Đang tải... (xem toàn văn)
CỰC TRỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN (Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới).. --- Biên soạn: Trần Hải Nam --- I.[r]
(1)VẤN ĐỀ VI
CỰC TRỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN (Tài liệu cung cấp Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới)
Biên soạn: Trần Hải Nam -I. Cơ sở lý thuyết
1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận x0 (kể x0), kí hiệu v(x0) thì:
a Hàm số y=f(x) đạt cực đại x0 f x 0 f x , x x v x, 0 x x
Với: x0 gọi điểm cực đại hàm số Y=f(x0) gọi giá trị cực đại hàm số N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực đại đồ thị
b Hàm số y=f(x) đạt cực đại x0 f x <f x , 0 x x v x, 0 x x
Với: x0 gọi điểm cực tiểu hàm số Y=f(x0) gọi giá trị cực tiểu hàm số N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực tiểu đồ thị
Chú ý: Gọi chung
x0 gọi điểm cực điểm hàm số Y=f(x0) gọi giá trị cực trị hàm số N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực trị đồ thị
2 Điều kiện cần
Hàm số y=f(x) Có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f’(x)=
3 Điều kiện đủ
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) x0a b, Hàm số f đạt cực đại x=x0 y’=f’(x) đổi dấu từ (+) qua (-)
x x y’ + -
y f x 0
CĐ
Hàm số f đạt cực đại x=x0 y’=f’(x) đổi dấu từ (-) qua (+) x x
y’ - + y f x 0
CT II. Phương pháp giải
(2)Bước 1: tìm miền xác định
Bước 2: Tìm y’
Bước 3: Tìm nghiệm x0 (nếu có) f’(x) tính y0=f(x0)
Bước 4: Lập bảng biến thiên dựa vào kết luận
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số sau yf x x26x1 Lời giải
- Miền xác định: R - y'f x' 2x6
- f x' 0 2x 6 x3 - Bảng biến thiên:
x y’ + -
y 10
- Vậy hàm số đạt cực trị x = ymax=10
2. Dạng 2: Tính giá trị tham số đề hàm số y=f(x) đạt cực trị x0
Bước 1: Tìm miền xác định tính đạo hàm bậc
Bước 2: Phần thuận
Hàm số đạt cực trị x0 f’(x)=0 Từ ta tính giá trị tham số
Bước 3: Phần đảo
Thay giá trị tham số tìm vào f’(x) Từ tìm nghiệm f’(x)=0 lập bảng biến thiên xem hàm số f(x) có đạt cực trị x0 khơng?
Ví dụ: Cho hàm số yf x x3 2m1x2 m 5x1 Tính m để hàm số đạt cực trị x=1
Lời giải
- Miền xác định: R
- y'f x' 3x2 2 m1xm 5
- Thuận: Hàm số đạt cực trị x = => f’(1) =
3 2
2
m m
m
- Đảo: Với m = -2
2
2 ' 10
' 10
1
m f x x x
f x x x
x x
(3)- Bảng biến thiên x
7
3 y’ + -y CT CD
- Kết luận: Với m = -2 hàm số đạt cực tiểu x =1 III. Các tập áp dụng
1 Cho hàm số
3
2 2 3 1
3
x
yf x m m x m x m
Tính m để hàm số qua cực tiểu (hay cực đại) x = -2
2 Cho hàm số
2 1
x mx y f x
x m
Đạt cực đại ti x = 2 Cực trị hàm số
1)- Giá trị lớn giá trị nhỏ hµm sè BT1
