5.. Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Suy ra gi¸ trÞ lín nhÊt cña thÓ tÝch tø diÖn SAHC. TÝnh ®é dµi SK, AK vµ thÓ tÝch tø diÖn SAI[r]
(1)Bài tập hình khơng gian I/ Hình chóp đều
1 Cho hình chóp tam giác SABC có đờng cao SO = đáy ABC có canh 2 √6 Điểm M,N trung điểm cạnh AC,AB tơng ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN 2 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh 2a cạnh bên SA = a ❑
5 Một mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với (SCD), (P) lần lợt cắt SC,SD t¹i C1 v Dà
a) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABC1D1 b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn ABCDD1C1
3 Cho hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a góc SAB =60o.Tính thể tích hình chóp SABCD theo a
4 Cho tam giác ABC cạnh a.Trên đường thẳng d vng góc với mf(ABC) Alấy điểm M.Gọi H là trực tâm tam giấcBC,K trực tâm tam giác BCM
a) CMR MC (BHK) ; HK (BMC)
b)Khi M thay đổi d,tìm GTLN thẻ tích tứ diện KABC
5 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M, N, P lần lợt trung điểm cạnh AD, AB, SC a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
b) So s¸nh thĨ tÝch cđa hai khối đa diện mặt phẳng (MNP) chia hình chóp
6 Cho hỡnh chúp t giỏc có chiều cao h cạnh đáy a Tính thể tích khối lập ph ơng có mặt nằm đáy hình chóp đỉnh nằm cạnh bên hìmh chóp
7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Qua A, B trung điểm SC dựng mặt phẳng Tinh tỉ số thể tích hai phần khối chóp mặt phẳng chia
8 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = SC = SD = a a) Tính đờng cao thể tích khối chóp theo a
b) Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, AD, SC Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD lần lợt Q, R So sánh đoạn thẳng QB, RD với SB
c) Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phÇn cã thĨ tÝch b»ng
9 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên mặt đáy ω (0o <
ω < 90o) TÝnh tg cđa c¸c góc hai mp(SAB) (ABCD) theo TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD
theo ω
10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N lần lợt trung điểm các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC)
11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, chiều cao SO = a√6
2 Mp( α ) qua A vuông gócvới SC cắt SB, SC, SD lần lợt B, C, D tính thể tích hình chóp S.ABCD diện tích tứ giác ABCD
12 Cho hỡnh chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = SB = SD = a Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp
13 Cho hình tứ diện ABCD, cạnh a = 6√2 cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đờng thẳng AD BC
14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a mặt chéo SAC tam giác đều. a Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b Qua A dựng mp( α ) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mp( α ) hình chóp 15 Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ (0o < ϕ < 90o).
Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a.
a TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABCD
b Tính khoảng cách từ tâm mặt dáy ABCD đến mặt bên hình chóp
17 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đờng cao SO = đáy ABC có cạnh 2√6 Điểm M, N trung điểm cạnh AC, AB Tính thể tích hình chóp SAMN bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp II Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy
1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N lần lợt hình chiếu vng góc A đờng thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN
2 Cho tam giác ABC cân A Một điểm M thay đổi đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) A (M khơng trùng với A) Gọi O H theo thứ tự trực tâm tam giác ABC MBC Xác định vị trí M để thể tích khối tứ diện OHBC đạt giá trị lớn
3 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân với AB = AC = a góc BAC α Cạnh SA = h hình chóp vng góc với đáy Lấy trung điểm P BC điểm M, N lần lợt AB, AC cho AM = AN = AP Tính thể tích khối chóp S.AMPN
4 Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h góc ASB 2 α Hãy tính thể tích khối chóp
