Chøng minh P x¸c ®Þnh.[r]
(1)Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán (đề số 3) năm học : 2008 - 2009
M«n : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài ( 3,0 điểm)
Cho số dơng: a; b x = ab
b2+1 XÐt biÓu thøc P =
√a+x+√a − x
√a+x −√a − x+
1 3b
1 Chứng minh P xác định Rút gọn P
2 Khi a b thay đổi, tìm giá trị nhỏ P Bài (3,0 im)
Tìm x; y; z thoả mÃn hệ sau: { x3−3x −2=2− y
y3−3y −2=4−2z
z3−3z −2
=63x Bài ( 3,0 điểm)
Vi mi số nguyên dơng n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =
3+√5
2 ; b =
3−√5
2
1 Chứng minh với n ≥ 1, ta có Sn + = (a + b)( an + + bn + 1) – ab(an + bn) Chứng minh với n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn số nguyên Chứng minh Sn – = [(√5+1
2 ) n
−(√5−1
2 ) n
]2 Tìm tất số n để Sn – số phơng
Bµi (5,0 ®iĨm)
Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B cho AE < BE Vẽ đ -ờng trịn (O1) đờng kính AE đờng trịn (O2) đờng kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đờng trịn trên, với M tiếp điểm thuộc (O1) N tiếp điểm thuộc (O2)
1. Gọi F giao điểm đờng thẳng AM BN Chứng minh đờng thẳng EF vng góc với đờng thẳng AB
2. Với AB = 18 cm AE = cm, vẽ đờng trịn (O) đờng kính AB Đờng thẳng MN cắt đờng tròn (O) C D, cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD
Bài 5: (4đ): Cho ABC đờng thẳng d cắt AB AC trung tuyến AM theo thứ tự Là E , F , N
a) Chøng minh : AB AE +
AC AF =
2 AM AN
b) Giả sử đờng thẳng d // BC Trên tia đối tia FB lấy điểm K, đờng thẳng KN cắt AB P đờng thẳng KM cắt AC Q
Chứng minh PQ//BC
Bài 6: (2 điểm)
Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng : 2a3
+2b3+2c3<3+a2b+b2c+c2a
-
HÕt -Đáp án tham khảo biểu điểm
Câu (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1 (2.0 ®iĨm)
Ta cã: a; b; x > ⇒ a + x > (1) XÐt a – x =
b −1¿2 ¿
a¿ ¿
(2) Ta có a + x > a – x ≥ ⇒ √a+x −√a − x ≠0 (3) Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định
Rót gän:
(2)Ta cã: a + x =
b+1¿2 ¿
a¿
a+ ab
b2+1=¿
⇒ √a+x=(b+1)√ a b2+1
a - x =
b −1¿2 ¿
a¿
a − ab b2+1=¿
⇒ √a − x=|b−1|√ a
b2+1
⇒ P =
(b+1)√ a b2
+1+|b−1|√ a b2
+1 (b+1)√ a
b2
+1−|b −1|√ a b2+1
+ 3b=
b+1+|b−1|
b+1−|b −1|+
1 3b
NÕu < b < ⇒ P = 2b+
1 3b=
4 3b
NÕu b ⇒ P = b+ 3b=
3b2+1 3b
2 (1.0 điểm)
Xét trờng hợp:
NÕu < b < 1, a d¬ng tuú ý th× P =
3b⇒ P
4
NÕu b , a d¬ng tuú ý th× P = b+ 3b=(
b
3+ 3b)+
2b
3 Ta cã: b
3+ 3b≥
2
3 , dấu xảy b = Mặt khác: 2b
3
3 , dấu xảy b = VËy P
3+ 3=
4
3 , dÊu b»ng x¶y b = KL: Giá trị nhá nhÊt cña P =
3
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
Biến đổi tơng đơng hệ ta có
x+1¿2=2− y ¿
y+1¿2=2(2− z) ¿
z+1¿2=3(2− x) ¿
(x −2)¿ ¿
Nhân vế phơng trình với ta đợc:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2)
z+1¿2+6
y+1¿2¿
x+1¿2¿ ¿ ¿
=
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = ⇔ x = hc y = hc z =
Với x = y = z = thay vào hệ ta có x = y = z = Vậy với x = y = z = thoả mãn hệ cho
