Trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa cha nãi têng minh c¸c vÊn ®Ò nªn häc sinh cha tiÕp nhËn kiÕn thøc mét c¸ch chÆt chÏ; suy diÔn lËp luËn trong chøng minh h×nh häc cßn lñng cñng, cha hiÓu [r]
(1)I Đặt vấn đề
Hiện việc vận dụng kiến thức toán học vào giải tập yêu cầu quan trọng việc dạy học toán, đặc biệt việc vận dụng kiến thức hình học học tập ứng dụng đời sống hàng ngày lại quan trọng
Thông qua vấn đề này, ngời học củng cố đợc kiến thức – mở rộng nhận thức mà cịn hình thành nâng cao phẩm chất q giá học tập: Rèn tính cẩn thẩn xác, tính độc lập suy nghĩ, phát triển t sáng tạo Biết lập luận chứng minh logic vận dụng vào thực tiễn
Từ xa xa ngời thấy đợc vai trị quan trọng hình học sống Họ biết cách vận dụng tốn học vào tính tốn, xác định vị trí địa lý, vào cách tính thiên văn, vẽ hình,…
Nh nhà tốn học Talet (Hi Lạp) vào khoảng kỷ thứ V trớc cơng ngun, từ lúc cịn trẻ biết vận dụng tính chất tam giác đồng dạng để tính đợc chiều cao kim tự tháp Ai Cập phơng pháp đơn giản, nhng điều lại có ý nghĩa thật vĩ đại cho tốn học đơng thời, cơng trình nghiên cứu ơng kho tàng quý giá cho hình học ngày
Bộ mơn hình học phần quan trọng chơng trình tốn học THCS, nội dung quan trọng chơng trình hình học chơng III: ” Tam giác đồng dạng”
Thông qua tam giác đồng dạng, ta vận dụng giải đợc số dạng toán cần thiết nh:
1 Chøng minh hai gãc b»ng
2 Lập đợc đoạn thẳng tỉ lệ mà khơng cần tính độ dài Tính độ dài đoạn thẳng
4 Chứng minh đẳng thức hình học Chứng minh tích đoạn thẳng khơng đổi Chứng minh tia phân giác góc
7 TÝnh chu vi, diƯn tÝch cđa tam gi¸c
8 ứng dụng tam giác đồng dạng vào thực tiễn (nh xác định chiều cao vật, xác đinh khoảng cách hai địa điểm dó có điểm khơng thể tới đợc, vẽ hình đồng dạng, …)
9 áp dụng vào hình học lớp để chứng minh tứ giác nội tiếp…
(2)Trong thực tế nay, phần lớn học sinh cha vận dụng thành thạo lý thuyết vào chứng minh tam giác đồng dạng, ngợc lại cha biết khai thác triệt để tính chất tam giác đồng dạng vào giải toán Nguyên nhân chủ yếu học sinh ch a nắm vững kiến thức, cha hiểu hết mục đích, ý nghĩa việc học tốn Trong chơng trình sách giáo khoa cha nói tờng minh vấn đề nên học sinh cha tiếp nhận kiến thức cách chặt chẽ; suy diễn lập luận chứng minh hình học lủng củng, cha hiểu hết chất tốn dẫn đến có định hớng lệch lạc, suy luận thiếu xác, sai kết Điều dẫn đến có nhiều em lại chán nản, lơ với mơn tốn
Qua nhận thấy việc nghiên cứu hớng dẫn học sinh học tập, vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng vào giải toán yêu cầu quan trọng học tập
Việc giúp học sinh củng cố đợc kiến thức trờng hợp đồng dạng hai tam giác, suy luận đợc rút biết đợc hai tam giác đồng dạng, chứng minh tập hình học với kiến thức liên quan; rèn luyện kĩ phân tích suy diễn hình học, rèn tính cẩn thận, xác vẽ hình trình bày làm Mà giúp cho giáo viên khắc sâu thêm kiến thức, rèn luyện khả sáng tạo đặt toán hay để truyền đạt cho học sinh, kích thích học sinh có hứng thú học tốn, giúp em u thích mơn tốn Ngồi giáo viên cịn rèn luyện đợc cho phong cách dạy tốn, trình bày dạy lời nói, chữ viết kĩ vẽ hình, cách sử dụng kí hiệu logic hợp lí Vấn đề khơng vận dụng cho tốn lớp mà cịn phục vụ cho tập hình học lớp