5 Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 60o cạnh đáy a.Tính thể tích
(2)6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,SA (ABCD) SA = a √2 Trên cạnh đáy AD lấy điểm M thay đổi,đặt góc ACM = α Hạ SN CM Chứng minh N ln thuộc đờng trịn cố định tính thể tích tứ diện SACN theo a α
7 Cho đờng trịn đờng kính AB = 2R mặt phẳng (P) điểm M nằm đờng trịn cho góc MAB 300 Trên đờng vng góc với mặt phẳng (P) A, lấy điểm S cho SA = 2R Gọi H v K ln
l-ợt hình chiếu vuông góc A SM, SB
a) Chứng minh SB vuông góc với mặt phẳng (KHA) b) TÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn SKHA
8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vng góc với mp đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) theo a biết SA = a√6
2
9 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC CMR tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mp(ABCD) SA = a. Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đờng thẳng BE
11 Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đờng thẳng vng góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho góc hai mp(ABC) (SBC) 60o Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy, SA = a Kẻ AH SB, AK SD
a CMR SC vu«ng gãc víi mp(AHK)
b Hãy xác định thiết diện hình chóp với mp(AHK) Tính diện tích thiết diện
13 Cho tam giác ABC có AB = AC = a góc ∠ BAC = α Trên đờng thẳng d qua A vng góc với mp(ABC) lấy điểm S cho SA = 2a Gọi I trung điểm BC Hạ AH SI
a) Chøng minh AH (SBC) TÝnh dé dµi AH theo a, α
b) Gọi K điểm thay đổi đoạn AI, đặt AK/AI = x Mặt phẳng (R) qua K vng góc với AI cắt cạnh AB, AC, SC, SB lần lợt M, N, P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác
14 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đờng thẳng d qua A vng góc với mp(ABC), lấy điểm S khác A
a) CMR tứ diện SABC có cặp cạnh đối diện vng góc với
b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Tính bán kính mặt cầu trờng hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) góc 30o.
c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC S chạy d (S A) d) Lấy S’ đối xứng với S qua A, gọi M trung điểm SC Xác định thiết diện tạo
mp qua S’, M song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích thiết diện SA = a√2
15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Cạnh bên SA vng góc với mp đáy, SA = AB = a. a) Tính diện tích tam giác SBD theo a b CMR BD SC
c) Tính góc đờng thẳng SC mp(SBD)
16 Cho tam giác ABC vng cân A, có cạnh BC = a Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABC) A, lấy điểm S cho góc hai mp(SBC) (ABC) 60o Hãy tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA (ABC) SA = a Gọi M điểm thay đổi cạnh AB Đặt ∠ ACM = α , hạ SH vng góc với CM
a Tìm quỹ tích điểm H Suy giá trị lớn thể tích tứ diện SAHC b Hạ AI SC, AK SH Tính độ dài SK, AK thể tích tứ diện SAIK III/ Tứ diện
1 Cho hình tứ diện ABCD có BC = CD = DB, AB = AC = AD Gọi H chân đờng cao hình tứ diện xuất phát từ A, K chân đờng vng góc hạ từ H xuống AD Đặt AH = a, HK = b Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a b
2 Cho hình tứ diện ABCD cạnh a Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự trung điểm AB, AC, CD, BD a) Chứng minh A’B’C’D’ hình vng
b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo a
c) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo a nÕu A, B, C, D theo thứ tự điểm nằm cạnh AB, AC, CD, BD cho AA = BB’ = CC’ = DD’ = a/4
3 Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đờng cao SH
a) Chøng minh SA BC b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp SABC
4 Cho hình chóp tam giác SABC có SA = x;BC= y;các cạnh cịn lại 1.
a)TÝnh thĨ tÝch khèi chãp theo x,y b)Víi x,y b»ng bao nhiªu th× thĨ tÝch khèi chãp lín nhÊt?
5 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD)
6 Cho tứ diện ABCD với mặt (ABC), (ACD), (ADB) tam giac vuông A Gọi h đờng cao xuất phát từ A tứ diện ABCD CMR :
h2= AB2+
1 AC2+
1 AD2
(3)b CMR mặt tứ diện tam giác có ba gãc nhän
8 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mp(BCD) (ABC) vng góc với góc ∠ BDC = 90o Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b.
