Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ the[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 - 2011
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 06 tháng 07 năm 2010 (Đợt 1)
Câu (3 điểm) Giải phương trình sau: a)
2
4 x . b) x4 3x2 0 .
1) Rút gọn biểu thức
N
1
a a a a
a a
với a0 a1.
Câu (2 điểm)
1) Cho hàm số bậc y ax 1 Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1 2.
2) Tìm số nguyên m để hệ phương trình
3
2
x y m
x y
có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn
điều kiện x2xy 30
Câu (1 điểm) Theo kế hoạch, xưởng may phải may xong 280 quần áo một thời gian quy định Đến thực hiện, ngày xưởng may nhiều quần áo so với số quần áo phải may ngày theo kế hoạch Vì thế, xưởng hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong quần áo?
Câu (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE và CF tam giác ABC cắt H cắt đường tròn (O) E’ F’ (E’ khác B F’ khác C)
1) Chứng minh tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh EF song song với E’F’
3) Kẻ OI vng góc với BC (I BC ) Đường thẳng vng góc với HI H cắt
đường thẳng AB M cắt đường thẳng AC N Chứng minh tam giác IMN cân
Câu (1 điểm)
Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn a2b2 1
4 1
a b
c d c d Chứng
minh
2
a d
c b .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(2)Ngày thi: 06 tháng 07 năm 2010NĂM HỌC 2010 - 2011 Đáp án gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm
- Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a Giải phương trình
2
4
3x 1,00
2
4
3x 3x (hoặc 2x 12 0 )
2x 12
x
0,25 0,25 0,5 b Giải phương trình x4 3x2 4 0
1,00
Đặt t x t 2, 0 ta t2 3t 0 1,
t t
1
t (loại)
2
4
t x x
0,25 0,25 0,25 0,25 c
Rút gọn
N
1
a a a a
a a
với a0 a 1
1,00 ( 1)
1
a a a a
a
a a
( 1)
1
a a a a
a
a a
N 3 a 3 a 9 a
0,25 0,25
0,5
2 a Xác định hệ số a 1,00
Ra phương trình 0a( 1) 1
2
a
a
Vậy a 1
(3)b Tìm số nguyên m để nghiệm ( ; )x y thỏa mãn x2 xy 30
1,00
Tìm y m 1, x 2m
2 30 (2 1)2 (2 1)( 1) 30
x xy m m m
2
2m m 10
2
m
5
m
Do m nguyên nên m2
0,25
0,25 0,25 0,25 Tính số quần áo may ngày theo kế hoạch 1,00
Gọi số quần áo may ngày theo kế hoạch x (x nguyên dương)
Số ngày hồn thành cơng việc theo kế hoạch 280
x
Số quần áo may ngày thực x5
Số ngày hồn thành cơng việc thực 280
5
x
Theo giả thiết ta có phương trình
280 280
x x
2
280(x 5) 280x x x( 5) x 5x 1400
Giải pt ta x 35, x40 (loại)
Số quần áo may ngày theo kế hoạch 35
0,25 0,25 0,25 0,25 a Chứng minh tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp 1,00
Hình Hình 1 Vẽ hình
Theo giả thiết BFC 90 ,0 BEC900
900
BFC BEC
BCEF tứ giác nội tiếp
0,5 0,25 0,25
b Chứng minh EF song song với E’F’ 1,00
BCEF tứ giác nội tiếp suy CBE CFE 0,25
A
N
D M
H
I C
F' F
E'
E
O
B
A
H
C F'
F
E'
E
O
(4) ' '
CBE CF E (cùng chắn cung CE ')
Suy CFE CF E ' '
Suy EF E F// ' '
0,25 0,25 0,25
c Chứng minh tam giác IMNcân 1,00
TH M thuộc tia BA
H trực tâm tam giác ABC suy AH BC
CAH CBH (cùng phụ với góc ACB)
90 ,0 900
BHI BHM ANH NHE
BHM NHE (vì đối đỉnh) BHI ANH ANH
đồng dạng với
AH HN BIH
BI IH
(1)
Tương tự AHM đồng dạng với
AH HM
CIH
CI IH
(2) Từ (1) (2) BI CI suy
HM HN
HM HN
IH HI
Mà HI MN H suy IMN cân I.
TH M thuộc tia đối tia BA.
