g) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề... - Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đ[r]
(1)HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Môn : Hình Học - THCS
1 Điểm - Đường thẳng
- Người ta dùng chữ in hoa A, B, C, . để đặt tên cho điểm
- Bất hình tập hợp các điểm Một điểm hình.
- Người ta dùng chữ thường a, b, c, . m, p, để đặt tên cho đường thẳng (hoặc dùng hai chữ in hoa dùng hai chữ cái thường, ví dụ đường thẳng AB, xy, )
- Điểm C thuộc đường thẳng a (điểm C nằm trên đường thẳng a đường thẳng a đi qua điểm C), kí hiệu là: Ca
- Điểm M không thuộc đường thẳng a (điểm M nằm đường thẳng a đường thẳng a khơng qua điểm M), kí hiệu là: Ma
2 Ba điểm thẳng hàng
- Ba điểm thuộc đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng
- Ba điểm khơng thuộc đường thẳng ta nói chúng khơng thẳng hàng.
3 Đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song - Hai đường thẳng AB BC hình
(2)nhau, kí hiệu xy//zt
4 Khái niệm tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau - Hình gồm điểm O phần đường
thẳng bị chia điểm O gọi là một tia gốc O (có hai tia Ox Oy như hình vẽ)
- Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau)
- Hai tia chung gốc tia nằm trên tia gọi hai tia trùng nhau - Hai tia AB Ax hai tia trùng nhau 5 Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng
- Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A và B
- Hai điểm A B hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng AB.
- Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương
6 Khi AM + MB = AB ? - Nếu điểm M nằm hai điểm A và B AM + MB = AB Ngược lại, nếu AM + MB = AB điểm M nằm giữa hai điểm A B
7 Trung điểm đoạn thẳng
- Trung điểm M đoạn thẳng AB là điểm nằm A, B cách A, B (MA = MB)
- Trung điểm M đoạn thẳng AB cịn gọi điểm đoạn thẳng AB
8 Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau - Hình gồm đường thẳng a phần
mặt phẳng bị chia a gọi là một nửa mặt phẳng bờ a
(3)9 Góc, góc bẹt
- Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi đỉnh góc, hai tia hai cạnh góc
- Góc xOy kí hiệu xOy O hoặc xOy
- Điểm O đỉnh góc - Hai cạnh góc : Ox, Oy
- Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối nhau
10 So sánh hai góc, góc vng, góc nhọn, góc tù. - So sánh hai góc cách so sánh số đo chúng
- Hai góc xOy uIv kí hiệu là: xOy uIv
- Góc xOy nhỏ góc uIv, ta viết:
xOy uIv uIv xOy
- Góc có số đo 900 = 1v, góc vng
- Góc nhỏ góc vng góc nhọn
- Góc lớn góc vng nhỏ góc bẹt góc tù.
11 Khi xOy yOz xOz - Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz thì xOy yOz xOz
- Ngược lại, xOy yOz xOz thì tia Oy nằm hai tia Ox Oz
(4)a
I B
A
- Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung. - Hai góc phụ hai góc có tổng số đo bằng 900
- Hai góc bù hai góc có tổng số đo bằng 1800
- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù gọi là hai góc kề bù
13 Tia phân giác góc
- Tia phân giác góc tia nằm giữa hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc
- Khi:xOz zOy xOy vµ xOz = zOy => tia Oz tia phân giác góc xOy
- Đường thẳng chứa tia phân giác góc là đường phân giác góc (đường thẳng mn đường phân giác góc xOy)
14 Đường trung trực đoạn thẳng
a) Định nghĩa: Đường thẳng vng góc với một đoạn thẳng trung điểm gọi là đường trung trực đoạn thẳng ấy
b) Tổng quát:
a đường trung trực AB
a AB t¹i I IA =IB
(5)1
2
3
b a
B A
c
b a
b a M
a) Các cặp góc so le trong:
1
A vµ B ; A vµ B 2.
b) Các cặp góc đồng vị:
1
A vµ B ; A vµ B 2;
3
A vµ B ; A vµ B 4.
c) Khi a//b thì:
1
A vµ B ; A vµ B 3 gọi cặp góc trong phía bù nhau
16 Hai đường thẳng song song
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với nhau
b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua điểm ngồi đường thẳng chỉ có đường thẳng song song với đường thẳng đó
c, Tính chất hai đường thẳng song song
- Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: Hai góc so le nhau;
(6)c
b a c
b a
c b
a
x C
B
A - Hai đường thẳng phân biệt vng góc
với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau
a c
a / / b
b c
- Một đường thẳng vng góc với trong hai đường thẳng song song cũng vng góc với đường thẳng kia
c b
c a
a / / b
e) Ba đường thẳng song song
- Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau
a//c b//c a//b 17 Góc ngồi tam giác
a) Định nghĩa: Góc ngồi tam giác là góc kề bù với góc tam giác ấy
b) Tính chất: Mỗi góc ngồi tam giác bằng tổng hai góc khơng kề với nó
ACx A B
(7)C ' B'
A'
C B
A
C' B
'
A'
C B
A
a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, các góc tương ứng nhau.
ABC A 'B 'C '
AB A ' B '; AC A 'C '; BC B 'C ' A A '; B B '; C C '
b) Các trường hợp hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh
(c.c.c)
- Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh của tam giác hai tam giác nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A 'B '
AC A 'C ' ABC A ' B 'C '( c.c.c ) BC B 'C '
*) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh
(c.g.c)
- Nếu hai cạnh góc xen tam giác này hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A 'B '
B B ' ABC A 'B 'C '( c.g.c ) BC B 'C '
(8)A
B C
A'
B '
C'
C' B'
A' C B
A
C' B'
A' C B
A
- Nếu cạnh hai góc kề tam giác này cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: B B '
BC B 'C ' ABC A 'B 'C '(g.c.g ) C C '
c) Các trường hợp hai tam giác vuông
Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng nhau.
Trường hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác
(9)A B
C A '
B'
C'
C' B'
A' C B
A
A
B C
Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng nhau.
Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng này
bằng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng nhau.
19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác)
- Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn
ABC : NÕu AC > AB th× B > C
Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn hơn ABC : NÕu B > C th× AC > AB
20 Quan hệ đường vuông góc đường xiên, đường xiên hình chiếu
(10)C B
A - Đoạn thẳng AH gọi đường vng góc kẻ từ A
đến đường thẳng d
- Điểm H gọi hình chiếu A đường thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d
- Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đường xiên AB đ.thẳng d
Quan hệ đường xiên đường vuông góc:
Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ một điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn nhất.
Quan hệ đường xiên hình chiếu:
Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, thì: Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn
Đường xiên lớn có hình chiếu lớn hơn
Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên nhau.
21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác
- Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại. AB + AC > BC
AB + BC > AC AC + BC > AB
- Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh cịn lại.
AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu và nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC
(11)G D
F E
C B
A
O
C B
A
O
C B
A - Ba đường trung tuyến tam giác đi qua điểm Điểm cách đỉnh một khoảng
2
3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy:
GA GB GC
DA EB FC
G trọng tâm tam giác ABC
22 Tính chất ba đường phân giác tam giác - Ba đường phân giác tam giác cùng đi qua điểm Điểm cách ba cạnh của tam giác đó
- Điểm O tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
23 Tính chất ba đường trung trực tam giác - Ba đường trung trực tam giác
cùng qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác đó
- Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
24 Phương pháp chứng minh số toán
(sử dụng cách sau đây)
a) Chứng minh tam giác cân
(12)3 Chứng minh tam giác cân có góc 60
c) Chứng minh tứ giác hình bình hành
1 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành 2 Tứ giác có cạnh đối hình bình hành
3 Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bìnhhành 4 Tứ giác có góc đối hình bình hành
5 Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm mỗi đường hình bình hành
d) Chứng minh tứ giác hình thang:
Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh hình thang hình thang cân
1 Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy nhau 2 Chứng minh hình thang có hai đường chéo nhau
f) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật
1 Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật
2 Hình cân có góc vng hình chữ nhật 3 Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật
4 Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật
g) Chứng minh tứ giác hình thoi
1 Tứ giác có bốn cạnh nhau
2 Hình bình hành có hai cạnh kề nhau
3 Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau
4 Hình bình hành có đường chéo đường phân giác mộtgóc
h) Chứng minh tứ giác hình vng
1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau 2 Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc
3 Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc 4 Hình thoi có góc vng
5 Hình thoi có hai đường chéo nhau 25 Đường trung bình tam giác, hình thang
a) Đường trung bình tam giác
Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
(13)E
C B
D A
F E
D C
B A
DE đường trung bình tam giác
DE / / BC, DE BC
b) Đường trung bình hình thang
Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang
Định lí: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy
EF đường trung bình của hình thang ABCD EF//AB, EF//CD,
AB CD
EF
2
26 Tam giác đồng dạng
a) Định lí Ta_lét tam giác:
- Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại nó định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
AC ' AB '
B 'C '/ /BC ;
AB AC
AC' C 'C
AB ' ; B ' B
B ' B C 'C AB AC
b) Định lí đảo định lí Ta_lét:
- Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác
Ví dụ:
AC '
AB ' B 'C '/ / BC
(14)C' B'
a C
B
A
C' B'
a
C B
A
D' B C
A
D C
B
A
d) Tính chất đường phân giác tam giác:
- Đường phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn đó
DB AB
DC AC
D 'B AB
D 'C AC
e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :
- Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc tương ứng nhau và cạnh tương ứng tỉ lệ
A A '; B B '; C C ' ABC A 'B 'C '
AC BC
AB k( tỉ số đồng dạng )
A 'B ' A 'C ' B 'C '
”
f) Định lí hai tam giác đồng dạng:
(15)a N
M
C B
A
C ' B'
A'
C B
A
MN / / BC AMN” ABC
*) Lưu ý: Định lí trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại
g) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác
*)Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng.
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AC BC
AB ABC A 'B 'C '( c.c.c )
A 'B ' A 'C ' B 'C ' ”
*)Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: BC
AB
A 'B ' B 'C' ABC A 'B 'C '( c.g.c ) B B '
”
*)Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác thì hai tam giác đồng dạng;
(16)a b
a h
a h
a
h) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông
*)Trường hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có góc nhọn chúng đồng
dạng.
0
NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A A ' 90
ABC A 'B 'C ' C C '
”
*)Trường hợp 2: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng
của tam giác vng hai tam giác đồng dạng.
Hai tam giác vuông ABC vµ A'B'C' cã: AC
AB ABC A 'B 'C '
A 'B ' A 'C ' ”
*)Trường hợp 3: Nếu cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng hai giác đồng dạng.
Hai tam giác vuông ABC A'B'C' cã: BC
AB ABC A 'B 'C '
A 'B ' B 'C ' ”
27 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng
- Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ sơ diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng - Cụ thể : A 'B 'C' ABC theo tØ sè k
=>
A 'B 'C'
ABC
S
A 'H ' k vµ k
AH S
28 Diện tích hình
(17)h
a
F E
b h
a
h
a d1
d2
Sa b
Sa2
1
S ah
2
S ah
2
1
S ah
2
1
S (a b)h EF.h
2
S a h
1
1
S d d
2
29 Học sinh cần nắm vững tốn dựng hình
(dùng thước thẳng, thước đo độ, thước có chia khoảng, compa, êke) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước;
b) Dựng góc góc cho trước;
c) Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước;
d) Dựng tia phân giác góc cho trước;
e) Qua điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước; f) Qua điểm nằm đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước;
(18)30 Hệ thức lượng tam giác vuông (lớp 9)
a) Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông
b2 ab' c2 ac '
a2 b2 c2 (Pi_ta_go) bc = ah
h2 b'c '
2
1 1
b c h
b) Tỉ số lượng giác góc nhọn
i Định nghĩa cỏc tỉ số lượng giỏc gúc nhọn cạnh đối
sin
c¹nh hun
cos c¹nh kỊ
c¹nh huyÒn
cạnh đối
tan
c¹nh kỊ
c¹nh kỊ cot
cạnh đối ii Một số tớnh chất cỏc tỉ số lượng giỏc
+) Định lí tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau Cho hai góc α β phụ Khi đó:
sinα = cosβ; tanα = cotβ; cosα = sinβ; cotα = tanβ. +) Cho 00 900 Ta có:
0sin 1; 0cos 1; sin2 cos2 1
sin cos
tan ; cot ; tan cot
cos sin
iii So sánh tỉ số lượng giác
0
1 2 2
0 90 sin sin ;cos cos ;tan tan ;cot cot
c) Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông
(19)b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tanB; c = b.tanC b = c.cotC; c = b.cotB => a =
b c b c
sinB sinC cosC cosB
31 Đường trịn, hình trịn, góc tâm, số đo cung
0
(20)- Đường trịn tâm O, bán kính R hình gồm các điểm cách O khoảng R, kí hiệu (O ; R). - Hình trịn hình gồm điểm nằm đường tròn điểm nằm bên đường trịn đó. - Trên hình vẽ:
+) Các điểm A, B, C, D nằm (thuộc) đường tròn; OA = OB = OC = OD = R
+) M nằm bên đường trịn; OM < R +) N nằm bên ngồi đường tròn; ON > R +) Đoạn thẳng AB dây cung (dây)
+) CD = 2R, đường kính (dây cung lớn nhất, dây qua tâm)
+) AmB cung nhỏ (00 1800) +) AnB cung lớn
+) Hai điểm A, B hai mút cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi là góc tâm (AOB góc tâm chắn cung nhỏ AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đường tròn - Số đo cung:
+) Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung
s® AmB (00 1800)
+) Số đo cung lớn hiệu 3600 số
đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn)
s® AnB 360
+) Số đo nửa đường tròn 1800, số đo của
cả đường tròn 3600
32 Quan hệ vng góc đường kính dây - Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây ấy
AB CD H => HC = HD
- Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm thì vng góc với dây ấy
33 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây
(21)Định lí 1: Trong đường trịn
a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm nhau AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây đường trịn a) Dây lớn dây gần tâm hơn b) Dây gần tâm dây lớn hơn
AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD
34 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn
a) Đường thẳng đường trịn cắt (có hai điểm chung)
- Đường thẳng a gọi cát tuyến (O) d = OH < R HA = HB = R2 OH2
b) Đường thẳng đường trịn tiếp xúc (có một điểm chung)
- Đường thẳng a tiếp tuyến (O) - Điểm chung H tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu đường thẳng là tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm.
