Nhìn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung nói riêng chất lượng mũi nhọn bộ môn toán có thể nói còn quá khiêm tôn. Việc nghiên cứu viết các chuyên đề về môn toán để giảng d[r]
(1)I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
1/Thực trạng tầm quan trọng vấn đề:
Toán học nói riêng mơn học cơng cụ đắc lực khơng thể thiếu để hổ trợ cho môn khoa học khác giải vấn đề thực tế Việc giúp HS nắm vững kiến thức vận dụng tốn học vào thực tế khơng phải riêng thầy giáo, giáo
Chương trình tốn THCS giúp HS giải nhiều vấn đề thực tế Trong chương trình tốn THCS nhiều dạng tốn mang tính áp dụng cao, sở để ứng dụng giải toán liên quan Trong có dạng tốn liên quan đến sơ ngun tơ nói khó đôi với học sinh THCS Trên thực tế kiến thức sô nguyên tô chỉ dừng lại khái miện khơng sâu gặp tốn khó sơ ngun tơ đơi tượng HS giỏi lại gặp nhiều HS khơng có phương hướng để giải
Qua nhiều năm giảng dạy, thân không khỏi trăn trở làm để HS hiểu nắm vững dạng tốn liên quan đến sơ ngun tơ có phương pháp giải Chính tơi vào nghiên cứu, tìm hiểu viết đề tài nhằm san sẻ kinh nghiệm với em HS đồng nghiệp
2/Phạm vi đề tài:
Trong chương trình tốn THCS sơ nguyên tô đưa vào từ lớp chỉ dưới dạng khái niệm không sâu thêm Ở lớp 7, 8, lại khơng khai thác, bổ sung thêm mà chỉ vận dụng mở rộng Vì chương trình THCS có tập liên quan đến sô nguyên tô Do đề tài nghiên cứu cso phạm vi tương đơi rộng cho lớp THCS
3/Đối tượng nghiên cứu:
Để tiến hành đề tài nghiên cứu áp dụng cho chủ yếu HSG tất cae khôi 6, 7, 8, năm học qua
Đề tài tài liệu học tập tôt cho HSG cấp THCS tài liệu tham khảo cho thầy, cô giáo phụ huynh HS nói chung
II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán học HS-chủ thể hoạt động học cần phải cuôn hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức chỉ đạo, thông qua học sinh tự lực khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần tiết lên lớp, giáo viên người tổ chức chỉ đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập, củng kiến thức cũ tìm tịi phát kiến thức mới Giáo viên không cung cấp, không áp đặt kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự tìm tịi phát kiến thức giúp rèn luyên khả tư duy, nhớ kỹ kiến thức học
(2)tơ Chính mà HS cịn thiếu kỉ phương pháp gặp tốn khó!
III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Nhìn chung nhiều năm qua trường THCS Quang Trung nói riêng chất lượng mũi nhọn mơn tốn nói cịn q khiêm tơn Việc nghiên cứu viết chun đề mơn tốn để giảng dạy đặt biệt để bồi dưỡng HSG nói cịn q Với đề tài “Sơ ngun tơ dạng tốn liên quan” chưa có viết Tôi hỏi thăm nhiều đồng nghiệp huyện để tìm tư liệu dạy học chưa có viết đề tài
Qua nhiều kì thi thi HSG nhiều tập liên quan sô nguyên tô đòi hỏi mức độ cao nhiều HS học lớp đòi hỏi phương pháp ngồi SGK mới “xở” Do phần lớn HS bỏ dở!
Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu, tìm tịi tài liệu, tơi nhận thấy cần có đề tài sâu vấn đề viết đề tài nhằm san sẻ hiểu biết với đồng nghiệp
IV/ NỢI DUNG A/
Kiến thức cần nhớ: 1 Định nghĩa:
* Sô nguyên tô sô tự nhiên lớn 1, chỉ có hai ước * Hợp sơ sơ tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước
2 Tính chất:
* Nếu sô nguyên tô p chia hết cho sơ ngun tơ q p = q
* Nếu tích abc chia hết cho sơ ngun tơ p thừa sơ tích abc chia hết cho sô nguyên tô p
* Nếu a b không chia hết cho sô nguyên tô p tích ab khơng chia hết cho sơ ngun tơ p
3 Cách nhận biết số nguyên tố:
a) Chia sơ cho sô nguyên tô biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có phép chia hết sơ khơng phải sô nguyên tô
- Nếu chia lúc sô thương nhỏ sô chia mà phép chia cịn sơ dư sơ sơ ngun tơ
b) Một sơ có ước sơ lớn sơ khơng phải sơ ngun tơ 4 Phân tích số thừa số ngun tố:
* Phân tích sơ tự nhiên lớn thừa sô nguyên tô viết sơ dưới dạng tích thừa sơ ngun tơ
- Dạng phân tích thừa sơ ngun tơ sơ ngun tơ sơ - Mọi hợp sơ phân tích thừa sơ ngun tơ
íi , , số nguyên tố , , , N vµ , , ,
A a b c V a b c l
(3)+1 1
¶ sư
ới , , số nguyên tố , , , N vµ , , ,
1 Số ớc số A là: ( +1)( +1) ( +1)
a 1
2 Tæng ớc số A là:
1 1
Gi A a b c V a b c l
b c
a b c
6 Số nguyên tố nhau:
* Hai sơ ngun tơ hai sơ có ƯCLN Hai sô a b nguyên tô ƯCLN(a, b) = 1. Các sô a, b, c nguyên tô ƯCLN(a, b, c) = 1.
Các sô a, b, c đôi nguyên tô ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1
Số nguyên tố được nghiên cứu từ nhiều kỉ trước cơng ngun nhưng cho đến nhiều tóan số nguyên tố chưa giải trọn vẹn!
7/ Sàng Ơ- RA- TÔ – XTEN ( Euratosthène)
Làm để tìm tất số nguyên tố giới hạn đó, chẳng hạn từ đến 100?
Ta làm sau: Trước hết xóa số 1.
Giữ lại số xóa tất bội mà lớn 2. Giữ lại số xóa tất bội mà lớn 3.
Giữ lại số (số bị xóa) xóa tất bội mà lớn 5. Giữ lại số (số bị xóa) xóa tất bội mà lớn 7.
Các số 8; 9; 10 bị xóa Khơng cần xóa tiếp bội số lớn 10 cũng kết luận khơng cịn hợp số nữa.
Thật vậy, giả sử n hợp số chia hết cho số a lớn 10 n < 100, a> 10 nên n phải chia hết cho số b nhỏ 10, n bị xóa.
Nhà tóan học cổ Hi Lạp Ơ- ra- tô- xten.( Thế kỉ III trước Công nguyên) người đầu tiên đưa cách làm Ông viết số giấy cỏ sậy căng khung rồi dùi thủng hợp số vật tương tự sàng: hợp số sàng qua, các số nguyên tố giữ lại Bảng số nguyên tố gọi sàng Ơ- ra- tô- xten.
Bài tập 1:
Dùng bảng sô nguyên tô nhỏ 100 nêu cách kiểm tra sô nhỏ 10000 có sơ ngun tơ hay khơng? Xét tóan đôi với sô 259; 353l
Giải: Cho sô n < 10000 (n>1) Nếu n chia hết cho sơ k (1< k< n) n hợp sơ Nếu n khơng chia hết cho sơ ngun tơ p(p2 < n ) n sô nguyên tô.
Sô 259 chia hết hợp sô
(4)Từ đến 100 có 25 số nguyên tố, trăm thứ hai có 21 nguyên tố , trăm thứ ba có 16 số ngun tố , Trong nghìn có 168 số ngun tố , nghìn thứ hai có 145 số ngun tố, nghìn thứ bacó 127 số nguyên tố , Như xa theo dãy số tự nhiên, số nguyên tố thưa dần
Bài tập 2:
Có tồn 1000 sồ tự nhiên liên tiếp hợp sơ hay khơng?
