De thi va dap an HSG huyen Yen Thanh Nam hoc 2019 2020

- Khi đó, trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ và các tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu đỏ có chu vi nhỏ hơn 2019.[r]

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG HUYỆN YÊN THÀNH – NĂM HỌC 2019 - 2020

Câu Hướng dẩn giải Điểm

1(1)

- Giả sử tồn số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện : a 2011 cb  

- Khi ta có: c > 2011  c số nguyên tố lẽ.

 ab chẵn  a 2

- Nếu b = c 2011 2015    M  c hợp số (trái với giả thiết) - Nêu b 3 số nguyên tố lẽ  b 2k 3  (với k N )

a 2b 2k 3 22k

  

- Vì 2 12k

 (mod 3) 13   (mod 3)

b 2k

a

    (mod 3)

- Lại có: 2011 1 (mod 3)

b

c a 2011

    (mod 3)  c hợp số (trái với giả thiết)

- Vậy không tồn số nguyên tố a, b, c thỏa mãn điều kiện : b

a 2011 c 

1(2)

- Ta có: x 4xy 5y 2(x y)2    

 (4y x 4xy 2x 4y) (y 2y 1) 22         

 (2y x 1) (y 1) 1     

2

2

(2y x 1) 2y x 1

y 1 (y 1)

        



   

  

 

 



2y x 1 x

y 1 y

2y x 1 x

y 1 y

2y x 1 x

y 1 y

2y x 1 x

y 1 y

     

 

 

  

 

 

      

 

   

 

   

    

 

 

 

    

 

   

 

 

 

     

 

 

2(1)

- ĐKXĐ phương trình là: x R

- Ta có: 10x 3x (6x 1) x 32     

 40x 12x 4(6x 1) x 32     





2 2

2

2 2

(36x 12x 1) 4(6x 1) x 4(x 3) (6x 1) 2.(6x 1).2 x x

         

       





2

2

2

6x x 6x x 3 6x x 3

                  

- Trường hợp 1: 6x x 3      x 6x 22   

2

2 2

2

x 3x

3x 3x

x 9x 6x 8x 6x

1

x x

3

(x 1)(4x 1) 4x 3x

1 x

3

x 4x

                                                        x

x 4x               

 x 1

- Trường hợp 2: 6x x 3       x 6x 42   

2

2 2

2

2

x 3x

3x 3x

x 9x 12x 8x 12x

2 x x 3

3 7

x x

4 16 4

2

x x

3

3

x x

4 4

3 7

x x

4 4

 

   

 

 

 

   

      

 

   

   

 

 

 

3 x

4

 

 

- Vậy phương trình có hai nghiệm nghiệm x 1

3 x

4

 



(Các em nhân vế với đặt 6x a  x b 02    củng

cho kết tương tự)

2(2)

- Vì: 2a b c     a b (a c)   





3

3 2 3 2

3 3 2

3 3

(a b) (a c)

a b 3a b 3ab (a c 3a c 3ac ) 2a b c 3a(ac c ab b )

2a b c 3a c(a c) b(a b)

    

        

       

       

 2a b c 3a3    



 c(a b) b(a b)  



(vì a c (a b)    )

 2a b c 3a(a b)(b c)3      

 2a b c 3a(a b)(c b)3     

3

- Áp dụng Bất đẳng thức Cô – Sy cho hai số dương ta có:

2

bc b c bc b c

a (b c) 4bc a (b c) 4bc a

 

   

 

bc 1

a (b c) a 4b 4c

   

 (1)

- Tương tự:

ca 1

b (c a)  b  4c  4a (2)

Và

ab 1

c (a b)  c  4a  4b (3) - Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:

2 2

bc ca ab 1 1 1

a (b c) b (c a) c (a b) a b c 2a 2b 2c

   

            

2 2

bc ca ab 1

a (b c) b (c a) c (a b) 2a 2b 2c

     

  

4

4(a)

- Ta có: AEB ~ AFC (g – g)

AE AB

AF AC

 

(1) - Xét AEF ABC có:

· ·

EAF BAC (goc chung) AE AB (1) AF AC       

 AEF ~ ABC (c – g – c)

4(b)

- Kẻ AK HN vng góc với EF (K ; N EF )

- Ta có: AK // HN (cùng vng góc với EF)

AEF HEF

1

AK.EF S

IA AK 2

1

IH HN HN.EF S

2

 

   

(1)

- Lại có:

ABC HBC AD.BC S AD 2

HD HD.BC S

2

 

 

(2)

- Mặt khác: EHC ~ FHB (g – g)

HE HF HE HC

HC HB HF HB

   

 HEF ~ HCB (c – g – c)

2 HEF HCB S EF S BC          

Và AEF ~ ABC (câu a)

2 AEF ABC S EF S BC           ABC

HEF AEF AEF

HCB ABC HEF HBC

S

S S EF S

S S BC S S



  

   

 

      

  (3)

- Từ (1) , (2) (3)

IA AD AI HI

IH HD AD HD

   

IP AI

DB  AD

IQ HI

DB  HD (**)

- Từ (*) (**)

IP IQ

IP IQ

DB DB

   

4(c)

- Ta có:

AI HI

AD  HD (câu b)

HI HI AI

HD HD AD



 



- Vì M trung điểm AH  HI AI AH 2MA  

HD AD AH 2HD  

2MH 2HD 2MD  

HI 2MA MA

HD 2MD MD

  

HI MA

HD MD

   

ID AD

HD MD

 

ID AD

HD MD

 

 ID MD AD HD (1)

- Lại có: DHB ~ DCA (g – g)

DH DB

DC DA

 

 BD CD AD HD (2)

- Từ (1) (2)

ID CD

ID MD BD CD

BD MD

   

 BCJ CBJ DIB DBI 90·  ·  ·  · 

 BJ  MC

- Mặt khác: MD  BC

- Mà BJ cắt MD I  I trực tâm tam giác BMC.

5

- Tổng số đoạn thẳng sinh từ điểm cho là: + + + + = 15 (đoạn thẳng)

- Trong 15 đoạn thẳng đoạn thẳng A Am n (với m ; n ; ; ; ;





; ) có độ dài nhỏ 673 tơ mà đỏ Các đoạn thẳng lại tơ màu xanh

- Khi đó, tam giác ln tồn cạnh màu đỏ tam giác có cạnh tơ màu đỏ có chu vi nhỏ 2019

- Vì thế, ta cần chứng minh ln tồn tam giác có cạnh màu đỏ

- Thật vậy: Nối điểm A1 với điểm lại ta đoạn thẳng gồm A1A2 ; A1A3 ; A1A4 ; A1A5 ; A1A6

- Theo ngun lí Dirichlet đoạn thẳng ln tồn đoạn thẳng tô màu

khi tam giác A2A3A4 có cạnh tơ màu đỏ (vì tam giác ln tồn cạnh màu đỏ)

- Nếu đoạn thẳng A1A2 ; A1A3 ; A1A4 có màu đỏ, tam giác A2A3A4 có cạnh tơ màu đỏ (trong tam giác ln tồn cạnh màu đỏ) Giả sử cạnh A2A4 tô màu đỏ, Ta có tam giác A1A2A4 có cạnh tơ màu đỏ

- Bài toán chứng minh