CAH CBH (cùng phụ với góc ACB)
900
ANH NHE (góc ngồi ) 900
BHI BHM
BHM NHE (vì đối đỉnh)
ANH BHI ANH đồng dạng với AH HN
BHI
BI IH
Đến làm tương tự TH
* Chú ý Thí sinh cần làm 2 TH cho điểm tối đa
0,25 0,25 0,25
0,25
5
Chứng minh
2
a d
c b 1,00
2 1
a b
4 1 4 ( 2 2)
a b a b a b
c d c d c d c d
4 2
( ) ( ) ( )
d c d a c c d b cd a b
4 4 ( 4 2 2)
dca d a c b cdb cd a b a b
2 4 2 2 0 ( 2 2) 0
d a c b cda b da cb
0,25
0,25
C F'
E'
E N
M
I H F
(5)2 0
da cb
hay
2
a b
c d Do đó
2 2
2 2
( )
2
a d b d b d
c b d b db
Vậy
2
a d
c b
0,25 0,25
TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH Năm học 2009- 2010
Câu (2,5 điểm):
Giải phương trình: 4x = 3x + 4
Thực phép tính:A 12 3 48
Giải hệ phương trình sau:
1 1 x y
5 x y
Câu (2,0 điểm):
Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1), m tham số.
Giải phương trình (1) m =
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 =
(6)Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người tăng vận tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B
Câu (2,5 điểm):
Cho đường tròn tâm O, bán kính R Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) A Trên đường thẳng d lấy điểm H cho AH < R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng d, cắt (O;R) hai điểm E B (E nằm H B)
Chứng minh góc ABE góc EAH.
Trên dường thẳng d lấy điểm C cho H trung điểm đoạn AC Đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn
Xác định vị trí điểm H đường thẳng d cho AB = R Câu (1,5 điểm):
1.Cho ba số a,b,c > Chứng minh rằng:
3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
2 Tìm x, y nguyên thoả mãn:x + y + xy + = x2 + y2
GỢI Ý ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2009 - 2010
Câu 1:1 4x = 3x + <=> x = 4
2 A = √12 - √3 + √48 = 10 √3 - √3 + √3 = 10 √3
(7)
¿
1 x−
1 y=1
x+
y=5
⇔ ¿4
x−
y=4
x+
y=5
⇔ ¿7
x=9
y= 7−1
⇔ ¿y=7
2 x=7
9
¿{
¿
( Thoả mãn điều kiện x 0; y Kl: …
Câu 2: Phương trình: 2x2 + (2m-1)x + m - 1= (1)
1 Thay m = vào phương trình (1) ta có 2x2 + 3x + =
Có ( a - b + c = - + = 0)
=> Phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 ; x2 = - 1/2
2 Phương trình (1) có Δ = (2m -1)2 - 8(m -1)
= 4m2 - 12m + = (2m - 3)2 với m.
=> Phương trình (1) ln có hai nghiệm x1; x2 với giá trị m
+ Theo hệ thức Vi ét ta có:
¿
x1+x2=
1−2m x1x2=m −1
2
¿{
¿
+ Theo điều kiện đề bài: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 =
<=> 4(x1 + x2)2 - x1x2 =
<=> ( - 2m)2 - 3m + = 1
<=> 4m2 - 7m + =
+ Có a + b + c = => m1 = 1; m2 = 3/4
Vậy với m = m = 3/4 phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn:
4x12 + 4x22 + 2x1x2 =
(8)N K
C B
E O
A H
Thời gian người từ A đến B là: 36x (h) Thời gian người từ B A là: 36x+3 (h)
Vì thời gian thời gian nên ta có phương trình : 36x - 36x
+3 =
<=> x2 + 3x - 180 = 0
Có Δ = 729 >
Giải được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện ẩn)
x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện ẩn)
Vậy vận tốc người từ A đến B 12 km/h Câu 4:
1 Chứng minh: ∠ ABE = ∠ EAH ∠ ABE góc nội tiếp chắn cung AE
∠ EAH góc tạo tia tiếp tuyến AH dây cung AE => ∠ ABE = ∠ EAH
( Hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp
+ BH vng góc với AC H => ∠ BHC = 900
+ H trung điểm AC (gt)
+ EH AC H (BH AC H; E BH) => Δ AEC cân E
=> ∠ EAH = ∠ ECH( t/c tam giác cân) + ∠ ABE = ∠ EAH ( cm câu a)
=> ∠ ABE = ∠ ECH ( = ∠ EAH) => ∠ KBE = ∠ KCH
=> Tứ giác KBCH nội tiếp => ∠ BKC = ∠ BHC = 900
=> ∠ AKE = 900 (1)( Kề bù với ∠ BKC = 900)
Mà ∠ EHA = 900 (2) ( EH AC H)
Từ (1) (2) => ∠ AKE + ∠ EHA = 1800
=> Tứ giác AHEK nội tiếp
3 Xác định vị trí điểm H đường thẳng (d) cho AB = R √3
+ Kẻ ON vng góc với AB N
=> N trung điểm AB( Quan hệ vng góc đường kính dây cung) => AN = R√3
2
Ta có tam giác ONA vng N theo cách dựng điểm N => tag ∠ NOA = AN : AO = √3
2
=> ∠ NOA = 600 => ∠ OAN = ∠ ONA - ∠ NOA = 300
+ ∠ OAH = 900 ( AH tiếp tuyến (O) tiếp điểm A)
(9)+ chứng minh : Δ BAC cân B có ∠ BAH = 600 => tam giác ABC đều.