Giải : Có Gọi a = 2.3.4 1001 Các sô A+2, A+3, ,A+1001 1000 sô tự nhiên liên tiếp rõ ràng hợp sô (đpcm)
Một vấn đề đặt : Có khoản lớn sô tự nhiên liên tiềp hợp sơ Vậy đến lúc khơng cịn sơ ngun tơ khơng ? Có sơ ngun tơ ci khơng ? Từ kỉ III trước Cơng ngun, nhà tốn học cổ HiLạp Ơ – clit (Euclide) chứng minh : Tập hợp sô nguyên tô vô hạn
Bài tập 3:
Chứng minh khơng thể có hữu hạn sơ ngun tơ
Giải: Giả sử chỉ có hữu hạn sô nguyên tô p1, p2, , pn pn sơ lớn
trong sơ nguyên tô
Xét sô A = p1p2 pn + A chia cho sồ nguyên tô pi (1 < i <n) dư (1)
Mặt khác A hợp sơ ( lớn sơ ngun tơ lớn pn ) A phải chia
hết cho sơ ngun tơ đó, tức A chia hết cho sô pi (1 < i <n) (2),
mâu thuẫn với (1)
Vậy khơng thể có hữu hạn sô nguyên tô (đpcm)
Qua phân bơ sơ ngun tơ, nhà tóan học Pháp Bec – tơ – đưa dự đóan: Nếu n > n 2n có sơ ngun tơ Năm 1852, nhà tốn học Nga Trê – bư – sép chứng minh mệnh đề Ơng cịn chứng minh được:
Nếu n > n 2n – có sơ ngun tơ Ta có mệnh đề sau: Nếu n > n 2n có hai sơ ngun tô
Bài tập 4:
Cho sô tự nhiên n > Chứng minh sơ n! – có ước ngun tô lớn n
Giải : Gọi a = n! – Do n > nêm a>1.Mội sơ tự nhiên lớn có ước nguyên tô Gọi p ước nguyên tô a.Tia chứng minh p >n
Thật giả sử p < n tích 1.2.3 n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p , mà a chia hết cho p nên chia hết chi p, vơ lí
B/ Các dạng tập số nguyên tố:
1/ Chứng minh biểu thức số nguyên tố: Bài tập 5:
Chứng minh tồn vô sô sô tự nhiên n cho n2= x2+p p sơ
ngun tô x sô tự nhiên
Giải: Lấy n=3k+2 (k tự nhiên) Từ dẳng thức n2 =x2+p
suy p =n2 –x2 =(n-x)(n+x)
Vì p ngun tơ n>x nên n-x=1 n+x=p Từ p=2n-1 =3(2k+1), điều khơng thể xảy
(5)Bài tập 6:
Tìm tất sơ ngun tơ có dạng -1
Giải: Với n>4 từ đẳng thức -1=ta thấy sô -1 hợp sô.Thật thế,với n=2k ta có -1=(2k-1)(k+1) với n=2k+1 ta có -1=k(2k+3)
Nếu n=2 ta có sơ ngun tơ 2,nếu n=3 thi ta có sơ ngun tô Bài tập 7:
Chứng minh sơ 2n+1 sơ ngun tơ n=2m.
Giải: Giả sử n2m.thế viết dưới dạng n=tk,trong k sơ lẻ đó>1.suy ra:
2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+…-2t+1)là hợp sơ.vậy giả sử sai 2n+1 theo đề là
sô nguyên tô Bài tập 8:
Chứng minh chia sô nguyên tô cho 30 thi sô dư sô nguyên tô
Chỉ dẫn :- Chứng minh sô dư không chia hết cho 2, 3, Bài tập 9:
Chứng minh sô nhỏ N nguyên tô với sô 1,2,…,n sơ ngun tơ
Chỉ dẫn :- p dụng tính chất sau: ước sô xét lớn n nguyên tô với sô 1, 2, 3,…….,n
Bài tập 10:
Tìm tất sơ ngun tơ có dạng pP+1(p tự nhiên) chứa không 19 chữ sô.
