11t 20
1 ( 2)
Vì d M, d M, (P) MA MB n n :
14 8t 14t 20 t
11t 20
3
11t 20 14 8t 14t 20 t
t
35t 88t 53 53
t 35 V i t M , 1,
53 18 53
V i t M , ,
35 35 35 35
ª í í
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2 2
2
x xy y
log x y log (xy) x, y 81
(16)2 2
2
x xy y
2 2
2 2
2
K :x,y
log (x y ) log (2xy) H
3
x y 2xy (x y)
x xy y x xy y
x y
x y
x xy y
Ö