Giải: Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng . Ta có IH EF vì vậy tam giác IEH vuông tại H.. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng EF.. b) Phương trình đườn[r]
(1)I – BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN.
Bài 1: Viết phương trình đường trịn đường kính AB, biết A(1; 3), B(- 3; 5).
Giải: Tâm đường trịn đường kính AB trung điểm I đoạn thẳng AB Ta có I(- 1; 4). Bán kính đường trịn R =
AB
Phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y – 4)2 = 5.
Bài 2: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(3; - 1) tiếp xúc với đường thẳng : 4x – 3y + = 0. Giải: Bán kính đường trịn khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng Ta có
R = d(I;) =
Phương trình đường trịn : (x – 3)2 + (y + 1)2 = 16.
Bài 3: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(2; 3), cắt đường thẳng : x + 3y - = hai điểm E, F cho EF = 10
Giải: Gọi H trung điểm EF Ta có IH EF tam giác IEH vng H. Ta có 10
EF
, Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d(I, ) = 10 Bán kính đường trịn R = IE =
2
2 2( , )
2
EF EF
IH d I
20.
Phương trình đường trịn : (x – 2)2 + (y – 3)2 = 20.
Bài 4: Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm A(3; 1) tiếp xúc với đường thẳng : 3x + y – 14 = điểm M(5; - 1)
Giải: Gọi I(a;b) tâm đường trịn Ta có
4
3
IA IM a b a
IM a b b
Suy I(2; - 2).
Bán kính đường trịn R = IA = 10
Phương trình đường trịn : (x – 2)2 + (y + 2)2 = 10.
Bài 5: Viết phương trình đường trịn (C) qua A(1; - 1), B(0; 4) tiếp xúc với đường thẳng : 2x – 3y – 13 = 0. Giải: Gọi I(a; b) tâm đường trịn Ta có
2
2
1733
5
3 289
| 13 |
( ; ) ( 4) 58
13 289
a b a
IA IB a
v a b
IB d I a b b b
Với I(3; 2) ta có bán kính đường trịn R = IA = 13 Phương trình đường trịn là: (x – 3)2 + (y – 2)2 = 13. Với
1733 58
( ; )
289 289 I
ta có bán kính đường trịn R = IA =
4208893 289 Phương trình đường tròn :
2
1733 58 4208893
289 289 83521
x y
.
Bài 6: Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm M(3; - 1) tiếp xúc với hai đường thẳng 1: x + 2y – 17 = , 2: 2x + y – 15 =
Giải: Gọi tâm đường trịn I(a; b) Ta có
2
2
1
1
| 17 | ( 3) ( 1)
5
( , ) 79
2
( , ) ( , ) 77
32
a b
a b
IM d I a a
v a b
d I d I b b
a b
(2)Phương trình đường trịn : (x – 1)2 + (y – 3)2 = 20. Với I(- 79; - 77) ta có bán kính R = IM = 50
Phương trình đường trịn : (x + 79)2 + (y + 77)2 = 12500.
Bài 7: Viết phương trình đường trịn (C) qua điểm M(- 4; - 1) tiếp xúc với hai đường thẳng 1: 3x – y – 25 = , 2: 3x – y +15 =
Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; b) Ta có
2
2
1
1
2 | 25 |
( , ) ( 4) ( 1)
10
( , ) ( , ) 31
3 5
a a b
IM d I a b a
v
d I d I b
b b a
Với I(2; 1) ta có bán kính đường trịn R = IM = 10 Phương trình đường trịn : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 40. Với
2 31
( ; )
5
I
ta có bán kính đường trịn R = IM = 10 Phương trình đường trịn :
2
2 31
40
5
x y
.
Bài 8: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – = qua điểm M(2; 2), N(3;1). Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; – a) d Ta có
IM = IN (a-2)2 + (5 – a)2 = (a – 3)2 + (6- a)2 a = 4. Ta có tâm I(4; 3), bán kính R = IM =
Phương trình đường trịn : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 5.