Đáp án: Rõ ràng p<19 Ngoài p lẻ
2/ Với số nguyên tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa mãn điều kiện đó: Bài tập 11:
Cho a, b, p sơ tự nhiên bất ky øchứng minh ta tìm hai sô k, l nguyên tô sau cho ak+pl chia hết cho p
Giải: UCLN sô b p-a d Suy b=kd va p-a =ld, k l ngun tơ
Nhưng ak +bl =a.+b.=.p=kp Bài tập 12:
Cho ba sô tự nhiên a, b, c sau cho sô q= bC +a, q = ab +c, r = ca+b sô
nguyên tô.Chứng minh hai ba sô p,q,r dều
Giải: Hai ba sơ a, b, c, có tính chẵn lẻ, giả sử hai sơ a b Vì bc
cùng tính chẵn lẽ b nên p= bc +a chẵn Nhưng p sô nguyên tô nên p= , suy ra
a=b=1 Khi q=1b +c =cn +1=r
Bài tập 13:
Giả sử p sô nguyên tô Chứng minh tổng 2p+3p khôngthể biểu thị dưới dạng
xm( x m hai sô tự nhiên m>1)
Giải: Nếu p=2 22+32=13xm,trong x m sô tự nhiên,m>1.
Giả sử p sơ ngun tơ đó.Thế thì: 2p+3p=(2+3)(2p-1-2p-2.3+2p-3.32-…+3p-1)=5a
(6)Lưu ý 3k=(5-2)k=5B
k+(-2)k,trong Bk sơ ngun(suy từ công thức niutơn
chẳng hạn).Vậy:
A=2p-1-2p-2(5B1-2)+2p-3(5B
2+22)-…-(5Bp-1+2p-1)=5B+p.2p-1,trong
B=-2o-2B1+2p-3B2-…+Bp-1
Suy ra: 2p+3p=5(5B+p.2p-1)=25.B+5p.2p-1
Đặt 2p+3p=xm,trong x m sô tự nhiên,m>1.
Ta có:
25B +5p.2p-1=x,do x chia hết cho 5
Nhưng m>1 nên xm chia hết cho 25.Lai p5 nên 5p.2p-1 không chia hết cho 25.
Nếu p=5 25+35=32+243=275
xm với m>1 Bài tập 14:
Chứng minh sô 2n+1 sô nguyên tơ n=2m.
Giải: Giảsử n2m.thế viết dưới dạng n=tk,trong k sơ lẻ đó>1.suy ra:
2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+…-2t+1)là hợp sơ.vậy giả sử sai 2n+1 theo
đề sô nguyên tô Bài tập 15:
Chứng minh với sô nguyên tô p>5 không tồn đẳng thức (p -1)!+1=pm với
mọi m tự nhiên
Giải: Vì p>5 nên.2.do đó(p-1)2=2 (p-1) chia hết cho (p-1)!
Giả sử với m tự nhiên đo ùta có đẳng thức (p-1)!+1=pm,thế (p-1)2 chia hết cho pm
-1,suy p-1 chia hết pm-1+pm-2+…+p+1=(pm-1-1)+ (pm-1-2)+…+
(p-1)+m
Vì p-1 chia hết pt-1 với t=1,2,…,m-1 nên suy p-1 chia hết m.Vì m>p-1 và
pm >pp-1>(p-1)p-1+1> (p-1)!+1,điều trái với giả thiết
Bài tập 16:
Giả sử p>2 làsô nguyên tô Chứng minh 2/p chỉ biểu diễn cách dưới dang = + với x, y hai sô nguyên dương khác
Giải: Nhân hai vế phương trình = + với2xyp chuyển 2xp 2yp từ vế phải sang vế trái,sau cộng thêm p2 vào vế ta biến đổi phương trình thành dạng:(2x-p)
(2y-p)=p2
Do x y sô phân biệt nên thừa sô vế trái phương trình phân biệt.Vậy tích chúng p2 chỉ trường hợp hai thừa sơ bằng
1,cịn thừa sơ p2
Giả sử 2x-p=1,2y-1= p2 x=,y=p.