a tiếp tuyến (O) H => a OH
c) Đường thẳng đường trịn khơng giao nhau
(khơng có điểm chung)
(22)- Để chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ta thường dùng hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh đường thẳng đường trịn có điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến
Cách 2: Chứng minh đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đó
H O
a lµ tiÕp tun cđa (O) a OH t¹i H
36 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; đường tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác
a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt nhau điểm thì:
Điểm cách hai tiếp điểm
Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác của góc tạo hai tiếp tuyến
Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác của góc tạo hai bán kính qua tiếp
điểm. ABAC;OAB OAC ;
AOB AOC
b) Đường tròn nột tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác được gọi đường trịn nội tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm của đường phân giác góc tam giác c) Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm đường tròn bàng tiếp giao điểm hai đường phân giác góc ngồi hai đỉnh đó hoặc giao điểm đường phân giác góc trong
và đường phân giác góc ngồi đỉnh - Với tam giác có ba đường trịn bàng tiếp (hình vẽ đường trịn bàng tiếp góc A)
(23)a) Hai đường tròn cắt nhau
(có hai điểm chung) - Hai điểm A, B hai giao điểm - Đoạn thẳng AB dây chung
R - r < OO' < R + r
- Đường thẳng OO’ đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ đoạn nối tâm
*) Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm là đường trung trực dây chung
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
(có điểm chung) - Điểm chung A gọi tiếp điểm +) Tiếp xúc A:
OO'Rr
+) Tiếp xúc A: OO'R r
c) Hai đường trịn khơng giao nhau
(khơng có điểm chung) +) Ở ngồi nhau:
OO'Rr
(24)đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn đó
- Tiếp tuyến chung ngồi khơng cắt đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm
38 So sánh hai cung đường tròn hay hai đường tròn nhau. - Hai cung gọi chúng có số đo nhau
- Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn hơn - Kí hiệu: ABCD; EF GH GH EF
39 Liên hệ cung dây.
*) Định lí 1:
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau:
a) Hai cung căng hai dây nhau b) Hai dây căng hai cung nhau
AB CDABCD ; ABCD ABCD
*) Định lí 2:
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau:
a) Cung lớn căng dây lớn hơn b) Dây lớn căng cung lớn hơn
AB CD AB CD ; AB CD AB CD
40 Góc nội tiếp
a) Định nghĩa:
- Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn
- Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn
b) Định lí:
Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
BAC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC(hình a) chắn cung lớn BC(hình b)
BAC
sđ BC
(25)
+) Các góc nội tiếp chắn cung nhau
+) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung nhau +) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn
một cung
+) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng. 41 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
a) Khái niệm:
- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đường trịn, cạnh tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung đường trịn - Cung nằm bên góc cung bị chắn
- Hình vẽ:
BAx chắn cung nhỏ AmB BAy chắn cung lớn AnB
b) Định lí:
- Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn
c) Hệ quả:
Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp chắn cung thì bằng nhau.
BAx
ACB
sđAmB
1
BAx s® AmB
1
BAy s® AnB
42 Góc có đỉnh bên đường trịn Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn.
a) Góc có đỉnh bên đường trịn.
- Góc có đỉnh nằm bên đường trịn gọi góc có đỉnh bên đường trịn
- Hình vẽ: BEC góc có đỉnh bên đường trịn chắn hai cung BnC , AmD
m
o e
(26)b) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn.
- Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn cạnh có điểm chung với đường tròn
- Hai cung bị chắn hai cung nằm bên góc, hình vẽ bên: BEC góc có đỉnh bên ngồi đường trịn, có hai cung bị chắn AmD vµ BnC
- Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
s®BnC s® AmD BEC
2
43 Kết tốn quỹ tích cung chứa góc
a) Bài tốn: Với đoạn thẳng AB góc (
0
0 180 ) cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn AMB hai cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB
- Hai cung chứa góc dựng đoạn thẳng AB đối xứng với qua AB
- Khi = 900 hai cung chứa góc hai nửa
đường trịn đường kính AB, suy ra: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB (áp dụng kiến thức để chứng minh tứ giác nội tiếp)
E
O D
B
C A
m
(27)b) Cách vẽ cung chứa góc
- Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB. - Vẽ tia Ax tạo với AB góc ( BAx = )
- Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax Gọi O giao điểm của Ay với d
- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA cho cung này nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
c) Cách giải toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T một hình H đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm M có tính chất T hình H 44 Tứ giác nội tiếp
a) Khái niệm tứ giác nội tiếp
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn được gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp)
b) Định lí:
- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800
Tứ giác ABCD nội tiếp (O), suy ra:
A C B D 180
c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
1
2
(28)(29)45 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp - Đường tròn qua tất đỉnh đa giác được gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác được gọi đa giác nội tiếp đường tròn
- Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác được gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn
- Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp. - Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi là tâm đa giác đều.
I
46 Một số định lí áp dụng : (khơng cần chứng minh)
a) Định lí 1:
+) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền
+) Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đó là tam giác vng
b) Định lí 2:
Trong đường trịn, hai cung bị chắn hai dây song song nhau
c) Định lí 3:
Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung ấy.
d) Định lí 4:
Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây cung (khơng phải là đường kính) chia cung căng dây thành hai cung nhau
e) Định lí 5:
(30)47 Độ dài đường trịn, độ dài cung trịn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn
a) Độ dài đường trịn
Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi hình trịn) bán kính R là:
C =2 R Hoặc C =d Trong đó: C : độ dài đường trịn R: bán kính đường trịn d: đường kính đường trịn
3,1415
số vô tỉ. b) Độ dài cung tròn
Độ dài cung tròn n0 là:
180
R n l
Trong đó: l : độ dài cung trịn n0
R: bán kính đường trịn n: số đo độ góc tâm
c) Diện tích hình trịn
2
S R
Trong đó:
S : diện tích hình trịn R : bán kính hình trịn , 14
d) Diện tích hình quạt trịn
2 quat
R S =
360 n
Hoặc
quat
R S
Trong đó:
S diện tích hình quạt trịn cung n0
R bán kính
l độ dài cung n0 hình quạt trịn
(31)PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Môn : Đại Số - THCS -
-I - Các loại phương trình 1 Phương trình bậc nhất
- Phương trình bậc phương trình có dạng ax + b = (a0) - Phương trình có nghiệm x =
b a
- Chú ý: Nếu phương trình chứa tham số ta chuyển dạng Ax = B xét trường hợp sau:
Nếu A 0 phương trình có nghiệm x = B A
Nếu A = , B 0 phương trình trở thành 0.x = B => phương trình vô nghiệm
Nếu A = 0, B = phương trình vơ số nghiệm 2 Phương trình tích
- Phương trình tích có dạng A(x).B(x) = 0
- Cách giải: A(x).B(x) = A(x) = B(x) = 0 - Trình bày gọn : A(x).B(x) =
A( x ) B( x )
- Mở rộng: A(x).B(x).C(x) =
A ( x ) B( x ) C( x )
3 Phương trình chứa ẩn mẫu
- Giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thực theo bước: Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình
(32)- Định nghĩa:
A nÕu A A
A nÕu A <
- Các dạng phương trình f ( x ) 0 f ( x ) 0
f ( x ) k( k 0 ) f ( x )k
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Hay f ( x ) g( x ) f ( x )2 g( x )2, đưa phương trình tích
f ( x ) g( x )
f ( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) f ( x ) g( x )
g( x ) f ( x ) g( x )
g( x ) f ( x ) g( x )
Hoặc
g( x )
f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )
Hoặc
2
g( x )
f ( x ) g( x ) - Chú ý: A2 A2; A A A B A B A B
5 Phương trình vơ tỉ
2
f ( x ) A( A ) f ( x ) A (với f(x) đa thức)
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
f ( x ) f ( x ) g( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
*)Lưu ý: Hầu hết giải phương trình chứa ẩn căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa phương trình điều kiện tương đương Nếu khơng thử lại trực tiếp.
