HÌNH HỌC 8 LẦN 3

CHƯƠNG II: ĐA GIÁC.. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG, BCHI. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường chéo đến các đường thẳng chứa các cạ[r]

1 Định nghĩa

 Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác đó.

 Đa giác đều đa giác có tất cạnh tất góc nhau. 2 Một số kết quả

 Tổng góc đa giác n cạnh (n 2).1800.

 Mỗi góc đa giác n cạnh n

n (  2).180

.

 Số đường chéo đa giác n cạnh

n n( 3)

 . 3 Diện tích

 Diện tích tam giác bằng nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S1 2a h.  Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng: S ab

1 

.  Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nó: S ab .  Diện tích hình vng bằng bình phương cạnh nó: S a 2.

 Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao: S1 (2 a b h ) .  Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S ah .

 Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo: S d d1 2 

.

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có A600 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác

Bài 2. Cho tam giác ABC, O trọng tâm tam giác Gọi E, F, G điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm AB, BC, AC Chứng minh lục giác AEBFCG lục giác Bài 3. Cho ngũ giác ABCDE có cạnh A B C   .

a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF ngũ giác

Bài 4. Cho ngũ giác ABCDE Gọi K giao điểm hai đường chéo AC BE a) Tính số đo góc ngũ giác

b) Chứng minh CKED hình thoi

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD E điểm nằm đường chéo AC Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC F, G Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC H, K Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK EGDH có diện tích Bài 6. Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC Vẽ BP  MN,

CQ  MN (P, Q  MN)

a) Chứng minh tứ giác BPQC hình chữ nhật b) Chứng minh SBPQC SABC

Bài 7. Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Chứng minh tứ giác ADCM ABCN có diện tích

Bài 8. Cho hình thang vuông ABCD (A D 900), AB = 3cm, AD = 4cm ABC1350 Tính diện tích hình thang

ĐS: SABCD 20cm2

Bài 9. Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác, vẽ hình vng ABDE, ACFG, BCHI Chứng minh SBCHI SABDESACFG.

Bài 10 Diện tích hình bình hành 24cm2 Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến đường thẳng chứa cạnh hình bình hành 2cm 3cm Tính chu vi hình bình hành

ĐS: PABCD 20cm

Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Gọi K, O, E, N trung điểm AB, BC, CD, DA Các đoạn thẳng AO, BE, CN DK cắt L, M, R, P Chứng minh SABCD 5.SMLPR

Bài 12 Cho tam giác ABC Gọi E, F trung điểm BA, BC Lấy điểm M đoạn thẳng EF (M  E, M  F) Chứng minh SAMBSBMC SMAC.

Bài 13 Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc đáy BC Gọi BD đường cao tam giác ABC; H K chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Chứng minh: MH MK BD  . Bài 14 Cho hình bình hành ABCD Gọi K L hai điểm thuộc cạnh BC cho BK = KL = LC.

Tính tỉ số diện tích của: a) Các tam giác DAC DCK b) Tam giác DAC tứ giác ADLB c) Các tứ giác ABKD ABLD ĐS: a)

DAC DCK S S

3 

b) DAC ADLB S S

3 

c) ABKD ABLD S S

4 

.

Bài 15 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt G Diện tích tam giác AGB 336cm2 Tính diện tích tam giác ABC

ĐS: SABC 1008cm2

Bài 16 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = 3DA, cạnh BC lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F giao điểm AE CD

a) Chứng minh: FD = FC b) Chứng minh: SABC 2SAFB

Bài 17 Cho tam giác ABC, đường cao AH điểm M thuộc miền tam giác Gọi P, Q, R chân đường vng góc kẻ từ M đến BC, AC, AB

Chứng minh: MP + MQ + MR = AH

Bài 18 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Từ N kẻ đường thẳng song song với BM cắt đwịng thẳng BC D Biết diện tích tam giác ABC

a cm( 2)

a) Tính diện tích hình thang CMND theo a

b) Cho a128cm2 BC 32cm Tính chiều cao hình thang CMND. ĐS: a) SCMND a cm( 2) b) h4( )cm .

Bài 20 * Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ba đường cao ứng với ba cạnh lần lượt có độ dài h h ha, ,b c Gọi r khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác tam giác đến cạnh tam giác Chứng minh ha hb hc r

1 1

  

Bài 21 * Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm nằm cạnh BC, CA, AB của tam giác cho đường thẳng AM, BN, CP đồng qui điểm O Chứng minh

Chứng minh:

AP BM CN PB MC NA 1. HD: Từ

ACP AOP BCP BOP

S S AP

S S PB 

AOC BOC

S AP

S PB (1) Tương tự AOCAOB

S BM

S MC (2), BOCAOB

S CN

S NA (3) Nhân (1), (2), (3), vế theo vế, ta đpcm.