Trường hợp thứ hai chỉ khác x y đổi chỗ cho 3/ Tìm giá trị tham số để biểu thức số nguyên tố: Bài tập 17:
Tìm tất sơ tự nhiên N(theo hệ thập phân)thỏa mãn điêu khiện sau: N= aabb, aab abb sô nguyên tô
Giải: Do aab sô nguyên tô , tức là110a +b sô ngun tơ ta có b=1,3,7 hoặc 9.Từ điều kiện thứ ta có :N=11(100a +b)
(7)aab abb thỏa mãn điều kiện thứ sau đây:
(223,233),(227,277),(331,311),(443,433),(449,499),(557,577),(773,733),(881,811), (887,877),(991,911),(997,977)
Tương ứng với 100a+b sô sau
203=7.29,207=9.23,301=7.43,403=13.31,409= sô nguyên tô ,
507=3.132,703=19.37,801=32.89,807=2.269;901=17.53;907=sô ngun tơ
Vậy N=8877=3.11.269 Bài tập 18:
Tìm sô tự nhiên p cho p p+3 sô nguyên tô Giải: Một sô tự nhiên kì có hai dạng: 2n; 2n+1 nN
Nếu p= 2n+1 p+3 =2n + :2 Ta có p+3 >3 p+3 :2
Nên p+3 hợp sô trái đề Do p=2n
Nhưng p ngun tơ nên p= P+3 =5 nguyên tô
Vậy:p=2 Bài tập 19:
Tìm sô nguyên tô p cho p+4 va p+8 sơ ngun tơ Giải: Bất kì sơ tự nhiên nao có ba dạng: 3n; 3n +1;3n+2 ;nN
Nếu p=3n p+8 =3n+9 :3 , vơ lí Nếu p=3n+2 p+4= 3n +6, vơ lí Do p=3n
Nhưng p nguyên tô nên p = P+4=7;p+8=11, nguyên tô Vậy p=3
Bài tập 20:
Chứng tỏ p=a+ b
sô ngun tơ a b hai sơ ngun tô Giải: Giả sử a b hai sô không nguyên tô Ta suy a b phải có USC d >1
a:d ; b:d Do : a+b :d Suy p:d
Sô tự nhiên p, ngồi 1và p cịn có ƯSC d >1 nên p hợp sô, trái với dề cho
Vậy a b nguyên tô p = a + b sô nguyên tô Bài tập 21:
Cho a b hai sô nguyên tô Chứng minh ab a+b nguyên tô
(8)Ta suy ab a+b có ƯSC ngun tơ d ab:d ; a+b:d
Vì ab:d, d nguyên tô nên hoặc a :d hoặc b: d Nếu a:d
Mà a+b :d nên b:d
Suy a b có USC ngun tơ d, vơ lí vì(a,b )=1 Tương tự b:d
Vậy ab a+b nguyên tô a b nguyên tô 4/ Cách xác định số lượng ước số:
1- Nếu số M phân tích thừa số nguyên tố m=ax.by…cz số lượng ước
của M là: (x+1)(y+1)…(z+1).
2- Khi phân tích thừa số nguyên tố,số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.Từ suy ra:
Số phương chia hết cho chia hết cho 22
Số phương chia hết cho 23 chia hết cho 24
Số phương chia hết cho chia hết cho 32
Số phương chia hết cho 33 chia hết cho 34
Số phương chia hết cho chia hết cho 52
3-Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p a:p hoăc b:p
Bài tập 22:
Tìm hai sơ ngun tơ biết tổng chúng 601
Giải: Tổng hai sô nguyên tô 601,là sô lẻ nên hai sơphải sơ ngun tơ chẵn,đó sô 2.Sô thứ là:601-2=599(tra bảng thấy 599 sô nguyên tô)
Bài tập 23:
Cho A=5+52+53+…+5100 a/SôA sô nguyên tô hay hợp sô?
