de thi hoc sinh gioi truong lop 11

[r]

Trường THPT Quỳ Hợp I

Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2012-2013

Mơn: Tốn - Khối: 11 Thời gian: 150 phút

Bài 1

(2,0 điểm).

:

Bài (2,0 điểm).

1.

Cho dãy số

 

un

biết

:

1

2 2

n n

n u      

Tính

limun

2.

Cho dãy số

 

un

xác định

:





1

1

, , 1, 2,

3

n n

n u

u u n

n u



  

 

Tính tổng

:

S2012  u1 u2u3 u2012

Bài 3

(3 ®iĨm)

1) Giải phơng trình:

2

2tan cot tan

sin

x x x

x

  

2) Tìm

m

để phơng trình sau có nghiệm

x ( ; )8

  

4(sin4xcos ) 4(sin4x  xcos ) sin 46x  x m

Bi

(2 điểm)

: Giải bất phơng tr×nh:

x2  4x 3 2x2  3x  1 x

Bài 5

(1 ®iĨm)

: Mét ®iĨm S n»m ngoµi (ABC ) cho tø diƯn SABC

đều , gọi I, K trung điểm cạnh AC SB , Trên đờng thẳng

AS CK ta chọn điểm P,Q cho PQ// BI

Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài 1

Trường THPT Quỳ Hợp I

Đáp Án Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2012-2013

Bài

Bài Bài (2,0 điểm).

 Cho dãy số

 

un biết:

1

2 2

n n

n u      

Tính limun

 Cho dãy số

 

un xác định :





1

1

, , 1, 2,

3

n n

n u

u u n

n u



  

 

Tính tổng: S2012 u1u2u3 u2012

Bài giải Bài 2: (2,0 điểm)

1

 

 

1 5

2 2 2 2 

 

          

n n n n

n n

u u

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta

2

1 1 2

2 ,

2 2 2

n n n n

n n

u            n

1

2 3

lim lim 3 lim lim

2 2

n n n n

n n

u          

   

2 Có

2

1 1

1 1 1

2 3, 1, 2, 4

n n n n

n n n n n n

u   u     u   u    u    

hay



 



1

1 1 1

4 3

n u

n n n n n n



 

     

       

Do 1

, 1, 2,

2 n u n n n          

Vậy 2012 2012

1 1

2 2013 2014

S u u u  u      

 

Bài (3®iĨm)

3)

Giải phơng trình:

2

2tan cot tan

sin

x x x

x

  

4)

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

( ; )

x  

4 6

4(sin xcos ) 4(sinx  xcos ) sin 4x  x m B i già ải

+) §iỊu kiƯn

+) Tìm đợc tanx = tanx =

+) GiảI loại nghiệm ĐS: x  k +) Đa PT dạng: 2cos 42 x cos 4x2m1 (1) +) Đặt t = cos4x với

( ; )

x  

 t(-1; 0)

+) XÐt f(t) = 2t2 + t (-1; 0) có bảng biÕn thiªn

Và PT (1) có nghiệm đờng thẳng y = 2m +1 (song song trùng 0x )cắt f(t) (-1; 0)

+) §S:

1 ( ;1)

2

m 

Bài

+) §iỊu kiƯn:

2

3

4

1

2

1 x x x x x x x                      

+) Với x=1 BPT hiển nhiên suy x=1 nghiệm

+) Víi x3 suy BPT  (x 3)(x 1) (x 1)(2x 1)  x chØ v« nghiƯm

+) Víi

1

x

suy BPT

(1 x)(1 )x (1 x)(3 x) x

       

ChØ nghiÖm

1

x

+) KÕt luËn: BPT cã nghiÖm

1 x x      

Bài Một điểm S nằm (ABC ) cho tứ diện SABC , gọi I, K trung điểm cạnh AC SB , Trên đờng thẳng AS CK ta chọn điểm P,Q cho PQ// BI

Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài

Ta cã PQ lµ giao tuyến hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK song song với BI mặt phẳng chứa SA song song với BI

Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA P Qua A kỴ A F // BI (F thc BC) , CK cắt S F Q Vậy PQ // BI

Ta có I, E trung điểm AC SI

1 SP SA   Mµ 1 3 PQ SP PQ AF

AF SA   Ta cã AF 2BI  3 VËy

3