MA TRẬN Mức độ Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao KQ TL KQ TL KQ TL Số học C4b 1,5 C4a 2,5 2 4 Đại số C1C1a;C3a 2 C1b,C1c C3b, C2 7 C3c 3 7 12 Hình học C5 4 1 4 Tổng 3 3,5 4 7 3 9,5 10 20 PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TO ÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ 2 ĐỀ KIỂM TRA Câu 1(4 điểm) Cho biểu thức 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − − a, Tìm điều kiện để A có nghĩa b, Rút gọn A c, Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là 1 số nguyên Câu 2(2điểm) Cho: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 x y z x y z x y z + + = + + = + + = Chứng minh rằng: x + y 2 + z 3 = 1 Câu 3 (6 điểm) a, Chứng minh rằng với x > 1 ta có: 2 1 x x ≥ − b, cho a > 1, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 2 2 1 1 a b b a + − − c, Cho a, b là các số thực dương, chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + ≥ + Câu 4 (4 điểm) a, Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n 5 là như nhau b,Chứng minh: 2n + 1 v à ( 1) 2 n n + nguyên tố cùng nhau Câu 5(4 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./. …………………………… HẾT……………………………………. Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4điểm ) a, Điều kiện để biểu thức A xác định: 0 0 0 2 0 2 4 5 6 0 ( 2)( 3) 0 9 3 0 3 x x x x x x x x x x x x x ≥ ≥ ≥ − ≠ ≠ ⇔ ⇔ ≠ − + ≠ − − ≠ ≠ − ≠ ≠ b, ( ) ( ) 2 9 3 2 1 2 3 2 3 x x x A x x x x − + + = − + − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 ( 3) 3 2 1 2 2 3 x x x x x x x − − + − + + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 3 2 3 3 x x x x x x x x x x − + + − − = = − − − − − c, 1 4 1 3 3 x A x x + = = + − − Với x ∈ ¢ , để A∈¢ thì 3x − phải là ước của 4, từ đó suy ra { } 1;4;16;25;49x∈ , nhưng 4, 9 1;16;25;49x x x≠ ≠ ⇒ = 1 0,5 0,5 1 0,5 0,5 Câu 2 (2điểm ) Từ x + y + z = 1 3 ( ) 1x y z⇒ + + = 3 3 3 3( )( )( ) 1x y z x y y z z x⇒ + + + + + + = Thay: 3 3 3 1x y z+ + = 3( )( )( ) 0x y y z z x⇒ + + + = 0 0 0 x y y z z x + = ⇒ + = + = .Nếu x + y = 0 2 2 2 2 1 1 1 0z x y x y⇒ = ⇒ + + = ⇒ + = 2 3 0 1(1)x y x y z⇒ = = ⇒ + + = .Nếu y + z = 0 2 2 2 2 1 1 1 0x y z y z⇒ = ⇒ + + = ⇒ + = 2 3 0 1(2)y z x y z⇒ = = ⇒ + + = .Nếu z + x = 0 2 2 2 2 1 1 1 0y x z x z⇒ = ⇒ + + = ⇒ + = 2 3 0 1(3)x z x y z⇒ = = ⇒ + + = Từ (1),(2), và (3) suy ra: 2 3 1x y z+ + = 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 a, Ta có: x = (x - 1) + 1 2 1x≥ − ⇒ 2 1 x x ≥ − 0,75 PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Câu 3 (6điểm ) Dấu = xảy ra 2x ⇔ = b, Áp dụng ý a: E = 2 2 1 1 a b b a + − − 2 2 a a 2 . 2 . 