6 Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương phương trình có dạng:
4
(33) Đặt x2 = t (t0), phương trình trùng phương trở thành phương trình bậc hai ẩn t :
at bt c 0 (*)
Giải phương trình (*), lấy giá trị thích hợp thỏa mãn t0 Thay vào đặt x2 = t tìm x = ?
7 Phương trình bậc cao
a) Phương trình bậc ba dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Hướng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm ngun nghiệm ước của hạng tử tự d) dùng sơ đồ Hooc- ne dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên phương trình, biết nghiệm dễ dàng phân tích VT dạng tích giải phương trình tích (hoặc chia đa thức)
b) Phương trình bậc bốn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Hướng dẫn: Phương pháp tương tự phương trình bậc ba trên.
c) Phương trình bậc bốn dạng:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (với d =
2 c a
). Phương pháp:
Với x = 0, thay vào phương trình kiểm tra xem x = có nghiệm hay không ?
Với x 0 Chia hai vế cho x2, sau ta đặt t = x +
c ax
d) Phương trình bậc dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (với a + b = c + d = m) Phương pháp: Đặt t = x2 + mx +
ab cd
e) Phương trình bậc bốn dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (với ab = cd = k)
Phương pháp:
Chia hai vế cho x2 Đặt t = x +
(34)2) Cách giải: ax + b > ax > - b Nếu a >
b x
a
Nếu a <
b x
a
3) Kiến thức có liên quan:
Hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm và dùng kí hiệu để tương đương đó
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử (là số đa thức) từ vế sang vế kia bất phương trình ta phải đổi dấu hạng tử ta xóa hai hạng tử giống hai vế
Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT số dương; đổi chiều BPT số âm
4) Tính chất bất đẳng thức
- Với số thực a, b, c ta có : a > b a + c > b + c
- Với số thực a, b, c, d ta có : a > b, b > c a > c (t/c bắc cầu) a > b, c > d a + c > b + d
a > b > 0, c > d > ac > b - Với số thực a, b, c,
+ Nếu c > a > b ac > bc + Nếu c < a > b ac < bc
- Với a, b hai số thực : a > b a3 b3 a > b a3 b3
- Nếu a 0,b 0 a > b a b a > b a2 b2
- Giá trị tuyệt đối biểu thức A A, nÕu A
A
A, nÕu A <
Ta có: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, A2 A
- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b hai số thực khơng âm, ta có:
a b ab
(35)III – Các dạng tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, bậc hai, bậc ba.
1 Dạng : Rút gọn tính giá trị biểu thức hữu tỉ
- Khi thực rút gọn biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ tự thực các phép toán : Nhân chia trước, cộng trừ sau Cịn biểu thức có dấu ngoặc thực hiện theo thứ tự ngoặc trịn, ngoặc vng, ngoặc nhọn.
- Với tốn tìm giá trị phân thức phải tìm điều kiện biến để phân thức xác định (mẫu thức phải khác 0)
2 Dạng : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa - Biểu thức có dạng
A
B xác định (có nghĩa) B 0 - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) A 0
- Biểu thức có dạng A
B xác định (có nghĩa) B > 0 - Biểu thức có dạng
B A
C
xác định (có nghĩa)
A
C
- Biểu thức có dạng
B A
C
xác định (có nghĩa)
A
C
3 Dạng : Rút gọn biểu thức chứa bậc hai, bậc ba
LÍ THUYẾT CHUNG:
a) Các cơng thức biến đổi thức 1) A2 A
2) AB A B ( víi A0 vµ B 0)
3)
A
A (víi A 0 vµ B > 0)
B B
(36)7)
A B
A (víi B > 0) B
B
8)
2
C A B
C (víi A 0 vµ A B )
A B A B
9)
C A B
C (víi A 0 , B 0 vµ A B)
A B
A B
*) Lưu ý:
Để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ta làm sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- Đưa bớt thừa số ngồi dấu (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có)
- Thực phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo thứ tự biết để làm xuất hiện thức đồng dạng
- Cộng, trừ biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng) b) Các đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2
( a b) a a b b ( ,a b0)
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
2
( a b) a a b b ( ,a b0) 3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)
( ).( ) ( , 0)
a b a b a b a b 4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6) a3 b3 (a b)(a2 ab b )
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7) a3 b3 (a b)(a2ab b )
a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(37)PHÂN DẠNG BÀI TẬP CHI TIẾT
Dạng 3.1 : Tính – Rút gọn biểu thức khơng có điều kiện Dạng 3.2 : Rút gọn biểu thức có điều kiện
Dạng 3.3 : Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Dạng 3.4 : Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức
Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên Dạng 3.6 : Tìm giá trị biến biết dấu biểu thức
Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau rút gọn Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp
IV – Các dạng toán hàm số
LÍ THUYẾT CHUNG
1) Khái niệm hàm số (khái niệm chung).
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta luôn xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x và x gọi biến số.
*) Ví dụ: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + ; *) Chú ý:
Khi đại lượng x thay đổi mà y ln nhận giá trị khơng đổi y gọi hàm hằng. *) Ví dụ: Các hàm y = 2; y = - 4; y = 7; .
2) Các cách thường dùng cho hàm số
a) Hàm số cho bảng.
b) Hàm số cho công thức.
(38)-Hàm số bậc hai: Là hàm số có công thức y = ax + bx + c (trong x biến, a,b,c, a 0 ). Chú ý: Nếu c = hàm bậc hai có dạng y = ax2 + bx (a 0)
Nếu b = c = hàm bậc hai có dạng y = ax2 (a 0)
3) Khái niệm hàm đồng biến hàm nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định với x Với x1, x2 thuộc R
a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) gọi hàm đồng biến.
Nếu x1 x mµ f(x ) < f(x )2 hàm số y = f(x) đồng biến R
b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) giảm hàm số y = f(x) được gọi hàm nghịch biến.
Nếu x1 x mµ f(x ) > f(x )2 hàm số y = f(x) nghịch biến /R 4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến hàm nghịch biến. a) Hàm số bậc y = ax + b (a 0 ).
- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến . - Nếu a < hàm số y = ax + b ln nghịch biến .
b) Hàm bậc hai ẩn số y = ax2 (a 0 ) nhận biết đồng biến nghịch biến
theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < 0. - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0. 5) Khái niệm đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hàm hằng.
Đồ thị hàm y = m (trong x là biến, m ) đường thẳng luôn song song với trục Ox.
Đồ thị hàm x = m (trong y là biến, m ) đường thẳng luôn song song
(39)b) Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đường thẳng (hình ảnh tập hợp điểm) đi
qua gốc toạ độ.
*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau đó vẽ đường thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) A(1 ; a) ta đồ thị hàm số y = ax (a 0)
c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0) đường thẳng (hình ảnh tập hợp điểm) cắt
trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm (
b a , 0).
*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn sau: Cho x = => y = a + b, ta A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta A(-1 ; - a + b)
Vẽ đường thẳng qua hai điểm A B ta đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)
(40)- Đồ thị phía trục hoành a > 0. - Đồ thị phía trục hồnh a < 0.
6) Vị trí tương đối hai đường thẳng
*) Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) y = a’x + b’ (a'0)
+ Trùng a = a’, b = b’.
+ Song song với a = a’, bb’. + Cắt a a’.
