Kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng - Khương Nguyễn Chuyên đề THCS 4 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đ...
Các chuyên đề hình học dành cho bạn THCS(Số 4) Nguyễn Duy Khương-khoá 1518 chuyên Toán-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Đã lâu mở lại chuyên mục này, mong bạn lớp thông cảm thời gian gần bận Bài viết lần đề cập tới kĩ thuật quan trọng-kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng Chuyên đề số 4: Kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng giải tốn hình học Trong tốn hình học thi vào 10 việc sử dụng kiến thức nâng cao giúp nhìn rõ chất vấn đề xong biết cách sử dụng kiến thức đơn giản vào giải tốn đơi lúc thu lời giải ngắn gọn bất ngờ I) Một số lưu ý: 1) Cho tam giác ABC tam giác A B C đồng dạng điểm K, K thuộc KB KB BC, B C cho = AKB ∼ A K B KC KC 2) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy điểm E, F thuộc AC, AB Gọi (AEF ) ∩ (O) = G, A Khi GF B ∼ GEC 3) +) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, CA, AB a, b, c thì: a b c = = = 2R (Định lí hàm số Sin) sinA sinB sinC AB.AC.sin∠BAC +) SABC = 4) Cho tam giác ABC tam giác A B C đồng dạng theo tỉ số k Khi đó: k2 SABC = SA B C 5) Việc tìm tam giác đồng dạng hồn tồn dựa vào việc nhìn số cấu hình quen thuộc, hình vẽ tạo nhiều tỉ số nhau, số góc đặc biệt dấu hiệu cho việc dùng tam giác đồng dạng II) Một số tập vận dụng: √ Bài tốn 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH = R Gọi M, N chân đường vuông hạ từ H xuống AB, AC Chứng minh rằng: M, O, N thẳng hàng Lời giải: Gọi AD đường kính (O) Ta thấy theo hệ thức lượng tam giác vng AHB, AHC thì: AH = AM.AB = AN.AC = 2R2 ⇒ AN.AC = AO.AD = AM.AB suy ra: AON ∼ ACD(c.g.c) đồng thời AOM ∼ ABD(c.g.c) hay là: ∠AON = ∠AOM = 90◦ Hay M, O, N thẳng hàng Nhận xét: Việc xử lí giả thiết lạ để đưa chứng minh tam giác đồng dạng điểm mấu chốt toán Bài tốn 2(IMO Shortlist): Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi I, J tâm nội tiếp tam giác ABH, ACH Gọi P, Q tâm (IAB), (JAC) Chứng minh rằng: P Q IJ Lời giải: Ta cần bổ đề sau:" Cho tam giác ABC vng B có đường cao BD Gọi P, I, Q tâm nội tiếp tam giác ABD, ABC, ADC Chứng minh tâm (IP Q) nằm AC" Chứng minh: Trước chứng minh xin nêu bổ đề quen thuộc:" Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy O đối xứng O qua BC Gọi H trực tâm tam giác ABC O tâm (HBC)." ∠C = 180◦ − Gọi CQ ∩ AP = X, AP ∩ BQ = Y Ta có: ∠CXB = 180◦ − ∠P BC − ∠C ∠C ∠BAC − − = 90◦ Tương tự ∠P Y B = 90◦ ý A, P, I thẳng hàng 2 C, Q, I thẳng hàng nên I trực tâm tam giác BP Q Gọi (P DQ) ∩ AC = D, K Ta để ý rằng: ∠P DQ = 90◦ nên ∠P KQ = 90◦ Do ∠P DA = 45◦ = ∠KQP nên KP Q vuông cân K Gọi O tâm ngoại tiếp tam giác BP Q thì: ∠DBA + ∠DBC ∠P OQ = 2∠P BQ = 2( ) = ∠ABC = 90◦ P OQ vuông cân O nên K đối xứng O qua P Q, theo bổ đề K tâm (P IQ) Vậy ta thu tâm (P IQ) nằm AC(đpcm) Quay trở lại toán, ta dễ thấy rằng: A, P, B, H H, Q, C, A đồng viên Đồng thời: A, P, Q nằm phân giác ngồi góc BAC Vậy: ∠AP I = ∠ABC, theo bổ đề thì: H, I, J, O đồng viên(gọi O tâm (AIJ)) Theo bổ đề ta có tâm nội tiếp tam giác ABC T đồng thời trực tâm tam giác AIJ Vậy ∠HAB ∠BAC − ∠HAC = = ∠HAI AI, AT đẳng ∠T AJ = ∠T AC − ∠JAC = 2 giác A, O, H thẳng hàng nên ∠JIH = ∠JOH = 180◦ −∠JOA = 180◦ −(180◦ − 2∠OAJ) = ∠HAC = ∠ABC = ∠HP Q hay P Q IJ(đpcm) Nhận xét: Tôi giới thiệu lời giải bổ đề dùng hay có nhiều ứng dụng Thực tế chứng minh ngắn chút nhờ kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng: ta chứng minh ∠ABC = ∠HIJ cách chứng minh IHJ ∼ BAC ⇔ AIH ∼ CJH(đúng) Bài toán 3(Nguyễn Quang Trung): Cho tam giác ABC điểm F, E nằm cạnh AC, AB Đường trung trực BF, CE cắt K Một cát tuyến qua A cắt (O), (AEF ) điểm Q, P khác A Chứng minh rằng: KP = KQ Lời giải: Trước tiên xin nêu lại tính chất quen thuộc:" Cho (O) điểm M bất kì, phương tích từ M đến (O) kí hiệu PM/(O) PM/(O) = |OM − R2 | Qua M kẻ hai cát tuyến M AB, M CD thì: M A.M B = M C.M D = |OM −R2 | = PM/(O) ” Quay trở lại toán, gọi J, A = (AEF ) ∩ (O) Ta để ý rằng: JBF ∼ JCE(g.g) nên JM F ∼ JN E(c.g.c) J, A, N, M, K đồng viên nên ∠KJA = 90◦ Gọi R, S đối xứng O , O qua A ∠RJA = ∠KJA = ∠SJA = 90◦ nên J, R, K, S thẳng hàng OO qua trung điểm AK(theo tiên đề Euclid) Do AO KO hình bình hành Gọi AK∩(AEF ), (O) = A, X, Y , −O A2 +KO = −OK +OA2 PK/(O) = −PK/(AEF ) nên KX.KA = KY.KA hay K trung điểm XY Gọi T trung điểm P Q dễ thấy JT P ∼ JKX(c.g.c) nên J, A, K, T đồng viên suy ∠KT A = ∠KJA = 90◦ nên KP = KQ(đpcm) Nhận xét: Ở kĩ thuật đồng dạng trung tuyến đóng vai trò quan trọng việc chứng minh yếu tố đồng viên Bài toán 4(Nguyễn Duy Khương)(Cải biến từ đề thi chọn đội tuyển thi HSG lớp THPT chuyên Hà Nội Amsterdam 2017): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có P điểm nằm cung BC nhỏ cho Q đối xứng P qua BC nằm tam giác ABC Gọi BQ, CQ cắt AC, AB E, F Gọi M trung điểm BC AM ∩ (O), (AEF ) = U, L Chứng minh rằng: BLCU hình bình hành Lời giải: Gọi X, Y trung điểm BF, CE ý rằng: GBF ∼ GCE nên GXF ∼ GY E nên A, G, X, Y đồng viên Do M X, M Y đường trung bình tam giác BF C, BEC nên ∠XM Y = ∠F QE = 180◦ −∠BAC nên A, G, X, M, Y đồng viên Gọi AM ∩ (AEF ), (O) = A, L, U từ suy ra: AM L ∼ AY E(g.g) ML UL = = nên AU L ∼ ACE(g.g) AU M ∼ ACY (g.g) đó: CE YE AM MU ML YE = ⇒ = = nên M trung điểm U L Vậy BLCU hình bình AY YC MU YC hành(đpcm) Nhận xét: Nếu gọi (AEF ) ∩ (O) = G, A, AP ∩ BC = D, GD ∩ (O) = G, K AK đường đối trung ABC Bài toán 5(Nguyễn Quang Trung)(Tổng quát Việt Nam TST 2015-ngày 1): Cho tam giác ABC lấy điểm D, E, F BC, CA, AB không trùng điểm A, B, C Gọi (AEF ) ∩ (O) = G, A, GD ∩ (O) = G, P Lấy điểm Q (AEF ) cho ∠P AB = ∠QAC Gọi GQ ∩ EF = H Chứng minh rằng: DH P Q Lời giải: Ta thấy rằng: ∠QGE = ∠QAE = ∠P AB = ∠DGB lại có: ∠GBD = GQ GE 180◦ − ∠GAE = ∠GQE GQE ∼ GBD(g.g) ⇒ = Lại có: GB GD ∠GEH = ∠GAF = ∠BP G ∠QGE = ∠QAE = ∠P GB nên P GB ∼ GH GE GQ GE GP GP EGH(g.g) nên = = = P Q DH(theo GB GP GH GD GE GD định lí T hales đảo)(đpcm) Nhận xét: Bài tốn hay khơng cần kẻ vẽ hình phụ, ta thấy cách giải