Tìm Max,Min y=1+sin
6
x+cos6x
1+sin4x+cos4x BT2 (§HSP1 2001)
Tìm Max,Min y=3 cos
4
x+4 sin2x
3 sin4x+2 cos2x BT3
a) Tìm Max,Min y=sinx(1+cosx) b) Tìm Max,Min y=sinx+3 sin 2x BT4
Tìm Max,Min y=
4+sinx+
1 4−cosx
BT5
Tìm Max,Min
y=1+sin 2x
1−sin 2x−(a+1) 1+tgx
1−tgx+a
với x∈¿
BT6
a)Tìm Max,Min y=sin3x+cos3x b)Tìm Max,Min y=1+cosx+1
2cos 2x+
3cos 3x
c)Tìm Max,Min y=1+cosx+1
2cos 2x+
3cos 3x+
(4)d)Tìm Max,Min y=sinx+|cos 2x+sinx| BT7
Tìm Max,Min y=sin
6x.|cosx|
+cos6x|sinx| |cosx|+|sinx| BT8 (ĐHBK 1996)
Cho 0≤ x ≤π
2 vµ ≤ m , n∈Z
Tìm Max,Min y=sinmx.cosnx BT9
Cho ≤ a Tìm Max,Min y=√a+cosx+√a+sinx Tìm Max,Min y=√1+2 cosx+√1+2 sinx
BT10
Giả sử 12x2−6 mx
+m2−4+12
m2=0 có nghiệm x1, x2 Tìm Max,Min S=x1
3
+x23
BT11
TTìm Max,Min
x −4y¿2 ¿ x2−¿
S=¿
Víi x2 + y2 > 0
BT12 (HVQHQT 1999) Cho x,y ≥ , x+y=1 Tìm Max,Min S= x
y+1+
y x+1 BT13 (ĐHNT 1999)
Cho x,y ≥ , x+y=1
Tìm Max,Min S=3x+9y BT14 (ĐHNT 2001)
Cho x,y > , x+y=1 Tìm Max,Min S= x
√1− x+ y
√1− y
BT15 (ĐH Th ơng mại 2000)
Tỡm Max,Min ca y=sin6x+cos6x+a sinx cosx BT16 (HVQY 2000)
(5)Tìm Max,Min y=5 cosx −cos 5x Víi x∈[− π
4 ;
π 4]
BT18 (§HQG TPHCM 1999) Cho sinxf+cosx¿3−3 sin 2x+m
(x)=cos22x+2.¿
Tìm Max,Min f(x) Từ tìm m để |f(x)|2≤36 ∀x
BTBS
T×m GTNN
3 3 72 90 5;5
yx x x x
T×m GTNN
1 1
y x y z
x y z
tho¶ m·n
3
, , ,
2
x y x voi x y z
HD: C«si
3
3
3
3 (0; ]
2
P xyz Dat t xyz
xyz
T×m GTLN, GTNN cđa hµm sè
2
2
sin cos
1 x x y x x
T×m GTLN, GTNN cđa hµm sè
2
cos
4
y x x x
T×m GTLN cđa hµm sè
2
sin , ;
2 2
x
y x x
T×m GTLN, GTNN cđa hµm sè
3
2sin sin en 0;
3
y x x tr
Tìm GTLN, GTNN hàm số
2
3 ln
1;
x
y tren e
x
2)- Sư dơng GTLN, GTNN cđa hµm sè ph ơng trình, bpt ,hpt, hbpt
BT1
GPT: 1− x¿
5
=
16 x5
+
BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998)
Tỡm m để phơng trình sau có nghiệm √2− x+√2+x −√(2− x)(2+x)=m
(6)Tìm m để phơng trình sau có nghiệm a) √x+√9− x=√− x2+9x+m
b) √3+x+√6− x −√(3+x)(6− x)=m
BT4
Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm m.x −√x −3≤ m+1
BT5(§HQG TPHCM 1997)
Tìm m để x2+1¿2+m ≤ x√x2+2+4
¿
đúng với x thuộc [0;1]
BT7(§HGT 1997)
Tìm m để √(1+2x).(3− x)≥ m+(2x2−5x −3)
đúng ∀x∈[−1
2 ;3]
BT8
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt
x2−2x
+2¿3 ¿ ¿ √¿
BT9
Tìm a dể BPT sau với x thuộc R
3 cos4x −5 cos 3x −36 sin2x −15 cosx
+36+24a −12a2>0 BT10
a) Tìm m để √(4+x)(6− x)≤ x2−2x+m
đúng với x thuộc [-4;6]
b) Tìm m để −4√(4− x)(2+x)≤ x2−2x+m −18
đúng với x thuộc [-2;4]
BT11(§HQG TPHCM 1998)
Tìm a để phơng trình có nghiệm 3x
2
−1
√2x −1=√2x 1+ax
BT12 (ĐH QGTPHCM 1997-1998)
a) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm 4(sin4x+cos4x)4(sin6x+cos6x)sin24x=m
b) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm cos 4x+6 sinx cosx=m
c) Tìm m dể phơng trình sau cã nghiÖm sin4x
+cos4x=m2 cos24x
BT13 (ĐH Cần Thơ 1997)
Tìm m dể phơng trình sau cã nghiÖm
3 cos62x
+sin4x+cos4x − m=2 cos2x.√1+3 cos22x BT14(§HGT 1999)
(7)Cã nghiƯm x∈(0;π 4)
b)Tìm m để sinx cos 2x sin 3x=m
Có nghiệm x∈[π
4 ; π 2]
BT15
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
√x+6 √x −9+√x −6 √x −9=x+m
6
BT16
Tìm a để bất phơng trình sau với x thuộc R a 9x+4(a−1)3x+a>1
BT17
Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm log2(√x2
+1)<log2(a.x+a)
BT18
Tìm a để hệ bất phơng trình sau có nghiệm
¿ 3x2+2x −1<0
x2
+3 mx+1<0
¿{
¿
3)- Sử dụng GTLN, GTNN chứng minh bất đẳng thức
BT1
CMR −2≤ x+√12−3x2≤1
Víi mäi x thc TX§
BT2
a)Tìm m để m√x2
+8=x+2 cã nghiƯm ph©n biƯt
b)Cho a + b + c = 12 CMR √a2
+8+√b2+8+√c2+8≥6 √6
BT3
CMR sinx+1
2sin 2x+
3sin 3x+
4sin 4x ≥
víi x∈[π
5 ; 3π
5 ]
BT4
CMR
√17≤√cos2a
+4 cosa+6+√cos2a −2cosa+3≤√2+√11
BT5
CMR sin 2x<
3x − x3 víi x∈(0; π 2)
(8)CMR 2(x3+y3+z3)−(x2 y+y2z+z2x)≤3
víi ∀x , y , z∈[0,1]
BT7
CMR cot gA+cot gB+cot gC+3√3≤2[
1 sinA +
1 sinA+
1 sinC ]
ABC
4)- Cực trị hàm bậc 3
Xác định cực trị hàm số BT1
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu
1) y=1
3.x
3
+mx2+(m+6).x −(2m+1)
2) y=(m+2).x3+3x2+m.x 5
BT2(HVNgân Hàng TPHCM 2001)
CMR với m hàm số sau dạt cực trị x1; x2 với x1 x2 không phụ thuộc m
y=2 x3−3(2m+1)x2+6m.(m+1)x+1
BT3
Tìm m để hàm số sau đạt cực trị x1; x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 không phụ
thuéc m
y=1
3.x
3
+(m−2)x2+(5m+4).x+m2+1
BT4(C§SP TPHCM 1999)
Tìm m để y=x3−3 mx2+3(m2−1)x+m đạt cực tiểu x =
BT5(§H HuÕ 1998)
Tìm m để y=x3−3 mx2+(m−1)x+2 đạt cực tiểu x =
BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)
Tìm m để y=mx3+3 mx2−(m −1)x −1 khơng có cực trị
Ph
ơng trình đ ờng thẳng i qua cc i cc tiu
BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)
Cho hµm sè y=2 x3−3(3m+1)x2+12.(m2+m)x+1
Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phơng trình đờng thẳng qua CĐ,CT
BT8(HVKT MËt m· 1999)
Cho hàm số y=x3−3(m+1)x2+2(m2+7m+2)x −2m(m+2) Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết
phơng trình đờng thẳng qua CĐ,CT
BT9
Tìm m để f(x)=x3−3 mx2+4m3 có CĐ,CT đối xứng qua đờng thẳng y = x
BT10(ĐH D ợc HN 2000)
Tỡm m để f(x)=2x3−3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 có CĐ,CT đối xứng qua đờng
(9)BT11(§HQG TPHCM 2000)
Cho (Cm) : y=mx3−3 mx2+(2m+1)x+3− m Tìm m để (Cm ) có CĐ CT CMR
đ-ờng thẳng qua CĐ, CT di qua điểm cố định
BT12
Tìm a để hàm số sau đạt cực trị x1; x2 thoả mãn x12+x22=1