Với lí trên, tơi chọn đề tài tam giác đồng dạng viết xin giới thiệu thầy cô bạn đọc tham khảo Vấn đề mà vận dụng truyền đạt cho học sinh buổi học khố, đặc biệt buổi học bồi dỡng phụ đạo học sinh năm gần
II néi dung
A Các vấn đề lí thuyết
Trớc giải tập, cần cho học sinh nắm vững đợc nội dung lí thuyết phần tam giác đồng dạng
(3)Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho
Cách 2: (Trờng hợp đồng dạng thứ nhất):
Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng
Cách 3: (Trờng hợp đồng dạng thứ hai):
Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với
Cách 4: (Trờng hợp đồng dạng thứ ba):
Nếu hai góc tam giác lần lợt hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với
* Đối với tam giác vuông:
Cỏch 1: Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng
Cách 2: Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng của tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng
Cách 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng
2/ Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy ra:
- Các cặp góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng
- Các cặp cạnh tơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ lệ (lập đợc hệ thức tỉ lệ cạnh)
- Hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đờng cao tơng ứng, tỉ số hai đờng trung tuyến tơng ứng, tỉ số hai đờng phân giác tơng ứng tỉ số đồng dạng
- Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng
- Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phơng tỉ số đồng dạng
3/ Cách xác định đỉnh t ơng ứng, góc t ơng ứng, cạnh t ơng ứng của
hai tam giác đồng dạng. Nếu hai tam giác đồng dạng: a Cách xác định đỉnh tơng ứng:
- Hai góc tam giác hai đỉnh hai góc tơng ứng - Hai đỉnh đối diện với hai cạnh tơng ứng hai đỉnh tơng ứng
(4)- Hai đỉnh tơng ứng hai góc có hai đỉnh tơng ứng (tức hai góc nhau)
- Hai góc đối diện với hai cạnh tơng ứng hai góc tơng ứng c Cách xác định cạnh tơng ứng:
- Hai cạnh đối diện với hai đỉnh tơng ứng hai cạnh tơng ứng - Hai cạnh đối diện với hai góc tơng ứng hai cạnh tơng ứng d Lu ý:
Nên rèn luyện cho học sinh nhận biết đỉnh tơng ứng, góc tơng ứng, cạnh tơng ứng hình vẽ để học sinh dễ hiểu, dễ nhận biết, nhớ lâu khắc sâu đợc kiến thức
4/ Các sai sót vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng vào giải toán a Xác định không đỉnh tơng ứng, góc tơng ứng, cạnh tơng ứng b Ghi kí hiệu tam giác đồng dạng không thứ tự đỉnh tơng ứng, dẫn
đến xác định sai cặp góc nhau, lập hệ thức tỉ lệ cạnh sai c.Lẫn lộn tơng ứng tỉ lệ cạnh với cỏc cnh
B vận dụng vào giải tËp.
1/ Một vài đặc điểm dạng toán phần tam giác đồng dạng
a Chøng minh hai gãc b»ng nhau:
Để chứng minh hai góc nhau, số trờng hợp khó áp dụng đợc cách chứng minh thơng thờng biết, mà vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng giải đợc, đặc biệt trờng hợp cạnh góc khơng cố định, số đo góc thay i
b Chứng minh hệ thức hình học:
Ta dựa vào tam giác đồng dạng, từ tam giác đồng dạng ta lập đ ợc hệ thức tỉ lệ cạnh tam giác, so sánh tỉ số để đợc tỉ lệ thức theo yêu cầu đề bài, lập đợc đẳng thức tích đoạn thẳng
c.Chứng minh tích đoạn thẳng khơng đổi.
(5)d Liên hệ với thực tế đo gián tiếp chiều cao vật, xác định khoảng cách giữa hai địa điểm có điểm khơng tới đợc.
e.Vận dụng vào để chứng minh tứ giác nội tiếp giải tập liên quan…
2/ Vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng vào giải toán nh ?