+ Vng góc a.a’ = -1
*) Hai đường thẳng ax + by = c a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0) +
Trùng
a b c
a ' b ' c ' +
Song song với
a b c
a ' b ' c ' +
Cắt
a b
a ' b '
7) Góc tạo đường thẳng y = ax + b (a 0 ) trục Ox Giả sử đường thẳng y = ax + b (a 0 ) cắt trục Ox điểm A.
Góc tạo đường thẳng y = ax + b (a 0 ) góc tạo tia Ax tia AT (với T là một điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương).
-Nếu a > góc tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox tính theo cơng thức sau: tg a (cần chứng minh dùng).
Nếu a < góc tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox tính theo cơng thức sau:
1800 với tg a (cần chứng minh dùng).
Page | 40
O x
y
a <
T
y
(a > 0)
T
y
(a < 0)
(41)PHÂN DẠNG BÀI TẬP CHI TIẾT
Dạng 1: Nhận biết hàm số
Dạng 2: Tính giá trị hàm số, biến số.
Dạng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. a) Hàm số bậc y = ax + b (a 0 ).
- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến . - Nếu a < hàm số y = ax + b nghịch biến .
b) Hàm bậc hai ẩn số y = ax2 (a 0 ) nhận biết đồng biến nghịch
biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < 0. - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0. Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị: a) Hàm hằng.
Đồ thị hàm y = m (trong đó x biến, m ) đường thẳng luôn song song với trục Ox.
Đồ thị hàm x = m (trong y là biến, m ) đường thẳng luôn song song
(42)b) Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đường thẳng (hình ảnh tập hợp điểm)
luôn qua gốc toạ độ.
*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O (0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đường thẳng qua hai điểm O (0 ; 0) A(1 ; a) ta được đồ thị hàm số y = ax (a0)
c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0) đường thẳng (hình ảnh tập hợp các
điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm (
b a ; 0).
*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn như sau:
(43)Cho x = -1 => y = - a + b, ta A(-1 ; - a + b)
Vẽ đường thẳng qua hai điểm A B ta đồ thị hàm số y = ax + b (
a,b 0)
+) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta M(0 ; b) Oy
Cho y = => x = b a
, ta N( b a
; 0) Ox
Vẽ đường thẳng qua hai điểm M N ta đồ thị hàm số y = ax + b (
a,b 0)
d) Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đường cong Parabol có đỉnh O(0;0).
Nhận trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị phía trục hoành a > 0. - Đồ thị phía trục hồnh a < 0.
Dạng 5: Điểm thuộc không thuộc đồ thị hàm số. *) Điểm thuộc đường thẳng
- Điểm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a0) yA = axA + b
- Điểm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a0) yB= axB + b
*) Điểm thuộc Parabol : Cho (P) y = ax2 (a 0)
- Điểm A(x0; y0) (P) y0 = ax02
- Điểm B(x1; y1) (P) y1 ax12
Dạng 6: Xác định hàm số
Dạng 7: Xác định điểm cố định hàm số *) Phương pháp:
Để tìm điểm cố định mà đường thẳng y = ax + b (a 0; a,b có chứa tham số) đi
O x
y
a < O
x y
(44) Bước 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số y0 = ax0 + b, ta biến đổi dạng <=>
0 0
A( x ,y ).m B( x ,y ) 0 , đẳng thức với giá trị tham số m hay phương trình có vô số nghiệm m
Bước 3: Đặt điều kiện để phương trình có vơ số nghiệm
(A( x ,y ).m B( x ,y ) 00 0 , có vơ số nghiệm
0 0
A(x ,y )
B(x ,y ) 0)
Dạng 8: Tìm giao điểm hai đồ thị 8.1: Tìm giao điểm hai đường thẳng.
Giao điểm hai đường thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
Là nghiệm hệ phương trình
1 2
y a x b
y a x b
8.2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đường thẳng. Cho (P) : y = ax2 (a 0) (d) : y = mx + n.
Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n Giải phương trình tìm x
Thay giá trị x vừa tìm vào hàm số y = ax2 y = mx + n ta tìm y + Giá trị x tìm hồnh độ giao điểm
+ Giá trị y tìm tung độ giao điểm 8.3: Tìm số giao điểm đường thẳng Parabol.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) (d) : y = mx + n.
Xét phương trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n (*)
+ Phương trình (*) vơ nghiệm ( < 0) (d) (P) khơng có điểm chung
+ Phương trình (*) có nghiệm kép (= 0) (d) tiếp xúc với (P). + Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( > ac < 0)
(d) cắt (P) hai điểm phân biệt.
8.4: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đường thẳng. 8.5: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đường thẳng.
8.6: Tìm giá trị tham số biết số giao điểm Parabol đường thẳng. Cho (d) : y = ax + b (P): y = a’x2 (a’0)(a’, a, b có chứa tham số)
Xét phương trình hồnh độ giao điểm a’x2 = ax + b (*)
+ (d) (P) khơng có điểm chung
Phương trình (*) vơ nghiệm ( < 0)
(45)Nghiệm kép hoành độ điểm tiếp xúc
+ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt ( > ac < 0) Hai nghiệm hồnh độ hai giao điểm
8.7: Tìm giá trị tham số biết toạ độ giao điểm Parabol đường thẳng. Cho (d): y = ax + b (P): y = a’x2 (a’0)
(a’, a, b có chứa tham số)
Tìm giá trị tham số để (d) (P) cắt A(xA; yA)
Cách làm: Thay tọa độ A vào hàm số (d); (P) để tìm giá trị tham số Dang 9: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
9.1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
A(xA; yA) B(xB; yB) xA xB yA yB.
Phương pháp:
Gọi phương trình đường thẳng (d) cần lập qua A B có dạng y = ax + b (a 0)
Do A(d) thay x = xA; y = yA vào y = ax + b ta có yA = axA + b (1)
Do B(d) thay x = xB; y = yB vào y = ax + b ta có yB = axB + b (2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:
A A
B B
y ax b
y ax b
Giải hệ phương trình tìm a, b suy phương trình đường thẳng (d) cần lập
9.2: Lập phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0) có hệ số góc k.
Bước 1: Phương trình đường thẳng có hệ số góc k có dạng y = kx + b
Bước 2: Đường thẳng qua M(x0 ; y0) y0 kx0 b
=> b y kx0
Bước 3: Phương trình đường thẳng cần tìm y = kx y kx0 9.3: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
(46)A(xA; n) B(xB; n) xA xB.
Phương pháp:
Do A(xA; n) (d): y = n;
Do B(xB; n) (d) : y = n;
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là: (d): y = n
9.5: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(xA ; yA) tiếp xúc với đường cong
2
y ax ( a0 )
Bước 1: Giả sử phương trình cần lập y = a’x + b’ Bước 2: Đường thẳng tiếp xúc với đường cong
2
y ax (a0)
khi phương trình hồnh độ giao điểm ax2 a 'xb' có nghiệm kép Ta cho 0, tìm hệ thức a’ b’ (1)
Bước 3: Đường thẳng qua A(xA ; yA) => yA a'xA b' (2)
Bước 4: Từ (1) (2) ta có hệ phương trình hai ẩn a’ b’ Giải hệ tìm a’ b’ => phương trình cần lập
9.6: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong
2
y ax ( a0 )
Bước 1: Phương trình đường thẳng cần tìm giả sử y = ax + b Vì đường thẳng có hệ số góc k nên a = k => y = kx + b
Bước 2: Đường thẳng y = kx + b tiếp xúc với đường cong
2
y ax ( a0 ) <=> phương trình hồnh độ giao điểm
2
kxb ax ax kx b 0 có nghiệm kép
Cho 0( ' ) => b = ? Bước 3: Trả lời
Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng
10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
Bước 2: Chứng minh điểm lại thuộc đường thẳng vừa lập 10.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng.