y=4
3.x
3−2
(1−sina)x2−(1+cos 2a).x+1
BT13
Cho hµm sè y=1
3.x
3−1
2(sina+cosa)x
2
+(3
4sin 2a).x
1) Tìm a để hàm số ln đồng biến
2) Tìm a để hàm số đạt cực trị x1; x2 thoả mãn
x12+x22=x1+x2 BT14
Tìm m để hàm số y=x3−3m
2 x
2
+m
Có điểm CĐ CT nằm phía đờng thẳng y = x
5)- Cực trị hàm bậc 4
BT1
Tỡm m để hàm số sau có cực tiểu mà khơng có cực đại y=x4+8m.x3+3(2m+1)x2−4
BT2
CMR hµm sè f (x)=x4 x35x2+1
Có điểm cực trị nằm trªn mét Parabol
BT3
Cho (Cm) : y=f(x)=3x4+4 mx3+6 mx2+24 mx+1
Biện luận theo m số lợng Cực đại, cực tiểu (Cm)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x0∈[−2;2]
BT3
Cho (Cm) : y=f(x)=
1 4.x
4−2x3
+3
2(m+2)x
2−
(m+6).x+1
Tìm m để hàm số có cực trị
ViÕt ph¬ng trình Parabol qua điểm cực trị (Cm)
BT4(ĐH Cảnh sát 2000)
Tỡm m hm số sau có cực tiểu mà khơng có cực đại y=1
4 x
4−mx2
+3
2
BT5 (§H KiÕn tróc 1999)
Tìm m để f(x)=mx4+(m−1)x2+(1−2m) có đung cực trị
6)- Cùc trị hàm Phân thức bậc / bậc 1
(10)qua CĐ,CT BT1
Tỡm m để hàm số sau có cực trị
y=x
2
+2m2x+m2
x+1
y=x
2
+(m+2)x − m
x+1
y=x
2
+2 mx− m
x+m (§H SPHN 1999)
y=x
2
+(m−1)x − m
x+1 (C§ SPHN 1999)
y=mx
2
+(m+1)x+1
mx+2
(ĐH Y Thái Bình 1999 )
y=2m
2
x2+(2m2)(mx+1)
mx+1 (ĐH
Thái Nguyên 2000)
BT2 (§H TCKT 1999)
Cho (Cm) : y=− x
2
+mx−m2
x − m
Tìm m để hàm số có CĐ, CT
Viết phơng trình đờng thẳng qua CĐ, CT
BT3 (ĐH Dân lập Bình D ơng 2001)
Cho (Cm) : y=x
2
+(m+2)x+3m+2
x+1
Tìm m để hàm số có CĐ, CT
BT4
Tìm a để y=x
2
+2x cosa+1
x+2 sina cã C§ , CT
BT5
Tìm a để y=x
2
cosa+x+sin2a cosa+sina
x+cosa cã C§ , CT
BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)
Vit phng trỡnh ng thng qua CĐ,CT của : y=x
2
+mx−8
x − m
BT7
Cho (Cm) : y=(m+1)x
2−2 mx−
(m3−m2−2)
x − m (m#-1)
Tìm m để hàm số có đạt cực trị điểm thuộc ( ; )
(11)Tìm a,b,c để y=ax
2
+bx+c
x −2 có cực trị x=1 đờng tiệm cận xiên đồ
thị vng góc với đờng y=1− x
2
6.2-Quỹ tích điểm cực trị mặt phẳng toạ độ BT9 (ĐH Đà Nẵng 2000)
Cho hµm sè (Cm) : y=x
2
+mx− m−1
x+1
Tìm m để hàm số có cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị (Cm)
BT10 (§H Thuỷ Sản TPHCM 1999)
Cho hàm số (Cm) : y=x
2−mx−2m−2
x −1
Tìm m để hàm số có cực trị CMR điểm cực trị (Cm) nằm
Parabol cố định
BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)
Cho hàm số (Cm) : y=x
2
+mx−2m−4
x+2
Tìm m để hàm số có CĐ,CT Tìm quỹ tích điểm CĐ
BT12
Cho hµm sè (Cm) : y=x
2
+m(m2−1)x −m4+1
x − m
CMR: mặt phẳng toạ độ tồn điểm vừa điểm CĐ đồ thị ứng với m đồng thời vừa điểm CT ứng với giá trị khác m
6.3-Biểu thức đối xứng cực đaị, cực tiểu BT13
Tìm m để y=2x
2
−3x+m
x m có CĐ,CT |yCD yCT|>8
BT14
Tìm m để y=(m−1)x