Bài 9: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + = , qua điểm M(3; 0) tiếp xúc với đường thẳng : 3x + y – 13 =
Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; - a – 1) d Ta có IM = d(I; ) (a – 3)2 + (- a – 1)2 =
2
| 13 | 10 a a
a= v a = - 3.
Với a = ta có tâm I(2; - 3), bán kính R = 10 Phương trình đường trịn : (x – 2)2 + (y + 3)2 = 10. Với a = - ta có tâm I(- 3; 2) , bán kính R = 85 Phương trình đường tròn : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 85.
Bài 10: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – = tiếp xúc với hai đường thẳng 1: x + 2y – 13 = 0, 2: x + 2y – =
Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; – a) d Ta có
d(I, 1) = d(I, 2) |a + 2(2 – a) – 13| = |a + 2(2 – a) – 7| a = Ta có tâm I(1; 1), bán kính R = d(I, 1) = 20
Phương trình đường trịn là: (x – 1)2 + (y – 1)2 = 20
Bài 11: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y + = tiếp xúc với hai đường thẳng 1: 4x + 3y – 24 = , 2: 4x – 3y – 18 =
Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; 2a + 3) d Ta có
d(I, 1) = d(I, 2) |4a + 3(2a + 3) – 24| = |4a – 3(2a + 3) – 18| a = - v a = 21
4 . Với a = - ta có tâm I(- 1; 1), bán kính R = d(I, 1) =
Phương trình đường trịn : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 25. Với a =
21
4 ta có tâm
21 27 ; I
, bán kính R = d(I, 1) =
15 .
Phương trình đường trịn :
2
21 27 15
4 2
x y
(3)Bài 12: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y + = tiếp xúc với đường thẳng : 3x – 4y – 15 – điểm M(1; - 3)
Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; - a -1) d Ta có IM = d(I, ) (a – 1)2 + (- a + 2)2 =
2
| 4( 1) 15 |
a a
a = - 2
Ta có tâm I(- 2; 1), bán kính R = IM =
Phương trình đường trịn : (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25.
Bài 13: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y – = , qua điểm M(1;- 3) cắt đường thẳng : x + y + = hai điểm E, F cho EF =
Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; – 2a) d. Gọi H trung điểm đoạn thẳng EF Ta có IH EF IM = R, IH = d(I, ), EH =
2 Ta có IH2 + HE2 = IM2
2
2
| 4 |
( 1) (7 ) 2 a a a a
a = v a = 35
9 .
Với a = ta có tâm I(1; 2), bán kính đường trịn R = IM = Phương trình đường trịn là: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25.
Với a = 35
9 ta có tâm
35 34 ;
9
I
, bán kính R = IM =
725 . Phương trình đường tròn :
2
35 34 725
9 81
x y
.
Bài 14: Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – = , có bán kính R = tiếp xúc với đường thẳng : 4x – 3y – 27 =
Giải: Gọi tâm đường tròn I(a; – a) d Ta có d(I, ) = R
| 3(4 ) 27 | 5
a a
a = v a = 64
7 Với a = ta có tâm I(2; 2), bán kính R =
Phương trình đường trịn : (x – 2)2 + (y – 2)2 = 25. Với a =
64
7 ta có tâm
64 36
( ; )
7
I
, bán kính R = Phương trình đường trịn :
2 64 36 25 7 x y .
Bài 15: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(- 2; 2), B(5; 3), C(2; 4).
Giải: Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC (C): x2 + y2 + ax + by + c = với a2 + b2 – 4c > 0.Do A, B, C (C) nên ta có hệ phương trình
4 2
25
4 16 20
a b c a
a b c b
a b c c
Phương trình đường trịn là: x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0.
Bài 16: Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ABC với A(- 1; 2), B(7; 2), C(- 1; 8). Giải: Ta có AB(8;0),AC(0;6)
AB AC 0 nên ABC vng A.
Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm cạnh huyền BC, I(3; 5) Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R = IB =
(4)Ta có phương trình cạnh AB là: y = Phương trình cạnh AC là: x = -
Phương trình cạnh BC là: 3x + 4y – 29 =
Phương trình hai đường phân giác góc A là: x + y – = x– y + = Phương trình đường phân giác góc A d1: x – y + =
Phương trình hai đường phân giác góc B : 3x – y – 19 = x + 3y – 13 = Phương trình đường phân giác góc B d2: x + 3y – 13 =
Gọi J tâm đường tròn nội tiếp ABC ta có J = d1 d2 Toạ độ điểm J nghiệm hệ phương trình
3
3 13
x y x
x y y
Suy J(1; 4).
Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác r = d(J, AB) =
Phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 4.
Bài 17: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 6x + 2y – = (C2): x2 + y2 + 8x + 2y + = a) Chứng minh hai đường tròn (C1), (C2) cắt hai điểm phân biệt
b) Viết phương trình đường tròn (C) qua giao điểm (C1), (C2) qua điểm M(2; 2) Giải:
a) Đường trịn (C1) có tâm I1(- 3; - 1), Bán kính R1 = Đường trịn (C2) có tâm I2(- 4; - 1), Bán kính R2 = 13 Ta có I1I2 = Vì |R1 – R2| < I1I2 < R1+ R2
Suy hai đường tròn (C1), (C2) cắt hai điểm phân biệt b) Phương trình đường trịn (C) qua giao điểm (C1), (C2) có dạng: m(x2 + y2 + 6x + 2y – 8) + n(x2 + y2 + 8x + 2y + 4) = , với m + n ≠ 0. Do M (C) nên ta có 16m + 32n = Suy chọn m = 2, n = - Ta có phương trình đường trịn (C) là: x2 + y2 + 4x + 2y – 20 = 0.
Bài 18: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x – 2y – = (C2): x2 + y2 - 2x - 8y + = a) Chứng minh hai đường tròn (C1), (C2) cắt hai điểm phân biệt
b) Viết phương trình đường trịn (C) qua giao điểm (C1), (C2) có tâm thuộc đường thẳng d: x + y – = Giải:
a) Đường trịn (C1) có tâm I1(2; 1), Bán kính R1 = 10 Đường trịn (C2) có tâm I2(1; 4), Bán kính R2 = 15 Ta có I1I2 = 10 Vì |R1 – R2| < I1I2 < R1+ R2
Suy hai đường tròn (C1), (C2) cắt hai điểm phân biệt b) Phương trình đường trịn (C) qua giao điểm (C1), (C2) có dạng: m(x2 + y2 - 4x – 2y – 5) + n(x2 + y2 - 2x - 8y + ) = , với m + n ≠ 0. (m + n)x2 + (m + n)y2 - 2(2m + n)x – 2(m + 4n)y -5m + 2n = 0 Tâm đường tròn
2
( m n m; n) I
m n m n
Do tâm I d nên ta có 2m + 4n = Chọn m = 2, n = -
Ta có phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0.
Bài 19: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 6x – 2y – = (C2): x2 + y2 - 4x - 8y - = a) Chứng minh hai đường tròn (C1), (C2) cắt hai điểm phân biệt
b) Viết phương trình đường tròn (C) qua giao điểm (C1), (C2) có bán kính R = Giải:
a) Đường trịn (C1) có tâm I1(3; 1), Bán kính R1 = 14 Đường trịn (C2) có tâm I2(2; 4), Bán kính R2 = 23 Ta có I1I2 = 10 Vì |R1 – R2| < I1I2 < R1+ R2
(5)Bán kính đường trịn R =
2
3 4
25
m n m n m n
m n m n m n
Chọn n = - Ta có 4m3 -26m2 + 40m – = m = v m = 11
Với m = 2, n = - Ta có phương trình đường trịn (C) là: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0. Tương tự với m =
1
11, n = - Ta có phương trình đường trịn (C) là: x2 + y2 -
19 x -
43 y -
29 10 = 0.
Bài 20: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 4y – = đường thẳng : x + y – = 0. a) Chứng minh đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt
b) Viết phương trình đường trịn (C’) qua giao điểm đường thẳng (C) qua điểm M(1; 2) Giải:
a) Đường trịn (C) có tâm I(2; - 2), bán kính R = 13 Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d(I, ) =
5 .