b/Sô A có phải sơ phương khơng? Giải
a/A>5;A:5(vì hạng tử chia hết cho 5) nên A hợp sô b/52:25 nên53:25,…,5100:25
nhưng 5/25 nên A/25
Sô A:5 nhưngA/25 nên A sơ phương Bài tập 24:
Sơ 54 có ước?Viết tất ước Giải: 54=2.33
Sô ước 54 là(1+1)(3+1)=8 ước 5/ Một số toán tổng hợp: Bài tập 25:
Gọi d(N) sô ươcù N tìm tất sơ N sau cho N/d( N) =p với p sô nguyên tô(lưu ý: cá sô vàN coi ước N)
(9)Đặt d(N) =b b khơng thể chia hết cho sô c >b/2 (trừ c= b) nên từ bất đẳng thức d(b) >b/2 suy b chia hết cho tất sô nhỏ b/2
Suy b (12, ,6, ,3, 2,) N=pb Vậy chỉ cịn chọn sơ có dang pb Bài tập 26:
Chứng minh phân sô , n N phân sô tơi giản Giải: Ta viết:
2n+5= (n+2) +(n+3) n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3)
(n+2) (n+3) hai sô tự nhiên liên tiếp nên nguyên tô Theo 55, ta suy tổng chúng:
2n+5= (n+2) +(n+3) tích chúng n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3)
hai sô nguyên tô Do phân sơ tơi giản
Bài tập 27:
Cho a=;n N, n >3 Định m để a sô nguyên tô Giải: Ta có : 2n -5 hai sơ ngun tô Suy ra: a N2a N
Ta có 2a===1+
Vì 2a sơ tự nhiên nên ta có : 2n-5|21 =>2n -5 =1, 3, 7, 21
+Với 2n-5= 1, ta có :n=3 => a=11, ngun tơ +Với 2n-5=3, ta có :n=4 => a=4, hợp sơ +Với 2n-5= 7, ta có :n=6 => a=2, ngun tơ
+Với 2n-5= 21, ta có :n=13 => a=1, không nguyên tô
Vậy :Giá trị tự nhiên phải tìm a sơ ngun tơ là: n=3 hoặc n=6
Bài tập 28:
Tìm tất giá trị sơ tự nhiên n để phân sô sau giản: , n N, n >3 Giải: Để cho phân sô giản (2n-5) và( n+8) phải ngun tơ Giả sử d ước sô chung nguyên tô 2n-5 n+8 ø
D|2n -5 (1) D|2+8 (2) Ta có
(2) =>d|2(n+8)=2n + 16 =(2n-5)+ 21 (3) (1) (3) => d|21
=>d=1; 3; 7; 21
D nguyên tô => d=3 hoặc d=7
Muôn phân sô cho phân sơ tơi giản ( n+8) khơng chia hết cho Do ta có : n 3k+1, n7m -1
với k,m sô tự nhiên k >1, m>1
vậy: giá trị n phải tìm là: n3k+1, n7m-1 với n N , n > Bài tập 29:
(10)Giải: Xem phân sô
Giả sử phân sô phân sô giản.Ta suy a a+b ước chung nguyên tô d, a:d, a+b:d
b:d
a vàb có ước chung ngun tơ d Do phân sơ khơng tơi giản
Điều vơ lí trái với giả thiết
Vậy:Nếu phân sơ tơi giản phân sơ tơi giản *Xem phân sô
giả sử phân sô khong phải phân sô giản
ta suy a ab+b=(a+1)b co mot ước chung nguyên tô d
a:d (1)
(a+1)b:d (2)
Vì a a+1 hai sô tự nhiên liên tiếp nen nguyên tô Ta có:a:da+1/d
(2)b:d
Từ(1) và(3) suy phân sô phân sô giản,vô lí Vậy:nếu tơi giản tơi giản
Bài 30: Ta biết có 25 sơ ngun tơ nhỏ 100 Tổng 25 sô nguyên tô sô chẵn hay sô lẻ
HD:
Trong 25 sô nguyên tơ nhỏ 100 có chứa sơ ngun tơ chẵn 2, cịn 24 sơ ngun tơ cịn lại sơ lẻ Do tổng 25 sô nguyên tô sô chẵn
Bài 31: Tổng sơ ngun tơ 1012 Tìm sơ ngun tơ nhỏ ba sơ ngun tơ
HD:
Vì tổng sơ ngun tơ 1012, nên sơ ngun tơ tồn sơ ngun tơ chẵn Mà sơ nguyên tô chẵn sô nguyên tô nhỏ Vậy sô nguyên tô nhỏ sơ ngun tơ
Bài 32: Tổng sơ ngun tơ 2003 hay khơng? Vì sao? HD:
Vì tổng sô nguyên tô 2003, nên sô ngun tơ tồn sơ ngun tơ chẵn Mà sô nguyên tô chẵn Do sơ ngun tơ cịn lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 sô nguyên tô
Bài 33: Tìm sơ ngun tơ p, cho p + p + sô nguyên tô. HD:
Giả sử p sô nguyên tô
- Nếu p = p + = p + = sô nguyên tô
- Nếu p sơ ngun tơ p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k N*
