Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán

Hãy tính diện tích của tam giác ABC.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH LONG AN MƠN THI: TỐN

NGÀY THI : 08/04/2014

THỜI GIAN : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )

Bài 1: (4 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A=

3

3

1 1

2

 



   

2) Cho hai số x y, hai số khác thỏa mãn: x y 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của P với 3

1 P

x y xy



 

Bài 2: (5 điểm)

1) Cho phương trình ẩn x: x2mx 1 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa:

2

1

2

2

x x

x x

           

 

2) Giải phương trình:

2

48

10

3

x x

x x

 

    

 

Bài 3: (5 điểm)

1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)(AB<AC), các đường cao AD, BE, CF cắt H (DBC, EAC, FAB) Chứng minh

rằng:

a) OC DE b)

2 2

AB + AC + BC AH.AD + BH.BE + CH.CF =

2

2) Cho tam giác ABC có góc BAC góc tù; H trực tâm tam giác ABC Gọi K, F, E lần chân đường vng góc hạ từ A, B, C đến BC, AC AB.

Chứng minh:

AK AE AF HK BE CF =1

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vng A có BC5 2cm; cho r1cm bán kính

đường trịn nội tiếp tam giác ABC Hãy tính diện tích tam giác ABC. Bài 5: (3 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2019.

2) Tìm số có hai chữ số mà bình phương lập phương tổng các chữ số nó.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH LONG AN MƠN THI: TỐN

NGÀY THI : 08/04/2014

THỜI GIAN : 150 ph

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 Nội dung Điểm 1

(4đ) 1)(2đ)

A=

3

3

1 1

2

 



   

Ta có:

2

3 3

1

2

 

 

   

  ………

Tương tự:

2

3

1

2

     

  ………

3

3 3

2 2

A   

 

………

           

2 3 3 3 3

6

3 3

A         

 

8 3 A

………

0,25đ

0,25đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

2) (2đ)

P= 3

x y xy với x y 1

Ta có: B=   

3 2

x y xy x y x y  xy xy

……… Mà: x y 1  

2

2 2 1 2 2 1

B x y x x x x

        

…………

2

1 1 1

2

2 2

B x   x 

            

   

 

  ……… B

 có GTNN

2 x =

2  P có GTLN x = y =

2……….

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

2

(5đ) 1)(3đ)

2 1 0

x mx 

2 4 m   

2

0 m m

     

………

4 2

1 2

2

1

2

2

x x

x x x x

x x

   

     

   

  

………

 22 2 2 1 2 2

x x x x x x

    

………

0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ

x1 x22 2x x1 2 4x x1 22

 

    

  ………

m2 22 4 0 m2 22 4

      

………

2

2

2

2 2(loại)

m m     

  

 ……… ……….

2 4 2

2 m

m m

m  

     

 

 ………

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

2)(2đ) 2

48

10

3

x x

x x

 

    

 

Điều kiện x0 Đặt

2

2

4 16

3

x x

t t

x x

     

2

2 48

3

3 x t

x

   

………

2

3t 10t 3t 10t

        t 2 t

……… * t2 x2 6x12 0  x 3 21………

*

2

4 12

3

t  x  x   x

và x2……… KL: S3 21;6; 2  ………

0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 3(5đ) 1)(3đ)

a) Kẻ Cx tiếp tuyến (O) C

Tứ giác AEDB tứ giác nội tiếp AEBADB900…………

  

  

  / /

(cuøng buø BDE) (cuøng chaén BC)

EDC BAE

EDC BCx Cx ED BCx BAE

 



  

  

 ……….

Mà: OC  Cx  OC  ED………

b)DBH∽EBC

BH DB

BH BE DB BC BC BE

   

Tương tự: DHC∽FBC  CH CF CD CB 

 

BH BE CH CF BD BC CD CB BC BD CD BC

      

2

BH BE CH CF BC

   (1)

Tương tự:CH.CF+AH.AD=AC2;AH.AD+BH.BE=AB2(2)………….

(1) (2)

2 2

AB + AC + BC AH.AD + BH.BE + CH.CF =

2 ………

0,25 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 2)(2đ)

Ta có: SHBC SABC SAHCSAHB

HBC ABC AHC AHB HBC HBC HBC HBC

S S S S

S S S S

   

………

1 1

2 2 1

1 1

2 2

AK BC AE HC AF BH HK BC BE HC CF BH

   

………

AK AE AF HK BE CF

   

……….………

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

4(3đ)

Ta có

   900

OMA ONA MAN OM ON r



   

 

   MANO hình vng

OM MA AN NO r

     ……… ;

BM BP CN CP (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)……… SABC SAOBSAOCSBOC

1 1

2 2

ABC

S  OM AB ON AC OP BC

………

1

.( )

2

ABC

S  r AM MB AN NC BC   

………

1

.( )

2

ABC

S  r r PB r CP BC   

………

1

.(2 ) ( )

2

ABC

S  r r BC r r BC

……… SABC  1 5cm2………

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,25đ 5(3đ) 1)1,5đ M = 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2019.

M=4x2 + 4xy + y2 + y2 + 4y + + x2 –2x + + 2014

M=     

2 2

2x y  y2  x1 2014 2014

MinM=2014

1 x y

   





0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2) 1,5đ Số cần tìm có dạng ab(a b N,  ;1 a 9; 0 b 9)………

Theo đề bài:  

2

ab  a b

………

ablà số lập phương, (a+b) số phương………

Mà 10ab99 nên ab=27 ab=64……….

Thử lại: ab=27 a+b = (nhận)

ab = 64 a+b = 10 (loại) ………

Vậy: ab = 27 ………

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