Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi O là giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông,ta lấy điểm S sao cho góc SCB ˆ 60 .. a) Tính khoảng cách[r]
(1)ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( SỐ 5) CÂU I
Cho hàm số
2 6 9
x x
y
x
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm tất điểm M trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến với đồ thị , song song với đường thẳng
3 y x CÂU II
Cho hệ phương trình:
2
12 26 xy y
x xy m
a) Giải hệ phương trình với m=2
b) Với nhương giá trị m hệ phương trình cho có nghiệm? CÂU III
a) Tính:
3 0cos
tg x
I dx
x
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình phẳng D giới hạn đường ylnx
, y0, x e .Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên quay D quanh trục Ox
CÂU IV
Từ tập thể 14 người gồm nam nữ có An Bình,người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm người.Tìm số cách chọn trường hợp sau:
a) Trong tổ phải có nam lẫn nữ
b) Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt tổ
PHẦN TỰ CHỌN
(Thí sinh chọn câu sau) CÂU VA:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng: d1:
2
x y x z
, d2:
4
1
x y z
, d3:
5
2 1
x y z
Và mặt cầu: ( ) :S x2 y2 z2 2x 2y2z1 0
a) Chứng minh d1,d2 chéo viết phương trình đường thẳng d cắt d1,cắt d2
song song với d3
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho giao tuyến mặt phẳng (P) mặt
cầu (S) đường trịn có bán kính r=1 CÂU VB:
Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi O giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường thẳng Ox vng góc với mặt phẳng chứa hình vng,ta lấy điểm S cho góc SCBˆ 60
a) Tính khoảng cách đường thẳng BC SD
(2)ĐÁP ÁN CÂU I:
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị
2 ( )
x x
y C
x
TXĐ: D = R\ {2}
2 '
2 ( 2)
x x
y
x
1 '
3
x y
x
TCĐ: x =
lim
x
Ta có:
1
2
y x
x
TCX: y = - x +
1
lim
2
x x
BBT:
Đồ thị: Cho x =
9
y
(3)b)
Gọi M(0, b) Oy, tiếp tiếp qua M song song đường thẳng
3
y x
có dạng: (D):
3
y x b
(D) tiếp xúc (C)
2
(1)
2
2 3
(2)
2
( 2)
x x
x b x
x x
x
co ùnghieäm
(2) x2 0 x x0 x4 Thay vào (1):
9
0 ;
2
x b x b
Vậy :
9
(0; ), (0; ) 2 2
M M
CÂU II:
Cho
2
2
12 26 xy y
x xy m
Giải hệ m=2
Ta có: Hệ phương trình
( ) 12 ( ) 26
y x y
x x y m
(4)
( ) 12 (1) (26 )
(2) 12
y x y m y x
Thế (2) vào (1) ta :
2(14 ) 144 (*)
y m
Với m= 2: Phương trình (*) trở thành : 16y2 144
2 (2) (2) y y x y x
Vậy m= hệ có nghiệm :
7 3 x x y y
b) Tìm m để hệ có nghiệm:
Ta có: Hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm.
14 14 m m
CÂU III: a) Tính
6 cos
tg x
I dx
x
Đặt t= tgx
1 cos dt dx x
Đổi cận :
0
3
6
x t
x t
3
6
2 2
cos sin cos (1 )
0
3
3
3 1
2
1
0
3
2 1 1 1 2
2
ln ln
2
0
tg x tg x
I dx dx
x x x tg x
t
dt t dt
t t t t
(5)Đồ thị y= lnx cắt Ox điểm có hồnh độ x=
Do đó:
e 2ln
V xdx
Đặt
ln
ln x
u x du dx
x
dv = dx, chọn v = x
e e
ln ln 1 e
e ln
V x x xdx
xdx
Xem
e ln
J xdx
Đặt
1 ln
u x du dx
x
dv = dx, chọn v = x
ln 1e e
1
J x x dx
Vậy: V (e 2) (đvtt) CÂU IV:
(6) Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nữ là:
6 14
C
Số cách lập tổ cơng tác tồn nam là:
6
C
Số cách lập tổ cơng tác tồn nữ là:
6
C
Suy số cách lập tổ công tác có nam lẫn nữ là:
6 ( 6) 2974 14
C C C
(cách)
b) Có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt: Có trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Trong tổ khơng có An lẫn Bình Như lại 12 người
Số cách chọn tổ trưởng :12 cách Số cách chọn tổ viên:
5 11
C
Số cách chọn tổ khơng có An lẫn Bình là:
5
12.C115544
(cách)
Trường hợp 2: Trong tổ khơng có An khơng có Bình Như có 13 người có An khơng có Bình
Nếu An tổ trưởng số cách chọn tổ viên 12 người lại là:C125 .
