điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.[r]
(1)SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 7
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2009 – 2010
Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 19/06/2009 Bài 1: (1,5 điểm)
Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng:
a b c
b c c a a b
1 2
Bài 2: (2 điểm)
Cho số phân biệt m, n, p Chứng minh phương trình x m x n x p
1 1 0
có hai
nghiệm phân biệt Bài 3: (2 điểm)
Với số tự nhiên n (n 3), đặt
n
S
n n n
1
3 (2 1)
.
Chứng minh Sn
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O có độ dài cạnh BC = a, AC = b, AB = c E
điểm nằm cung BC không chứa điểm A cho cung EB cung EC Nối AE cắt cạnh BC D
a) Chứng minh: AD2 AB AC DB DC . b) Tính độ dài đoạn AD theo a, b, c Bài 5: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng:
m
n n2
1
3
với số nguyên dương m, n.
(2)
HƯỚNG DẪN GIẢI ========== Bài 1:
Ta có:
m m k n n k
(với < m < n, k > 0) (1)
Thật vậy, (1) m n k( )n m k( ) 0mk nk 0m n (0 < m < n, k > 0) Áp dụng:
a a
a b c
b c a b c
0
b b
b c a
c a a b c
0
c c
c a b
a b a b c
0
Cộng BĐT trên, vế theo vế, ta được:
a b c a b c
b c c a a b a b c 2( ) 2
(2)
Chứng minh BĐT phụ:
x y z
x y z 1 ( ) 9
(x, y, z > 0) Ta có:
x y y z z x
x y z
x y z y x z y x z
1 1
( ) 3 3 2
Thay x a b y b c z c a , , vào (2) ta được:
a b c a b c
a b b c c a a b b c c a
1 1 1
2( ) ( )
2
c a b a b c
a b b c c a b c c a a b
9
1 1
2 2
(3)
Từ (2) (3) suy ra:
a b c
b c c a a b
1 2
.
Bài 2: Xét phương trình: x m x n x p
1 1 0
(1)
Điều kiện xác định (1): x m n p , ,
Biến đổi (1) (x n x p )( ) ( x m x p )( ) ( x m x n )( ) 0
3x2 2(m n p x mn np mp ) 0
= (m n p )2 3(mn np mp )m2n2p2 mn np mp
= m n n p m p
2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 (vì m n p). Vậy (1) ln có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: n
S
n n n
1
3 (2 1)
Với k nguyên dương, ta có: 2k 1 (k k1) (1)
Thật vậy, (1) (2k1)2 4 (k k1) 4k24k 1 4k24k (BĐT đúng)
Do đó:
k k
k k k k
k k k k k k k
1 1
2 ( ) ( 1)
(2 1) ( 1)
(3)= k k
1 1
2 1
(2)
Cho k lấy giá trị từ đến n, thay vào (2), cộng BĐT, vế theo vế, ta được:
n
S
n n n
1
3 (2 1)
< n n n
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 3 1 1
A
B D C
E /
/
1
b c
a . O
Bài 4:
a) Chứng minh: AD2 AB AC DB DC .
Xét hai tam giác ABD AEC, ta có: A1A ABD AEC2,
ABD AEC
AD AB AD AE AB AC AC AE
Mạt khác, ABD CED
BD DA BD DC DA DE DE DC
AB.AC – BD.DC = AD.AE – DA.DE = AD(AE – DE) = AD2
Vậy: AD2 AB AC DB DC (1) b) Tính AD
Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có:
DB DC DB DC DB DC BC a
AB AC c b c b c b b c
DB DC DB DC a DB DC a bc
c b bc b c b c
2
(2)
Thay (2) vào (1), ta được:
a a a b c a b c a
AD bc bc bc bc
b c b c b c b c
2
2
( )( )
1
( )
Vậy: AD =
bc b c a b c a b c
( )( )
.
Bài 5: Chứng minh: m
n n2
1
3
Trước hết, ta cần chứng minh: n n2
1 2
3
, với n N* (1)
Thật vậy, (1) n n2
1
2
(2) Đặt tn1 (0 t 1), ta có:
(4) 3 ( 1)t t 3 1 t 0
3 ( 1)t t 3 ( 1) t 2 0 (3)
Vì < t 2 0 nên (3) (2)
Mặt khác, m
n n
1
2
, m N*, nên
m
n n2
1
3
, m, n N*.