Ta có d(I,) < R suy đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt b) Phương trình đường tròn (C’) qua giao điểm đường thẳng với (C) có dạng (C’): m(x2 + y2 – 4x + 4y – ) + n(x + y – ) = với m ≠ 0.
Do M (C’) nên ta có 4m – 2n = suy chọn m = 1, n = Phương trình đường trịn (C’) : x2 + y2 – 2x + 6y – 15 = 0.
Bài 21: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = đường thẳng : x + y + = 0. a) Chứng minh đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt
b) Viết phương trình đường tròn (C’) qua giao điểm đường thẳng (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x + y - =
Giải:
a) Đường trịn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 15 Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d(I, ) = 2
Ta có d(I,) < R suy đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt b) Phương trình đường trịn (C’) qua giao điểm đường thẳng với (C) có dạng (C’): m(x2 + y2 – 2x + 4y – 10 ) + n(x + y + ) = với m ≠ 0.
mx2 + my2 + (- 2m + n)x + (4m + n)y – 10m + 5n = 0. Tâm đường tròn (C’)
2
;
2
m n m n
I
m m
Do I d nên ta có -6m - 3n = suy chọn m = 1, n = - Phương trình đường trịn (C’) : x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0.
Bài 22: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y – = đường thẳng : x - y - = 0. a) Chứng minh đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt
b) Viết phương trình đường tròn (C’) qua giao điểm đường thẳng (C) bán kính Giải:
a) Đường trịn (C) có tâm I(- 1; 2), bán kính R = 13 Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d(I, ) =
5 .
Ta có d(I,) < R suy đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt b) Phương trình đường trịn (C’) qua giao điểm đường thẳng với (C) có dạng (C’): m(x2 + y2 + 2x - 4y – 8) + n(x - y - 2) = với m ≠ 0.
(6)Bán kính đường tròn (C’) R’ =
2
2
25
2
m n m n m n
m m m
Chọn m = ta có n = v n = - 12
Với m = 1, n = Phương trình đường tròn (C’) : x2 + y2 + 4x - 6y – 12 = 0. Với m = , n = - 12.Phương trình đường trịn (C’) : x2 + y2 - 10x - 8y + 16 = 0.
Bài 23: Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 2y – = qua trục Ox. Giải: Đường trịn (C) có tâm I(4; - 1), bán kính R = 5.
Đường trịn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Ox, bán kính R’ = R Ta có I’(4; 1), bán kính R’ =
Phương trình đường trịn (C’) là: (x – 4)2 + (y – 1)2 = 25.
Bài 24: Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = qua trục Oy. Giải: Đường trịn (C) có tâm I(2; - 3), bán kính R = 5.
Đường trịn (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua trục Oy, bán kính R’ = R Ta có I’(- 2; - 3), bán kính R’ =
Phương trình đường trịn (C’) là: (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25.
Bài 25: Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 4y – = qua gốc toạ độ O. Giải: Đường trịn (C) có tâm I(3; - 2), bán kính R = 4.
Đường trịn (C’) có tâm I’ đối xứng với I gốc toạ độ O, bán kính R’ = R Ta có I’(- 3; 2), bán kính R’ =
Phương trình đường trịn (C’) là: (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16.
Bài 26: Viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 2y – = qua phép tịnh tiến theo vectơ v(2; 3)
Giải: Đường trịn (C) có tâm I(- 1; 1), bán kính R = 3.
Đường trịn (C’) có tâm I’ ảnh I qua phép tịnh tiến theo vectơ v, bán kính R’ = R Ta có I’(1; - 2), bán kính R’ =
Phương trình đường trịn (C’) là: (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9.
Bài 27: Viết phương trình đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – = qua phép quay tâm O góc quay 900.
Giải: Đường trịn (C) có tâm I(2; - 4), bán kính R = 5.
Đường trịn (C’) có tâm I’ ảnh I qua phép quay tâm O, góc quay 900, bán kính R’ = R
Ta có I’(4; 2), bán kính R’ =
Phương trình đường trịn (C’) là: (x - 4)2 + (y - 2)2 = 25.