(11)+) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do p + hợp sô
+) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do p + hợp sô
Vậy với p = p + p + sô nguyên tô
Bài 34: Cho p p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh p + hợp sơ. HD:
Vì p sơ ngun tơ p > 3, nên sơ ngun tơ p có dạng: 3k + 1, 3k + với k
N*
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do p + hợp sô ( Trái với đề p + sô nguyên tô)
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) p + p + > Do p + hợp sơ
Vậy sơ ngun tơ p có dạng: p = 3k + p + hợp sô
Bài 35: Chứng minh sô nguyên tơ lớn có dạng 4n + hoặc 4n – 1. HD:
Mỗi sô tự nhiên n chia cho có sơ dư: 0; 1; 2; Do sơ tự nhiên n viết dưới dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k +
với k N*
- Nếu n = 4k n4 n hợp sô - Nếu n = 4k + n2 n hợp sô
Vậy sô ngun tơ lớn có dạng 4k + hoặc 4k – Hay sô nguyên tô lớn có dạng 4n + hoặc 4n – với n N*
Bài 36: Tìm ssó ngun tơ, biết sơ tổng hai sô nguyên tô hiệu hai sơ ngun tơ
HD:
Bài 37: Tìm tất sô nguyên tô x, y cho: x2 – 6y2 = 1.
(12)¶ sư a, b, c, d, e số nguyên tố vµ d > e Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*)
Tõ (*) a > a số nguyên tố lẻ b + c d - e số lẻ
Do b, d số nguyên tố b, d số lẻ c, e
Gi
số chẵn
c = e = (do c, e sè nguyªn tè) a = b + = d - d = b +
VËy ta cần tìm số nguyên tố b cho b + b + số nguyên tè
2 2 2
2
2
2
ã: x 1 ( 1)( 1)
6 ( 1)( 1)
µ x - + x + = 2x x - x + có tính chẵn lẻ x - x + hai số chẵn liªn tiÕp
( 1)( 1) 8
2 2
Ta c y x y x x y
Do y x x
M
x x y y
y y y x
Bài 38: Cho p p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh p + 16. HD:
Vì p sơ ngun tơ p > 3, nên sơ ngun tơ p có dạng: 3k + 1, 3k + với k
N*
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do p + hợp sô ( Trái với đề p + sô nguyên tô)
- Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1)
Do p sô nguyên tô p > p lẻ k lẻ k + chẵn k + 12 (2) Từ (1) (2) p + 16.
6/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm sơ ngun tơ p cho sơ sau sô nguyên tô: a) p + p + 10
b) p + 10 p + 20 c) p + 10 p + 14 d) p + 14 p + 20 e) p + 2và p + f) p + p + 14 g) p + p + 10 h) p + p + 10
Bài 2: Tìm sơ ngun tơ p cho sô sau sô nguyên tô: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14
b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
(13)f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Bài 3:
a) Cho p p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp sô b) Cho p 2p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp sô c) Cho p 10p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + hợp sô d) Cho p p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp sô e) Cho p 4p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp sô f) Cho p 5p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + hợp sô g) Cho p 8p + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp sô h) Cho p 8p - sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp sô i) Cho p 8p2 - sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp sô.
j) Cho p 8p2 + sô nguyên tô (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp sô.