Nếu An tổ viên số cách chọn tổ trưởng tổ viên lại 12 người lại là:12.C114 .
Số cách chọn tổ mà có An khơng có Bình là:
5 12 4752 12 11
C C
(cách)
Trường hợp 3: Trong tổ có Bình khơng có An: Tương tự trường hợp có 4752 cách
Tóm lại:
Số cách chọn tổ có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách)
CÂU IV: a) d1; d2 chéo nhau.
Ta có d1 qua A(0, -2, -6) có VTCP a1(1,1, 2)
2
d qua B(4, 2, 1) có VTCP a 2(1, 2,1) Ta có:
, ( 3,1,1)
1 , . 1 0
1 (4, 4,7)
a a
a a AB AB
(7) Phương trình đường thẳng d cắt d1 cắt d2, song song d3
Ta có VTCP d3 a3(2, 1, 1)
Gọi mặt phẳng chứa d1 song song d3
, (1,5, 3)
n a a
phương trình : x + 5y - 3z – = 0
Gọi mặt phẳng chứa d2song song d3
, ( 1,3, 5)
n a a
Phương trình : -x + 3y -5z -8 = 0.
Đường thẳng d cần tìm giao tuyến . Phương trình d là:
5
x y z x y z
( d khác phương d1, d2)
b)
Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) R=
Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r=
d(I,(P))= R2 r2
Mặt phẳng (P) chứa d1 nên phương trình có dạng:
m(x – y – ) + n(2x – z – )=
(m+2n)x-my-nz-2m-6n=0
Ta có: d(I,(p))=
2 2
2 ( )
2 2 ( )
2 2
16 49 56 15 12
2
10 34 44
2
5 22 17
m n m n m n m n m n
m n m n m n
m n mn m n mn
m n mn
m mn n
Cho n= 1, ta có 5m222mn17 0
17
5
m m
Vậy phương trình (P) là:
4 17
x y z
x y z
(8)a) Khoảng cách BC SD
Ta có SO trục hình vng ABCD SCB 60 SA = SB = SC = SD = CB = a
Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD)) Với I trung điểm CB
Gọi H trung điểm AD, ta có:BC(SHI) Veơ IJ SH ta có IJ (SAD)
d(BC, SD) = IJ
Tam giác SIH có
2
2
3
a a
SO HI a
IJ
SH a
Vậy d(BC, SD) =
6
a
b) ( ) Cắt hình chóp theo thiết diện hình thang BCFE Do hình chóp nên BCFE hình thang cân:
(EF+BC).IJ
E 2
SBCF
Ta có:
3 3
; ,
3
a a a
HJ SJ SH
Do EF//AD nên:
3
EF 6
AD 3
2
a SJ SH a
2
a EF
Vậy
6
2
2
2
a a a
a S
BCEF
(9)ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( SỐ 6) CÂU I:
Cho hàm số y 2x3 3(2m1)x2 6 (m m1)x1 (1)
a. Khảo sát hàm số (1) m=1
b. Chứng minh ,m hàm số (1) đạt cực trị x1, x2 với x1 x2 không phụ thuộc m
CÂU II:
a Giải hệ phương trình
2
2
2 13 15
x xy y
x xy y
b Tam giác ABC có cạnh a , b, c p nửa chu vi.Chứng minh rằng:
1 1 1
2( )
p a p b p c a b c CÂU III:
a Giải phương trình : cos3x cos 3 x 2(1 sin ) x
b Chứng minh a,b,c cạnh tam giác ABC 2( )
C
a b tg atgA btgB
thì tam giác ABC cân CÂU IV:
a Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một?
b Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đơi khác nhau?