Bài 28: Viết phương trình đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C): x2 + y2 + 4x – 2y + = qua phép đối xứng trục : 3x + y – =
Giải: Đường tròn (C) có tâm I(- 2; 1), bán kính R = 1.
Đường trịn (C’) có tâm I’ ảnh I đối xứng trục , bán kính R’ = R Phương trình đường thẳng d qua I, vng góc với x – 3y + = Gọi H = d Ta có H(1; 2) suy H trung điểm II’
Ta có I’(4; 3), bán kính R’ =
Phương trình đường trịn (C’) là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1.
Bài 29: Viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường trịn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + = qua điểm M(1; 4). Giải: Đường trịn (C) có tâm I(3; - 1), bán kính R = 2.
Đường trịn (C’) có tâm I’ , bán kính R’ = R
Ta có M trung điểm II’ suy I’(- 1; 9), bán kính R’ = Phương trình đường trịn (C’) là: (x + 1)2 + (y - 9)2 = 4.
Bài 30: Viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = qua phép vị tự tâm O tỷ số k =
Giải: Đường trịn (C) có tâm I(1; - 2), bán kính R = 5. Đường trịn (C’) có tâm I’ thoả mãn OI'kOI
(7)Bài 31: Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB, BC, CA M, N, P trọng tâm G(1; 2) Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP x2 + y2 – 4x – 2y -11 = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải: Ta có tam giác ABC ảnh tam giác MNP qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = - 2. Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp MNP, (C’) đường trịn ngoại tiếp ABC Ta có (C’) ảnh (C) qua phép vị tự tâm G(1; 2), tỷ số k = -
Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = Đường trịn (C’) có tâm I’ thoả mãn GI'kGI
hay I’(- 1; 4) Bán kính đường tròn (C’) R’ = |k|R =
Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 64.
Bài 32: Cho tam giác ABC có B(1; - 3), C(- 3; 5), trực tâm H Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC x2 + y2 + 6x – 16 = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải: Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp HBC qua đường thẳng BC. Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp HBC Đường tròn (C) có tâm I(- 3; 0), bán kính R =
Gọi (C’) đường tròn ngoại tiếp ABC
Đường trịn (C’) có tâm I’, I’ đối xứng với I qua đường thẳng BC, bán kính R’ = R = Phương trình cạnh BC là: 2x + y + =
Gọi d đường thẳng qua I vng góc vơi BC Phương trình đường thẳng d là: x – 2y + =
Gọi M = d BC Ta có M(- 1; 1)
M trung điểm đoạn thẳng II’ Toạ độ điểm I’ (1; 2) Phương trình đường trịn (C) là: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25. Bài 33: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(
8
3; 5) , phương trình đường trịn qua ba chân đường cao x2 + y2 – 10x – 18y + 81 = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải: Gọi (C) đường tròn qua ba chân đường cao Ta có (C) đường trịn Ơle qua điểm Vì đường tròn (C) qua ba trung điểm ba cạnh ABC
Ta có đường trịn (C) có tâm I(5; 9), bán kính R =
Gọi (C’) đường trịn ngoại tiếp ABC có tâm I’ , bán kính R’
Đường trịn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép vị tự tâm G tỷ số k = - Ta có GI'kGI
Hay I’(- 2; - 3) Bán kính R’ = |k|R = 10
Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC : (x + 2)2 + (y + 3)2 = 100. II – BÀI TẬP VỀ DÂY CUNG.
Bài 1: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = điểm M(3; - 2) Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt E, F cho ME = MF
Giải: Đường tròn (C) có tâm I(2; - 1) bán kính R = 5.