Kiến thức tam giác đồng dạng vận dụng để giải đợc nhiều dạng tốn hình học Tuy nhiên điều kiện đề tài ta nghiên cứu xét số dạng đặc biệt thờng gặp chơng trình, phục vụ cho việc dạy học nhà trờng THCS, số ví dụ đại diện cho dạng tốn
D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng (líp 8)
VÝ dơ 1: Cho tam gi¸c ABC cân A H trung điểm BC Gọi I hình chiếu H cạnh AC, O trung điểm HI
Chứng minh rằng: HAO = CBI
Phân tích toán:
- Để chứng minh HAO = CBI ta đa chứng minh hai tam giác đồng dạng
- Hai tam giác có chứa cặp góc trên? Hãy chứng minh hai tam giác đồng dạng?
ThËt vËy: A Tõ AHC HIC (v× cã H = I = 900, gãc C chung)
Suy HA
HI = HC
IC , mµ HC= BC
2 HI = 2HO
nên ta có:
HA HO=
BC IC⇒
HA HO=
BC IC ⇒
HA BC =
HO
IC (1) B H C
Mặt khác: AHO = BCI (cùng phụ với HAI) (2) Nên từ (1) (2) ta suy AHO BCI (c-g-c)
HAO = CBI (hai gãc t¬ng øng) VÝ dơ 2: Cho đoạn thẳng AB, trung điểm M.
Trong cựng nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AB lấy hai điểm C D cho ACM = DMB CAM = MBD
Chøng minh MCD = ACM
Phân tích toán:
- T gi thit ACM = DMB CAM = MBD ta có đợc hai tam giác đồng dạng?
- Từ hai tam giác đồng dạng suy điều gì?
(6)- MCD vµ ACM lµ hai gãc tam giác nào?
- Nu CMD CAM có suy đợc điều cần chứng minh khơng? Từ giúp học sinh hình thành lời giải toỏn
Hai tam giác ACM BMD có: D ACM = DMB vµ CAM = MBD C
Nªn ACM BMD (g-g)
⇒CM
MD= AC
BM Mà BM = AM nên A M B
⇒CM
MD= AC
AM hay CM AC =
MD
AM (1)
Ta l¹i cã: CMD = 1800 - (CMA + DMB)
= 1800 - (CMA + ACM) = CAM
VËy CMD = CAM (2)
Tõ (1) vµ (2) suy CMD CAM (c-g-c)
MCD = ACM (hai góc tơng ứng) Tơng tự học sinh giải đợc tập khác nh: Bài tập: Cho tam giác ABC với C < B
Trên cạnh AC lấy điểm D cho AB2 = AD.AC Chøng minh ABD = ACB.
D¹ng 2: Chøng minh hƯ thøc – tØ lƯ thøc (líp 8).
Dạng tốn thờng gặp nhiều tập chứng minh tam giác đồng dạng
VÝ dơ 3: Cho h×nh thoi ABCD cã A = 600, P điểm thuộc cạnh AB, N lµ giao
điểm hai đờng thẳng AD CP
1) Chøng minh hÖ thøc AB2 = BP.DN
2) Gọi M giao điểm BN DP Chøng minh DMB = 600.
3) Chøng minh PA.PB = PD PM
Phân tích toán:
Câu 1) Vì ABCD hình thoi nên ta có AB = BC = CD Do : AB2 = CD.BC
VËy nªn muèn chøng minh AB2 = BP.DN
ta chøng minh CD.BC = BP.DN A C DÔ nhËn thÊy: CD DN hai cạnh tam giác CDN N M B BC vµ BP lµ hai cạnh tam giác PBC
Do ú nu cú PBC CDN
(7)BP CD=
BC
DN ⇒CD BC=BP DN⇒AB
2
=BP DN ( ThËt vËy: Hai tam gi¸c PBC vµ CDN cã:
PBC = CDN (hai góc đối diện hình thoi) BPC = DCN (cặp góc so le trong)
Nên PBC CDN (g-g)) Câu 2) Vì tam giác ABD nên
Từ câu suy đợc BP
AB= AB DN⇒
BP BD=
BD
DN ( Vì Có BD = AB)
Mặt khác PBD = BDN = 600 nªn ta cã:
BPD DBN (c-g-c) BDP = DNB (hai gãc t¬ng øng)
Từ suy DMB = DNM + NDM = BDP + NDM = BDN = 600
VËy: DMB = 600.