=> AH = AC/2 = AC/2 = R√3
2
=> H giao điểm (A; R√3
2 ) đường thẳng (d)
Chú ý : Bài tốn có hai nghiệm hình: Câu 5:
1 Với a > 0; b > 0; c > Chứng minh rằng:
a3+b3+abc+ b3+c3+abc+
1 c3+a3+abc≤
1 abc
HD: ta có a3 + b3 + abc = (a+b)(a2 + b2 - ab) + abc (a+b)(2ab - ab)+ abc
( (a-b)2 với a, b => a2 + b2 2ab)
=> a3 + b3 + abc ab(a+b) + abc = ab( a+b+c)
Vì a, b, c > =>
a3+b3+abc≤
(a+b+c)ab (1)
Tương tự ta có:
b3+c3+abc≤
(a+b+c)bc (2)
c3+a3+abc≤
(a+b+c)ca (3)
Từ (1) ; (2); (3) =>
a3+b3
+abc+ b3
+c3+abc+ c3
+a3+abc≤
a+b+c abc(a+b+c)=
1 abc
Dấu "=" xảy a = b = c
Vậy bất đẳng thức chứng minh
2 Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + = x2 + y2 (*)
<=> x2 - x(y + 1) + y2 - y - = (**)
Vì x, y nghiệm phương trình (*)
=> Phương trình (**) ln có nghiệm theo x => Δ = (y+1)2 - (y2 - y - 2) 0
=> -3y2 + 6y + 0<=> - y2 + 2y + 0<=> (- y2 - y) + 3(y + 1) 0
<=> (y + 1)(3 - y)
Giải -1 y y nguyên => y {-1; 0; 1; 2; 3} + Với y = -1 => (*) <=> x2 = => x = 0
+ với y = => (*) <=> x2 - x - =
có nghiệm x1 = -1; x2 = thoả mãn x Z
+ với y = => (*) <=> x2 - 2x - = có Δ' = khơng phương.
+với y = => x2 - 3x = => x = x = thoả mãn x Z.
+ với y = => (x-2)2 = => x = thoả mãn x Z.
Vậy nghiệm nguyên phương trình là: (x,y)
{(−1;0);(0;−1);(2;0);(0;2);(3;2);(2;3)}
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010
(10)Bài (2.0 điểm )
1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) x b)
1 x
2 Trục thức mẫu
a)
3
2 b)
1 1
3 Giải hệ phương trình :
1 x
x y
Bài (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x2 y = x + 2
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB
Bài (1.0 điểm )
Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + có hai nghiệm x
1 ; x (với m tham
số ) Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Bài (4.0 điểm )
Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K ( K nằm A O).Lấy điểm E cung nhỏ CD ( E không trùng C D), AE cắt BD H
a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE.
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O)
d) Cho góc BCD α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O)
Hướng dẫn: Bài (2.0 điểm )
1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) x0 b) x1 0 x1
(11)a)
3 3 2
2 2 b)
1
1 3
3
3 3
3 Giải hệ phương trình :
1 1
3
x x x
x y y y
Bài (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x2 y = x + 2
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng :
x - x - - 1
y = x + 2 y = x2 4 1 0 1 4
b) Tìm toạ độ giao điểm A,B :
Gọi tọa độ giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) hàm số y = x2 có đồ thị (P)
và y = x + có đồ thị (d)
Viết phương trình hồnh độ điểm chung (P) (d) x2 = x +
x2 – x – = 0
( a = , b = – , c = – ) có a – b + c = – ( – ) – =
1
x
;
2 c x
a
thay x1 = -1 y1 = x2 = (-1)2 = 1;
x2 = y2 =
Vậy tọa độ giao điểm A( - ; 1) , B( ; ) c) Tính diện tích tam giác OAB
Cách : SOAB = SCBH - SOAC =
1
2(OC.BH - OC.AK)= =
2(8 - 2)= 3đvdt Cách : Ctỏ đường thẳng OA đường thẳng AB vuông góc
OA AK2OK2 1212 2 ; BC = BH2 CH2 4242 4 2;
AB = BC – AC = BC – OA =
(ΔOAC cân AK đường cao đồng thời trung tuyến OA=AC)
O y
x A
B
C
(12)SOAB =
1
2OA.AB =
.3 2
2 đvdt
Hoặc dùng cơng thức để tính AB = (xB xA)2(yB yA)2 ;OA=
2
(xA xO) (yA yO)
Bài (1.0 điểm ).Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Cho phương trình x2 – 2mx + m – m +
( a = ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + )
Δ’ = = m2 - ( m2 - m + ) = m2 - m2 + m - = m – ,do pt có hai nghiệm x ; x
(với m tham số ) Δ’ ≥ m ≥ Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x2 = 2m
x1 x2= m2 - m +
x12 + x22 = ( x1 + x2)2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + )=2(m2 + m - )
=2(m2 + 2m
1 2 +
1 4-
1 4 -
12
4 ) =2[(m + 2)2 -
13
4 ]=2(m + 2)2 -
13
Do điều kiện m ≥ m +
2 ≥ 3+ 2=
7
(m + 2)2 ≥
49
4 2(m + 2)2 ≥
49
2 2(m + 2)2 -
13 ≥
49 -
13 = 18 Vậy GTNN x12 + x22 18 m =
Bài (4.0 điểm )
a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp * Tam giác CBD cân
AC BD K BK=KD=BD:2(đường kính vng góc dây cung)
ΔCBD có đường cao CK vừa đường trung tuyến nên ΔCBD cân C * Tứ giác CEHK nội tiếp
· ·
AEC HEC 180 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; KHC 180· 0(gt)
· · 0
HEC HKC 90 90 180 (tổng hai góc đối) tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh AD2 = AH AE.
Xét ΔADH ΔAED có : ¶
A chung ; AC BD K , AC cắt cung BD A suy A điểm cung BAD , hay: AB = AD ADB AED· · (chắn hai cung nhau)
Vậy ΔADH = ΔAED (g-g)
2
AD AE
AD AH AE
AH AD
(13)ΔBKC vuông A có : KC = BC2 BK2 202122 400 144 256=16(cm)
·
ABC 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
ΔABC vng K có : BC2 =KC.AC 400 =16.AC AC = 25 R= 12,5(cm)
C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O)
ΔMBC cân M có MB = MC suy M cách hai đầu đoạn thẳng BC M d
đường trung trực BC ,(OB=OC nên O d ),vì M(O) nên giả sử d cắt (O) M (M thuộc
cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC )
* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M D nằm khác phía BC hay AC ΔBCD cân C nên
· · · ) :
2 BDC DBC (180 DCB 90
Tứ giác MBDC nội tiếp
· · · · ( ) 0
2 2
BDC BMC 180 BMC 180 BDC 180 90 180 90 90
* Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC
ΔMBC cân M có MM’ đường trung trực nên MM’ phân giác góc BMC
· · ) : 450
2
BMM ' BMC (90
sđ
¼
BM ' )
2 (90
(góc nội tiếp cung bị chắn)
sđBD» 2BCD 2· (góc nội tiếp cung bị chắn)
+ Xét BD BM '» ¼
0 3 0
2
2 90 2 90 180 60
suy tồn hai điểm M thuộc cung nhỏ BC (đã tính )và M’ thuộc cung lớn BC
Tứ giác BDM’C nội tiếp
· ·
2 BDC BM'C 90
(cùng chắn cung BC nhỏ) + Xét BD BM '» ¼
0 0
3
2
2 90 2 90 180 60
M’≡ D khơng thỏa mãn điều kiện đề nên khơng có M’ ( có điểm M thỏa mãn đề bài)
A O
B
M
C E D
M’ K
H
B”
(14)+ Xét BD BM '» ¼
0 0 0
3
2
2 90 2 90 180 60 90
(khi BD qua tâm O BDAC ·BCD 900) M’ thuộc cung BD» không thỏa mãn điều kiện đề nên M’ (chỉ có điểm M thỏa mãn đk đề)
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NGHỆ AN Khóa ngày 25 tháng 06 năm 2009 MƠN: TỐN
( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài ( điểm )
Cho hàm số: y f (x) x x 2 a) Tìm tập xác định hàm số b) Chứng minh f(a) = f(- a) với 2 a
c) Chứng minh y2 4 Bài ( 1,5 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình:
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch ?