9 Cho tø diƯn ABCD cã AD vu«ng gãc víi mp(ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB =c. TÝnh diÖn tÝch S tam giác BCD theo a, b, c CMR
2S ≥√abc(a+b+c)
10 ho tø diÖn OABC cã OA = OB = OC = a vµ AOB = AOC = 60o; BOC = 90o.
a Tính độ dài cạnh cịn lại tứ diện CMR tam giác ABC vuông b CM OA CB
11 Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, cạnh lại a √2 a CMR góc ∠ CAD ∠ CBD vuụng
b Tính diện tích toàn phần tứ diện ABCD
c CMR hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vu«ng gãc víi
12 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a √2 CD = 2a a CMR AB CD Hãy xác định đờng vng góc chung AB CD b Tính thể tích tứ diện ABCD
c Xác định tâm I mặt cầu ngoại tip t din ABCD
d Gọi H hình chiếu vuông góc I mp(ABC) CM H trực tâm tam giác ABC
13 Cho tứ diện SABC có cạnh bên SA = SB = SC = d vµ ∠ ASB = 120o, ∠ BSC = 60o, ∠ ASC =
90o
a CM tam giác ABC vuông b Tính thĨ tÝch tø diƯn SABC
c TÝnh b¸n kÝnh hình cầu nội tiếp tứ diện SABC
14 Cho tø diÖn ABCD Mét mp ( α ) song song với AD BC cắt cạnh AB, AC, CD, DB lần lợt M, N, P, Q
a CM tứ giác MNPQ hình bình hành
a Xác định vị trí ( α ) diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn 15 Cho tứ diện SABC có góc phẳng đỉnh S vuông
a CMR √3SABC≥ SSAB+SSBC+SSCA
b Biết SA = a, SB + SC = k, đặt SB = x Tính thể tích tứ diện SABC theo a, k ,x xác định SB, SC để thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn
16 Cho tø diÖn ABCD cã AB = BC = AD = CA = DB = a √2 vµ CD = 2a
a CMR AB vng góc với CD Hãy xác định đờng vng góc chung AB CD b Tính thể tích tứ diện ABCD
c Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d Gäi H lµ hình chiếu vuông góc I mp(ABC) CMR H trực tâm tam giác ABC
17 Cho t diện ABCD có độ dài cạnh AB = x (x > 0), tất cạnh cịn lại có độ dài Tính độ dài đoạn vng góc chung hai cạnh AB CD Tìm điều kiên x để tốn có nghĩa
18 Tính thể tích khối tứ diện ABCD< biết AB = a, AC = b, AD = c góc BAC, CAD, DAB bằng 60o.
19 Cho tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc, lần lợt lấy điểm khác O M, N S với OM = m, ON = n, OS = a Cho a không đổi, m n thay đổi cho m + n = a
a Tính thể tích hình chóp S.OMN Xác định vị trí M N để thể tích đạt giá trị lớn b CM góc OSM = MSN = NSO = 90o
IV/ Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy
1 Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân có cạnh góc vng a.Mặt bên qua cạnh huyền vng góc với đáy,hai mặt bên cịn lại tạo với đáy góc 45o
a)CMR hình chiếu vng góc đỉnh hình chóp xuống đáy trung điểm cạnh huyền đáy b)Tính thể tích khối chóp
2 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân AB=AC= a.mf(SBC) vng góc với mf(ABC) SA=SB =A
a)CMR tam giác SBC tam giác vuông
b)Cho SC = x.TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo a vµ x
3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = a, mp(SBC) mp(ABC) SA = SB = a a CMR tam giác SBC vuông S
b Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x V/ Lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng
1 Khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1D độ dài đường chéo mặt bên
a)Hạ AK A1D (K A1D ).CMR AK =2 b)Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1
(4)a)Tính diện tích tam giác ACD1 theo a,b,c
b)Giả sử M,N trung điểm AB AC Tính thể tích tứ diện D1DMN theo a,b,c
3 Cho h×nh lËp phơng ABCD.ABCD có cạnh a Gọi K trung điểm cạnh BC I tâm mặt bªn CC’D’D
a) Xác định thiết diện hình lập phơng với mặt phẳng (AIK)