(3)Câu (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1 (1,0 điểm)
Với n ≥1th× Sn + = an+2 + bn+2 (1) Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2) Từ (1); (2) ta có điều phải chøng minh
2 (1.0 ®iĨm)
Ta cã: S1 = 3; S2 =
Do a + b =3; ab =1 nªn theo ta cã: víi n ≥1 th× Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2 Z nªn S3 Z;do S2, S3 Z nªn S4 Z
Tiếp tục trình ta đợc S5; S6; ; S2008 Z 3. (1.0 điểm)
Ta cã Sn – = [(√5 +
1 2)
2
]n+[(√5 −
1 2)
2 ]n−2 = [(√5+1
2 ) n
]2+[(√5−1 )
n
]2−2[(√5+1 )(√
5−1 )]
n
= [(√5+1 )
n
−(√5−1
2 ) n
]2 đpcm Đặt a1 = 5+1
2 ; b1 = √ 5−1
2 ⇒ a1 + b1 = √5 ; a1b1 = XÐt Un= 1
n n
a b
Víi n ≥1 th× Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n) ⇒ Un+2 = √5 Un+1 – Un Ta cã U1 = Z;U2 = √5 Z; U3 = Z; U4 = √5 Z;
Tiếp tục trình ta đợc Un nguyên ⇔ n lẻ
Vậy Sn số phơng n = 2k+1 víi k Z vµ k ≤ 1003
0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 Câu (5,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1 (2,5 điểm) O1M; O2N MN ⇒ O1M/ / O2N Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B
Các tam giác O1ME; O2NB lần lợt cân O1 O2 nªn ta cã: ∠ MEO1= ∠ NBO2 (1) Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + ∠ MEO1= 900 (2)
⇒ ∠ MAE + ∠ NBO2 = 900 ⇒ ∠ AFB = 900
⇒ Tø gi¸c FMEN có góc vuông Tứ giác FMEN hình ch÷ nhËt
⇒ ∠ NME = ∠ FEM (3)
Do MN MO1 ⇒ ∠ MNE + ∠ EMO1 = 900 (4)
Do tam gi¸c O1ME cân O1 MEO1 = EMO1 (5)
Tõ (3); (4); (5) ta cã: ∠ FEM + ∠ MEO1= 900 hay ∠ FEO1 = 900 (®pcm)
2 (2,5 ®iĨm)
Ta cã EB = 12 cm ⇒ O1M = cm < O2N = cm
0,25 0.25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5
O1 E O O2
A B
C M
I
N
D
S
(4)MN cắt AB S với A nằm S B
Gọi I trung ®iÓm CD ⇒ CD OI ⇒ OI// O1M //O2N ⇒O1M
O2N =SO1
SO2 ⇒ SO2 = 2SO1 ⇒ SO1+O1O2 = 2SO1 ⇒ SO1= O1O2
Do O1O2 = + = cm ⇒ SO1= O1O2 = cm ⇒ SO =SO1 + O1O = 15cm MỈt kh¸c: OI
O1M=
SO
SO1 ⇒ OI = cm
Xét tam giác COI vuông I ta cã: CI2 + OI2= CO2 ⇒ CI2 + 25 = CO2 Ta cã: CO = cm ⇒ CI2 + 25 = 81 ⇒ CI =
√56 ⇒ CD = √14 cm
0,25 0,25
Câu (2,0 điểm)
Điểm
a)
KỴ BI,CS // EF (I , S∈AM) Ta cã: AB
AE= AI AN ,
AC AF =
AS AN ¿
⇒AB AE +
AC AF=
AI AN+
AS AN(∗) ¿
Ta cã: ΔBIM=ΔCSM (cgc) ⇒IM=MS
Vậy: AI+AS=AI+AI+IM+MS=2 AM Thay vào (*) ta đợc (đpcm)
1,0
0,5 Khi d// BCEF // BCN trung điểm EF
+Từ F kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP L
Ta có: ΔNFP=ΔNFL(cgc)⇒EP=LF Do :
EP PB=
LF PB=
KF
KB (1)
+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt KM H
Ta cã ΔBMH=ΔCMQ(cgc) ⇒BH¿=QC
¿
Do đó: FQ QC=
FQ BH=
KF KB(2) Tõ
(1)va(2) FP FQ PQ BC//
PB QC
(®pcm)
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 6: điểm)
Do a <1 ⇒ a2 <1 vµ b <1 Nªn
2 2
1 a 1 b 0 a b a b0
0,5
E
E
I
S M N
C B
A
K
P Q
F L
E N
M C
B
(5)Hay 1+a2b
>a2+b (1) Mặt khác <a,b <1 a2
>a3 ; b>b3 ⇒ 1+a2
>a3+b3 VËy a3
+b3<1+a2b T¬ng tù ta cã
b
+c3<1+b2c
a3+c3<1+c2a ⇒ 2a3+2b3+2c3<3+a2b+b2c+c2a