Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ giác, song song với cạnh của hình vuông và có độ dài lớn hơn 2.. 1.[r]
(1)SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 3
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005 - 2006
Thời gian làm 150 phút Ngày thi:
Câu 1: (1,5 điểm).
Tìm tập xác định hàm số
x x
y
x x
1
1
Câu 2: (2,0 điểm).
Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng:
a p b p c a b c p
1 1 1
1
Câu : (2,5 điểm).
a) Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình: 2 1 2
m m x m
x .
b) Tìm giá trị m cho bất đẳng thức sau bất đẳng thức đúng:
2
2
2 x1x2 m x1x2 . Câu 4: (3,0 điểm).
Ở miền hình vng cạnh có tứ giác lồi diện tích lớn
1
Chứng minh tồn đoạn thẳng có hai đầu mút cạnh tứ giác, song song với cạnh hình vng có độ dài lớn
1
Câu 5: (1,0 điểm).
Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thoả mãn hệ thức: m2 n2 mn8.
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: TỐN
(Dành cho lớp chun tốn) Câu 1: (1,5 điểm).
Ta có: 1
1
x x
x x
có nghĩa
0 1
0
0
x x
x x
(0,5 điểm).
1
1
x x
x x
0 1
x x
(0,5 điểm). Vậy TXĐ hàm số tập hợp số thực x mà –1 x x 0. (0,5 điểm). Câu : (2,0 điểm).
Ta có xy2 4xy , xy x y y
x
hay x y xy 1
1
; (x, y > 0) (0,5 điểm). Áp dụng kết ta được:
p a p b p a b c
b p a p
4
4
1
(0,25 điểm).
Tương tự: p b p c a
4 1
(0,25 điểm).
b a p c p
4 1
(0,25 điểm).
Cộng theo vế bất đẳng thức ước lược ta được:
a p b p c a b c p
1 1 1
1
(0,5 điểm). *Dấu đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác cho tam giác (0,25 điểm). Câu 3: (2,5 điểm).
Ta có = m2(m – 2)2 + 4(m – 1)2 , m
Do phương trình cho ln ln có nghiệm (0,5 điểm). Khi đó: x1 + x2 = m(m – 2) , x1 x2 = – (m – 1)2 (0,5 điểm).
Bất đẳng thức cho trở thành:
2 1
2 m m 2m 3m1 1
(0,5 điểm). Nếu m < 2(2 – m) – 3(1 – m) 1, suy m < 1 (0,25 điểm). Nếu m 2(2 – m) – 3(m – 1) 1, suy
6
1m
(0,25 điểm). Nếu m > 2(m – 2) – 3(m – 1) 1, bất phương trình vơ nghiệm. (0,25 điểm).
Vậy
6
0m
(0,25 điểm).
(3)A B
C
D A1 B’
D’ C1
D1
Gọi diện tích tứ giác lồi ABCD S S >
1
Qua đỉnh B D kẻ tia BB’ DD’ song song với cạnh hình vng (B’ thuộc AD, D’ thuộc BC) (hình vẽ) Ta cần chứng minh hai đoạn BB’ DD’ phải có đoạn có độ dài
lớn
1
(0,5 điểm).
Thật vậy! Giả sử hai đoạn nhỏ hay
1
; gọi A1, D1 hình
chiếu vng góc A D’ lên BB’; C1 hình chiếu vng góc C lên DD’ Khi đó:
1
' ' ' '
'
1 ' '
2
D D AA BB S
S S
S ABDB ABB BDB
(0,5 điểm). Vì AA1 + D’D1 ln ln nhỏ cạnh hình vng nên AA1 + D’D1
Từ
1 '
1 BB
S
(0,5 điểm).
Tương tự: ' ' ' ' ' ' ' 1
1
D D CC DD S
S S
S CDBD CDD DBD
(0,5 điểm).
Vì CC1 + D’D1 nên
1 '
2 DD
S
(0,5 điểm).
Do
1 4
1
S S S
( trái giả thiết) (0,25 điểm).
Vậy hai đoạn BB’ DD’ lớn
1
(0,25 điểm). Câu : (1,0 điểm).
Ta có: m2 n2 mn8 4m2 + 4n2 = 4m + 4n + 32
4m2 – 4m + + 4n2 – 4n + = 34
(2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34 < 62 (*) (0,5 điểm).
Vì m, n N nên (*) cho thấy (2m – 1) ( 2n – 1) hai số nguyên dương lẻ nhỏ có các tổng bình phương 34
Có ba số nguyên dương lẻ nhỏ 1, 3, dễ thấy 32 + 52 = 34
Do ta có:
5
3
n m
hay
3
5
n m
Vậy
3
n m
hay
2
n m
(0,5 điểm). ==========================