Câu 3) Khi ta thấy DMB = 600 nên MPB APD (g-g)
PM
PA = PB
PD ⇒PA PB=PD PM
Ví dụ 4: Giả sử AC đờng chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C kẻ đờng CE, CF lần lợt vng góc với đờng thẳng AB AD (E AB, F AD)
Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC2.
Phân tích toán:
- Vì ABCD hình bình hành có AD = BC nên AD.AF = BC.AF
- AF cạnh tam giác vuông AFC, Nếu từ B kẻ BI AC tam giác CBI có đồng dạng với tam giác ACF khơng?
- KỴ BI AC : E B A *) ACF vµ CBI cã
AFC = BIC = 900
FAC = BCI (cã AF BC) C D Suy ACF CBI (g-g)
Do AF
CI = AC
BC ⇒AF BC=AC CI F
Vì BC = AD (hai cạnh đối hình bình hành) Nên AF.AD = AC.CI (1)
- AC, AE hai cạnh tam giác vng AEC, AB cạnh tam giác vuông đồng dạng với tam giác AEC?
*) ACE vµ ABI cã:
(8)AEC = AIB = 900, Gãc CAE chung
Suy ACE ABI (g-g) Do đó: AE
AI = AC
AB ⇒AB AE=AC AI (2)
Tõ (1) Vµ (2) ta cã: AF.AD + AB.AE = AC.CI + AC.AI Hay AF.AD + AB.AE = AC (CI + AI) = AC.AC = AC2
VËy: AB.AE + AD.AF = AC2.
* Lu ý:
- Trong chứng minh hệ thức nhiều ta cần chứng minh thông qua nhiều cặp tam giác đồng dạng để tìm mối liên hệ đẳng thức, từ rút điều cần chứng minh
- Thông qua tam giác đồng dạng ta rút đợc nhiều hệ thức điều phục vụ cho chơng trình hình học lớp sau
Chẳng hạn nh tập:
Cho tam giỏc ABC vuông A, đờng cao AH (H BC) Chứng minh rằng:
1 AB2 = BH.BC; AC2 = CH BC
2 AH2 = BH.CH
3
AH2= AB2+
1 AC2
Và hệ thức lợng tam giác vuông mà lên lớp ta tìm hiểu
Dạng 3: Chứng minh tích đoạn thẳng khơng đổi - chứng minh hệ thức (l 8)
Trong tốn, dựa vào tam giác đồng dạng ta rút đợc hệ thức để chứng minh cho tích đoạn thẳng khơng đổi có yếu tố thay đổi cịn phục vụ để chứng minh cho yêu cầu khác liên quan
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm cạnh đáy BC Trên AB, AC lần lợt lấy điểm D E cho DME = B
a, Chứng minh tích BD CE khơng đổi vị trí D E thay đổi AB AC
b, Chứng minh DM tia phân giác góc BDE EM tia phân giác góc CED
Phân tích toán:
(9)Theo bi tốn đoạn thẳng AB, AC, BC, MB, MC cố định, dựa vào tam giác đồng dạng ta lập đợc mối quan hệ BD CE với đoạn thẳng
C©u a) - Ta cã: A BME = BMD + DME = C + CEM
(Vì BME góc CME) E Mµ DME = B = C (gt) D
Từ suy ra: BMD = CEM
XÐt BMD vµ CEM, chóng cã: B M C B = C (Vì ABC cân A)
BMD = CEM (chøng minh trªn) Nªn BMD CEM (g-g) ⇒BM
CE = BD
CM ⇒BD CE=BM CM
Mµ BM = CM =
2 BC, BC khơng đổi nên BM = CM khơng đổi
Do BM.CM khơng đổi Vậy BD.CE khụng i
Câu b) Để chứng minh DM phân giác góc BDE, ta phải chứng minh BDM = MDE
Vì vị trí D, E thay đổi AB, AC nên số đo góc BDM, MDE thay đổi
Do vậy, muốn chứng minh BDM = MDE ta dựa vào chứng minh hai tam giác BMD MED đồng dng
Vì BMD CEM nên: BD
CM= MD
EM Mà CM = MB nên ta suy ra:
BD
MB= MD EM ⇒
BD MD=
MB EM
L¹i cã B = DME (gt)
Nªn: BMD MED (c-g-c) Suy BDM = MDE (hai gãc t¬ng øng) Vậy DM phân giác góc BDE
- Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED
Vớ d 6: Cho hình vng ABCD, cạnh có độ dài a Một đờng thẳng d qua đỉnh C cắt tia AB E cắt tia AD F
1 Chứng minh tích BE.DF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí đờng thẳng d
2 Chøng minh hÖ thøc BE
(10)3 Xác định vị trí đờng thẳng để có hệ thức DF = 4.BE
Phân tích toán:
- Hỡnh vuụng ABCD có cạnh AB, BC, CD, DA cố định Đờng thẳng d thay đổi nên BE DF thay đổi
- Để chứng minh tích BE.DF có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí đờng thẳng d ta biểu thị tích BE.DF thơng qua đại lợng khơng đổi Lập đợc điều cách dựa vào hai tam giác đồng dạng
Câu 1) Ta có hai tam giác vng EBC CDF đồng dạng nên BE
DC= BC
DF ⇒BE DF=BC DC=a.a=a
2
Vì a2 không đổi nên BE.DF không đổi, suy ra
BE.DF khơng phụ thuộc vào vị trí đờng thẳng d
Câu 2) ABCD hình vuông nªn BC = CD Ta cã thĨ viÕt:
BE DF= BE BC BC DF= BE BC CD
DF E
Để có đợc BE
DF= AE2
AF2
ta chøng minh BE
BC= AE AF ; CD DF = AE
AF B C
Do phải xét tới hai tam giác đồng dạng Thật vậy:
EBC EAF (g-g) ⇒BE
AE= BC AF ⇒ BE BC= AE AF (1)
CDF EAF (g-g) ⇒DC
AE= DF AF⇒ DC DF= AE AF (2)
Nhân (1) (2) vế với vế, ý DC = BC ta đợc BE
DF= AE2
AF2
- Sử dụng kết câu ta giải đợc câu Câu 3) Khi DF = BE ⇒BE
DF=
4 Cho ta AE2 AF2=
1 4⇒ AE AF=
Mµ BE
BC= AE AF= 2⇒ BE BC=
2⇒BE=
2BC⇒BE= a
Vậy để BF = 4.BE đờng thẳng d phải cắt tia AB điểm cách B đoạn a
2
(11)Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD, điểm F thuộc cạnh BC Tia AF cắt BD CD lần lợt E G
Chứng minh: 1) AE2 = EF.EG
2) BF.DG không đổi điểm F thay đổi BC
Ph©n tÝch toán:
Câu 1) - Vì AB // DG nªn AEB GED ⇒AE
GE= EB
ED (1)
- BF // AD nªn EBF EDA
⇒EB
ED= EF
EA (2) D C G
Tõ (1) vµ (2) suy AE
GE= EF AE⇒AE
2
=EF EG
Câu 2) Ta nhận thấy cạnh AB, BC, CD, DA hình bình hành có giá trị khơng đổi Do cần phải tìm mối quan hệ BF, DG với đoạn thẳng
V× EAB EGD nªn ⇒AB
GD= EB
ED (3)
BEF DEA nªn ⇒BF
DA = EB
ED (4)
Tõ (3) vµ (4) ⇒AB
GD= BF
DA ⇒BF DG=AB DA
Vì AB, DA khơng đổi nên AB.DA khơng đổi Vậy BF.DG khơng đổi
VÝ dơ 8: Cho tam gi¸c ABC trung tuyến AM Trên BC lấy điểm D (D M), tõ D
kẻ đờng thẳng song song với AM cắt tia BA E, cắt tia CA F Chứng minh D di động BC thì:
1 DE + DF khơng đổi
2 Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt DE I Chứng minh I trung điểm EF
Ph©n tÝch toán:
Cõu 1) Theo bi toỏn cỏc on thẳng không đổi E BC, AB, AC, AM Ta tìm mối liên hệ DE DF với đoạn thẳng A I
A B E
(12)Ta cã:
- BDE BMA (v× AM // DE) ⇒BD
BM= DE MA
- CDF CMA (v× DF // MA) ⇒CD
CM= DF
MA B M D C
Cọng theo vế đẳng thức ta đợc: BD
BM+ CD CM=
DE MA+
DF
MA hay
BD+CD
CM =
DE+DF
MA (V× BM = CM)
⇒BC
CM=
DE+DF
MA , mà BC = 2CM nên
DE+DF
MA =2⇒DE+DF=2 MA
Vì MA khơng đổi nên DE + DF không đổi
Câu 2) Để chứng minh I trung điểm EF ta chứng minh IE = IF Do ta cần dựa vào tam giác đồng dạng để tỉ số có chứa IE IF
- DÔ nhËn thÊy r»ng:
AIE BMA (g-g) ⇒IE