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) Nếu p q hai sô nguyên tô lớn p2 – q2 24.
b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k N*) sơ ngun tơ lớn k 6. Bài 5:
a) Một sô ngun tơ chia cho 42 có sơ dư r hợp sơ Tìm sơ dư r
b) Một sơ ngun tơ chia cho 30 có sơ dư r Tìm sô dư r biết r không sô nguyên tô
Bài 6: Hai sô nguyên tô gọi sinh đôi chúng hai sô nguyên tô lẻ liên tiếp Chứng minh sô tự nhiên lớn nằm hai sô nguyên tô sinh đơi chia hết cho Bài 7: Cho sơ ngun tơ lớn 3, sơ sau lớn sô trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho
Bài 8: Tìm sơ ngun tơ có ba chữ sơ, biết viết sơ theo thứ tự ngược lại ta sô lập phương sơ tự nhiên
Bài 9: Tìm sơ tự nhiên có chữ sơ, chữ sơ hàng nghìn chữ sô hàng đơn vị, chữ sô hàng trăm chữ sơ hàng chục sơ viết dưới dạng tích sơ ngun tơ liên tiếp
Bài 10: Tìm sơ ngun tơ lẻ liên tiếp sơ ngun tơ.
Bài 11: Tìm sô nguyên tô liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 sô nguyên tơ.
Bài 12: Tìm tất ba sô nguyên tô a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a. Bài 13: Tìm sơ nguyên tô p, q, r cho pq + qp = r.
Bài 14: Tìm sơ ngun tơ x, y, z thoả mãn xy + = z.
Bài 15: Tìm sơ ngun tơ abcd cho ab ac l, số nguyên tố b2 cd b c
Bài 16: Cho sô p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) sô nguyên tô
Chứng minh sô p, q, r có hai sơ Bài 17: Tìm tất sơ ngun tơ x, y cho:
a) x2 – 12y2 = 1.
b) 3x2 + = 19y2.
c) 5x2 – 11y2 = 1.
(14)e) 13x2 – y2 = 3.
f) x2 = 8y + 1.
Bài 18: Tìm sơ ngun tơ cho tích chúng gấp lần tổng chúng.
Bài 19: Chứng minh điều kiện cần đủ để p 8p2 + sô nguyên tô
p =
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 là sơ ngun tơ a2 – b2 = a + b.
Bài 21: Chứng minh sô ngun tơ lớn có dạng 6n + hoặc 6n –
Bài 22: Chứng minh tổng bình phương sơ ngun tơ lớn sô nguyên tô
Bài 23: Cho sô tự nhiên n2 Gọi p1, p2, , pn là sô nguyên tô cho
pn n + Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh dãy sô sô tự nhiên liên tiếp: A
+ 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa sô nguyên tô
Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p sơ ngun tơ 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - 1p. Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p sơ ngun tơ 2.3.4 (p – 2)(p – 1) + 1p. C/ Dạy các dạng toán số nguyên tố cho HS:
Trên sơ dạng tốn liên quan đến sơ ngun tơ Tuy nhiên tiến hành dạy dạng tốn cho HS lại vấn đề cần quan tâm Theo qui định chương trình khơng có thời gian để dạy hết dạng toán Vì dạng tốn sơ ngun tơ chỉ dạy cho HS tiết bồi dưỡng HSG
V/ KẾT QUẢ:
Qua việc áp dụng dạy dạng tốn sơ ngun tơ năm gần thân nhận thấy đem lại kết tôt
Đa sô HS nắm dạng tốn sơ ngun tơ
HS biết vận dụng thành thạo để giải toán tương tự học
Do dạng tốn sơ ngun tơ HS chủ yếu gặp phải thi HSG Lại có nhiều năm khơng dạng tốn nên kết đề yài chưa thông kê sô cụ thể hơn!
Kết chỉ khiêm tơn minh chứng cho tính hiệu đề tài
Nhưng dù tơi nghĩ kết thi HSG tốn khơng chỉ phụ thuộc vào người thầy vào đề tài mà cịn phụ thuộc nhiều yếu tơ khác
VI/ KẾT LUẬN:
Với kinh nghiệm giảng dạy tìm tịi nghiên cứu áp dụng tơi thấy việc hướng dẫn HS dạng tốn sô nguyên tô đem lại hiệu định, góp phần nâng cao chất lượng đăc biệt chất lượng HSG Đại đa sô HS nắm dạng tốn cách hệ thơng, khoa học, biết đôi chiếu so sánh, nhận dạng biết vận dụng cách sáng tạo vào tập
(15)Chân thành cảm ơn !
Đại Lộc, ngày 01/03/2014 Người viết: Nguyễn Mính