Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau... PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 9 MƠN : TỐN
NĂM HỌC: 2015 – 2016 Khóa ngày: 15/10/2015
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0đ) Cho biểu thức:
3
(1 ) : ( )
9
x x x x x
Q
x x x x x
(với x 0;x 9;x 4) a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị x để Q =
Bài 2: (2,5đ) Cho x,y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x Tính giá trị biểu thức sau: A =
2
x + y + xy xy -1
Bài 3: (2,5đ) Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho không?
Bài 4: (3,0đ) Cho x, y > Chứng minh bất đẳng thức sau: P =
2
2
x y x y + + - + y x y x
Bài 5: (2,0đ) Tìm nghiệm nguyên phương trình : xy - y = x2 + 2
Bài 6: (6,0đ) Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo M trung điểm cạnh AB Trên cạnh BC, CD lấy hai điểm G H cho hai đường thẳng MG AH song song với
a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA b) Tính số đo góc HOG .
(2)
PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ
HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 9. MƠN : TỐN NĂM HỌC: 2015 - 2016
Bài 1: (4,0đ) a)
3
(1 ) : ( )
9
x x x x x
Q
x x x x x
2
( 3) ( 3)( 3) ( 2)(2 ) Q=[1 ]:[
( 3)( 3) (2 )( 3) (2 )( 3) (2 )( 3)
3 4
:
3 (2 )( 3) 3(2 )( 3)
( 0; 9; 4) ( 3)(2 )
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x Q
x x x x x
Q x x x
x x x
b) Với x 0;x 9;x 4: 1 Q x
2 25
x x x
Bài 2: (2,5đ) Ta có: x2 + y = y2 + x
<=> x2 - y2+ y – x = 0 (0,5
đ)
<=> (x – y)(x + y – 1) = (0,5
đ)
Vì x ≠ y nên x + y – 1= <=> x + y = (0,5 đ)
A =
2
x + y + xy xy -1 =
2
(x + y) - xy 1- xy
xy -1 xy -1 (1,0
đ)
(Vì x + y = 1=> xy ≠1)
Bài 3: (2,5đ) Vì số thứ chia cho dư nên có dạng : 5k+1 (0,25 đ)
số thứ hai chia cho dư nên có dạng : 5q+2 (k,q Z) (0,25 đ)
Ta có: (5k+1)2 + (5q+2)2 = 25k2 + 10k + + 25q2 + 20q+ (0,5
đ)
= 25k2 + 10k + 25q2 + 20q+ 5 (0,5
đ)
= 5(5k2 + 2k + 5q2 + 4q + 1) (0,5
đ)
(3)Bài 4: (3,0đ)
Đặt a = x y
y x, ta có a2 =
2
2 2
x y
y x => a2 – =
2
2
x y
y x (0,5đ)
Thay vào P ta có: P =
2
2
x y x y y x y x
= a2 – 3a + 2= (a-1)(a-2)
(0,75đ)
Vì x > 0, y > => a = x y
y x≥ (0,5đ)
=> a – ≥ 0; a – 1>
(0,25đ)
=> P = (a-1)(a-2) ≥ (0,5đ)
Bài 5: (2,0đ)
xy – y = x2 + 2 <=> y(x -1) = x2 + 2
(0,25đ)
=> y =
2 2
1 x
x =
3
1 x
x
(0,5đ)
Vì x,y Ζ nên x - Ư(3) = {-1;1;-3;3) (0,5đ)
=> x {0;2;-2;4) (0,25đ)
Với x =0 => y = -2 x = 2=> y = x = -2 => y = -2 x = => y =
Vậy phương trình có nghiệm: (0;-2) ; (2;6) ; (-2 ;-2) ;(4;6) (0,5đ)
Bài 6: (6,0đ)
a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA ADH GBM có:
ADH = GBM (=900)
AHD = GMB ( cặp góc có cạnh tương ứng song song)
ADH GBM (g-g) (1,0đ)
DH AD
BM GB (0,75đ)
DH.GB = BM.DA (0,75đ)
b) Tính số đo góc HOG .
Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a) MBO vuông cân M => BM = BO
2
2 (0,5đ)
ADO vuông cân O => AD = DO (0,5đ)
H M
O
B
D A
(4) DH.GB = BM.DA = BO
2 DO. 2=BO.DO (0,5đ)
DH DO
BO GB mà ODH = GBO (=450) (0,5đ)
ODH GBO (c-g-c) (0,5đ)
DOH = BGO (0,25đ)
DOH + HOG + GOB =BGO +GOB +OBG (=1800) (0,25đ)
HOG = OBG = 450 (0,5đ)