b) TÝnh thÓ tích hình đa diện mặt phẳng (AIK) chia hình lập phơng
4 Cho lng trụ tam giác ABCA1B1C1 c đáy ABC l mà ột tam giác cạnh a,điểm A1 cách điểm
A,B,C.Cạnh AA1 tạovới mặt phẳng đáy góc 60o
a) Tính thể tích khối lăng trụ
b) Chứng minh mặt bên BCC1B1 hình chữ nhật
5 Hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1đáy ABC tam giác vng A,AC=b,góc C =60o.Đờng chéo BC1 tạo
víi mf(A A1C1C) mét gãc 30o
a)Tính độ di AC1
b)Tính thể tích khối lăng trụ
6 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Trên tia A1B1 lấy điểm M cho B1M =
1
2A1B1 Qua M và trung điểm A1C1 B1B dựng mặt phẳng Tính tỉ số thể tích hai phần khối lăng trụ mặt
phẳng chia
7 Cho hỡnh lp phơng ABCD.A’B’C’D’ Thiết diện hình lập phơng tạo mặt phẳng qua đỉnh A, trung điểm cạnh BC tâm mặt DCC’D’ chia khối lập phơng thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
8 BiÕt thĨ tÝch khèi hép ABCDA1B1C1D1 b»ng V tÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn ACB1D1
9 Cho lăng trụ ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 có diện tích √3 S hợp với mặt đáy góc
a)Tính thể tích lăng trụ
b)S khụng đổi,cho α thay đổi.Tính α để thể tích lăng trụ lớn
10 Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy a.Góc đừơng chéo AC1 đáy 60o Tớnh th tớch
lăng trụ
11 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1,đáy ABC cân đỉnh A.Góc AA1 BC1 30o khoảng cách
chóng a.Góc hai mặt bên qua AA1 60o.Tính thể tích lăng trụ
12 Cho lng tr ABCA1B1C1 đáy tam giác cạnh a.Hình chiếu cảu A1 lên măt phẳng (ABC) trùng với
tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Biết góc BAA1 = 45o Tính thể tích lăng trụ
13 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D! có đáy hình thoi ABCD cạnh a,góc A 60o.Chân đờng vng góc hạ
từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đờng chéo đáy.Biết BB1 =a
a)Tính góc cạnh bên đáy b)Tính thê tích khối hộp
14 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ∠ BAD = 60o.
Gọi M trung điểm AA’, N trung điểm CC’ CMR bốn điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng
15 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân với AB = AC = a, góc ∠ BAC = 120o, cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ CMR tam giác AB’I vng A Tính cosin góc giữa
hai mp(ABC) (ABI)
16 Cho hình lập phơng ABCD.ABCD Tìm điểm M thuộc cạnh AA cho mp(BDM) cắt hình lập ph-ơng theo thiết diện có diƯn tÝch nhá nhÊt
17 Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ với cạnh a a Tính khoảng cách hai đờng thẳng AA’ BD’ b CMR đờng chéo BD’ vng góc với mp(DA’C’)
18 Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a điểm M cạnh AB, AM = x, < x < a Xét mp(P) qua M chứa đờng chéo A’C’ hình vng A’B’C’D’
a TÝnh diƯn tÝch thiết diện hình lập phơng cắt bơi mp(P)
b Mp(P) chia hình lập phơng thành hai khối đa diện, tìm x để thể tích hai khối đa diện gấp đơi thể tích khối đa diện
19 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ điểm M cạnh AD Mp(A’BM) cắt đờng chéo AC’ của hình hộp H
a CMR M thay đổi cạnh AD đờng thẳng MH cắt đờng thẳng AB điểm cố định b Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đợc tạo mp(A’BM) cắt hình hộp trờng hp M l
trung điểm cạnh AD
c Giả sử AA = AB MB vuông góc với AC CMR mp(ABM) vuông góc với AC điểm H trực tâm tam giác ABM
VI/ Một số toán khác
1 Cho hỡnh chúp SABC đỉnh S, đáy tam giác cân AB=AC=3a,BC=2a biết mặt bên (SAB), (SBC),(SCA) hợp với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60o.Kẻ đường cao SH hình chóp.