MA= AI
BM (1)
AIF CMA (g-g) ⇒IF
MA= AI
CM (2)
Vì BM = CM nên từ (1) (2) ta suy đợc IE
MA= IF
MA IE=IF
Vậy I trung điểm EF
Dạng 4: ứ ng dụng thực tế tam giác đồng dạng (lớp 8)
Kiến thức tam giác đồng dạng không dùng để giải các tập, mà cịn đợc ứng dụng để phục vụ cho tính tốn đo đạc sống Chẳng hạn nh: Tính đợc chiều cao vật (đo gián tiếp) hay xác định khoảng cách hai địa điểm, tạo dụng cụ đo bề dày số loại sản phẩm, ứng dụng vẽ hình đồng dạng (thớc vẽ truyền),… điều đợc đề cập đến tập sách giáo khoa (Bài tập 48, 50, 53, 54, 55 trang 84, 87 sách giáo khoa)
* Không đợc áp dụng rộng rãi chơng trình hình học 8, tam giác đồng dạng cịn cơng cụ hữu hiệu cho việc sử dụng vào chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh tích khơng đổi đoạn thẳng… hình học lớp
D¹ng 5: Vận dụng vào hình học 9
(13)Ví dụ 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D điểm cung nhỏ BC, BD cắt AC N; CD cắt AB M Tia phân giác góc CBM góc BCN cắt I Chứng minh:
1 Tích BM.CN không đổi
2 Ba điểm M, I, N thẳng hàng D di động cung BC
Phân tích toán:
- Cỏc on thẳng có giá trị khơng đổi?
- Biểu thị tích BM.CN thơng qua đoạn thẳng nh nào? Câu1) Ta nhận thấy AB = BC = AC không đổi Dựa vào tam giác đồng dạng xét mối quan hệ BM, CN với AB, BC, AC
Vì ABC tam giác nên:
MBC = NCB =120o (gãc ngoµi cđa ABC).
BMC =
2 (s® AC – s® BD) =
2 (s® BC – s® BD) =
2 s® CD
CBN =
2 s® CD
Từ suy BMC = CBN Hai tam giác BCM CNB có
MBC = BCN, BMC = CBN nên đồng dạng C Do ta có BM
CB = CB
NC D
Suy ra: BM.NC = CB2
Do BC không đổi nên
BM.NC không đổi M I N Câu 2) - Ta chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng cách chứng minh tổng BIM + BIC + CIN = 1800
- Dễ dàng chứng minh đợc BCI BIC = 60o và BC = BI = CI.
- Do vËy ta ph¶i chøng minh BIM + CIN = 120o
- BIM cã MBI = 60o nªn BIM + BMI = 120o
Vậy ta cần phải chứng minh đợc BMI = CIN
- Khi D chuyển động BC M, N chuyển động, số đo góc BMI CIN thay đổi
Vậy, để chứng minh BMI =CIN ta dựa vào việc chứng minh hai tam giác đồng dạng
A
O
(14)ThËt vËy: XÐt BMI vµ CIN cã: MBI = NCI = 60o
Tõ BM
CB = CB NC ⇒
BM CI =
BI
CN (v× CB = BI = CI)
VËy nªn BMI CIN (c.g.c)
Suy BMI = CIN (Hai góc tơng ứng) Từ ta có: BIM + CIN = BIM + BMI = 120o
Cho nªn BIM + BIC + CIN = 1800
Vậy, D di động cung BC ta ln có ba điểm M, I, N thẳng hàng
Ví dụ 10: Cho đờng trịn (O;R), cát tuyến cắt đờng tròn A B Trên cát tuyến lấy điểm C (C nằm ngồi AB) Từ C kẻ tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn ( M, N tiếp điểm) Đờng thẳng qua O vng góc với AB H cắt MN kéo dài I
Chứng minh rằng: Khi C di động cát tuyến AB tích OI.OH khơng đổi; OI khụng i
Phân tích toán:
- Ta có bán kính R yếu tố khơng đổi Do để chứng minh tích OI.OH khơng đổi tìm mối quan hệ OI.OH với R
I M
A B C
N Hai tam giác vuông OKI OHC có:
OKI = OHC = 90o ( K lµ giao cđa OC vµ MN).