Phương tích điểm M đường tròn (C) PM/(C) = -23 < Suy điểm M nằm đường tròn (C)
Theo tính chất dây cung đường trịn ta có đường thẳng qua M vng góc với IM Đường thẳng qua M(3; - 2) có vectơ pháp tuyến nIM (1; 1)
Phương trình đường thẳng là: x – y - =
Bài 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài
a) lớn b) nhỏ
Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R =
a) Theo tính chất đường kính dây cung lớn Suy đường thẳng qua M tâm I Phương trình đường thẳng : x + 2y – =
b) Ta có phương tích điểm M đường tròn (C) PM/(C) = -20 < Suy điểm M nằm đường trịn (C)
Ta có IM ≥ IH nên EF ≤ CD E C
(8)Áp dụng tính chất đường trịn dây cung gần tâm lớn Vì dây cung qua M có độ dài nhỏ xa tâm dây cung vng góc với IM
Đường thẳng qua M(3; 1) có vectơ pháp tuyến n IM (2; 1)
Phương trình đường thẳng là: 2x – y – =
Bài 3: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = (C2): x2 + y2 – 6x + 2y – 10 = 0. a) Chứng minh đường tròn (C1) đường tròn (C2) cắt hai điểm A B
b) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt đường tròn (C1) E, cắt (C2) F với E,F khác A cho EF lớn
Giải:
a) Đường tròn (C1) có tâm I1(2; - 3) bán kính R1 = Đường trịn (C2) có tâm I2(3; - 1) bán kính R2 = 20 Ta có I1I2 = |R1 – R2| < I1I2 < R1 + R2 Suy đường tròn (C1) (C2) cắt hai điểm phân biệt b) Toạ độ giao điểm hai đường tròn (C1) (C2) nghiệm hệ phương trình
2
2
4 12
1
6 10
x y x y x x
v
y y
x y x y
.
Gọi H, K trung điểm dây cung AE, AF Ta có EF = 2HK Xét tam giác vng KLH ta có HK ≤ KL
Vì EF lớn HK KL Hay đường thẳng // I1I2
1 (1; 2)
I I
TH1: A(- 1; 1)
Phương trình đường thẳng là: 2x – y +3 =
TH2: A(7; - 3)
Phương trình đường thẳng là: 2x – y – 17 =
I – BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
Bài 1: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C). a) Đi qua M(2; 4)
b) Đi qua N(3; 7) c) Đi qua P(- 1; - 6)
d) Song song với đường thẳng d1: 3x + y – = e) Vng góc với đường thẳng d2: 4x + 3y – = Giải: Đường trịn (C) có tâm I(- 2; 1) bán kính R = 5.
a) Ta có PM/(C)= nên điểm M thuộc đường trịn (C) Tiếp tuyến qua M có vectơ pháp tuyến (4;3)
nIM
Phương trình tiếp tuyến : 4x + 3y – 20 = b) Ta có PN/(C) > nên điểm N nằm ngồi đường trịn (C)
Phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) có dạng : A(x – 3) + B(y – 7) = 0, A2 + B2 ≠ 0. Ta có d(I; ) = R 2
| |
A B
A B
25A2 – 60AB + 36B2 = 25A2 + 25B2 B(11B – 60A) = B = v 11B – 60A =
Với B = chọn A = Phương trình tiếp tuyến là: x – =
Với 11B – 60A= chọn A = 11, B = 60 Phương trình tiếp tuyến 11x + 60y - 453 = F
D M
I
A
B
I I1
E
F H
(9)c) Ta có PP/(C) > nên điểm N nằm ngồi đường trịn (C)
Phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) có dạng : A(x + 1) + B(y + 6) = 0, A2 + B2 ≠ 0. Ta có d(I; ) = R 2
| |
5
A B
A B
A2 - 14AB + 49B2 = 25A2 + 25B2 24A2 + 14AB – 24B2 =
3 A
B v
4 A B Với
3 A
B chọn A = 3, B = Phương trình tiếp tuyến là: 3x + 4y + 27 = 0. Với
4 A
B chọn A = 4, B = - Phương trình tiếp tuyến 4x - 3y - 14 = 0.
d) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d1: 3x + y – = nên phương trình đường thẳng : 3x + y + m = Ta có d(I, ) =
| |
m
m = ± 5 10.
Phương trình hai tiếp tuyến là: 3x + y ± 10
e) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d2: 4x + 3y – = nên phương trình đường thẳng : 3x - 4y + m =
Ta có d(I,) = R 2 | |
5
3
m
m = 35 v m = - 15.