Bài 22 Cho tứ giác ABCD Gọi M, P, N, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD; O là giao điểm MN PQ Chứng minh:

a) SAOQSBOP SMPQ b) SAOD SBOC SABCD

1

 

HD: Vẽ AA, BB, MM vng góc với PQ.

Bài 23 Cho tứ giác ABCD Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC Đường thẳng cắt cạnh DC E Chứng minh: SADE SABCD.

HD: Chú ý: SBAC SEAC

Bài 24 Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm Hai đường chéo AC BD cắt O. Biết AOB300 Tính diện tích tứ giác ABCD.

ĐS: SABCD 30cm2.

Bài 25 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) Gọi I, J, K, L trung điểm AB, BC, CD, DA

a) Tứ giác IJKL hình gì?

b) Cho biết diện tích hình thang ABCD 20cm2 Tính diện tích tứ giác IJKL ĐS: a) IJKL hình thoi b) SIJKL 10cm2.

Bài 26 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A (M  CD), phân giác CN góc C (N  AB) Các phân giác AM, CN cắt BD E F Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN CFEM

HD: AEFN CFEM hai hình thang có cạnh đáy tương ứng chiều cao nên có diện tích nhau.

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6,8 cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC

a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK

ĐS: a) SDBE 20,4cm2 b) SEHIK 8,55cm2.

ĐS: OEBF AOB a

S S

4

 

.

Bài 3. Tính diện tích hình thang vng, biết hai đáy có độ dài cm cm, góc tạo cạnh bên đáy lớn có số đo 450

ĐS: SABCD 22,5cm2

Bài 4. Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm, độ dài hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm Từ A vẽ đường thẳng song song với BD, cắt CD E

a) Chứng minh tam giác ACE tam giác vng b) Tính diện tích hình thang ABCD

ĐS: b) SABCD 96cm2.

Bài 5. Gọi O điểm nằm hình bình hành ABCD Chứng minh: SABOSCDO SBCOSDAO HD: SABO SCDO SBCO SDAO SABCD

1

   

.

Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD, O điểm nằm hình chữ nhật, AB a AD b ,  Tính tổng diện tích tam giác OAB OCD theo a b

HD: SOAB SODC AB AD ab

1 .

2

  

.

Bài 7. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB Trên cạnh AC, lấy điểm B cho AN = 2NC Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh:

a) SBIC SAIC b) BI 3IN .

Bài 8. Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, BC Chứng minh ABNM ABC

S 3S

4 

HD: Từ SABM SABC SBMN SABC

1 ,

2

 

 đpcm

Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F hai điểm hai cạnh AB DC cho AE = CF; I điểm cạnh AD; IB IC cắt EF M N

Chứng minh: SIMN SMEBSNFC HD: Từ SBEFC SIBC SDBC SABCD

1

  

 đpcm.

Bài 10.Cho tứ giác ABCD Chứng minh ta vẽ tam giác mà diện tích nó diện tích tứ giác ABCD

HD: Qua B, vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Suy SADE SABCD Bài 11.Cho tam giác ABC điểm D cạnh BC Hãy chia tam giác ABC thành hai phần có diện

tích đường thẳng qua D HD: Xét hai trường hợp:

– Nếu D trung điểm BC AD đường thẳng cần tìm.

– Nếu D không trung điểm BC Gọi I trung điểm BC, vẽ IH // AD (H  AB) Từ SADH SADI  DH đường thẳng cần tìm.

Bài 12 Cho tam giác ABC có BC = a, đường cao AH = h Từ điểm I đường cáo AH, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC M N Vẽ MQ, NP vng góc với BC Đặt AI = x

a) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, h, x

ĐS: a) MNPQ

ax h x S

h (  ) 

b)

ah h

S khi x max

4

 

 I trung điểm AH.

Bài 13 Cho tam giác ABC ba đường trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh sáu tam giác tạo thành tam giác ABC có diện tích

Bài 14 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N trung điểm AB, CD Một đường thẳng song song với hai đáy cắt AD E, MN I, BC F Chứng minh IE = IF HD: Từ SAMND SBMNC,SEAM SFBM,SEDN SFCN  SEMN SFMN  EK FH

 EKI FHI EI = FI.

Bài 15 Cho tứ giác ABCD Qua trung điểm K đường chéo BD, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt AD E Chứng minh CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích

HD: Xét trường hợp: