De tuyen sinh 10 mon Toan chuyen va dap an tham khao

Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO l[r]

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2009 - 2010

Mơn thi: Tốn

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình

3 x2 3 7 x 3 b) Giải hệ phương trình

3

8

6

x y x

y



 

  

  

  Bài 2: (1.0 điểm)

Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm ngun

2 2 0

x  ax a   Bài 3: (2.0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A có đường phân giác BE (E thuộc AC) Đường trịn đường kính AB cắt BE, BC M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC K Chứng minh: AE.AN = AM.AK

Bài 4: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài độ dài cạnh BC Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC thứ tự M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO I K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đường tròn tứ giác BICK hình bình hành

Bài 5: (2.0 điểm)

a) Bên đường tròn tâm O bán kính cho tam giác ABC có diện tích lớn Chứng minh điểm O nằm nằm cạnh tam giác ABC b) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3   .

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

2 2 ab bc ca P a b c

a b b c c a

 

   

 

-Hết -Họ tên thí sinh ……… ……… SBD……… * Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2009 - 2010

Hướng dẫn chấm thi

Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Nội dung đáp án Điểm

Bài 1 3,5 đ

a 2,0đ

x 2  x 3 

 

3 3

x x x x x x 27

           0.50đ

3

9 (x 2)(7 x) 27

     0.25đ

3 (x 2)(7 x) 2

     0.25đ

(x 2)(7 x) 8

    0.25đ

2

x 5x 0

    0.25đ

x 1

x 6

    

 ( thỏa mãn ) 0.50đ

b 1,50đ

Đặt

z

y 0.25đ

Hệ cho trở thành

3

3 3x z 3z x

  

 

 



 0.25đ

  3

3 x z z x

    0,25đ

x z x xz z2 3

      0,25đ

x z

  (vì x2xz z 2 3 0, x,z ). 0,25đ

Từ ta có phương trình:

3 x

x 3x

x  

    

  Vậy hệ cho có nghiệm: (x, y) ( 1; 2), 2,1    

0,25đ

Bài 2: 1,0 đ

Điều kiện để phương trình có nghiệm:   0 a2 4a 0  (*). 0,25đ Gọi x1, x2 nghiệm nguyên phương trình cho ( giả sử x1 ≥ x2) 0,25đ

Theo định lý Viet:

1

1 2

x x a

x x x x

x x a

  

   



  

1

(x 1)(x 1)

   

1 x x 1   

 

 



x 1 x

  



 

 (do x1 - ≥ x2 -1)

2

x

x

   





2

x

x

  

 

Suy a = a = -2 (thỏa mãn (*) )

0,25đ Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu toán 0,25đ

Bài 3: 2,0 đ

Vì BE phân giác ABC nên ABM MBC   AM MN  0,25đ

 

MAE MAN

  (1) 0,50đ

Vì M, N thuộc đường trịn đường

kính AB nên AMB ANB 90   0 0,25đ  ANK AME 90   0, kết hợp

với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK

0,50đ

AN AK

AM AE

  0,25đ

 AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ

Bài 4: 1,5 đ

Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM AIM  Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM ABC 

 

AIM ABC

  .Suy tứ giác BOIM nội tiếp

0,25đ Từ chứng minh suy tam giác AMI

đồng dạng với tam giác AOB

AM AI

AI.AO AM.AB

AO AB

   

(1)

0,25đ Gọi E, F giao điểm đường thẳng AO

với (O) (E nằm A, O)

Chứng minh tương tự (1) ta được: AM.AB = AE.AF

= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2

 AI.AO = 3R2

2

3R 3R 3R R

AI OI

AO 2R 2

     

(2) 0,25đ Tam giác AOB tam giác COK đồng dạng nên:

OA.OK = OB.OC = R2 2

R R R

OK

OA 2R

   

(3)

0,25đ Từ (2), (3) suy OI = OK

Suy O trung điểm IK, mà O trung điểm BC

Vì BICK hình bình hành 0,25đ

Bài 5: 2,0 đ

a, 1,0 đ

Giả sử O nằm ngồi miền tam giác ABC Khơng tính tổng quát, giả sử A O nằm phía đường thẳng BC

0,25đ Suy đoạn AO cắt đường thẳng BC K

Kẻ AH vng góc với BC H 0,25đ Suy AH  AK < AO <1 suy AH < 0,25đ Suy ABC

AH.BC 2.1

S

2

   

(mâu thuẫn với giả thiết) Suy điều phải chứng minh

0,25đ

b, 1,0đ

Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)

= a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 0,25đ mà a3 + ab2

 2a2b (áp dụng BĐT Côsi ) b3 + bc2

 2b2c c3 + ca2

 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)

 3(a2b + b2c + c2a) >

0,25đ

Suy

2 2

2 2 ab bc ca P=a b c

a b c

 

  

 

2 2 2

2 2 (a b c ) P a b c

2(a b c )

  

    

 

0,25đ Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh t

 Suy

9 t t t

P t

2t 2t 2 2 

         

 P  Dấu xảy a = b = c =

Vậy giá trị nhỏ P

0,25đ

SỞ GD VÀ ĐT

THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠNNĂM HỌC: 2009 - 2010 Đề thức Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho số x x R; x 0   thoả mãn điều kiện: x2 + x = 7 Tính giá trị biểu thức: A = x3 +

1

x B = x5 + x

Giải hệphương trình:

1

2

1

2

y x

x y



  

  

   

 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 bx c 0  (a 0 ) có hai nghiệm x , x1 thoả

mãn điều kiện: 0 x 1x2 2.Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

2

2a 3ab b

Q

2a ab ac

 



  Câu 3: (2,0 điểm)

Giải phương trình: x 2 + y 2009 + z 2010 =

(x y z)

2  

2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm))

Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng quaA, cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK BN

Cho đường trịn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= √2 Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm).Một góc xOy có số đo

450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng

minhrằng: 2 DE 1   .

Chứng minh rằng: P 3.

Hết

SỞ GD VÀ ĐT

THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠNNĂM HỌC: 2009 - 2010

Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn)

Ngày thi: 19 tháng năm 2009

(Đáp án gồm 04 trang)

Câu ý Nội dung Điểm

1

1

Từ giả thiết suy ra: (x +

x)2 =

 x +

x = (do x > 0)  21 = (x +

1

x)(x2 +

x ) = (x3 +

x ) + (x +

x )  A = x3 + x =18  7.18 = (x2 +

1

x )(x3 +

x ) = (x5 +

x ) + (x + x)  B = x5+

1

x = 7.18 - = 123

0.25 0.25 0.25 0.25

2

Từ hệ suy

1 1

2

y x

x    y   (2)

Nếu

1 x  y thì

1

2

y x

  

nên (2) xảy x=y vào hệ ta giải x=1, y=1

0.5

0.5

2

Theo Viét, ta có: b

x x

a  

,

c x x a  Khi 2

2a 3ab b

Q

2a ab ac

     = b b a a b c a a          

( Vì a 0) =

2

1 2

1 2

2 3(x x ) (x x )

2 (x x ) x x

   

  

Vì 0 x 1x2 2 nên

1

x x x x22 4  x12 x22 x x1 4  

2

1 2

x x 3x x

Do

1 2 2

2 3(x x ) 3x x 4

Q 3

2 (x x ) x x

   

 

  

Đẳng thức xảy x1 x2 2 x1 0, x2 2

Tức

b 4 a

c c b 4a

4 a

b 2a

b

2 c 0

a c

0 a

 

 

   

     

  

  

 

 

    

  

   



 

  

 Vậy maxQ=3

0.25 0.25

0.25

3

1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phương trình cho tương đương với:

x + y + z = x 2 +2 y 2009 +2 z 2010  ( x 2 - 1)2 + ( y 2009 - 1)2 + ( z 2010 - 1)2 =

x y 2009 z 2010

   

 

  



  

 

x y 2008 z 2011

     

 



0.25 0.25 0.25 0.25

2 Nhận xét: p số nguyên tố  4p2 + > 6p2 + > Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1)

y = 6p2 +

 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) Khi đó:

- Nếu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hết cho  x chia hết cho mà x >  x không số nguyên tố

- Nếu p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hết cho  4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) =  y chia hết cho mà y >

0.25

 y không số nguyên tố

Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố  p = Thử với p =5 x =101, y =151 số nguyên tố Vậy: p =5

0.25

0.25

1

2

Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta có Δ IBE = Δ MCE (c.g.c)

Suy EI = EM , MECBEI Δ MEI vuông cân E

Suy EMI 45 BCE Mặt khác:

IB CM MN

ABCB AN  IM // BN

BCEEMIBKE  tứ giác BECK nội tiếp

BEC BKC 180

   

Lại có: BEC 90 0 BKC 90 0 Vậy CKBN

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

D C N

A I B

K M

E

O

C B

D

E M A x

x

5

Vì AO = √2 , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC hình vng

Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB MOE=COE

Suy Δ MOD= Δ BOD DME=900 Δ MOE= Δ COE EMO=900

suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC

Ta cú DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy DE<1 Đặt DM = x, EM = y ta có AD2 + AE2 = DE2

 (1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2  1- (x+y) = xy (x+y)

2

4 suy DE

2 + 4.DE - 40  DE 2√2−2

Vậy 2√2−2≤ DE<1

Ta có: (ac bd) 2(ad bc) 2a c2 2abcd b d 2a d2  2abcd b c 2

       

2 2 2 2 2

a c d b d c a b c d

      

Vì ad bc 1  nên    

2 2 2 2 2

1 (ac bd)   a b c d (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm    

2 2 a b ; c d

có:

   

2 2 2 2

P a b c d ac bd a  b c d ac bd

 2

P ac bd ac bd

     

(theo (1)) Rõ ràng P 0 vì: 2 1ac bd 2  ac bd Đặt x ac bd  ,ta có: P x  x

   

2 2 2 2

P x 4x x x x 4x x 4x

           

 1 x2 2x2 3 3

    

Vậy P 3

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.25

0.25 0.25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài ( điểm ):

a) Thực phép tính: 3√10+√20−3√6−√12 √5−√3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x −√x −2008 Bài ( 1,5 điểm ):

Cho hệ phương trình:

¿

mx− y=2 3x+my=5

¿{

¿

a) Giải hệ phương trình m=√2

b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x+y=1− m

2

m2+3 Bài (1,5 điểm ):

a) Cho hàm số y=−1 2x

2

, có đồ thị (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M N nằm (P) có hồnh độ −2

b) Giải phương trình: 3x2+3x −2√x2+x=1 Bài ( điểm ):

Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N

a) Chứng minh: MOCD +MO AB =1 b) Chứng minh: AB1 +

CD= MN

c) Biết SAOB=m2; SCOD=n2 Tính SABCD theo m n (với SAOB, SCOD ,

SABCD diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác

Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB cố định không qua tâm O; C D hai điểm di động cung lớn AB cho AD BC song song Gọi M giao điểm AC BD Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOMB tứ giác nội tiếp b) OM BC

c) Đường thẳng d qua M song song với AD qua điểm cố định Bài ( điểm ):

a) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng: x2

y + y2

x ≥ x+y

b) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4+4n hợp số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN I Hướng dẫn chung:

1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi

3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án:

Bài Nội dung Điểm

1 (1đ)

a) Biến đổi được:

(√5−√3)(3√2+2) √5−√3

¿3√2+2

0,25 0,25 b) Điều kiện x ≥2008

x −√x −2008=(x −2008−2

2.√x −2008+

4)+2008−

¿

√x −2008−1

2¿

2

+8031 ≥

8031

¿¿

Dấu “ = “ xảy √x −2008=1 2⇔x=

8033

4 (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ cần tìm 80314 khix=8033

4

0,25

2 (1,5đ)

a) Khi m = √2 ta có hệ phương trình

¿

√2x − y=2 3x+√2y=5

¿{

¿

⇔

2x −√2y=2√2 3x+√2y=5

⇔

¿x=2√2+5

y=√2x −2

¿{ ⇔

x=2√2+5

y=5√2−6

¿{

0,25

0,25

0,25

b) Giải tìm được: x=2m+5

m2+3; y=

5m −6

m2+3

Thay vào hệ thức x+y=1− m

2

m2

+3 ; ta 2m+5

m2+3+

5m−6

m2+3 =1−

m2 m2+3 Giải tìm m=4

7

0,25 0,25 0,25

3 (1,5đ)

a) Tìm M(- 2; - 2); N (1:−1 2)

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M N nên

¿

−2a+b=−2

a+b=−1

¿{

¿

Tìm a=1

2;b=−1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm

y=1 2x −1

0,25

0,25 0,25

b) Biến đổi phương trình cho thành 3(x2+x)−2√x2+x −1=0 Đặt t=√x2+x ( điều kiện t ), ta có phương trình 3t2−2t −1=0 Giải tìm t = t = −1

3 (loại)

Với t = 1, ta có √x2+x=1⇔x2+x −1=0 Giải x=−12+√5 x=−1−√5

2

0,25

0,25

4 (2đ)

Hình vẽ

O

A B

C D

N M

0,25

a) Chứng minh MOCD =AM AD ;

MO AB =

MD AD Suy MOCD +MO

AB =

AM+MD AD =

AD

AD=1 (1)

0,25 0,50 b) Tương tự câu a) ta có NOCD+NO

AB=1 (2) (1) (2) suy MOCD+NO+MO+NO

AB =2 hay MN CD +

MN AB =2 Suy CD1 +

AB= MN

0,25 0,25 c)

SAOB SAOD

=OB OD ;

SAOD SCOD

=OA OC ;

OB OD=

OA OC ⇒

SAOB SAOD

=SAOD

SCOD

⇒SAOD

=m2.n2⇒SAOD=m.n Tương tự SBOC=m.n Vậy m+n¿

2

SABCD=m2+n2+2 mn=¿

0,25 0,25 Hình vẽ (phục vụ

5 (3đ)

O I

C D

M

B A

a) Chứng minh được: - hai cung AB CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB AMB

O M phía với AB Do tứ giác AOMB nội tiếp

0,25 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh được: - O nằm đường trung trực BC (1)

- M nằm đường trung trực BC (2)

Từ (1) (2) suy OM đường trung trực BC, suy

OM⊥BC

0,25 0,25 0,25 c) Từ giả thiết suy d⊥OM

Gọi I giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 900 , OI đường kính đường

trịn

Khi C D di động thỏa mãn đề A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định

Vậy d qua điểm I cố định

0,25 0,25 0,25 0,25

6 (1đ)

a) Với x y dương, ta có x2

y + y2

x ≥ x+y (1)

x − y¿

2

≥0

⇔x3+y3≥xy(x+y)⇔(x+y)¿ (2)

(2) với x > 0, y > Vậy (1) với

x>0, y>0

0,25 0,25 b) n số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k

là số tự nhiên lớn

- Với n = 2k, ta có 2k¿4+42k

n4+4n=¿ lớn chia hết cho Do

n4+4n hợp số -Với n = 2k+1, tacó

0,25

2 n 2k¿2

n2

+2 4k¿2−¿

2 4k¿2=¿

n4+4n=n4+42k 4=n4+¿

= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ] Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n hợp số

======================= Hết =======================

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

( Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài (1,5 điểm ):

Cho hệ phương trình:

¿

mx− y=2 3x+my=5

¿{

¿

a) Giải hệ phương trình m=√2

b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x+y=1− m

2

m2+3 Bài (2 điểm ):

a) Cho hàm số y=−1 2x

2

, có đồ thị (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M N nằm (P) có hoành độ −2

b) Giải phương trình: 3x2

+3x −2√x2+x=1 Bài ( 1,5 điểm ):

Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N

a) Chứng minh: MOCD +MO AB =1 b) Chứng minh: AB1 +

CD= MN Bài ( điểm ):

Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB cố định không qua tâm O; C D hai điểm di động cung lớn AB cho AD BC song song Gọi M giao điểm AC BD Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOMB tứ giác nội tiếp b) OM BC

c) Đường thẳng d qua M song song với AD qua điểm cố định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Mơn TỐN

(Dành cho học sinh chun Tin)

Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

I Hướng dẫn chung:

1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi

3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án:

Bài Nội dung Điểm

1 (1,5đ)

a) Biến đổi được:

(√5−√3)(3√2+2) √5−√3

¿3√2+2

0,50 0,25 b) Điều kiện x ≥2008

x −√x −2008=(x −2008−2

2.√x −2008+

4)+2008−

¿

√x −2008−1

2¿

2

+8031 ≥

8031

¿¿

Dấu “ = “ xảy √x −2008=1 2⇔x=

8033

4 (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ cần tìm 80314 khix=8033

4

0,50

0,25

2 (2đ)

a) Khi m = √2 ta có hệ phương trình

¿

√2x − y=2 3x+√2y=5

¿{

¿ ¿

⇔

2x −√2y=2√2 3x+√2y=5

¿

⇔

x=2√2+5

y=√2x −2

¿ ¿{

¿

⇔

x=2√2+5

y=5√2−6

¿{

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Giải tìm được: x=2m+5

m2+3; y=

5m −6

Thay vào hệ thức x+y=1− m

2

m2+3 ; ta 2m+5

m2+3+

5m−6

m2+3 =1−

m2

m2+3 Giải tìm m=4

7

0,25 0,25

3 (2đ)

a) Tìm M(- 2; - 2); N (1:−1 2)

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M N nên

¿

−2a+b=−2

a+b=−1

¿{

¿

Tìm a=1

2;b=−1

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y=1 2x −1

0,25

0,25 0,25 0,25 b) Biến đổi phương trình cho thành 3(x2+x)−2√x2+x −1=0

Đặt t=√x2+x ( điều kiện t ), ta có phương trình 3t2−2t −1=0 Giải tìm t = t = −1

3 (loại)

Với t = 1, ta có √x2+x=1⇔x2+x −1=0 Giải x=−12+√5 x=−1−√5

2

0,25 0,25 0,25

0,25

4 (1,5đ)

Hình vẽ

O

A B

C D

N M

0,25

a) Chứng minh MOCD =AM AD ;

MO AB =

MD AD Suy MOCD +MO

AB =

AM+MD AD =

AD

AD=1 (1)

0,25 0,50 b) Tương tự câu a) ta có NOCD+NO

(1) (2) suy MOCD+NO+MO+NO

AB =2 hay MN CD +

MN AB =2 Suy CD1 +

AB= MN

0,25 0,25

5 (3đ)

Hình vẽ (phục vụ câu a)

O I

C D

M

B A

0,25

a) Chứng minh được: - hai cung AB CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB AMB

O M phía với AB Do tứ giác AOMB nội tiếp

0,25 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh được: - O nằm đường trung trực BC (1)

- M nằm đường trung trực BC (2)

Từ (1) (2) suy OM đường trung trực BC, suy

OM⊥BC

0,25 0,25 0,25 c) Từ giả thiết suy d⊥OM

Gọi I giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 900 , OI đường kính đường

trịn

Khi C D di động thỏa mãn đề A, O, B cố định, nên đường trịn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định

Vậy d qua điểm I cố định

0,25 0,25 0,25 0,25