Gãc O chung
Do OKI OHC (g.g) Suy OK
OH= OI
OC ⇒OI OH=OK OC (1)
Mặt khác, theo hệ thức lợng tam giác vuông OMC, có MK đờng cao nên OM2 = OK.OC (2)
(15)Vì OI.OH khơng đổi, mà OH không đổi OI không đổi
* Từ tam giác đồng dạng ta suy đợc tỉ lệ thức đoạn thẳng tỉ lệ Ngợc lại, dựa vào đoạn thẳng tỉ lệ ta chứng minh đợc tam giác đồng dạng Điều giúp ta rút kết luận để chứng minh đợc tứ giác nội tiếp
VÝ dơ 11: Cho h×nh thang ABCD cã A = D = 90o, E lµ trung điểm AD Kẻ
AH vuông góc với BE, DI vu«ng gãc víi CE Chøng minh r»ng BHIC tứ giác nội tiếp
Phân tích toán:
- Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông, ta dễ dàng nhận thấy: AEB vuông A, đờng cao AH nên
EH.EB = EA2 (1)
DEC vuông tai D, đờng cao DI nên A B EI.EC = ED2 (2)
Lại có EA = ED H từ (1) (2) suy EH.EB = EI.EC E
Từ hệ thức này, ta chứng minh đợc I BHIC tứ giác nội tiếp nhờ vào bớc trung
gian chứng minh tam giác đồng dạng:
XÐt EHI vµ ECB ta cã: D C Gãc E chung, EH
EC= EI
EB (v× EH.EB = EI.EC)
Do EHI ECB (c.g.c) Suy EHI = ECB
Tứ giác BHIC có góc C góc đỉnh H nên tứ giác nội tiếp
Ví dụ 12: Cho đờng trịn (O) điểm A nằm ngồi đờng trịn Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C (O)) Gọi I giao điểm OA BC Kẻ dây DE đờng tròn (O) qua điểm I
Chøng minh r»ng tø gi¸c ADOE néi tiÕp
Phân tích toán:
B
(16)C
- Ta có tam giác ABC cân A, AO phân giác góc A nên AO BC IB = IC
ABO vuông B, BI đờng cao nên IA.IO = IB2 = IB.IC (1)
- Nhận thấy hai tam giác IBD ICE đồng dạng có:
BID = CIE (đối đỉnh) DBI = CEI (cùng chắn cung CD) Suy IB
IE = ID
IC ⇒IB IC=ID IE (2)
Tõ (1) vµ (2) IA.IO = ID.IE - IA.IO = ID.IE ⇒IA
IE = ID IO
Mặt khác ta lại có DIA = OIE (đối đỉnh)
Nªn AID EIO (c-g-c) suy ADI = EOI (hai gãc t¬ng øng) Hay ADE = AOE ADOE tứ giác nội tiếp
C kết thu đ ợc:
T việc phân loại dạng tập, khắc sâu cho học sinh vấn đề lý thuyết qua tiết học nh tiết luyện tập, buổi bồi dỡng Các em biết vận dụng lý thuyết học, phát huy khả hệ thống kiến thức bản, phân dạng tập; vận dụng lý thuyết vào giải tập cách nhuần nhuyễn, có tính tị mị học tốn, sở vận dụng vào giải đợc tập tơng tự; không cịn lo sợ làm tập hình học
Trong buổi lên lớp, với lớp đại trà đa tập dễ hơn, bổ sung nhiều tập tơng tự để học sinh nhận dạng, vận dụng rút phơng pháp giải Đối với học sinh giỏi tập đợc mở rộng mức độ khó đợc nâng cao dần
(17)Sau áp dụng, học sinh giải toán tam giác đồng dạng có hứng thú hơn, em nắm đợc kiến thức sách giáo khoa - kiến thức bổ trợ đợc giáo viên cung cấp vận dụng linh hoạt vào giải tốn Thơng qua học sinh nắm vững trờng hợp đồng dạng hai tam giác tính chất chúng: biết cách xác định đỉnh - cạnh - góc tơng ứng, từ có cách suy luận logic chứng minh hợp lý