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm có toạ độ đơn giản Bước 2: Thay toạ độ điểm cịn lại vào phương trình đường thẳng vừa lập Giải
phương trình tìm tham số Dạng 11: Ba đường thẳng đồng qui
11.1: Chứng minh ba đường thẳng đồng qui. Bước 1: Tìm giao điểm hai đường thẳng
(47) Bước 1: Tìm giao điểm hai đường thẳng đơn giản
Bước 2: Thay toạ độ giao điểm vào phương trình đường thẳng cịn lại Giải phương trình tìm tham số
Dạng 12: Vị trí tương đối hai đồ thị hai hàm số 12.1: Vị trí tương đối hai đồ thị hai hàm số bậc nhất
Cho hai đường thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) cắt (d2) a1 a2
+) (d1) // (d2) a1 = a2
+) (d1) (d2) a1 = a2 b1 = b2
+) (d1) (d2) a1.a2 = -1 (phải chứng minh dùng)
12.2: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt điểm trục tung. Cho (d1): y = a1x + b1và (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục tung
1 2
a a (1)
b b (2)
Giải (1)
Giải (2) chọn giá trị thoả mãn (1)
12.3: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt điểm trục hoành. Cho (d1): y = a1x + b1 (d2): y = a2x + b2
Để (d1) cắt (d2) điểm trục hồnh
1
1
1
a a (1)
b b
(2)
a a
Lưu ý: Chỉ nên áp dụng hai phương trình chứa tham số.
Dạng 13: Xác định giá trị tham số m để đường thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích c
Bước 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a0, b0 => điều kiện m
Bước 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B giao điểm đồ thị với trục tung trục hoành
b ;0
(48)Dạng 14: Xác định giá trị tham số m để đường thẳng
y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác cân Cách 1:
Bước 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a0, b0
=> điều kiện m
Bước 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B giao điểm đồ thị với trục tung trục hoành
A(0 ; b) B( ab ;0
)
Bước 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=>
b b a (*)
Giải phương trình (*) ta tìm giá trị m (kiểm tra điều kiện bước1) Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = x song song với đường thẳng y = - x Dạng 15: Xác định giá trị tham số để giao điểm hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ nằm góc phần tư hệ trục tọa độ.
Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) hai đường thẳng, nghiệm hệ phương trình:
ax by c a ' x b' y c '
Bước 2:
+) Nếu A nằm góc phần tư thứ I điều kiện là:
x y
+) Nếu A nằm góc phần tư thứ II điều kiện là:
x y
+) Nếu A nằm góc phần tư thứ III điều kiện là:
x y
+) Nếu A nằm góc phần tư thứ IV điều kiện là:
x y Bước 3: Tìm m = ?
Dạng 16:
Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B đa thức 0 Bước 1: Đa thức f(x) = Ax + B đa thức <=>
(49)LÍ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa:
Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát là:
ax by c (I)
a' x b ' y c ' (trong a, b, c, a’ , b’, c’ chứa tham số) 2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm
- Nghiệm (x0 ; y0) hệ (I) nghiệm chung hai phương trình hệ
- Nếu hai phương trình hệ khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm
- Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm (tìm tập nghiệm) nó. *) Điều kiện để hệ hai phương trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.
ax by c a' x b' y c '
(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm
a b c
a' b' c '
+ Hệ vô nghiệm
a b c
a' b' c '
+ Hệ có nghiệm
a b
a' b'
+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm vô số nghiệm ab’– a’b = 0
3. Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn
ax by c a' x b' y c '
a) Phương pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số
(50)của hệ cho *) Tổng quát:
+ Nếu có
ax by c ax b' y c '
(b b')y c c ' ax b ' y c '
+ Nếu có
ax by c ax b ' y c '
(b b')y c c ' ax b ' y c '
+ Nếu có
ax by c k.ax b' y c '
k.ax kby kc k.ax b ' y c '
(kb b ')y k.c c ' ax by c
b) Phương pháp thế.
*) Cách giải hệ phương trình phương pháp thế
Bước 1: Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để được một hệ phương trình mới, có phương trình ẩn
Bước 2: Giải phương trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ đã cho
*) Tổng quát:
ax by c a' x b' y c '
a c y x b b
a' x b ' y c ' a c y x b b a c
a ' x b ' x c '
b b
c) Phương pháp đồ thị
- Vẽ hai đường thẳng biểu diễn hai tập nghiệm hai phương trình trong hệ
- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tương đối hai dường thẳng
+) Nếu hai đường thẳng cắt hệ có nghiệm nhất, dựa vào đồ thị đốn nhận nghiệm đó, sau thử lại kết luận nghiệm hệ +) Nếu hai đường thẳng song song hệ vơ nghiệm
+) Nếu hai đường thẳng trùng hệ có vơ số nghiệm
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trước áp dụng phương pháp giải hệ: (áp dụng cho hệ phương trình chứa ẩn mẫu, dấu bậc hai.)
PHÂN DẠNG BÀI TẬP CHI TIẾT
Dạng 1: Giải hệ phương trình khơng chứa tham số
Dạng 2: Giải hệ phương trình biết giá trị tham số Phương pháp:
(51) Bước 2: Giải hệ phương trình khơng chứa tham số vừa thu Dạng 3: Giải biện luận hệ phương trình theo tham số
- Dùng phương pháp cộng để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m), làm xuất phương trình có dạng :
Ax = B (1) (hoặc Ay = B) Nếu A = phương trình (1) có dạng 0x = B +) Khi B = phương trình (1) có dạng 0x =
phương trình có vơ số nghiệm
hệ phương trình có vơ số nghiệm +) Khi B 0 phương trình (1) vơ nghiệm
hệ phương trình vơ nghiệm
Nếu A phương trình (1) có nghiệm
B A
hệ phương trình có nghiệm
B x
A y y( m )
Dạng 4: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm.
*) Điều kiện để hệ hai phương trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.
ax by c a' x b ' y c '
(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0) + Hệ có vơ số nghiệm
a b c
a' b' c '
+ Hệ vô nghiệm
a b c
a' b' c '
+ Hệ có nghiệm
a b
a ' b '
(52)Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm 0 x x y y Cách 1:
Thay x = x0; y = y0 vào (1) giải
Thay x = x0; y = y0 vào (2) giải
Cách 2:
Thay x = x0; y = y0 vào hai phương trình giải hệ phương trình chứa ẩn tham số
6.2: Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình. Cho hệ phương trình:
ax by c a x b y c
có nghiệm
0 x x y y
Bước 1: Thay x = x0; y = y0 vào hai phương trình hệ phương trình ta
0
0
ax by c
a x b y c
Bước 2: Giải hệ phương trình chứa ẩn tham số
Dạng 7: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y. Cho hệ phương trình :
ax by c (1) a x b y c (2)
(I)
Có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3)
Bước 1: Trước hết cần tìm điều kiện tham số để hệ (I) có nghiệm
Bước 2: Do (x; y) nghiệm hệ (I) thoả mãn (3) (x; y) nghiệm (1), (2), (3) Kết hợp phương trình đơn giản để hệ phương trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phương trình cịn lại
Bước 3: Giải phương trình chứa ẩn tham số
Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x0 ; y0) là
những số nguyên
Bước 1: Tìm điều kiện tham số m để hệ có nghiệm Bước 2: Phân tích x0 ; y0 dạng
0 b
x a víi a, b Z A (m )
0 d
y c víi c, d Z B( m )
(53)0
b
x Z Z A(m ) ¦ ( b)
A( m ) m ?
d
y Z Z B( m ) ¦ (d )
B( m )
*) Đặc biệt :
0 b
x a víi a, b Z A (m )
0 d
y c víi c, d Z A( m )
=> x ,y0 Z A(m) ¦ C( b,d ) m?
Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cách 1:
Bước 1: Trước hết tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm
Bước 2: Biến đổi biểu thức liên hệ x y là: P(x,y) = kA2(x) + d (d số).
k < kA2(x) kA2(x) + d d P(x,y) d Giá trị lớn P(x,y) d đạt A(x) =
k > kA2(x) kA2(x) + d d P(x,y) d Giá trị nhỏ P(x,y) d đạt A(x) = Cách 2: P(x,y) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – P(x,y) = 0
Bước 1: Tính '.
Bước 2: Đặt điều kiện (' 0)
Giải bất phương trình chứa ẩn P(x,y).
P(x,y) e Giá trị nhỏ P(x,y) e đạt ='=
b x
2a
=
b ' a
P(x,y) e Giá trị lớn P(x,y) e đạt ='=
b x
2a
=
b ' a
Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số Phương pháp:
(54) Bước 2: Thay m = A(x,y) vào phương trình thứ hai hệ ta hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham
số m
*) Cách 2: Sử dụng hệ phương trình có tham số m dạng bậc Bước 1: Từ hệ phương trình
ax by c m A( x, y ) a ' x b' y c ' m B( x, y )
Bước 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m
Lưu ý: Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phương trình tương đương
- Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại)
Dạng 12: Giải hệ phương trình theo phương pháp đặt ẩn phụ và
giải số hệ phương trình khơng dạng hệ hai phương trình bậc hai ẩn (hệ đặc biệt)
VI – Phương trình bậc hai ẩn
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ
I. Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn (nói gọn phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 bxc 0 (a 0 )
(55)II. Phân loại.
1. Phương trình khuyết c: ax2 + bx = (a 0)
Phương pháp giải: ax2 + bx = (a, b 0)
x(ax + b) = 0
x
b x
a
Phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 =
b a
2. Phương trình khuyết b: ax2 + c = (a, c 0)
Phương pháp giải: ax2 + c = (a 0)
2 c
x
a
+)
+)
Nếu
c a
< Phương trình vơ nghiệm.
Nếu
c a
> Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
c x
a ;
2
c x
a
3. Phương trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = (a , b, c 0)
*) Công thức nghiệm: = b2 - 4ac
+) < Phương trình vô nghiệm
+) > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
b
2a ; x2 =
b
2a
+) = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
b 2a
(56)1
' ' ' '
; x
b b
x
a a
+ Nếu ’ = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
'
b a + Nếu ’ < phương trình vơ nghiệm
PHẦN II – CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Dạng 1: Giải phương trình biết giá trị tham số
Thay giá trị tham số vào phương trình giải phương trình Dạng 2: Giải biện phương trình theo tham số
Tổng quát:
Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc bx + c = + Nếu b phương trình có nghiệm x =
c b
+ Nếu b = c phương trình vơ nghiệm. + Nếu b = c = phương trình có vơ số nghiệm
Với a 0 phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số: = b2– 4ac ( hay ’ = b’2 – ac)
+ Nếu < (’ < 0) phương trình vơ nghiệm. + Nếu = (’ = 0) phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = -
b 2a =
' b
a
+ Nếu > (’ > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
b b' '
2a a ; x2 =
b b' '
2a a
Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm - Xét hai trường hợp hệ số a:
Trường hợp 1: a = 0, ta tìm vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phương trình kết luận với giá trị m phương trình có nghiệm Trường hợp 2: a ≠ 0, phương trình bậc hai ẩn có nghiệm 0 ' 0
(57)
0
0( ' )
a
Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm kép Phương trình bậc hai ẩn có nghiệm kép
0
0( ' )
a
Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phương trình vơ nghiệm - Xét hai trường hợp hệ số a:
Trường hợp 1: a = 0, ta tìm vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phương trình kết luận với giá trị m phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: a ≠ 0, phương trình bậc hai ẩn vô nghiệm
0 ' 0
Dạng 7: Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Để chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt: Cách 1: Chứng minh:
0
a ac
Cách 2: Chứng minh:
a 0
Chú ý: Cho tam thức bậc hai = am2 bmc
Để chứng minh 0, m ta cần chứng minh
2 m
a
b 4ac
Dạng 8: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm dấu, trái dấu, có hai nghiệm dương, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dương phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch đảo của nhau
Cho phương trình ax2 bx c 0 ; a, b, c chứa tham số
b S x x
(58)a) Phương trình có hai nghiệm dấu 0 a P
hoặc
0 0 a ac
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
0 a P
0 a ac
c) Phương trình có hai nghiệm dương
0 0 a P S
d) Phương trình có hai nghiệm âm
0 0 a P S
e) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
0 0 a P S
f) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
0 0 a P S g) Phương trình có hai nghiệm hai số đối
0
0
a
b S x x
(59)h) Phương trình có nghiệm hai số nghịch đảo
0
1
a
c P x x
a
Dạng 9: Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính x1 + x1 =
b
a x1.x1 = c a
Bước 3: Biểu thị biểu thức theo x1 + x1 x1.x1 ; sau thay giá trị x1 +
x1 x1.x1 vào để tính giá trị biểu thức
Chú ý:
2 2
a b (a b) 2ab
3 3
a b (a b) 3ab(a b)
(a b) (a b) 4ab
( a b) (a b) a.b (a,b 0)
4 2 2
a b (a b ) 2a b
3
a b a a b b
( a b)(a ab b) (a,b 0)
Dạng 10: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một
trong điều kiện sau:
a) x1 x2 b)
1 n
x x c) x12 x22 k d) x13 x23 t,
(60)
Bước 2: Theo hệ thức Vi – ét, ta có:
1
1
b S x x
a c P x x
a
Bước 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có bước vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phương trình bất phương trình với biến tham số để tìm giá trị tham số Tiếp theo kiểm tra xem giá trị tham số tìm có thỏa mãn hệ điều kiện bước hay khơng ?
Hoặc có toán ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi - ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phương trình với hai ẩn x1, x2); sau ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét cịn lại để tìm tham số
Dạng 11: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm cịn lại
Bước 1: Thay x = x1 vào phương trình, ta có:
2
1 ?
ax bx c m
Bước 2: Để tìm nghiệm cịn lại x2 ta thực theo hai cách:
Cách 1: Thay giá trị m vào phương trình ban đầu Từ có phương trình bậc hai giải phương trình ta tìm x2
Cách 2: Tính x2 nhờ định lí Vi - ét: x2 S x1 hc x = P : x2
Dạng 12: Tìm phương trình bậc hai biết trước hai nghiệm số
Trường hợp 1: Cho nghiệm x1, x2 Ta có phương trình với ẩn x :
1 2 1 2 1 2
(x x ) x x x (x x )x x x
Trường hợp 2: Không có x1, x2 riêng
Bước 1: Tìm S = x1 x2 P = x x1
Bước 2: Phương trình với ẩn x x2 Sx P 0 Phương trình có nghiệm S2 4P
Dạng 13: Lập phương trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phương trình cần lập với hai nghiệm phương trình cho trước.