Bài ( điểm )
Cho phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = với x ẩn số, m tham số (1)
a) Giải phương trình (1) m = -
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm bình phương nghiệm cịn lại
Bài ( 3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có góc nhọn, BAC = 450 Vẽ đường cao BD CE tam
giác ABC Gọi H giao điểm BD CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: HD = DC
c) Tính tỉ số: DE BC.
d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA DE
- HẾT -BÀI GIẢI Bài
(15)
2 x x
2 x x x
Vậy tập xác định hàm số là: x [-2; 2]
b) Chứng minh f(a) = f(- a) với 2 a
f (a) a a ; f ( a) ( a) a 2 a a 2 .
Từ suy f(a) = f(- a) c) Chứng minh y2 4
2 2
y ( x ) 2 x x ( x)
2 x x 2 x
4 x 4 (vì 2 x ≥ 0).
Đẳng thức xảy x 2
Bài 2.
Gọi x,y số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch ĐK: x, y nguyên dương x < 600; y < 600
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: x + y = 600 (1)
Số sản phẩm tăng tổ I là: 18
x
100 (sp), Số sản phẩm tăng tổ II là: 21
y 100 (sp). Do số sản phẩm hai tổ vượt mức 120(sp) nên ta có phương trình:
18 21
x y 120
100 100 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:
x y 600 18 21
x y 120 100 100
Giải hệ ta x = 200 , y = 400 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số sản phẩm đựoc giao theo kế hoạch tổ I 200, tổ II 400 Bài
a)Giảiphương trình (1) m = -1:
Thay m = 1 vào phương trình (1) ta phương trình: x22x 0
(x22x1) 0
x12 32 0
x 1 3 x 1 3 0 x4 x 2 0
4
2
x x
x x
(16)O M K 45 H E D C B A
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆’ = m2 - (m - 1)3 > (*)
Giả sử phương trình có hai nghiệm u; u2 theo định lí Vi-ét ta có:
2
2
u u 2m u.u (m 1)
(**) 3 **
u u m
u m 2
u u m
u m
2
1
1
m m m
u m
2 3 0
1 m m u m
PT m2 3m0 m m 3 0 m10;m2 3 (thỏa mãn đk (*) )
Vậy m = m = hai giá trị cần tìm
Lưu ý: Có thể giả sử phương trình có hai nghiệm, tìm m vào PT(1) tìm hai nghiệm phương trình , hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu trả lời. Ở trường hợp m = PT (1) có hai nghiệm x1 1;x2 1 thỏa mãn
x2 x12, m = PT (1) có hai nghiệm x1 2;x2 4 thỏa mãn
2
2
x x .
Bài 4.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn Vì BD, CE đường cao tam giác ABC nên:
BDA CEA 900 hay HDA HEA 900
Tứ giác ADHE có HDA HEA 1800 nên nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh: HD = DC
Do tứ giác ADHE nội tiếp nên EAD DHC (cùng bù DHE )
Mà EAD 450 (gt) nên DHC 450.
Tam giác HDC vuông D, DHC 450 nên vuông cân. Vậy DH = DC
c) Tính tỉ số DE BC:
Tứ giác BEDC có BEC BDC 900nên nội tiếp đường tròn. Suy ra: ADEABC (cùng bù EDC )
ADE ABC có ADE ABC , BAC chung nên ADE ABC (g-g)
Do đó:
DE AE
BC AC .
Mà osA=cos45 AE c
AC (do tam giác AEC vuông E EAC 450
) Vậy: 2 DE BC
d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA DE
Cách 1: Kẻ đường kính AK đường trịn (O) cắt DE M
(17)y
x
O 45
H
E D
C B
A
Suy ra: ACK DMK 1800 Mà ACK 900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Nên DMK 900 Vậy AK DE hay OA DE (đpcm)
Cách 2: Kẻ tiếp tuyến xAy đường trịn (O) Ta có: xACABC (cùng
1
2sđAC )
ABCADE
Do đó: xAC ADE Suy xy // DE