1 1 1 1 b b b a a b ≥ ≥ − − − − Vì a b 2; 2 8 min 8 2 1 1 E E a b a b ≥ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = ⇔ = = − − c, Ta có : 2 2 1 1 0; 0 2 2 a b − ≥ − ≥ ÷ ÷ ∀ a , b > 0 1 1 0; 0 4 4 a a b b⇒ − + ≥ − + ≥ 1 1 ( ) ( ) 0 4 4 a a b b⇒ − + + − + ≥ ∀ a , b > 0 1 0 2 a b a b⇒ + + ≥ + > (1) Mặt khác: 2 0a b ab+ ≥ > (2) Nhân từng vế của (1) và (2) ta có : ( ) ( ) ( ) 1 2 2 a b a b ab a b + + + ≥ + ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + ⇒ + + ≥ + (ĐCCM) 0,25 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 (4điểm ) a, Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n 5 là như nhau Xét số: A = n 5 – n = n(n 2 -1)(n 2 +1) = n(n + 1)(n - 1)(n 2 +1) Ta thấy n(n + 1)M2, n∀ ∈ ¥ Ta cần chứng minh: A M 5, n∀ ∈ ¥ - Nếu n = 5k 5A⇒ M - Nếu n = 5k + 1 ⇒ n – 1 = 5k ⇒ A M 5 - Nếu n = 5k + 2 ⇒ n 2 = 25k 2 + 20k + 4 ⇒ n 2 +1 M 5 5A⇒ M - Nếu n = 5k + 3 ⇒ n 2 = 25k 2 + 30k + 9 ⇒ n 2 +1 M 5 5A⇒ M - Nếu n = 5k + 4 ⇒ ⇒ n 2 +1 M 5 5A⇒ M Do đó: AM 5 , n∀ ∈ ¥ Vì AM 2 và AM 5, mà (2 ,5 ) = 1, nên AM 10 ⇒ n và n 5 có cùng chữ số hàng đơn vị b,Chứng minh: 2n + 1 v à ( 1) 2 n n + nguyên tố cùng nhau Ta thấy: n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp 2n +1 là tổng của 2 số đó Mà 2 số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau nên tổng và tích của chúng cũng nguyên tố cùng nhau: (n,n+1) = 1 ⇒ (2n + 1,n(n + 1)) = 1 Do đó ta có: 2n + 1 v à ( 1) 2 n n + nguyên tố cùng nhau 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Câu 5 (4điểm ) GT ABC ∆ : AB = AC = BC = 60cm, BD = 20 cm KL DE = ?, DF = ?, EF = ? Đặt DE = AE =x, DF = AE = y. Kẻ DI ⊥AB, DK ⊥AC. + Ta có: BI = BD.cos60 0 = 20. 1 2 = 10 ; DI 2 2 2 2 20 10 300 10 3BD BI= − = − = = Ta có : EI = 50 – x, áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DEI ta có : ED 2 = EI 2 + ID 2 = (50 – x) 2 + ( 10 3 ) 2 ⇔ x 2 = 2500 – 100x + x 2 + 300 ⇔ 100x = 2800 => x = 28 + Ta có: CK = CD.cos60 0 = 40. 1 2 = 20 ; DK 2 2 2 2 40 20 1200 20 3DC KC= − = − = = Ta có : FK = 40 – y, áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DFK ta có : DF 2 = DK 2 + FK 2 = (40 – y) 2 + ( 20 3 ) 2 ⇔ y 2 = 1600 – 80y + y 2 + 1200 ⇔ 80y = 2800 => y = 35 + Kẻ EH ⊥AF, ta có : AH = EA.cos 60 0 = 28. 1 2 = 14 HF = y – 14 = 35 – 14 = 21 EH = x.sin60 0 = 28. 3 14 3 2 = => EF = ( ) 2 2 2 2 14 3 21 1029 7 21EH HF+ = + = = Vậy : DE = 28 ; DF = 35, EF = 7 21 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Người ra đề: Dương Thị Thoa. Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Lộc. B D C K F E A I 20 40 y y x x H G . Câu 5 (4điểm ) GT ABC ∆ : AB = AC = BC = 60cm, BD = 20 cm KL DE = ?, DF = ?, EF = ? Đặt DE = AE =x, DF = AE = y. Kẻ DI ⊥AB, DK ⊥AC. + Ta có: BI = BD.cos60. AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./. …………………………… HẾT……………………………………. Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4điểm ) a,