Đang tải... (xem toàn văn)
Dïng hµm sè.[r]
(1)Trờng thpt đề luyện thi đại học Số 2. bắc yên thành Môn Toán – Khối A Thời gian làm 180 phút Câu I (2 điểm)
Cho hµm sè
2
x (5m 2)x 2m 1
y
x 1
có đồ thị (Cm).
1) Kh¶o sát hàm số m =1.
2) Tỡm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị khoảng cách hai điểm cực trị bé
h¬n 2 5.
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phơng trình:
3
sin x.sin3x cos x.cos3x 1 8
tg x .tg x
6 3
2) Giải phơng tr×nh:
2
x x x x
4 12.2 8 0
C©u III. (2 điểm)
1) Tính tích phân:
2
x
1 sin x
I dx
1 cos x e
2) Từ chữ số 0, 1, 3, 4, 5, lập đợc số tự nhiên có chữ số khác thiết có mặt chữ số 2.
C©u IV. (3 ®iÓm)
1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng
(d1): 2x – y + =0 vµ (d2): x+2y–7=0
Lập phơng trình đờng thẳng qua gốc tọa độ tạo với (d1), (d2) tam giác cân có
đáy thuộc đờng thẳng Tính diện tích tam giác cân nhận đợc.
2) Tìm tọa độ trực tâm H ABC không gian Oxyz biết: A(3; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0;1).
Câu V. (1 điểm) Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn: x + y + z = Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc
2 2
S x y y z z x
Biên soạn đề: Ths Nguyễn Bá Thủy
Đáp án luyn thi s 2
Môn: Toán Khối A Thời gian làm 180 phút.
Câu ý Néi dung §iĨm
I I.1)
Víi m =1 ta cã hµm sè:
x 3x y
x
(2)Đồ thị:
Đồ thị: 0.25đ
I.2)
Ta cã:
2
x 2x 3m
y' ; y' f (x) x 2x 3m (x 1) (x 1)
Hàm số có CĐ, CT phơng trình y = có nghiệm phân biệt f(x) =0 có
nghiệm phân biệt khác
' 4
(1) (1)
m
m
f m
Đặt
x (5m 2)x 2m u y
x v
, ta có điểm CĐ CT đồ thị thuộc đờng
th¼ng
u '
y 2x 5m v'
(2)
Giả sử đồ thị hàm số có điểm CĐ A(x1; y1) CT B(x2; y2), theo ta có:
1 2
y 2x 5m 2; y 2x 5m 2 Từ đó:
2 2
1 2
AB 5(x x ) 5 (x x ) 4x x 80 60m
AB 5 AB 20 80 60m 20 m 1
KÕt hỵp víi ®iỊu kiƯn (1) ta cã
4 m
3
0.25 0.25
0.5
II II.1)
Giải phơng trình:
3
sin x.sin 3x cos x.cos3x tg x tg x
6
(1)
§iỊu kiƯn:
cos x 0;cos x 0, tg x 0, tg x
6
Với ĐK ta có:
tg x cot g x cot g x
3
tg x tg x
6
.
Nªn (1)
3
sin x.sin 3x cos x cos3x
1 (3sin x sin 3x).sin 3x (3cos x cos3x)
2
2
3 sin x.sin 3x cos x.cos3x cos 3x sin 3x
3
1 1
3cos 2x cos6x 4cos 2x cos 2x x k , (k )
2 2
ChØ cã
x k
6
thoả mÃn điều kiện
Vậy phơng trình có nghiƯm lµ
x k ,k
,
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
II.2)
Gi¶i phơng trình:
2
x x x x
4 12.2
(3)§iỊu kiƯn x2 Đặt
2 x x
t
>0, phơng trình cho trở thành
2 t
t 6t
t
Tơng ứng ta có phơng trình cho có nghiệm là: x =
9 x 0.25 0.25 0.25 III III.1)
TÝnh tÝch ph©n:
2
x
1 sin x
I dx
1 cos x e
Cã
2
1
x x
0
1 sin x
I dx dx I I
1 cos x e cos x e
XÐt 2 x x 0 dx I dx x cos x e e 2cos
2 . Đặt x x x dx u
du e dx e
e dx
x dv
v t g x 2cos 2
2
1 x x
0
x x
tg 2 tg 2 I e e
2 2
2 x x 2 x
0 0
x x x
2sin cos tg
sin x 2 2 2
I dx dx dx
x
1 cos x e 2e cos e
1 x
2
x
tg 2 1 I I I
e e 0.25 0.5 0.25
III.2) Từ chữ số 0, 1, 3, 4, 5, lập đợc số tự nhiên có chữ số khác thiết có mặt chữ số
Sè cÇn lËp cã d¹ng x=a a a a a1 Ta xét trờng hợp:
T/h1: x có chøa ch÷ sè 0.
Có cách chọn vị trí cho chữ số 0, sau có
A cách chọn vị trí lại cho
các chữ số TiÕp theo, sè c¸ch chän sè kh¸c 0, 1, cho vị trí lại
2
A cách Trờng hợp nµy cã
A .
A = 576 sè.
T/h2: x kh«ng chøa ch÷ sè 0.
Cã
A cách chọn vị trí cho chữ số Sau đó, số cách chọn 4
chữ số khác 0, 1, cho vị trí lại
A cách.
Trờng hợp có
A .
A = 480 sè.
VËy tÊt c¶ cã 576 + 480 = 1056 số thoả mÃn toán
0.25
0.5
0.25
IV IV.1)
Hai đờng thẳng d1 d2 có vtpt lần lợt
n 2; ,n 1;2
, cã n n1 0
nªn d1d2
Gọi I = d1 d2 I = (1; 3) Đờng thẳng qua O(0; 0) tạo với d1 d2 tam giác cân đỉnh
I vu«ng góc với phân giác góc tạo d1, d2
Phân giác góc tạo d1, d2:
1
x 3y (l ) 2x y x 2y
3x y (l )
5 0.25 0.25
TH1: l1 qua O(0; 0) nên có phơng trình: y = 3x
1 cắt d1 d2 tơng ứng A B th×
2 IAB
1 32
A ; S IA
5
(®vdt)
(4)TH2: 2l2 qua O(0; 0) nên có phơng trình:
1 y x
3
2 cắt d1 d2 tơng ứng A, B
2 IA 'B'
3 1 32
A ' ; S IA '
5
(®vdt)
0.25
IV.2) Trực tâm H ABC không gian Oxyz giao mặt phẳng (ABC), mp() qua A BC, mp() qua B vuông góc víi AC
Ta cã (ABC): 2x + 3y +6z – =0; (α): –2y + z =0; (β): –3x+z =
Tọa độ H nghiệm hệ:
12 x 49 2x 3y 6z
18 2y z y 49 3x z z 36
49
H có toạ độ
12 18 36 H ; ;
49 49 49
V
Cho x, y, z >0 tháa m·n: x + y + z = T×m GTLN cña:
2 2
S x y y z z x
Cách Giả sử x ≥ y ≥ z Ta cã:
2 2
2 2 2
S x y y z z x x y z y xyz x z y x z (1 (x z))
Đặt t = x+ z ta đợc
3
2 t t
S t (1 t) t
2 27
Ngoµi víi
2 x ; y ;z
3
ta cã
4 S
27
VËy GTLN cña
4 S
27
.
C¸ch Gi¶ sư x ≥ y ≥ z Ta cã:
2
2 2 2 z x z x
S x y y z z x x y y z
2
2
2 z x z x zx z
S x y xyz xy x z x z x(x z) y
2 2
3
x x z z x y z
S y
2 2 27
x x z z y
4
S 2 2 z 0, x , y
27 x y z 2 3
VËy GTLN cña
4 S
27
.
C¸ch Dïng hµm sè
HD: Thay z = 1–x–y, xem S hàm số biến x y tham số Nhận xét: Cách phức tạp
Đây toán đặc trng cho phép thứ tự