a)Chứng tỏ H tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC SA BC b)Tính thể tích khơi chóp
(5)a) Chøng minh mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABC) gãc 600.
b) Cho AH = x Tính thể tích khối tứ diện SABC theo R x Tìm vị trí C để thể tích lớn
3 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC = a), BB’ = CC’ = a hai đoạn thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) phía với mặt phẳng Tính thể tích chúp A.BCCB
4 Trong mặt phẳng (P) cho h×nh thoi ABCD víi AB = a, BD =
3 a
Trên đờng thẳng vng góc với (P) qua giao điểm hai đờng chéo hình thoi, lấy điểm S cho SB = a
a) Chứng minh tam giác ASC tam giác vuông b) Tính thể tích hình chóp SABCD
5 Cho hình chóp SABC Trên tia SA,SB,SC lần lợt lấy điểm A ,B,C
CMR VSA'B'C' VSABC =
SA'
SA SB'
SB SC'
SC
6. Trong không gian cho đoạn OO1 = H hai nửa đường thẳng Od,O1d1 vng góc với OO1 vng góc với Điểm M chạy Od, điểm N chạy O1d1 cho ta ln có OM2+O1N2 =k2(k cho trước) a)Chứng minh đoạn MN có độ dài khơng đổi
b)Xác định vị trí M Od N O1d1 cho tứ diện OO1MN tích lớn
7 Cho hai mp(P) (Q) vng góc với có giao tuyến đờng thẳng Δ Trên Δ lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mp(P) lấy điểm C, mp(Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với Δ AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a
8 Hình vng ABCD có cạnh đơn vị độ dài Hai điểm M, N lần lợt di động cạnh AD CD cho AM = x, CN = y góc ∠ MBN = 45o Tìm x, y đẻ diện tích tam giác MBN đạt giá trị lớn nhất,
nhá nhÊt
9 Cho tam giác ABC, AB = AC Một điểm M thay đổi đờng thẳng vng góc với mp (ABC) A (M khơng trùng vi im A)
a Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H tam giác MBC
b Gọi O trực tâm tam giác ABC, xác định vị trí M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn
10 Trong mp( α ) cho đờng tròn (T) đờng kính AB = 2R Gọi C điểm di động (T) Trên đờng thẳng d qua A vng góc với mp( α ) lấy điểm S cho SA = R Hạ AH SB, AK SC
a Chøng minh AK (SBC), SB (AHK)
b Tìm quỹ tích điểm K C thay đổi Tìm giá trị lớn thể tích tứ diện SAHK 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh lại 1.
a TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp theo x, y
b Với giá trị x, y th× h×nh chãp cã thĨ tÝch lín nhÊt
12 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C) Các nửa đờng thẳng Ax, Cy vuông góc với mp(ABCD) phía với mp Cho điểm M khơng trùng với A Ax, cho điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n
a Tính thể tích hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC)
b Tính MN theo a, m, n tìm điều kiện a, m, n để góc ∠ MIN vng
13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác với AD = 2a, AB = BC = CD = a, đ ờng cao SO = a√3 O trung điểm AD
a TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABCD
b Gọi ( α ) mp qua A vng góc với SD Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( α )
14 Trên cạnh Ox, Oy, Oz tam diện vuông Oxyz, lấy lần lợt điểm A, B, C víi OA = a, OB = b, OC = c Gọi H trực tâm tam giác ABC
a Tính độ dài OH diện tích tam giác ABC
b Khi a, b, c thay đổi cho a2 + b2 + c2 = k2 với k số dơng, tìm giá trị lớn
nhất độ dài OH diện tích tam giác ABC c CMR a2tgA = b2tgB = c2tgC.