2
+x+2
(m+1)x+2 có CĐ,CT (yCD yCT)(m+1)+8=0
BT15 (ĐHSP1 HN 2001)
Tìm m để y=x
2
+2 mx+2
x+1 có CĐ,CT khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng
x + y + 2=0 lµ b»ng
BT16
Tìm m để y=x
2
+(m+2)x++ 3m+2
x+2 có CĐ,CT đồng thời thoả mãn yCD
2
+yCT2 >1
2
6.4-Vị trí t ơng đối điểm CĐ - CT
(12)Cho : y=x
2
+(2m+3)x+m2+4m
x+m
Tìm m để hàm số có cực trị trái dấu
BT18 (§H QG 1999)
Cho : y=x
2
+x+m
x+1
Tìm m để hàm số có cực trị nằm phía trục Oy
BT19 (§H Công Đoàn 1997)
Cho hàm số : y=x
2
−mx+m
x −m (m#0)
Tìm m để hàm số có cực trị trái dấu
BT20 (ĐH Th ơng Mại 1995)
Cho hàm sè : y=x
2
−mx+2m−1
x −1
Tìm m để CĐ,CT phía trc Ox
BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)
Cho hµm sè : y=x
2
+(m+1)x − m+1
x −m
Tìm m để hàm số có CĐ,CT YCĐ YCT >0
BT22
Tìm m để : y=x
2−mx
+5−m
x −m cã C§,CT cïng dÊu
BT23
Tìm m để : y=x
2
+mx− m
x −1 có CĐ,CT nằm phía đờng thẳng x-2y-1=0
BT24
Tìm m để : y=2 mx
2
+(4m2+1)x+2m+32m3
x+2m cã mét cùc trÞ thuéc góc (II) cực trị
thuc gúc (IV) mặt phẳng toạ độ
BT25
Tìm m để : y=x
2−
(m+1)x+4m2−4m−2
x −m+1 có cực trị thuộc góc (I) cực trÞ
thuộc góc (III) mặt phẳng toạ độ
7)- Cực trị hàm Phân thức bậc / bậc
BT1
Lập bảng biến thiên tìm cực trị
y=2x
2
+x −1
x2− x
(13)y=x
2
+3x −4
x2− x −2 y=−3x
2
+10x −8
2x2−8x+6
BT2
Tìm m,n để y=x
2
−mx+2n
x2−2x+1 đạt cực đại
5
4 x= -
BT3
1) Viết phơng trình đờng thẳng qua CĐ,CT y=2x
2
+3x −1
x2−4x
+5m (m>1)
2) Viết phơng trình đờng thẳng qua CĐ,CT y=− x
2
−2x+5
3x2
+2x − m
3) Tìm a,b để y=ax+b
x2
+x+1 có cực trị cực tiểu
8)- Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối hàm vụ t
BT1
Tìm cực trị hàm số sau y=|2x2+3x+5|
BT2 (ĐH Ngoại Th ơng 1998)
Tìm m để phơng trình (1
5)
|x2
−4x+3|
=m4−m2+1
có nghiệm phân biệt
BT3 (ĐH Kinh Tế 1997)
Cho f(x)=|x3+3x2−72x+90|
T×m Maxf⏟(x)·
x∈[−5;5]
BT4
Tìm m để phơng trình (1
2)
|x3
−6x2 +9x −2|
=m2− m
cã nghiƯm ph©n biƯt
BT5
Tìm m để phơng trình 2.|x2
−5x+4|=x2−5x+m
cã nghiƯm ph©n biệt
BT6
Tìm cực trị hàm số sau 1) y=2x+3+√− x2−4x+5
2) y=√x2+x+1+√x2− x+1
(14)1) Tìm a để hàm số y=−2x+a√x2+1 có cực tiểu
2) Tìm a để hàm số y=−2x+2+a√x2−4x+5 có cc i
BT8
Lập bảng biến thiên tìm cực trị hàm số sau 1) y=13x+5x2+2
2) y=3x+√10− x2
3) y=√3 x3−3x
4) y=x.√1− x
1+x
9)- Cực trị hàm l ợng giác
hàm số Mũ,lôgarit
BT1
Tìm cực trị hàm số
y=cosx
sin3x 2 cotg.x
y=cos2x −cosx+1
y=1+cosx+1
2 cos 2x+
3 cos 3x y=sinx −2
sinx+1
y=cosx(1+sinx)
y=sin3x+cos3x
BT2
Tìm a để hàm số y=a sinx+1
3.sin 3x đạt CĐ x=
π
BT3
Tìm cực trị hàm số 1) y=(x+1)2.ex
2) y=(x+1).ex
2− x
x+1
3) y=ex lnx
4) y=lgx
(15)5)
¿ e
−1
|x|
(√2+sin1
x) (Khi x#0) x=0
¿y={
¿