đơn giản tốn ban đầu, đơn tam giác đồng dạng tuý cuối sử dụng định lí T hales Bài tốn 6: Cho hình bình hành ABCD, phân giác góc ∠BAD cắt BC, CD M, N Gọi O tâm (CM N ) Gọi (CM N ) ∩ (BCD) = E, C Chứng minh rằng: a) O, C, D, B đồng viên b) Chứng minh rằng: ∠AEC = 90◦ Lời giải: a) Ta thấy rằng: ∠BAN = ∠DAN = ∠CN M = ∠CM N nên tam giác ADN, CM N cân D, C Do AD = DN = CB, ON = OC Lại thấy rằng: ∠OCB = 180◦ − ∠OCM = 180◦ − ∠OCN = ∠ON D nên ON D = OCB(c.g.c) suy ∠OBC = ∠ODC B, D, O, C đồng viên(đpcm) b) Trước giải ta chứng minh bổ đề sau: "Cho tam giác ABC nội tiếp Phân giác góc ∠BAC cắt lại (O) điểm D Lấy E thuộc đoạn AC cho DB = DE Chứng minh rằng: AE = AB." Thật vậy, ta gọi BE ∩(O) = B, J Ta có: ∠JCD = 180◦ −∠EBD = 180◦ −∠BEC = ∠JED mà ∠EJD = ∠CJD nên từ ý rằng: DE = DC = DB nên DJE = DJC(c.g.c) ⇒ ∠JEC = ∠JCE ⇒ ∠ABE = ∠AEB AB = AE(đpcm) Quay trở lại toán, áp dụng bổ đề thì: DN = DE = DA = BC ý OE = OC, OD = OB nên hiển nhiên ta có: DECB hình thang cân Gọi I trung điểm BD Vậy IE = IC = IA ý I trung điểm AC nên ∠AEC = 90◦ Nhận xét: Việc nhìn "tâm vị tự quay" điểm mấu chốt dạng toán loại Bài toán 7(Thi thử KHTN lần 1,2017): Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi P, Q đối xứng E, F qua AB, AC a) Chứng minh rằng: D, F, P thẳng hàng D, E, Q thẳng hàng b) Chứng minh rằng: (DP Q) qua trung điểm BC Lời giải: a) Ta có: ∠P F A = ∠AF E = ∠C Lại có: ∠AF D = 180◦ − ∠C ∠P F D = 180◦ − ∠C + ∠C = 180◦ nên P, F, D thẳng hàng Tương tự D, E, Q thẳng hàng b) Ta thấy P, E đối xứng qua AB Q, F đối xứng qua AC nên P F = F E = EQ nên ý rằng: M tâm (BC) M F = M E Lại có: ∠P F M = 180◦ − ∠DF M = 180◦ − ∠DEM = ∠QEM P F M = QEM (c.g.c) M ∈ (P DQ)(đpcm) Cuối xin đề nghị số tốn luyện tập: Bài tốn 8(Thi vào chun KHTN vòng 1,2013): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC Phân giác góc ∠BAC cắt (O) A, D Gọi M trung điểm AD Lấy E đối xứng D qua O Gọi (ABM ) ∩ AC = A, F a) Chứng minh rằng: BDM ∼ BCF b) Chứng minh rằng: EF ⊥ AC Bài toán 9(Nguyễn Quang Trung): Cho tam giác ABC, E, F AC, AB MF NE Lấy điểm M, N cạnh AB, AC cho = = k , đường MB NC thẳng qua M, N vng góc với AB, AC cắt K Một cát tuyến qua A cắt (AEF ), (ABC) P, Q, hạ KH vng góc xuống P Q HP = k HQ Bài tốn 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cho AB < AC Goi E trung điểm cung lớn BC (O) Gọi AD đường phân giác ∠BAC Gọi DE ∩ (O) = E, M Gọi K, I, L hình chiếu M lên AB, BC, CA Chứng minh rằng: I trung điểm KL 10 .. .4) Cho tam giác ABC tam giác A B C đồng dạng theo tỉ số k Khi đó: k2 SABC = SA B C 5) Việc tìm tam giác đồng dạng hồn tồn dựa vào việc nhìn số cấu hình... giải bổ đề dùng hay có nhiều ứng dụng Thực tế chứng minh ngắn chút nhờ kĩ thuật sử dụng tam giác đồng dạng: ta chứng minh ∠ABC = ∠HIJ cách chứng minh IHJ ∼ BAC ⇔ AIH ∼ CJH(đúng) Bài toán 3 (Nguyễn. .. J, A, K, T đồng viên suy ∠KT A = ∠KJA = 90◦ nên KP = KQ(đpcm) Nhận xét: Ở kĩ thuật đồng dạng trung tuyến đóng vai trò quan trọng việc chứng minh yếu tố đồng viên Bài toán 4 (Nguyễn Duy Khương) (Cải