Thí sinh chọn câu Va hoặcVb đây CÂU Va:
a Nếu Elip
2
2 x y
a b nhận đường thẳng 3x-2y-20=0 và x+6y-20 =0 làm tiếp tuyến, tính a2 b2
b Cho Elip
2
2 x y
a b (E).Tìm quan hệ a, b, k, m để (E) tiếp xúc với đường thẳng y=kx+m
CÂU Vb:
Trong không gian, cho đoạn OO’= h nửa đường thẳng Od, O’d’ vng góc với OO’ vng góc với Điểm M chạy Od , điểm N chạy O’d’ cho ta có
2 ' 2
(10)b.Xác đđnh ṿ trí M Od, N O’d’ cho tứ diện OO’MN tích lớn
ĐÁP ÁN
CÂU I:
a) Khảo sát (1) m= 1:
3
2 3(2 1) ( 1) (1)
y x m x m m x
3
1: 12
m y x x x
TXĐ: D= R
2
' 18 12
1
'
2
'' 12 18
3 11 11
'' ,
2 2
y x x
x y
y
x y
y x
y x y
điểm uốn I
BBT:
Đồ thị:
b) Chứng minh m hàm số (1) đạt cực trị x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc
vào m
(11)3
2 3(2 1) ( 1)
' 6(2 1) ( 1)
' (2 1) ( 1) (*)
(2 1) ( 1)
y x m x m m x
y x m x m m
y x m x m m
m m m
(*) có nghiệm phân biệt x x1,
Hàm số đạt cực trị x x1, Ta có:
2 1
2 1 2
2 2 2
x m m
x m m
x x m m
(hằng số)
Vậy:x2 x1 khơng phụ thuộc m.
CÂU II:
a) Giải:
2
2
2 (1) 13 15 (2)
x xy y
x xy y
Cách 1:
Vì x = không nghiệm hệ nên đặt y= kx Khi hệ trở thành:
2(1 2 3 2) 9 (3) 2(2 13 15 2) 0 (4)
x k k
x k k
Ta có: (4) 15k213k 2 0 (vì x = khơng nghiệm)
1 k k
thế vào (3) ta :
5 2
2
25
5 2
2 2 3 x y x x y x x y x y
Vậy hệ có nghiệm
5 2 2
, , , ,(3, 2), ( 3, 2)
2 2
.
(12)2 (2) 13 15
1
5
2
3
y y
x x
y
y x x
y
y x x
Thế y vào (1) ta đáp số b) Chứng minh:
1 1 1
2( )
p a p b p c a b c Nhận xét: Nếu M, N > thì:
2
M N MN
1 1
2
M N MN
1
( )
1
M N
M N
M N M N
Do đó:
1 4
2
1 4
2
1 4
2
p a p b p a b c p b p c p b c a p c p a p a c b
Cộng vế với vế ta điều phải chứng minh CÂU III:
a) Giải: cos3x cos 3 x 2(1 sin ) x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có:
VT =
2 2
1.cos3x1 cos 3 x 1 cos 3 x cos 3 x 2
Mặt khác: VP2
(13)
2 cos3 cos
2
2 sin 2
2 cos cos3 sin
cos3 sin
2
2 ( )
x x
x
x x
x x x x k x k x k k
(14)
( ) cot ( )
2
2
sin sin
2
cos cos cos cos
2
sin sin sin sin
2
cos cos
sin (sin cos sin cos )
C
a b tg atgA btgB C
a b g atgA btgB A B
a b tg atgA btgB
A B A B
a tg tgA b tgB tg
A B B A
a b
A B A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A
0
sin sin( )
sin
sin( )
A B
A B A B
A B ABC cân A B
CÂU IV:
a) Gọi số cần tìm có dạng a a a1 Số cách chọn a1: (vì a10)
Số cách chọn
2 , :
a a A Vậy số cần tìm là:
2 648
9
A
(số)
b) Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đôi khác Gọi số cần tìm có dạng a a a a a1
Trường hợp : a50
Số cách chọn vị trí cịn lại: A74 840 (số)
Trườnng hợp 2: a52, 4,6
5
a
có cách chọn
1
a
(15), ,
a a a có
3
A
cách chọn
Số số trường hợp 2là 3 6A
6
(số)
số số cần tìm ( Các em tự làm tiếp) CÂU Va:
a) (E) tiếp xúc với đường thẳng 3x - 2y - 20 = x + 6y – 20 =
2 2
9 400 40
2 36 400 10
a b a
a b b
b) (E) tiếp xúc với đường thẳng kx – y + m =
2 2
k a b m
.
CÂU Vb:
a) Chứng minh MN không đổi:
Ta có:
2 2
2 '2 ' 2
MN OM ON
OM OO O N
K h
2
MN k h
(không đổi).
b) Định M N để OO’MN tích lớn
1
' '
' 3 ' 6
2 2
1 '
'
6 12
V S OM OO OM O N
OO MN OO N
OM O N hk h OM O N h
Vậy :
2
'
12
hk k
MaxV OM O N