Qua việc thực hành giải tốn học sinh hình thành đợc phong cách học tốn: Độc lập suy nghĩ, tìm tịi sáng tạo, cẩn thận xác làm Trình bày làm chặt chẽ đầy đủ, biết phân chia dạng tập để chứng minh, có nhiều em cịn tìm đợc lời giải hay đặt câu hỏi độc đáo
Chất lợng học tốn nói chung giải tập hình học nói riêng đợc nâng lên rõ rệt, điều đợc thể thơng qua kết kiểm tra định kỳ, đặc biệt qua kỳ thi khảo sát chất lợng thi khảo sát học sinh giỏi
Kết trắc nghiệm thu đợc (Năm học 2006 – 2007): Lp 8B: ỏp dng
Lớp 8C: Không áp dơng
Líp Tỉng
sè
Tríc ¸p dụng Sau áp dụng
Giỏi Khá T.bình Yếu Giỏi Khá T.bình Yếu
8B 43 28 7 13 22
8C 41 27 26
D bµi häc kinh nghiệm Qua cho thấy:
- gii tốn trớc hết cần phải nắm lý thuyết, qua phân dạng tập; suy luận, sáng tạo cách tự đặt vấn đề sở giải yêu cầu khó hơn, phức tạp từ rút phơng pháp giải, tìm định hớng chung cho dạng tập
(18)- Không ngừng tham khảo tài liệu nâng cao, tìm mối liên hệ tập để có định hớng bổ sung thêm cho học sinh vấn đề vớng mắc
- Thực dạy dạng toán theo chuyên đề để học sinh tiếp thu kiến thức đợc liền mạch, vận dụng kiến thức linh hoạt hơn, đợc thực hành nhiều
- Việc nghiên cứu cách hớng dẫn học sinh vận dụng tam giác đồng dạng để giải toán chọn lọc đợc nội dung cần thiết, phơng pháp lên lớp phù hợp từ học sinh tiếp thu kiến thức cách nhanh chóng vững
Trên số kinh nghiệm mà rút đợc qua thực tế tìm hiểu giảng dạy lớp nh buổi bồi dỡng phụ đạo
Tuy nhiên, vấn đề nêu cha phải đầy đủ, tồn diện Mong thầy đồng nghiệp tham khảo bổ sung thêm để đề tài đợc hoàn thiện
Chân thành cảm ơn sợ góp ý đồng nghiệp
Minh Hợp, ngày 20 tháng năm 2008
Ngời thực
Lê Văn Hậu
Môc lôc
(19)I Đặt vấn đề
II Néi dung
A. Các vấn đề lý thuyết
1/ Các cách chứng minh tam giác đồng dạng
2/ Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy 3/ Cách xác định đỉnh tơng ứng, góc tơng ứng, cạnh
t-ơng ứng hai tam giác đồng dạng
4/ Các sai sót vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng vào
giải toán
B. Cỏc dng vo gii tập 1/ Một vài đặc điểm dạng toán phần tam giác
đồng dạng
2/ Vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng vào giải toán nh nào?
6 - Dạng Chứng minh hai góc (lớp 8) - Dạng Chứng minh hệ thức – tỉ lệ thức (lớp 8) - Dạng Chứng minh tích đoạn thẳng khơng đổi –
chøng minh hƯ thøc (líp 8) 10
- Dạng ứng dụng thực tế tam giác ng dng 16
- Dạng Vận dụng vào h×nh häc 16
C. Kết thu đợc 21