Bước 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm phương trình
Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình cho
1 2
b c
x x , x x
a a
(61) Bước 3: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình cần lập x3 x4 thơng qua
mối liên hệ với x1 , x2
Bước 4: Lập phương trình
Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Cách 1:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2
Giải hệ điều kiện
0
a
Bước 2: Tính hệ thức Vi - ét:
1
1
b S x x
a c P x x
a
Bước 3: Khử tham số hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phương trình
Cách 2:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2
Giải hệ điều kiện
0
a
Bước 2: Giải phương trình tìm x1, x2
Bước 3: Tìm hệ thức (khử tham số)
Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tam thức bậc hai
2
y ax bxc ( a 0 )
Cách 1:
Biến đổi y = kA2(x) + m (m số).
k < kA2(x) kA2(x) + m m y m Giá trị lớn y m đạt A(x) =
(62) y m Giá trị nhỏ y m đạt ='=
b x 2a = b ' a
y m Giá trị lớn y m đạt ='=
b x 2a = b ' a
Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ hai nghiệm Bước 1: Kiểm tra có nghiệm phương trình
Bước 2: Tính 2
b c
x x , x x
a a
Bước 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x1; x2) dạng có chứa x1+
x2 x1.x2
Bước 4: Thay x1 + x2 x1.x2 vào biểu thức A Khi A trở thành tam thức bậc hai
ẩn tham số
Bước 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp
Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm x ,x1
Bước 2: Tính hệ thức Vi- ét:
2 b x x a c x x a
Bước 3: Tính giá trị biểu thức theo x1+ x2 x1.x2 ; thấy kết số
=> Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Dạng 18: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phương trình thỏa mãn bất đẳng thức cho.
Dạng 19: Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số u v thoả mãn
u v S
u.v P (S2 4P) Thì u v nghiệm phương
trình x2 - Sx + P = 0 (*)
- Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x , x1 Do x, y có vai trị nên có
hai cặp số thỏa mãn
1 u x v x
(63)- Nếu phương trình (*) có nghiệp kép x1 x2 a u = v = a
- Nếu phương trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm cặp giá trị (u, v) thỏa mãn yêu cầu đề
Dạng 20: Tìm giá trị tham số để hai phương trình bậc hai ẩn có nghiệm chung Cho hai phương trình ax2 bx c (a 0 ) vµ a ' x2 b ' xc '0 (a '0 )
Trong a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số m *) Cách 1:
Hai phương trình có nghiệm chung hệ phương trình:
2
ax bx c (a ) a ' x b' x c ' (a ' )
có nghiệm
Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta có phương trình dạng: A(m).x = B(m)
+) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phương trình giải hai phương trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m
đó hai phương trình có nghiệm chung hay khơng ? +) Nếu A ( m )0 x =
B(m )
A(m ) (chứa tham số) Thay vào hai phương trình ta
rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phương trình giải hai phương trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phương trình có nghiệm chung hay không ?
+) Nếu A ( m )0 x =
B(m )
A(m ) (không chứa tham số), kết luận nghiệm
(64)2
ax bx c m = A(x)
2
a ' x b' xc '0 m = B(x)
Ta có: A(x) = B(x) Giải phương trình ta nghiệm chung hai phương trình, sau thay nghiệm chung vào hai phương trình ta tìm giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra
Cách 3: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản
Từ hai phương trình ta rút m theo x vào phương trình kia, phương trình ẩn x; từ phương trình ta tìm nghiệm chung, sau tìm m = ?
Dạng 21: Chứng minh hai phương trình bậc hai ẩn có phương trình có nghiệm
Cho hai phương trình ax2 bx c (a 0 ) vµ a ' x2 b ' xc '0 (a '0 ) Trong a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số
Chứng minh hai phương trình có nghiệm Phương pháp:
Cách 1: Gọi 1, 2 biệt thức hai phương trình Ta cần chứng minh +) 1 1 0 2 0 1, 0
+) 1 1 0 2 0
Vậy hai phương trình có nghiệm Cách 2: Chứng minh phản chứng
Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Khi 1 0, 2
Ta lập luận dẫn đến điều vô lí => phải có hai biệt thức khơng âm Vậy có hai phương trình có nghiệm
Dạng 22: Tìm giá trị tham số để hai phương trình tương đương
- Lí thuyết chung: Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm
*) Dạng 22.1: Hai phương trình bậc
Tìm nghiệm hai phương trình theo tham số cho hai nghiệm nhau, từ tìm giá trị tham số để hai phương trình tương đương
*) Dạng 22.2: Hai phương trình bậc hai ẩn Xét hai trường hợp
(65)Trước hết tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phương trình tìm tập nghiệm chúng Nếu tập nghiệm hai phương trình tương đương => giá trị tham số
Trường hợp 2: Hai phương trình vơ nghiệm 0
Giá trị của tham số
Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phương trình có hai nghiệm ( 1 hc 2 0)
Hai phương trình tương đương hai nghiệm phương
trình hai nghiệm phương trình kia, ta áp dụng vi - ét cho hai phương trình tìm tham số
Cụ thể ta có: 2
b b' c c '
x x ; x x m ?
a a ' a a '
Dạng 23: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình 23.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình. Cho phương trình ax2 + bx + c = (a0) có nghiệm x = x
1
Cách giải:
Bước1: Thay x = x1 vào phương trình ax12 + bx1 + c =
Bước 2: Giải phương trình có ẩn tham số
23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phương trình. Cho phương trình ax2 + bx + c = (1) (a0) có hai nghiệm x = x
1; x = x2
Cách 1:
Bước 1: Thay x = x1; x = x2 vào phương trình (1) ta có hệ phương trình:
1 2
ax bx c
ax bx c
Bước 2: Giải hệ phương trình có ẩn tham số Cách 2:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
Bước 2: Theo Vi - ét
(66)Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 bxc ( a0)
f(x) =
2
2
2
2
b c b b 4ac b
a( x x ) a x a x
a a 2a 4a 2a 4a
+) Nếu 0 2 b x 2a 4a
> Khi f(x) dấu với hệ số a, ta có trường hợp sau
f(x) > 0, x
a 0
f(x) < 0, x
a 0
f(x) ≥ 0, x
a 0
f(x) ≤ 0, x
a 0
+) Nếu
2
b f ( x ) a( x )
2a
=> f(x) dấu với hệ số a, trừ trường hợp x = b 2a
Khi x = b 2a
f(x) =
VII – Giải tốn cách lập phương trình, lập hệ phương trình.
LÍ THUYẾT CHUNG
1 Các bước giải tốn cách lập phương trình Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải phương trình
(67)thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận 2 Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho chúng;
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận
PHÂN DẠNG BÀI TẬP CHI TIẾT
Dạng 1: Toán chuyển động - Ba đại lượng: S, v, t
- Quan hệ: S = vt; t =
S
v; v = S
t (dùng công thức S = v.t từ tìm mối quan hệ giữa
S , v t)
- Chú ý tốn canơ :
Vxi dịng = Vthực + Vnước ; Vngược dịng = Vthực – Vnước
*) Tốn gặp cần ý đến tổng quãng đường thời gian bắt đầu khởi hành
*) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quãng đường đuổi kịp
Dạng 2: Toán quan hệ số
ab 10a b
abc 100a 10b c
(68)+ Công thức: Phần công việc =
1 Thêi gian + Số lượng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất:
+ Gồm ba đại lượng: Tổng sản phẩm ; suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất Thời gian;
=> Thời gian =
Tổng sản phẩm
Năng suất ; Nng sut =
Tỉng s¶n phÈm Thêi gian .
Dạng 4: Tốn diện tích