15 Cho gãc tam diƯn Sxyz víi ∠ xSy = 120o, ∠ ySz = 60o, ∠ zSx = 90o Trên tia Sx, Sy, Sz theo
thứ tự lấy điểm A, B, C cho SA = SB =SC = a
a CMR tam giác ABC vng Xác định hình chiếu vng góc H S lên mp(ABC) b Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a
16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Lấy M, N lần lớt cạnh SB, SD cho: SM
BM= SN DN=2
a Mp(AMN) cắt cạnh SC P Tính tỉ số SP/CP
b TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.AMPN theo thĨ tÝch V cđa h×nh chãp S.ABCD
(6)a Tính độ dài đoạn vng góc chung SI AB
b Tính tỉ số thể tích hình chóp B.MIJ B.SCA độ dài đoạn vng góc chung AC MJ đạt giá trị lớn
18 Cho ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Xét tam diện Oxyz Cho điểm M cố định nằm góc tam diện Một mp qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lợt A, B, C.Gọi khoảng cách từ M đến mp (OBC), (OCA), (OAB) lần lợt a, b, c
a CMR tam giác ABC tam giác vuông b CM a
OA + b OB+
c OC=1
c Tình OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC tích nhỏ
19 Cho tam diện vuông đỉnh O Trên ba cạnh tam diện lấy ba điểm A, B, C cho : AC = 2OB, BC = 2OA
a Giả sử M, N chân đờng vng góc kẻ từ O xuống AC BC.CMR MN AC b Tính cos MON
c Gọi D trung điểm đoạn AB CM tg
4 OCD tg4OCA +
MN
AB =1
20 Trên mp( α ) cho góc ∠ xOy Đoạn SO = a vng góc với mp( α ) Các điểm M, N chuyển động Ox, Oy cho ta ln có : OM + ON = a
a Xác định giá trị lớn thể tích tứ diện SOMN
b Tìm quỹ tích tâm I mặt cầu nhoại tiÕp tø diƯn SOMN CMR tø diƯn cã thĨ tích lớn lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ
21 Cho tam giỏc OAB có cạnh AB = a > Trên đờng thẳng d qua O vng góc với mp(OAB) lấy điểm M với OM = x Gọi E, F lần lợt hình chiếu vng góc A lên MB OB Đờng thẳng EF cắt d N
a CMR AN BM
b Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ tính giá trị nhỏ
22 Trong mp(P) cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O.Trên nửa đờng thẳng Ax, Cy vng góc với (P) phía (P) ta lần lớt lấy hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y
a Tính độ dài MN.Từ CMR điều kiện cần đủ để tam giác OMN vuông O xy = a 2 b Giả sử M, N thay đổi cho tam giác OMN vng O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x,
y để thể tích tứ diện a
23 Trong mp(P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R Lấy điểm S thuộc đờng thẳng vng góc với mp(P) O cho OS = R √3 I điểm thuộc đoạn SO với SI = 2R
√3 , M điểm thuộc (C) a Tính tỉ số SH/SM với H hình chiếu I lên SM.Từ suy quỹ tích H M di động
(C)
b Xác định vị trí M (C) hình chóp H.AMB tích lớn Tính giá trị lớn
24 Cho hình vng ABCD cạnh a mp(P) Hai điểm M, N di động hai cạnh CB CD Đặt CM = x, CN = y Trên đờng thẳng At vng góc với mp(P) lấy điểm S Tìm hệ thức x, y để :
a Các mp(SAM) (SAN) tạo với góc 45o.
b Các mp(SAM) (SMN) vuông góc với
25 Cho đờng trịn tâm O bán kính R Xét hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mp đáy (S A cố cố định), SA = h cho trớc, đáy ABCD tứ giác tuỳ ý nội tiếp đờng tròn cho mà đờng chéo AC BD vng góc với
a TÝnh b¸n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b Hi đáy ABCD hình để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn
26 Bên hình trụ trịn xoay có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đờng trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đờng tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ đó.
27 Trong mp(P) cho đờng thẳng d điểm A nằm d Một góc ∠ xAy di động quanh A, cắt d B C Trên đờng thẳng qua A vng góc với (P) lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB SC
a CMR A, B, C, H, K thuộc mặt cầu
b Tính bán kính mặt cầu biết AB = 2, AC = 3, ∠ BAC = 60o